利用相似三角形测高（导学案）北师大版九年级上册

4.6利用相似三角形测高导学案理解相似三角形的定义及其在测量高度问题中的应用；掌握利用相似三角形的比例关系解决实际测量问题的基本方法.2.通过观察、操作、推理等数学活动，培养学生的几何直观与逻辑思维能力；引导学生运用“转化”和“建模”的思想，将实际问题抽象为数学模型进行求解.3.激发学生对数学应用的兴趣，增强解决问题的信心；培养学生在合作探究中形成严谨求实的科学态度和创新意识.在实际情境中识别或构造相似三角形，并将其转化为可操作的数学模型.第一环节自主学习温故知新：1.相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形2.相似三角形的判定方法：①AA相似定理（两角对应相等）；②SAS相似定理（两边成比例且夹角相等）；③SSS相似定理（三边成比例）.3.比例的基本性质：若

ab=cd新知自研：自研课本第103104页的内容．【学法指导】情景引入同学们，咱们每天走进校园，都会看到操场旁那根高高的旗杆吧？昨天我接到后勤老师的通知，因为旗杆使用年限较久，学校计划下周更换一根新的旗杆，但更换前需要先知道现有旗杆的准确高度——大家想想，咱们能直接爬上去量吗？那用梯子搭上去量呢？既然直接测量的方法行不通，咱们能不能用数学知识来“间接”算出旗杆高度呀？还记得上节课咱们刚学过相似三角形的定义与判定，知道“相似三角形对应边成比例”——那这一知识能不能帮咱们解决测旗杆高度的问题呢？自研课本P103104页的内容，思考：●探究一：利用相似三角形测量旗杆高度的多元方法探究◆1.利用阳光下的影子测高.（1）操作步骤①选一名同学直立于旗杆影子的顶端处，测量该同学的身高h1和影长②同时测量同一时刻旗杆的影长l2（2）几何建模画出示意图：分别构建“同学（直角三角形，直角边为身高h1和影长l1）”与“旗杆（直角三角形，直角边为旗杆高H、影长l2（3）原理推导①因为太阳光线平行，所以两个直角三角形的同位角相等，且均为直角三角形（直角相等）；②根据两角分别相等的两个三角形相似，可得两个三角形相似③由相似三角形对应边成比例，得h1H=◆2.利用标杆测高（1）操作步骤①调整位置使“旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛”在同一直线上；②用皮尺测量：观测者脚到旗杆底端的距离a、观测者脚到标杆底端的距离b、标杆高度h2、观测者眼睛到地面的高度h（2）几何建模过观测者眼睛作水平线，分别交标杆、旗杆于点，构建“观测者视线”形成的A型相似三角形（或含延长线的X型相似），标注各线段长度a、b、h2、h3.（3）原理推导（1）由“旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛共线”和“水平线平行于地面”，可得两组同位角相等（2）证明两个三角形相似后，根据对应边成比例，推导旗杆高度：H◆3.利用镜子的反射（1）.操作步骤①在观测者与旗杆之间平放一面镜子，做标记；观测者移动位置，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与标记重合；②测量：观测者脚到镜子的距离m、旗杆底端到镜子的距离n、观测者眼睛到地面的高度h4（2）.几何建模根据“光的反射定律（入射角=反射角）”，构建“观测者镜子脚”与“旗杆镜子底端”的直角三角形，标注角的关系与线段m、n、h（3）.原理推导①由“入射角=反射角”和“直角相等”，证明两个直角三角形相似②由相似三角形对应边成比例，得h4H◆4.小组讨论你认为还有哪些测量旗杆高度的方法？◆5.知识归纳三种方法均以相似三角形的判定为核心，将“测旗杆高度”转化为“测可操作的线段长度”，体现“转化思想”练一练即时训练（1）如图，李老师用自制的直角三角形纸板去测“步云阁”的高度，他调整自己的位置，设法使斜边DP保持水平，边DE与点B在同一直线上．已知直角三角纸板中DE=18cm，EP=12cm，测得眼睛D离地面的高度为1.7m，他与“步云阁”的水平距离CD为114m，则“步云阁”的高度A．74.1m B．77.7m C．79.5m D．79.7m（2）彭老师身高1.6m，在某一时刻测得她站在阳光下的影子长为0.8m，紧接着她把手臂竖直举起，测得影子长为1m，那么彭老师举起的手臂超出头顶的长度为（AA．0.4m B．0.5m C．0.8m D●探究二 利用相似三角形测高方法的优缺点对比分析◆1.利用阳光下的影子测高的优缺点：（1）优点：操作简单，仅需测量“人高、人影长、旗杆影长”，工具仅需皮尺，易上手；原理直观，基于“平行光线+直角三角形”的相似模型，逻辑清晰（2）缺点：严重依赖天气条件；测量需在同一时刻完成，时间把控要求高；若场地不平整，影长测量易出现误差◆2.利用标杆测高的优缺点.（1）优点：不受天气限制；对场地长度要求较灵活，可通过调整观测者与标杆的位置适配不同场地；能直观构建“A型相似模型”，原理易推导（2）缺点：操作中需精准实现“旗杆顶端、标杆顶端、观测者眼睛三点共线”，位置调整难度大，若观测者视觉误差大，易导致模型失真；需测量的线段较多，数据记录与计算易出错◆3.利用镜子的反射测高的优缺点.（1）优点：不受光照方向限制；无需观测者与被测物体（如旗杆）直接对齐，可在有障碍物的场景下使用；测量线段少，计算简便（2）缺点：依赖镜子的平整度和“观测者视觉的精准度”，若镜子标记不准确或观测者视线偏差，会导致相似模型失效；需理解“光的反射定律”，对物理知识的关联性要求较高，部分学生易因物理知识薄弱而理解困难◆4.知识归纳（1）“影子法”：操作简单，适用于天气良好的条件（2）“标杆法”：不受天气限制，可用于大多数场地（3）“镜子反射法”：不受地形和光照影响，可用于较复杂的环境练一练学校计划测量图书馆旁大树的高度，以下哪种天气场景最适合采用“利用阳光下的影子”法？A.晴天上午 B.阴天下午 C.雨天中午请选择并说明理由。解答：选A理由：“利用阳光下的影子”法依赖清晰的影子进行测量，晴天上午有充足阳光，能形成清晰且可测量的影子，满足该方法“同一时刻测量人高、人影长、树影长”的操作条件；而阴天下午影子不清晰，雨天中午无影子，均无法有效使用该方法例题导析例1如图是小玲设计用手电来测量家附近“新华大厦”高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2m

