2025年下学期高二数学每日一练（Day9）

2025年下学期高二数学每日一练（Day9）一、单项选择题（每题5分，共60分）函数$f(x)=x^3-3x^2+2x$在区间$[0,2]$上的最大值为（）A.0B.2C.$\frac{2\sqrt{3}}{9}$D.$\frac{4}{27}$曲线$y=e^x-2x$在点$(0,1)$处的切线方程为（）A.$y=-x+1$B.$y=x+1$C.$y=-2x+1$D.$y=2x+1$已知函数$f(x)=\lnx-ax$在区间$(1,e)$上单调递增，则实数$a$的取值范围是（）A.$(-\infty,1]$B.$(-\infty,\frac{1}{e}]$C.$[1,+\infty)$D.$[\frac{1}{e},+\infty)$若函数$f(x)=x^3+bx^2+cx+d$的图像过点$(0,2)$，且在$x=-1$处的切线方程为$y=3x+1$，则$b+c+d$的值为（）A.4B.5C.6D.7如图所示，在正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，棱长为2，$E$为$BC$的中点，则三棱锥$A_1-B_1ED$的体积为（）A.$\frac{2}{3}$B.$\frac{4}{3}$C.2D.$\frac{8}{3}$已知直线$l$与平面$\alpha$所成角为$30^\circ$，直线$m\subset\alpha$，则直线$l$与$m$所成角的取值范围是（）A.$[0^\circ,60^\circ]$B.$[30^\circ,90^\circ]$C.$[60^\circ,90^\circ]$D.$[30^\circ,60^\circ]$在空间直角坐标系中，已知点$A(1,0,2)$，$B(2,1,-1)$，则向量$\overrightarrow{AB}$与平面$yOz$所成角的正弦值为（）A.$\frac{\sqrt{6}}{6}$B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$D.$\frac{\sqrt{6}}{3}$一个正三棱柱的侧棱长为4，底面边长为2，则其外接球的表面积为（）A.$\frac{28\pi}{3}$B.$\frac{40\pi}{3}$C.$16\pi$D.$20\pi$在区间$[0,2]$上随机取两个数$x,y$，则事件"$x+y\leq1$"发生的概率为（）A.$\frac{1}{8}$B.$\frac{1}{4}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{3}{4}$某射击运动员每次射击命中10环的概率为0.8，现连续射击5次，则恰有3次命中10环的概率为（）A.$C_5^3\times0.8^3\times0.2^2$B.$C_5^3\times0.8^2\times0.2^3$C.$0.8^3\times0.2^2$D.$0.8^2\times0.2^3$已知随机变量$X$服从正态分布$N(3,\sigma^2)$，且$P(X\leq5)=0.8$，则$P(1<X<3)$等于（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取100名学生进行调查，得到如下列联表：数学优秀数学不优秀总计男生203050女生104050总计3070100根据列联表计算的$\chi^2$值约为（）A.1.79B.2.06C.2.71D.3.84二、填空题（每题5分，共20分）函数$f(x)=x^2e^x$的极小值为______。曲线$y=x^3-3x$与直线$y=6x$所围成图形的面积为______。在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的半径为______。甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为$a$，再由乙猜甲刚才所想的数字，记为$b$，其中$a,b\in{1,2,3,4,5}$，若$|a-b|\leq1$，则称甲、乙"心有灵犀"。现任意找两人玩这个游戏，则他们"心有灵犀"的概率为______。三、解答题（共70分）（12分）已知函数$f(x)=x^3-3ax^2+3x+1$。（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在区间$(2,3)$上单调递增，求实数$a$的取值范围。（12分）已知函数$f(x)=\lnx+\frac{1}{2}x^2-ax(a\in\mathbb{R})$。（1）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极值，求$a$的值；（2）在（1）的条件下，求函数$f(x)$在$[1,e]$上的最大值和最小值。（14分）如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=4$，$E$是$PD$的中点。（1）求证：$AE\parallel$平面$PBC$；（2）求直线$AE$与平面$PCD$所成角的正弦值；（3）求二面角$A-PC-D$的余弦值。（12分）如图，在直三棱柱$ABC-A_1B_1C_1$中，$AC=BC=AA_1=2$，$\angleACB=90^\circ$，$D$是$A_1B_1$的中点。（1）求证：$C_1D\perp$平面$A_1B_1BA$；（2）求点$B$到平面$AC_1D$的距离。（10分）某商场为促销举行抽奖活动，规则如下：在一个不透明的盒子中装有大小相同的红球5个，白球10个，黄球15个。顾客每次从盒中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸三次。若三次摸出的球颜色都相同，则获得一等奖；若三次摸出的球颜色都不同，则获得二等奖；其他情况不获奖。（1）求顾客获得一等奖的概率；（2）求顾客获奖的概率。（10分）某校高二年级共有1000名学生，其中男生600人，女生400人。为了解学生的身高情况，现按性别分层抽样抽取100名学生进行测量，得到如下数据：身高（cm）[150,160)[160,170)[170,180)[180,190]男生（人）530205女生（人）152041（1）估计该校高二年级学生身高在[170,180)的人数；（2）估计该校高二年级学生的平均身高（同一组数据用该区间的中点值作代表）。参考答案与解析一、单项选择题A解析：$f'(x)=3x^2-6x+2$，令$f'(x)=0$得$x=1\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$。