2025年下学期高二数学科技创新背景试题（二）

2025年下学期高二数学科技创新背景试题（二）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）量子通信加密：量子密钥分发中，光子偏振态的概率分布服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$。若某次通信中光子偏振角$\theta$的测量误差$X$满足$X\simN(0,0.01)$，则$P(|X|<0.2)$的值最接近（）（参考数据：$\Phi(2)=0.9772$，$\Phi(1)=0.8413$）A.0.9544B.0.8641C.0.9772D.0.6826自动驾驶路径规划：某无人车在平面直角坐标系中沿抛物线$y=x^2-2x+3$行驶，其传感器检测到前方障碍物位于直线$y=kx+1$上。若无人车需确保与障碍物始终有交点，则$k$的取值范围是（）A.$(-\infty,-2]\cup[2,+\infty)$B.$(-\infty,-1]\cup[1,+\infty)$C.$[-2,2]$D.$[-1,1]$AI图像识别：某算法对图像特征点的提取服从参数为$\lambda=2$的泊松分布$P(\lambda)$，则在1秒内恰好提取3个特征点的概率为（）A.$\frac{4}{3e^2}$B.$\frac{8}{3e^2}$C.$\frac{2}{3e^2}$D.$\frac{1}{3e^2}$航天轨道计算：卫星绕地球运行的轨道可近似为椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$，其近地点与远地点的距离差为$2c$，若$a+c=40000km$，$a-c=20000km$，则椭圆的离心率$e$为（）A.$\frac{1}{3}$B.$\frac{1}{2}$C.$\frac{2}{3}$D.$\frac{3}{4}$新能源电池容量：某锂电池的剩余电量$y$（单位：%）与使用时间$t$（单位：小时）满足函数关系$y=100-kt^2$，若$t=2$时$y=84$，则当$t=5$时，电量衰减速率$\frac{dy}{dt}$为（）A.-10%/hB.-15%/hC.-20%/hD.-25%/h区块链数据校验：某哈希函数将输入值$x$映射为$h(x)=x^3+ax^2+bx+c$，已知$h(1)=0$，$h'(1)=0$，$h''(1)=6$，则$c$的值为（）A.-1B.0C.1D.2元宇宙虚拟空间：在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，点$P$为面$A_1B_1C_1D_1$上的动点，且到直线$AC$的距离为$\sqrt{3}$，则点$P$的轨迹长度为（）A.$\pi$B.$2\pi$C.$\sqrt{2}\pi$D.$2\sqrt{2}\pi$量子计算机纠错码：某纠错码的校验矩阵为$H=\begin{pmatrix}1&0&1&1\0&1&1&0\end{pmatrix}$，则码字$x=(1,0,1,0)$的伴随式$Hx^T$为（）A.$(0,0)^T$B.$(1,0)^T$C.$(0,1)^T$D.$(1,1)^T$二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）智能工厂机器人调度：某车间有3台机器人独立工作，每台机器人故障概率为0.1，则至少有2台正常工作的概率为________。5G信号覆盖：某基站的信号强度$S$（单位：dBm）与距离$d$（单位：km）的关系为$S=50-20\log_2d$，若某用户接收到的信号强度为30dBm，则其与基站的距离为________km。基因序列比对：两条DNA序列的相似度$S$计算公式为$S=\frac{2N_{AB}}{N_A+N_B}$，其中$N_A$、$N_B$为序列长度，$N_{AB}$为匹配碱基对数。若$N_A=100$，$N_B=120$，$S=0.8$，则$N_{AB}=$________。脑机接口信号解码：某神经元放电频率$f$（单位：Hz）与刺激强度$I$（单位：mA）满足$f(I)=\arctan(I)+1$，则当$I=1mA$时，频率对强度的敏感度$\frac{df}{dI}=$________Hz/mA。三、解答题（本大题共6小题，共90分）13.（本小题满分14分）AI医疗影像诊断某医院使用AI系统检测肺癌，其准确率如下：对肺癌患者的检出率为90%（真阳性率），对健康人的排除率为95%（真阴性率）。已知该地区肺癌发病率为0.1%。