2025年下学期高二数学沟通表达能力试题（二）

2025年下学期高二数学沟通表达能力试题（二）一、解答题（共6题，每题15分，共90分）1.概率模型的辨析与应用某商场为提升顾客体验，设计了两种抽奖方案：方案A：在一个不透明的盒子中放入10个除颜色外完全相同的球，其中红球3个、白球7个。顾客随机摸出2个球，若均为红球则中奖。方案B：在一个半径为1米的圆形区域内随机投掷一枚飞镖，若飞镖落在圆心为原点、半径为0.5米的同心圆内则中奖。（1）分别判断两种方案是否属于古典概型或几何概型，并说明理由；（2）计算两种方案的中奖概率，比较哪个方案中奖可能性更大；（3）若你是商场经理，需向顾客解释抽奖规则的公平性，请用简洁的语言说明选择哪种方案更合适，并从概率角度给出两条理由。2.函数性质的逻辑推理已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x^2-ax+\lnx$（$a$为常数，$x>0$）。（1）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$的值，并证明此时函数$f(x)$存在唯一极小值点；（2）请用数学语言描述函数$f(x)$的单调性与参数$a$的关系，要求：①分情况讨论；②结合导数的符号说明理由；③用数轴表示不同区间内的单调性。3.立体几何的直观描述与证明如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AB=AC=AA_1=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$D$为$BC$中点，$E$为$A_1C_1$中点。（1）请用文字描述四棱锥$A-B_1C_1CB$的结构特征（需说明底面形状、侧棱与底面的位置关系、高的长度等）；（2）证明：$DE\parallel$平面$A_1ABB_1$；（3）若用一个平面截该三棱柱，使得截面为菱形，请写出至少两种不同的截法，并说明理由（可结合图形辅助说明）。4.数列的实际应用与建模某公司为扩大生产，计划通过以下两种方式积累资金：方式一：第1年年初存入100万元，以后每年年初比上一年多存入20万元，共存5年；方式二：第1年年初存入50万元，以后每年年初将上一年的本利和（按年利率5%复利计算）再增加50万元投入，共存5年。（1）分别写出两种方式下第$n$年（$1\leqn\leq5$）年初的投入金额$a_n$和$b_n$的表达式（无需计算具体数值）；（2）计算5年后两种方式的总投入金额（精确到0.1万元），并比较哪种方式更优；（3）若公司希望通过方式二在5年后获得至少350万元资金，年利率需调整为多少（精确到0.1%）？请写出你的计算思路，并向非数学专业的公司管理层解释结果的含义。5.解析几何的综合探究已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程，并说明如何通过代数运算验证点$(2,1)$在椭圆上；（2）设直线$l$：$y=kx+m$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点（$A$，$B$不是顶点），且以$AB$为直径的圆过椭圆的右顶点$D(2,0)$。①证明：直线$l$过定点，并求出该定点坐标；②请用几何语言描述直线$l$与椭圆$C$的位置关系随$k$变化的规律，要求结合图形特征说明。6.统计案例的分析与表达为研究“学生每周数学学习时间”与“数学周测成绩”的关系，某学校随机抽取50名高二学生进行调查，得到如下数据：每周学习时间（小时）[5,10)[10,15)[15,20)[20,25]人数1020155平均成绩（分）65758590（1）绘制“每周学习时间—平均成绩”的散点图（用文字描述图形特征，如趋势、集中度等）；（2）若用线性回归模型拟合两者关系，设$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$，其中$x$为每周学习时间（小时），$y$为平均成绩（分）。已知$\bar{x}=14$，$\bar{y}=76$，$\sum(x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=500$，$\sum(x_i-\bar{x})^2=100$，求$\hat{b}$和$\hat{a}$的值，并解释$\hat{b}$的实际意义；（3）有同学认为“学习时间越长，成绩一定越好”，请结合统计知识和生活实际，用300字左右的短文反驳这一观点，要求：①引用数据说明；②指出模型的局限性；③提出合理的学习建议。二、开放探究题（共1题，30分）7.数学思想方法的迁移应用“数形结合”是解决数学问题的重要思想方法。请结合高二数学知识，完成以下任务：（1）举例说明“以形助数”在函数、不等式或方程中的应用（需写出具体问题、图形分析过程及结论）；（2）举例说明“以数解形”在解析几何或立体几何中的应用（需写出具体问题、代数运算过程及结论）；（3）撰写一段200字左右的总结，说明“数形结合”思想的核心内涵，并结合自身学习经历谈谈如何在数学解题中灵活运用这一思想。三、跨学科实践题（共1题，30分）8.数学建模与方案设计某社区计划修建一个矩形休闲广场，要求广场面积不小于400平方米，且四周留出宽度为1米的绿化带。设广场的长为$x$米，宽为$y$米（$x\geqy>0$）。（1）写出广场与绿化带总面积$S$关于$x$，$y$的函数关系式，并求$S$的最小值（结果用含$x$或$y$的代数式表示）；（2）若社区预算为2万元，每平方米地面硬化费用为50元，绿化带每平方米种植费用为20元，求广场面积的最大值（精确到1平方米）；（3）请以“休闲广场的最优设计方案”为题，向社区居民说明你的设计思路，要求：①用数学公式表示关键量之间的关系；②结合计算结果说明方案的合理性；③考虑居民的实际需求（如活动空间、绿化效果等）。四、评分