高考数学一轮复习讲义-直线平面垂直关系的判定与性质-答案

直线、平面垂直关系的判定与性质课前必备知识课标要求1.了解空间直线与直线、直线与平面垂直，平面与平面垂直的定义.2.掌握空间直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质定理，能正确运用判定与性质定理论证空间直线与平面、平面与平面垂直关系．知识梳理1．直线与平面垂直的判定(1)利用定义：如果一条直线和一个平面内的__任意一条直线__都垂直，那么该直线与这个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与平面垂直．用符号语言表示为：m⊂α，n⊂α，__m∩n＝P__，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α.2．直线与平面垂直的性质(1)由直线和平面垂直的定义知：若一条直线垂直于平面α，则这条直线垂直于平面α内的__任意一条__直线．(2)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__平行__．用符号语言表示为：a⊥α，b⊥α⇒__a∥b__．3．两平面垂直的判定(1)利用定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角为__90°__，就说这两个平面互相垂直．(2)判定定理：如果一个平面过另一个平面的__垂线__，那么这两个平面垂直．4．两平面垂直的性质两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的__交线__，那么这条直线与另一个平面__垂直__．用符号语言表示为：若α⊥β，α∩β＝a，b⊥a，b⊂β，则__b⊥α__．常用结论1．若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．2．若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．3．垂直于同一条直线的两个平面平行．4．一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．课前训练1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是()A．若l⊥m，m⊂α，则l⊥αB．若l⊥α，l∥m，则m⊥αC．若l∥α，m⊂α，则l∥mD．若l∥α，m∥α，则l∥m解析：B对于A，l⊥m，m⊂α，则l，α还可能平行或l⊂α，A错误；对于B，l⊥α，l∥m，由线面垂直的性质可得m⊥α，B正确；对于C，l∥α，m⊂α，则l∥m或l与m异面，C错误；对于D，l∥α，m∥α，l与m可能平行、相交、异面，D错误．故选B.2．(多选)下列命题正确的是()A．如果一条直线和一个平面内的两条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面B．如果一条直线和一个平面内的无数条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面C．如果一条直线和平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面D．如果一条直线和一个平面内的任意一条直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面解析：CDA中两条直线一定要是两相交直线，如果是两平行直线，结论不成立，A不正确；B中的无数条直线如果是平行直线，结论不成立，B不正确；C为直线与平面垂直的判定定理，D可由直线与平面垂直的定义得到，故选CD.3．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线AC上D．△ABC内部解析：A由AC⊥AB，AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，AB，BC1⊂平面ABC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．故选A.4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列说法，其中正确的是()A．若m∥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥βB．若m∥α，m⊥β，则α⊥βC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，n⊂β，m⊥n，则α⊥β解析：B如图，对于A，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1，平面ABCD分别为α，β，AB，BB1分别为直线m，n，显然m∥α，n⊥β，m⊥n，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，A错误；对于B，由m∥α知存在过m的平面γ与α相交，令交线为c，则c∥m，而m⊥β，于是c⊥β，又c⊂α，则α⊥β，B正确；对于C，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1，平面ABCD分别为α，β，A1B1，BC分别为直线m，n，显然m⊥n，m⊂α，n⊂β，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，C错误；对于D，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，平面A1B1C1D1，平面ABCD分别为α，β，BB1，AB分别为直线m，n，显然m⊥α，n⊂β，m⊥n，而平面A1B1C1D1∥平面ABCD，D错误．