计算$f(0)=0$，$f(2)=0$，$f(1-\frac{\sqrt{3}}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{9}$，$f(1+\frac{\sqrt{3}}{3})=-\frac{2\sqrt{3}}{9}$，最大值为0。A解析：$y'=e^x-2$，在$x=0$处的导数值为$1-2=-1$，切线方程为$y-1=-1(x-0)$，即$y=-x+1$。B解析：$f'(x)=\frac{1}{x}-a\geq0$在$(1,e)$上恒成立，即$a\leq\frac{1}{x}$，而$\frac{1}{x}\in(\frac{1}{e},1)$，故$a\leq\frac{1}{e}$。C解析：由$f(0)=2$得$d=2$；$f'(-1)=3(-1)^2+2b(-1)+c=3$，且$f(-1)=(-1)^3+b(-1)^2+c(-1)+2=-3+1=-2$，解得$b=0$，$c=0$，故$b+c+d=6$。B解析：以$D$为原点建立空间直角坐标系，$A_1(2,0,2)$，$B_1(2,2,2)$，$E(1,2,0)$，$D(0,0,0)$。$\overrightarrow{DA_1}=(2,0,2)$，$\overrightarrow{DB_1}=(2,2,2)$，$\overrightarrow{DE}=(1,2,0)$，体积$V=\frac{1}{6}|\overrightarrow{DA_1}\cdot(\overrightarrow{DB_1}\times\overrightarrow{DE})|=\frac{4}{3}$。B解析：直线与平面所成角是直线与平面内所有直线所成角中的最小角，故最小值为$30^\circ$，最大值为$90^\circ$。A解析：$\overrightarrow{AB}=(1,1,-3)$，平面$yOz$的法向量为$\overrightarrow{n}=(1,0,0)$，$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AB},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{1}{\sqrt{1+1+9}}=\frac{\sqrt{6}}{6}$。B解析：底面外接圆半径$r=\frac{2}{\sqrt{3}}$，球心到底面距离$d=2$，外接球半径$R=\sqrt{r^2+d^2}=\sqrt{\frac{4}{3}+4}=\sqrt{\frac{16}{3}}$，表面积$S=4\piR^2=\frac{40\pi}{3}$。B解析：几何概型，区域面积比为$\frac{1}{2}\times1\times1\div(2\times2)=\frac{1}{4}$。A解析：独立重复试验，概率为$C_5^3\times0.8^3\times(1-0.8)^2$。B解析：正态分布对称性，$P(X>5)=0.2$，$P(X<1)=0.2$，$P(1<X<3)=\frac{1-2\times0.2}{2}=0.3$。C解析：$\chi^2=\frac{100\times(20\times40-30\times10)^2}{50\times50\times30\times70}\approx2.71$。二、填空题0解析：$f'(x)=x(x+2)e^x$，当$x=0$时取得极小值$f(0)=0$。27解析：联立方程得交点$(-3,-18)$，$(0,0)$，$(3,18)$，面积$S=2\int_0^3[6x-(x^3-3x)]dx=2\int_0^3(9x-x^3)dx=27$。$\frac{\sqrt{14}}{2}$解析：补形为长方体，长、宽、高分别为2,2,3，外接球半径$R=\frac{\sqrt{2^2+2^2+3^2}}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$。$\frac{13}{25}$解析：总情况$5\times5=25$，满足条件的有：$a=1$时$b=1,2$；$a=5$时$b=4,5$；其余$a$对应3个$b$，共$2+3\times3+2=13$种，概率为$\frac{13}{25}$。三、解答题（1）$a=1$时，$f'(x)=3x^2-6x+3=3(x-1)^2\geq0$，故$f(x)$在$(-\infty,+\infty)$上单调递增；（2）$f'(x)=3x^2-6ax+3\geq0$在$(2,3)$恒成立，即$a\leq\frac{x^2+1}{2x}=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，令$g(x)=\frac{x}{2}+\frac{1}{2x}$，在$(2,3)$递增，$g(x)>\frac{5}{4}$，故$a\leq\frac{5}{4}$。（1）$f'(x)=\frac{1}{x}+x-a$，$f'(1)=1+1-a=0$，得$a=2$；（2）$f'(x)=\frac{(x-1)^2}{x}\geq0$，$f(x)$在$[1,e]$递增，最大值$f(e)=1+\frac{e^2}{2}-2e$，最小值$f(1)=-\frac{3}{2}$。（1）取$PC$中点$F$，四边形$AEFB$为平行四边形，$AE\parallelBF$，又$BF\subset$平面$PBC$，故$AE\parallel$平面$PBC$；（2）以$A$为原点建系，$A(0,0,0)$，$E(0,1,1)$，平面$PCD$法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,1)$，$\sin\theta=|\cos\langle\overrightarrow{AE},\overrightarrow{n}\rangle|=\frac{2}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}}=1$；（3）平面$APC$法向量$\overrightarrow{m}=(0,1,0)$，平面$PCD$法向量$\overrightarrow{n}=(0,1,1)$，$\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{m}\cdot\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}=\frac{\sqrt{2}}{2}$。（1）$C_1D\perpA_1B_1$，$C_1D\perpAA_1$，故$C_1D\perp$平面$A_1B_1BA$；（2）等体积法，$V_{B-AC_1D}=V_{C_1-ABD}$，解得距离$d=\