椭圆及其标准方程讲义（学生版）

1．用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤(1)定位置：根据条件判断椭圆的焦点是在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．(2)设方程：根据上述判断设方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq\f(x2,b2)＋eq\f(y2,a2)＝1(a＞b＞0)或整式形式mx2＋ny2＝1(m＞0，n＞0，m≠n)．(3)找关系：根据已知条件建立关于a，b，c(或m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，写出标准形式即为所求．2．椭圆定义在焦点三角形中的应用技巧(1)椭圆的定义具有双向作用，即若|MF1|＋|MF2|＝2a(2a＞|F1F2|)，则点M的轨迹是椭圆；反之，椭圆上任意一点M到两焦点的距离之和必为2a.(2)涉及焦点三角形面积时，可把|PF1|，|PF2|看作一个整体，运用|PF1|2＋|PF2|2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1|·|PF2|及余弦定理求出|PF1|·|PF2|，而无需单独求解3．与椭圆有关的轨迹方程的求法常用方法有：直接法、定义法和代入法。4．对定义法求轨迹方程的认识如果能确定动点运动的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可以利用这种已知曲线的定义直接写出其方程，这种求轨迹方程的方法称为定义法．定义法在我们后续要学习的圆锥曲线的问题中被广泛使用，是一种重要的解题方法．5．代入法(相关点法)若所求轨迹上的动点P(x，y)与另一个已知曲线C：F(x，y)＝0上的动点Q(x1，y1)存在着某种联系，可以把点Q的坐标用点P的坐标表示出来，然后代入已知曲线C的方程F(x，y)＝0，化简即得所求轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做代入法(又称相关点法)．知识点1椭圆的标准方程【题1】求满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上一点P与两焦点的距离的和等于10；(2)焦点坐标分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3eq\r(2))；(3)经过两点(2，－eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(14),2))).知识点二椭圆中的焦点三角形【题2】已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1中，点P是椭圆上一点，F1，F2是椭圆的焦点，且∠PF1F2＝120°，则△PF1F2的面积为________．知识点三与椭圆有关的轨迹问题【题3】如图所示，圆C：(x＋1)2＋y2＝25及点A(1,0)，Q为圆上一点，AQ的垂直平分线交CQ于点M，求点M的轨迹方程．考点数学运算求椭圆的方程【题4】求与椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1有相同焦点，且过点(3，eq\r(15))的椭圆的标准方程．一、选择题A．4 B．5 C．7 D．83．椭圆的焦距为8，且椭圆上一点到两焦点的距离为10，则该椭圆的标准方程是（）4．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为()A．6 B．5 C．4 D．35．△ABC的两个顶点坐标A（4，0），B（4，0），它的周长是18，则顶点C的轨迹方程是（）二、填空题解答题12.设F1，F2分别是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，设椭圆C上一点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(\r(3),2)))到两焦点F1，F2的