【分析】解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为小玲和新华大厦均和地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．【解答】解：根据题意，∠ABP=∠CDP,∠APB=∠CPD,∴△ABP∽△CDP．即AB故CD=PD那么该古城墙的高度是16m，故答案为：16．【点评】本题考查相似三角形性质的应用第二环节合作探究小组群学在小组长的带领下：A.以小组为单位，交流以下问题：（1）每种方法的操作索依据的原理（2）讨论每种方法的优缺点B.讨论其他测高的方法1．如图，某仓库阳光从窗户射入照到地面上，垂直地面的窗户边框AB在地面上的影长DE=3m，窗户下檐到地面的距离BC=5m，EC=4m，那么窗户的高A．2.75 B．3.25 C．3.5 D．3.752．如图，利用标杆DA测量楼高，点C，A，B在同一直线上，DA⊥CB，EB⊥CB，垂足分别为A，B.若测得影长AB=16米，DA=3米，影长CAA．10米 B．12米 C．15米 D．20米3．“给我一个支点，我就能撬起整个地球．”这句话的意思，是利用物理学中的杠杆原理，只要有合适的支点和合适的工具，就可以把地球轻松搬动.如图1，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，杠杆绕着支点转动，另一端会向上翘起，石头就被翘动了．在图2中，杠杆的D端被向上翘起的距离BD=6cm，动力臂OA与阻力臂OB满足OA=3OB（AB与CD相交于点O），则AC的长为（A．2cm B．12cm C．18cm D．24cm4．小孔成像是光在均匀介质中沿直线传播形成的一种物理现象．两千四百多年前，我国学者墨子就在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像CDA．2cm B．52cm C．5．如图，为了测量学校旗杆的高度，小东用长3.2m的竹竿做测量工具．移动竹竿，使旗杆顶端的影子与竹竿顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时，竹竿与这一点相距8m，与旗杆相距22m，则旗杆的高为126．图1是装满了液体的高脚杯（数据如图），用去部分液体后，放在水平的桌面上如图2所示，此时液体AB=4cm7．如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=60mm，高AD=40mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边QM在BC上，其余两个顶点P，N分别在AB，8．如图所示，我校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为2m，测得AB=4m，BC解：由题意得：BE∥∴△ABE∴ABAC∵AB=4m，BC=12∴AC=16∴CD=题型一：“影子法”类型题1．在同一时刻，小明测得自己的身高为1.7m，影长为1.2m，同时测得旁边一栋楼的影长为36m，求这栋楼的高度．【分析】同一时刻太阳光线平行，小明与楼的影子形成两个相似直角三角形（人高/人影长=楼高/楼影长）．【解答】设楼高为