故选B.5．(教材母题必修8.6.3练习T3)如图，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，则以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形的个数为________．解析：4因为PA⊥平面ABC，AB，AC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，即△PAB，△PAC为直角三角形．又AC⊥BC，AC∩PA＝A，AC，PA⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以BC⊥PC，所以△PBC，△ABC也为直角三角形，即以此三棱锥的棱为边所构成的三角形中，直角三角形有4个．

课堂核心考点考点1线面垂直的判定与性质【例1】如图，在四棱锥P­ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，∠BAD＝90°，CD＝PD＝eq\r(2)，AB＝2PA＝4，E是PA的中点．(1)求证：DE⊥平面PAB.(2)求三棱锥E­PBC的体积．解析：(1)证明：因为PD⊥平面ABCD，AB，AD⊂平面ABCD，所以PD⊥AB，PD⊥AD.因为∠BAD＝90°，所以AB⊥AD.又因为AD∩PD＝D，AD，PD⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.因为DE⊂平面PAD，所以DE⊥AB.因为PD＝eq\r(2)，PA＝2，PD⊥AD，所以AD＝eq\r(PA2－PD2)＝eq\r(2)，所以AD＝PD，又E是PA的中点，所以DE⊥PA.又因为PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB，所以DE⊥平面PAB.(2)因为AB∥DC，AB⊂平面PAB，DC⊄平面PAB，所以DC∥平面PAB.所以点C到平面PAB的距离等于点D到平面PAB的距离．因为DE⊥平面PAB，所以D到平面PAB的距离就是线段DE的长，也就是点C到平面PAB的距离等于线段DE的长，所以点C到平面PEB的距离等于线段DE的长．因为PD＝eq\r(2)，PA＝2，PD⊥AD，AD＝eq\r(2)，E是PA的中点，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1.因为AB⊥平面PAD，PA⊂平面PAD，所以AB⊥PA.因为PA＝2，AB＝4，所以S△PAB＝eq\f(1,2)×4×2＝4.因为E是PA的中点，所以S△PEB＝eq\f(1,2)S△PAB＝2，所以VE­PBC＝VC­PEB＝eq\f(1,3)S△PEB·DE＝eq\f(1,3)×2×1＝eq\f(2,3).(1)证明线面垂直的基本方法是利用判定定理，即证明一条直线与平面内的两条相交直线垂直．(2)证明线线垂直时，要注意如下几个方面：①注意特殊几何体中的垂直关系的利用(如正方体、正棱柱、直棱柱等)．②要注意充分利用平面几何的知识，挖掘题中隐含的垂直关系，如正方形、菱形的对角线垂直；等腰三角形底边上的高、中线和顶角平分线垂直底边；直径所对的圆周角为90°等．③利用计算的方法证明垂直，如给出线段长度，计算满足勾股定理、证明角等于90°等．④利用已知垂直关系证明线线垂直，其中要特别重视直线与平面垂直的性质和两平面垂直的性质定理.变式探究1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB⊥BC，且AB＝BC＝AA1＝2，D为线段BC上的动点．(1)证明：AB1⊥A1D.(2)判断点D到平面AB1C1的距离是否为定值．若是定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由．解析：(1)证明：如图，连接A1B，A1C.因为四边形AA1B1B为正方形，所以AB1⊥A1B.又因为BC⊥AB，在直棱柱ABC­A1B1C1中，BB1⊥BC，AB∩BB1＝B，所以BC⊥平面AA1B1B.因为AB1⊂平面AA1B1B，所以BC⊥AB1.又因为A1B∩BC＝B，所以AB1⊥平面A1BC，因为A1D⊂平面A1BC，所以AB1⊥A1D.(2)点D到平面ABC的距离为定值．因为BC∥B1C1，B1C1⊂平面AB1C1，所以BC∥平面AB1C1，所以点D到平面AB1C1的距离即为BC到平面AB1C1的距离，可转化为点B到平面AB1C1的距离．记A1B∩AB1＝E，则BE⊥AB1.又BC⊥平面AA1B1B，BE⊂平面AA1B1B，所以BC⊥BE.因为BC∥B1C1，所以B1C1⊥BE，因为AB1∩B1C1＝B1，所以BE⊥平面AB1C1，所以BE为点D到平面AB1C1的距离．在等腰Rt△ABB1中，因为AB＝BB1＝2，所以AB1＝2eq\r(2)，所以BE＝eq\f(1,2)AB1＝eq\r(2).所以D到平面AB1C1的距离为定值，且定值为eq\r(2).考点2面面垂直的判定与性质【例2】如图，已知三棱锥P­ABC，PA⊥平面ABC，△PAC是以PC为斜边的等腰直角三角形，△ABC是以AC为斜边的直角三角形，F为PC上一点，E为PB上一点，且AE⊥PB.(1)现给出两个条件：①EF⊥PC；②F为PC的中点．从中任意选一个条件为已知条件，求证：平面PBC⊥平面AEF.(2)若PC⊥平面AEF，直线AC与平面AEF所成角和直线AC与平面PAB所成角相等，且PA＝2，求三棱锥P­ABC的体积．解析：(1)选①EF⊥PC.