（1）若某人被AI系统诊断为阳性，求其实际患肺癌的概率；（2）为提高诊断精度，对阳性者进行二次检测，求两次均为阳性的概率（假设两次检测独立）。14.（本小题满分15分）自动驾驶路径优化无人车在平面直角坐标系中从点$A(0,0)$出发，沿曲线$y=x^3-3x^2+2x$行驶至点$B(3,0)$，途中需避开区域$D$：$(x-1)^2+(y+1)^2\leq1$。（1）求曲线在点$A$处的切线方程；（2）判断曲线是否经过区域$D$的内部，并说明理由。15.（本小题满分15分）新能源汽车能耗模型某电动车的能耗$E$（单位：kWh）与速度$v$（单位：km/h）的关系为$E(v)=\frac{v^3}{1000}+\frac{500}{v}(v>0)$。（1）求能耗最低时的速度$v_0$；（2）若行驶距离为100km，求以速度$v_0$行驶时的总能耗。16.（本小题满分16分）量子通信信道容量某量子信道的信息传输速率$R$（单位：bit/s）与信噪比$S/N$的关系为$R=\log_2(1+\frac{S}{N})$。已知$S=10^x$，$N=10^{-x}$，其中$x$为可调参数。（1）将$R$表示为$x$的函数并求定义域；（2）求$R(x)$的最大值及对应的$x$值。17.（本小题满分16分）航天探测器轨道设计探测器绕火星运行的轨道为椭圆，近火点$P$与远火点$Q$的距离分别为$a-c=300km$和$a+c=900km$（$a$为半长轴，$c$为半焦距）。（1）求椭圆的标准方程（以$PQ$为$x$轴，中点为原点）；（2）探测器在近火点的速度为$v_P=5km/s$，根据开普勒第二定律，求远火点速度$v_Q$（提示：行星与恒星的连线在相等时间内扫过相等面积）。18.（本小题满分20分）元宇宙三维建模在空间直角坐标系中，曲面$S$由方程$x^2+y^2+z^2-2x-4y+2z=0$确定，点$A(2,0,0)$为虚拟角色的初始位置。（1）判断曲面$S$的类型并求其球心与半径；（2）求点$A$到曲面$S$的最短距离；（3）若角色沿方向向量$\vec{n}=(1,1,1)$移动，求其与曲面$S$的第一个交点坐标。参考答案及评分标准（部分）一、选择题A2.A3.B4.A5.C6.C7.B8.D二、填空题0.97210.211.8812.$\frac{1}{2}$三、解答题（部分提示）13.（1）利用贝叶斯公式：$P(\text{患病}|\text{阳性})=\frac{0.1%\times90%}{0.1%\times90%+99.9%\times5%}\approx1.77%$；（2）$P(\text{两次阳性})=P(\text{患病})\times(90%)^2+P(\text{健康})\times(5%)^2\approx0.081%+0.24975%\approx0.33%$。14.（1）$y'=3x^2-6x+2$，$y'(0)=2$，切线方程为$y=2x$；（2）令$f(x)=x^3-3x^2+2x$，区域$D$的圆心为$(1,-1)$，半径1。计算$f(1)=0$，则点$(1,0)$到圆心距离为$\sqrt{(1-1)^2+(0+1)^2}=1$，恰在边界上，故曲线不经过内部。15.（1）$E'(v)=\frac{3v^2}{1000}-\frac{500}{v^2}$，令$E'(v)=0$得$v_0=10\sqrt[4]{\frac{5000}{3}}\approx21.54km/h$；（2）总能耗$E_{\text{总}}=100\timesE(v_0)\approx100\times(0.1+23.1)\approx2320kWh$。16.（1）$R(x)=\log_2(1+10^{2x})$，定义域$x\in\mathbb{R}$；（2）当$x\to+\infty$时，$R(x)\to+\infty$，无最大值（注：实际通信中信噪比存在上限，此处按数学模型作答）。17.（1）$a=600km$，$c=300km$，$b^2=a^2-c^2=270000$，方程为$\frac{x^2}{360000}+\frac{y^2}{270000}=1$；（2）由开普勒第二定律：$v_P(a-c)=v_Q(a+c)$，解得$v_Q=\frac{5\times300}{900}=\frac{5}{3}km/s$。18.（1）配方得$(x-1)^2+(y-2)^2+(z+1)^2=6$，球心$(1,2,-1)$，半径$\sqrt{6}$；（2）$|AC|=\sqrt{(2-1)^2+(0-2)^2+(0+1)^2}=\sqrt{6}$，最短距离为$|AC|-\sqrt{6}=0$