弧长和扇形面积第1课时（导学案）数学人教版九年级上册

24.4弧长和扇形面积（第1课时)（导学案）（解析版）（1）经历探索弧长和扇形面积计算公式的过程，了解并会应用公式解决问题。（2）从学生熟知的圆的周长和面积公式入手进行推导，培养学生的探索和归纳能力。了解公式后，能用公式解决问题，训练学生的数学运用能力。（3）让学生体验数学与人类生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，提高他们的学习积极性，同时提高大家的运用能力。重点:弧长及扇形面积计算公式的推导及应用。难点:弧长及扇形面积计算公式的应用。第一环节自主学习温故知新：2.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧；圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形。【学法指导】自研课本P111113页内容(一)与弧长相关的计算1.弧是圆的一部分，弧长就是圆周长的一部分，在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？2.在半径为的圆中，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？1°的圆心角所对的弧长是，2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长分别是的2、3、90、180、270、360倍。3.在半径为的圆中，n°的圆心角所对的弧长是多少？注意:用弧长公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它是不带单位.（二）与扇形面积相关的计算1.扇形是圆的一部分，扇形面积就是圆面积的一部分，在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？2.在半径为的圆中，圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？3.在半径为的圆中，圆心角为n°的扇形面积是多少？注意:用扇形面积公式计算时，要注意公式中n的意义:n表示1°圆心角的倍数，它和弧长公式一样是不带单位.4.你发现了扇形的弧长公式与面积公式有什么联系吗?5.一条弧与过它两端点的弦组成的封闭图形叫弓形，怎样求弓形的面积？弓形的面积是扇形的面积与三角形面积的和或差.自研课本P111113页内容典型例题例1．制造弯形管道时，经常要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图中的管道的展直长度L(结果取整数).【分析】将实际问题转化为数学问题，按中心线计算管道的展直长度等于中间的弧长与两边的线段长的和。例2如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.(结果保留小数点后两位)【分析】将实际问题转化为数学问题，连接OA，OB，截面上有水部分的面积等于扇形面积减去三角形面积。【详解】解:如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交于点C，连接AC.又AD⊥DC,∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC=AO=OC.120πx0.6/4B.0D=0.12π/x0.6√3x0.3≈0.22(m²).第二环节合作探究1.讨论在半径为的圆中，1°的圆心角所对的弧长是多少？2°、3°、90°、180°、270°、360°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长是多少？2.讨论在半径为的圆中，圆心角为1°的扇形面积是多少？圆心角为2°、3°、90°、180°、270°、360°的扇形面积是多少？圆心角为n°的扇形面积是多少？3.讨论弧长公式与扇形的面积公式有什么联系吗?扇形面积公式的另一种表示方法是什么以？4.讨论怎样求弓形的面积？【详解】（1）解：∵是半圆O的直径，∵是半圆O的切线，答：的度数是；课本练习1.弧长相等的两段弧是等弧吗?2.如图，有一段弯道是圆弧形的，道长是12m，弧所对的圆心角是81°.这段圆弧所在圆的半径R是多少米(结果保留小数点后一位)?3.如图。正三角形ABC的边长为a，D，E，F分别为BC，CA，AB的中点，以A，B，C三点为圆心，一长为半径作圆.求图中阴影部分的面积.练习答案：1.不一定.1.(2025•山西)如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，分别以点B，C为圆心、BC的长为半径画弧，与BA，CA的延长线分别交于点D，E．若BC＝4，则图中阴影部分的面积为()A．2π－4 B．4π－4 C．8π－8 D．4π－8【解答】解：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝45°，∵BC＝4，∴AB＝AC＝2∴S阴影BC故选：D．2.（2025.山东烟台）如图，正六边形ABCDEF的边长为4，中心为点O，以点O为圆心，以AB长为半径作圆心角为120°的扇形，则图中阴影部分的面积为16π3【详解】解：连接OA、OE、OF，过点O作OM⊥AF于点M，如图所示：∵六边形ABCDEF为正六边形，∴OA＝OE＝OF，∠AOF=∠EOF=360°∴△OAF和△OEF为等边三角形，∠AOE＝60°+60°＝120°，∴∠OEF＝∠OAF＝60°，∵OM⊥AF，∴AM＝FM=1∴OM=4∴S△OAF=1∵∠BAF＝120°，∴∠OAG＝120°﹣60°＝60°，∴∠OAG＝∠OEH，∴∠GOA+∠AOH＝∠AOH+∠EOH＝120°，∴∠GOA＝∠EOH，∴△GOA≌△HOE，∴S△GOA＝S△HOE，∴S△GOA+S四边形AOHF＝S△HOE+S四边形AOHF，∴S五边形AGOHF＝S四边形AOEF=2S∴S阴影＝S扇形﹣S五边形AGOHF=120π×=16π答案为：16π33.（2025.河北）如图1，图2，正方形ABCD的边长为5．扇形OEF所在圆的圆心O在对角线BD上，且不与点D重合，半径OE＝2，点E，F分别在边AD，CD上，DE＝DF（DE≥2），扇形OEF的弧交线段OB于点M，记为EMF．（1）如图1，当AE＝3时，求∠EMF的度数；（2）如图2，当四边形OEMF为菱形时，求DE的长；（3）当∠EOF＝150°时，求EMF的长．【详解】解：（1）∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴AD＝BC＝5，∠ADC＝90°，∵AE＝3，∴DE＝2，∵DE＝DF，∴DE＝DF＝2．∵OE＝OF＝2，∴DE＝DF＝OE＝OF＝2，∴四边形OEDF为正方形，∴∠EOF＝90°，∴∠EMF=1（2）连接EF，交BD于点H，如图，∵四边形OEMF为菱形，∴OE＝EM＝OF＝MF＝2，EH⊥MD，∵OM＝OE＝OF＝2，∴△OEM，△OFM为等边三角形，∴∠OEM＝∠OME＝∠OMF＝∠OFM＝60°，∴EH＝2×3∵四边形ABCD为边长为5的正方形，∴BD平分∠ADC，∴∠ADB＝45°，∴