证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又EF⊥PC，EF∩AE＝E，EF，AE⊂平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面AEF.选②F为PC的中点．证明：因为PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC.又BC⊥AB，AB∩PA＝A，AB，PA⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.又AE⊂平面PAB，所以BC⊥AE.又AE⊥PB，PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC，所以AE⊥平面PBC.又PC⊂平面PBC，所以AE⊥PC.又F为等腰直角三角形PAC斜边PC的中点，则AF⊥PC，AF∩AE＝E，AF，AE⊂平面AEF，所以PC⊥平面AEF.又PC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面AEF.(2)由PC⊥平面AEF，BC⊥平面PAB可知，∠CAF与∠CAB分别为AC与平面AEF及AC与平面PAB所成角，所以∠CAF＝∠CAB.又sin∠CAF＝eq\f(CF,AC)，sin∠CAB＝eq\f(CB,CA)，PA＝AC＝2，所以CB＝CF＝eq\r(2)，求得AB＝eq\r(2)，所以VP­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(2,3).(1)证明两平面垂直的基本方法是利用平面与平面垂直的判定定理，即证其中一个平面经过另一个平面的垂线．(2)证明线线垂直时，要充分利用平面几何中的垂直关系及利用计算进行证明的方法，同时要注意线面垂直、面面垂直的性质的应用．(3)空间垂直关系之间的转化是立体几何中证明垂直关系的常用思路，三种垂直关系的转化可结合下面的框图进行记忆．eq\x(线线垂直)eq\o(⥬,\s\up20(判定),\s\do20(性质))eq\x(线面垂直)eq\o(⥬,\s\up20(判定),\s\do20(性质))eq\x(面面垂直)变式探究2．(2025·四川成都期末)如图，四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2eq\r(2)，平面ABCD⊥平面PAC.(1)证明：PC⊥AB.(2)若PA＝PC＝eq\f(\r(5),2)AC，M是PA的中点，求三棱锥C­PBM的体积．解析：(1)证明：在四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，BC⊥CD，BC＝2CD＝2AD＝2eq\r(2)，四边形ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AC＝eq\r(CD2＋AD2)＝2，AB＝eq\r(CD2＋（BC－AD）2)＝2，于是AC2＋AB2＝8＝BC2，即AB⊥AC.又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAC.又PC⊂平面PAC，所以PC⊥AB.(2)如图，取AC的中点E，连接PE.因为PA＝PC＝eq\f(\r(5),2)AC＝eq\r(5)，所以PE⊥AC，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝2.又平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC＝AC，PE⊂平面PAC，所以PE⊥平面ABCD.由M是PA的中点，得点M到平面ABCD的距离d＝eq\f(1,2)PE＝1.又S△ABC＝eq\f(1,2)AB·AC＝2，显然S△PBM＝S△ABM，所以三棱锥C­PBM的体积VC­PBM＝VC­ABM＝VM­ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·d＝eq\f(2,3).考点3线面垂直、面面垂直的综合应用【例3】如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是边长为a的菱形，其中∠DAB＝60°.侧面△PAD为正三角形，且其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求证：AD⊥PB.(2)若E为BC边的中点，则在棱PC上是否存在点F，使得平面DEF⊥平面ABCD？若存在，请指出并证明；若不存在，请说明理由．解析：(1)证明：设G为AD的中点，连接PG，BG，DB，如图．因为△PAD为正三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，所以△ABD为正三角形，又G为AD的中点，所以BG⊥AD.又BG∩PG＝G，BG，PG⊂平面PGB，所以AD⊥平面PGB.因为PB⊂平面PGB，所以AD⊥PB.(2)当F为PC的中点时，使得平面DEF⊥平面ABCD.证明如下：在△PBC中，因为E，F分别为BC，PC的中点，所以EF∥PB.又EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，所以PB∥平面DEF.同理，易证GB∥平面DEF.又PB⊂平面PGB，GB⊂平面PGB，PB∩GB＝B，所以平面DEF∥平面PGB.由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，所以平面PGB⊥平面ABCD，所以平面DEF⊥平面ABCD.与探索性问题有关的解题策略(1)求条件探索性问题的主要途径：①先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；②先通过