初中数学华东师大版九年级上册223实践与探索举一反三（原卷版）

22.3实践与探索xixix

快速定位题型题型目录TOC\o"13"\h\z\u【题型1】循环比赛、传播问题 3【题型2】增长率、销售问题 4【题型3】几何问题 5【题型4】数字问题 6xixxix

夯实必备知识新知梳理【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程．1.（2025春•肥东县校级期末）在一幅长80cm,宽50cm的矩形风景图的四周镶一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，若使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm,则x满足的方程式（）A．（50+x）（80+x）=5400B．（50+2x）（80+x）=5400C．（50+2x）（80+2x）=5400D．（502x）（802x）=5400【知识点2】一元二次方程的应用1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答．2、列一元二次方程解应用题中常见问题：（1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a．（2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即原数×（1+增长百分率）2=后来数．（3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程．（4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解．【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀”1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系．2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数．3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程．4．解：准确求出方程的解．5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题．6．答：写出答案．1.（2024秋•源汇区校级月考）一次会议上，每两个参加会议的人都相互握了一次手，经统计所有人一共握了66次手，则这次会议到会的人数是（）A．11B．12C．22D．33【知识点3】高次方程（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为高次方程．（2）高次方程的解法思想：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．1.（2024春•新乡期末）下列式子中，是二元一次方程的是（）A．2xy=5B．x+y＜1C．2x+y=3D．x+1y【知识点4】无理方程（1）定义：方程中含有根式，且开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程．（2）有理方程和根式方程（无理方程）合称为代数方程．______（3）解无理方程关键是要去掉根号，将其转化为整式方程．______解无理方程的基本思想是把无理方程转化为有理方程来解，在变形时要注意根据方程的结构特征选择解题方法．常用的方法有：乘方法，配方法，因式分解法，设辅助元素法，利用比例性质法等．______（4）注意：用乘方法（即将方程两边各自乘同次方来消去方程中的根号）来解无理方程，往往会产生增根，应注意验根．1.（2024春•莱西市期中）下列方程中有实数根的是（）A．x2x1=0B．xC．x+3=0D．x2+2=0【题型1】循环比赛、传播问题【典型例题】有一人患了流感，经过两轮传染后，共有121人患了流感，每轮传染中平均每人传染了x个人，下列结论错误的是（）A.1轮后有（x+1）个人患了流感B.第2轮又增加（x+1）•x个人患流感C.依题意可得方程（x+1）2＝121D.不考虑其他因素经过三轮一共会有1210人感染【举一反三1】2020年农历春节期间，“新型冠状病毒肺炎”疫情在神州大地暴发，为提高人们对疫情的认识，小要同学搜集整理了有关新型冠状病得和预防措施的一些资料，准备用微博的方式传播出去、他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有91个人参与了宣传活动，则n的值为（）A.8B.9C.10D.19【举一反三2】一个容器盛满纯药液30升，第一次倒出若干升，用水加满；第二次倒出同样的体积，这时容器中剩下的纯药液是升，则每次倒出药液（）A.10升B.20升C.20升或10升D.以上答案都不对【举一反三3】开始有2人患了流感，经过两轮传染后，共有72人患了流感，每轮传染中平均每人传染了

个人．【举一反三4】某校九年级兴趣班的同学们，毕业前每位同学向其他同学各赠送一张不同贺卡，全班共互赠了132张，那么兴趣班有多少位学生？【举一反三5】某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有2人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有50人感染发病．（1）每位发病者平均每天传染多少人？（2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过200人吗？【题型2】增长率、销售问题【典型例题】华为某型号手机经过2次降价后的价格是2次降价前价格的，则每次降价的百分比是（）A.10%B.15%C.20%D.25%【举一反三1】超市经销一种水果，每千克盈利10元，每天销售500千克，经市场调查，若每千克涨价1元，则日销售量减少20千克，如果超市要保证每天盈利6000元，则每千克应该涨价（）A.15元或20元B.10元或15元C.10元或20元D.5元或10元【举一反三2】某果园2021年水果产量为100吨，2023年水果产量为169吨，则该果园水果产量的年平均增长率为

．【举一反三3】某超市准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为每个50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个，设每个定价增加x元，（1）写出售出一个可获得的利润是多少元？（用含x的代数式表示）（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？【举一反三4】某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为80元，销售价为120元时，每天可售出20件，为了迎接“五一”国际劳动节，商店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，尽快减少库存，增加利润．经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均可多售出2件．（1）为了扩大销售量，尽快减少库存，每件童装降价多少元时，平均每天盈利1200元；（2）平均每天盈利1300元，可能吗？请说明理由．【题型3】几何问题【典型例题】如图，将一张正方形铁皮的四个角同时切去边长为2的四个小正方形，制成一个无盖箱子，若箱子的底面边长为x，原正方形铁皮的面积为x2+24x，则无盖箱子的外表面积为（）A.1B.4C.6D.9【举一反三1】如图，在Rt△MNC中，∠C＝90°，MC＝6cm，NC＝8cm，P，Q分别是MC，NC上的动点，若点P，Q同时从M，N两点出发分别沿MC，NC方向向点C匀速运动，它们的速度都是1cm/s，则经过（）秒后，△PQC的面积为Rt△MCN面积的一半．A.2B.3C.4D.5【举一反三2】用一条长为40cm的绳子围成一个矩形，下列围成的图形面积一定不可能的是（）A.64B.96C.100D.101【举一反三3】一个直角三角形的斜边长是2cm，两条直角边长的和是6cm，则这个直角三角形的面积为

．【举一反三4】小明决定自己设计一个画轴，如图，画轴长为20cm，宽10cm，正中央是一个与整个画轴长、宽比例相同的矩形．如果四周边衬所占的面积是整个画轴面积的，且上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，求左、右边衬的宽．【举一反三5】如图，在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒，有一点到终点运动即停止．问：是否存在这样的时刻，使S△DPQ＝28cm2？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【题型4】数字问题【典型例题】若两个连续整数的积为56，则这两个连续整数的和为（）A.15B.﹣15C.±15D.﹣1【举一反三1】两个连续奇数的乘积为483，则这两个奇数分别为（）A.19和21B.21和23C.20和22D.23和25【举一反三2】有一个三位数，其个位、十位、百位的数字是三个连续整数，并且个位数字与百位数字的平方和是十位数字的5倍．则这个三位数是（）A.321B.123C.321或123D.±123或±321【举一反三3】一次数学测试，满分为100分，测试分数出来后，同桌的李华和吴珊同学把她俩的分数进行计算，并有如图所示的一段对话，那么对于下面的两个结论：①两个人的说法都是正确的；②至少有一个人错了，其中正确的是

.（用序号①、②填写）【举一反三4】已知一个两位数，十位上的数字与个位上的数字之和为7，且十位数字与个位数字的平方和为49，则这两位数字的个位数字为

．【举一反三5】第十四届国际数学教育大会（ICME﹣﹣14）在上海召开，本次会徽的主题图案有着丰