H，根据相似三角形对应边成比例：人高人影长H=【点评】核心考点：相似三角形性质（对应边成比例）的直接应用，属于“影长法”基础题型．2．某数学兴趣小组在阳光下测量一棵大树的高度，一名成员身高1.6m，影长2m，大树的影长为15m，求大树的高度．【分析】利用“物体高度/影长=常数（同一时刻）．【解答】设大树高为

H，则：

1.6H=【点评】中考高频基础题型，强调实际应用场景（小组测量大树）．3．在同一时刻，测得一根直立于地面的竹竿高2m，影长1.5m，附近一座塔的影长为24m，求塔的高度．【分析】换用“竹竿”作为参照物，本质仍为“影长法”相似三角形模型.【解答】设塔高为

H，则：

2H=【点评】参照物从“人”变为“竹竿”，但比例关系不变，考查知识迁移能力．4.每当优美的“东方红”乐曲从北京站的钟楼响起时，会唤起很多人的回忆，也引起了同学们的关注．某数学兴趣小组测量北京站钟楼AB的高度，同学们发现在钟楼下方有建筑物遮挡，不能直接到达钟楼底部点B的位置，被遮挡部分的水平距离为BC的长度．通过对示意图的分析讨论，制定了多种测量方案，其中一种方案的测量工具是皮尺和一根直杆．同学们在某两天的正午时刻测量了钟楼顶端A的影子D到点C的距离，以及同一时刻直杆的高度与影长．设AB的长为x米，BC的长为y米．测量数据（精确到0.1米）如表所示：直杆高度直杆影长CD的长第一次1.00.615.8第二次1.00.720.1(1)由第一次测量数据列出关于x，y的方程是______，由第二次测量数据列出关于x，y的方程是______；(2)该小组通过解上述方程组成的方程组，已经求得y=10【答案】(1)y=0.6x(2)43【分析】（1）由同一时刻测量，可得直杆高度直杆影长=ABBD，分别代入第一次测量、第二次测量的数值，可得其关于（2）已经求得y=10，将y=10代入任一个方程，可求得【解答】（1）由同一时刻测量，可得直杆高度直杆影长第一次测量：10.6=x第二次测量：10.7=x故答案为：y=0.6x-15.8（2）对于y=0.6x-15.8得，0.6x解得：x=43∴钟楼AB=43故答案为：43．【点评】本题考查了相似三角形的应用，由同一时刻测量，得到直杆高度直杆影长题型二：“标杆法”类型题5.1m长的标杆直立在水平地面上，它在阳光下的影子长度为0.8m，同一时刻，某电视塔的影子长度为100m，则该电视塔的高度为（B）A．150m B．125m C．120m D．80m【分析】本题虽出现“标杆”，但实际为影长法测高（利用同一时刻物体高度与影长成正比），非“标杆法”（标杆法需观测点、标杆、目标物三点共线）【解答】设电视塔高度为

H，则：

标杆高度H=答案：B【点评】影长法测高的基本应用，需注意区分“标杆”作为参照物的影长法与“标杆法”（构造相似三角形）的差异。6．（2021•商河县校级模拟）如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是（D）A．2.4m B．24m C．0.6m D．6m【分析】手臂测高法（标杆法的特殊形式，以“尺子”为“微型标杆”，手臂长为观测距离），形成两个相似直角三角形【解答】单位需统一（将cm转化为m：12cm=0.12m，60cm=0.6m）。根据相似三角形对应边成比例：尺子长度答案：D【点评】标杆法的灵活应用（以尺子为“标杆”，手臂为“观测距离”），考查相似三角形模型的抽象能力7．某天小明和小亮去某影视基地游玩，当小明给站在城楼上的小亮照相时，发现他自己的眼睛、凉亭顶端、小亮头顶三点恰好在一条直线上（如图）．已知小明的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为1.9米，小明到凉亭的距离BD为2米，凉亭离城楼底部的距离DF为38米，小亮身高为1.7米．那么城楼的高度为（B）A．7.6米 B．5.9米 C．6米 D．4.3米【分析】：本题属于“标杆法”的相似三角形应用，核心是通过构造A型相似三角形，利用对应边成比例的性质求解高度。【解答】过小明眼睛A作水平线，分别交凉亭顶端的垂线CD于点M，交城楼顶端（小亮头顶）的垂线EF于点N。水平距离：AM竖直高度差：CM∵AB∴∠ACM∴△ACM根据相似三角形对应边成比例：CM代入已知数据CM=0.3 米解得：ENEF城楼高度=【点评】题深度考查“相似三角形判定与性质”在实际场景中的应用，要求学生将生活中的“三点共线测高”场景抽象为几何模型，体现数学建模思想8.（2024河南洛阳·期中）《周髀算经》中记载了“平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方”的方法．“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺（即图中的DEF）．小南利用“矩”可测量大树AB的高度．如图，通过不断调整自己的姿势和“矩”的摆放位置，使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知“矩”的两边长分别为EF=0.2m，DE=0.3m，小南的眼睛到地面的距离DM为1.6m，测得AM=21【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，据题意可得∠DEF=∠BCD=90°，∠EDF=∠CDB，即可得出△【解答】解：据题意可得∠DEF=∠BCD∴△DEF∴EF∵EF=0.2m，DE∴0.2∴BC∴AB答：树高AB为15.6m【点评】本题主要考查了相似三角形的应用举例题型三“镜子反射法”类型题9.（2022•陕西模拟）西安世园会标志性雕塑《水龙》，内部为钢结构，外包镜面不锈钢，既像一股水花，又似一条飞龙，既蕴含了上善若水的中国传统理念，又有巨龙腾飞的时代精神．小刚同学想利用所学知识测量该雕塑的高度AB，如图，他在距离B点48米的点C处水平放置了一个小平面镜，并沿着BC方向移动，当移动到点E处时，他刚好在小平面镜内看到雕塑的顶端A的像，此时，测得CE＝2米，小刚眼睛与地面的距离DE＝1.5米．已知点B、C、E在同一水平直线上，且AB⊥BE、DE⊥BE，求雕塑的高度AB．（小平面镜的大小忽略不计）【分析】本题考查镜子反射法测高，核心是利用光的反射定律（入射角=反射角）构造相似直角三角形，通过对应边成比例求解雕塑高度【解答】由光的反射定律知：∠又∵AB∴∠根据相似三角形对应边成比例：DE已知：DE=1.5代入比例式：1.5解得：AB【点评】本题为“镜面反射法”或“垂直物体相似模型”，通过两个直角三角形的对应角相等证明相似，进而利用比例式求解未知高度10.雨过天晴，小李急忙跑到室外呼吸新鲜空气，广场上E处有一处积水，如图，若小李站在D处距积水2米，他正好从水面上看到距他约10米的前方一棵树的顶端A的影子已知点D、E、B在同一直线上，AB⊥BD，CD⊥BD，小李的眼睛到地面的距离CD为1.6米，求树AB的高．（∠CED＝AEB，积水水面大小忽略不计）【分析】本题以“积水反射”为场景，是镜子反射法的变形，通过∠CED=∠AEB（反射角与入射角相等）构造相似直角三角形，利用对应边成比例求解树高【解答】由题意：∠AB⊥⟹  ∴△CDEDE=2根据相似三角形对应边成比例：CD1.6AB=【点评】本题为“镜面反射法”或“垂直物体相似模型”，通过两个直角三角形的对应角相等证明相似，进而利用比例式求解未知高度11.如图，矩形ABCD为台球桌面，AD＝260cm，AB＝130cm，球目前在E点位置，AE＝60cm．如果小丁瞄准BC边上的点F将球打过去，经过反弹后，球刚好弹到D点位置．求BF的长．【分析】本题以“台球反弹”为场景，核心是利用反射定律（入射角=反射角）构造相似直角三角形，结合矩形性质，通过相似三角形对应边成比例求解线段长度【解答】在矩形ABCD中：AD由矩形对边相等得：BC已知AE=60 设BF=x由台球反弹的反射定律（类光的反射定律）：∠又∵矩形中∠B∴△根据相似三角形对应边成比例（△BEF∼△已知：BE代入比例式：70交叉相乘去分母：70(260-解得：x【点评】综合考查“相似三角形判定（两角分别相等）”“矩形性质”与“反射定律的几何转化”，要求学生将实际运动场景抽象为几何模型，核心是对“相似三角形对应边成比例”的灵活应