北师大版九年级下册何时获得最大利润教案(一)

2006年全国初中青年数学教师优秀课比赛教案

何时获得最大利润

教材：北京师范大学出版社九年级下册第二章《二次函数》的第六节

课时：1课时

授课教师：成都七中育才学校程智娟

一、教材分析（教材地位及作用）

教材中的函数是从去索具体实际问题的数量关系和变化规律中抽象出来的，用于刻画

变量之间关系的常用数学模型.函数的学习可以使学生感受事物是互相联系和有规律地变化着

的，体会数形结合的思想方法.在本章前，教材通过探索变量之间关系，探究一次函数和反比

例函数，已经逐渐让学生建立了函数的基础知识，初步积累了研究函数性质的方法及用函数观

点处理实际问题的经验.

在本章的学习中，教材已研究了二次函数及其图象和性质，让学生初步了解了求特殊二次

函数最大（小）值的一些方法.本节课在稳固二次函数性质及识图能力的同时，进一步让学生

掌握利用二次函数知识求一些简单实际问题最大（小）值的方法，培养学生运用所学知识解决

实际问题的能力.本节知识具有承上启下的作用，既是前面所学知识的具体应用，又为学生在

高中阶段进一步学习二次函数，以及用二次函数研究二次多项式、二次方程、二次不等式等知

识奠定基础.

二、教学目标：

・知识与技能：

（1）.能为一些较简单的生活实际问题建立二次函数模型，并在此基础上，根据二次函数关

系式和图象特点，确定二次函数的最大（小）值，从而解决实际问题.

（2）.由具体到抽象，进一步理解二次函数+c图象的顶点坐标与函数最大（小）

值的关系，并明确当。＜0时函数取得最大值，当。＞0时函数取得最小值.

・数学思考：

（1）.体会二次函数是一类最优化问题的数学模型.

（2）.经历探究二次函数最大（小）值问题的过程，体会函数的思想方法和数形结合的思想

方法.

・解决问题：

能将生活中的某些简单实际问题转化为二次函数模型，并能熟练运用二次函数知识解决这

些实际生活中的最大（小）值问题.

•情感与态度：

（1）.通过对实际生活中最大（小）值问题的探究，认识到二次函数是解决实际问题的重要

工具.

（2）.积极参加数学活动，开展解决问题的能力，体会数学的应用价值.从而:曾强数学学习

信心，体验成功的乐趣.

三、教学重难点

•教学重点：

（1）.探索销售中最大利润问题，从数学角度理解’・何时获得最大利润〃的意义.

（2）.引导学生将简单的实际问题转化为数学问题，并运用二次函数知识求出实际问题的最

大（小）值，从而得到解决某些实际生活中最大（小）值问题的思想方法.

・教学难点：

从实际问题中抽象出二次函数模型，以利用二次函数知识解决某些实际生活中的最大（小）

值问题.

四、教学方式：

引导一一探究一一发现

五、学情分析：

九年级学生已初步掌握函数的基础知识，积累了研究函数性质的方法及用函数观点处理实

际问题的初步经验.由于年龄特征，他们借助直观图象更容易理解抽象的函数问题.我班学生

思维较为活泼，在“引导一一探究一一发现〃式的课堂教学中能积极参与讨论问题，大胆发表自

己的见解和看法；但同样也存在审题不仔细、考虑问题不全面等缺乏.

六、课前准备：

教具：教材.,课件，电脑

学具：教材，练习本，钻笔，三角板

七、教学过程:

教学教师活动学生活动活动说明

环节

从生活中“T恤衫销售〃情景引入

“何时获得最大利润〃问题.用多媒体对教材

某商店经营T恤衫，成批购进时进行再创造，再现

创

单价是20元•根据市场调查，销售生活中“T恤衫销

设

量与销售单价满足如下关系：在一段售〃情景，并对教

生学生观看情景动

时间内，单价是35元时，销售量是材上的数据进行了

活画.

600件，而单价每降低1元，就可以修改，更贴近实际

情

多销售200件.若设销售单价为X20生活，帮助学生理

境

WxW35的整数)元，该商店所获利解题意，激发学生

润为y元.请你帮助分析，销售单价的学习热情.

是多少元时，可以获利最多？

1.教师提问：学生独立思考答为了让学生明确

此题主要研究哪两个变量之研究的是哪两个变

(1).复第(1)问：

探

间的关系，哪个是自变量，哪个是因销售单价为自变量之间的关系，补

变量.量，所获利润为因充第(。问.

索

变量.此问建立在学生

已有知识基础上，

思

学生答复较为容

易，鼓励学生独立

思考完成.

(2).销售量可以表示为________；

同桌两人在独立第(2)问，为了更

销售额(销售总收入)可以表示

思考完成后，通过容易找到两个变量

为_________;

相互交流结果答复间的函数关系式，

第(2)问，将不同结先列代数式，要求

果写在黑板上.学生独立思考完

4ac-/

探4a

_4x(-200)x(-152000)-11600」

4x(-200)

二1620。

索当产29时，y的值最大，最大值为学生也有可能会

16200.利用配方法洛此二

(2).y=200/+11600^152000次函数化为顶点

=200(x29)416200.

思式，求y的最大值；

当尸29时，y的值最大，最大值为

16200.

学生还可能提出由于研究片落

考画出图象求y的最产一夕的最大(小)

(3).如果学生提出利用图象求此

大值的方法.值时，教材是利用

二次函数最大值，教师利用多媒体课

图象让学生分析理

件作出此二次函数图象：

解的，因此学生很

可能会提到利用图

象来求y的最大值

的方法.

学生思考并作出通过此问题的设

答复：受自变量取置，让学生体会实

值范围的限制，该际问题中自变量通

教师提问：在此函数图象上怎样表

题的图象应为二次常有取值范围的限

达销售单价x为20WXW35的整数？

函数图象的一局制，因此函数图象

部.往往是相应二次函

数图象的一局部.

探

教师对学生的答复作出补充或纠如果学生泥到：由于结合此题的

索正.结合此题的实际背实际背景，自变量

景，销售单价为整x的取值范围为20

教师讲解:我们只是利用此二次函数，对应的利润值WW35的整数，

思数图象帮助分析，图象上的点并不全也为整数，此题的图象应由此二次函

满足题意.图象应由二次函数数图象上一些不连

图象上一些不连续续的点构成，对于

考的点构成.此问题，如果学生

提出给予简单讲

解，若未提出，则

不提此问题.

通过探索求此二

次函数最大值方法

的过程，进一步让

学生明确此二次函

教师对这三种求此二次函数最大数的最大值就是顶

值的方法都给予肯定（根据学生答复点的纵坐标值.

情况调整探索三种方法的顺序）.

学生验证：让学生明确在运

根据实际问题用数学知识解决实

的意义，检验自变际问题时，要注意

问量的这一取值是与实际背景相结

否在取值范围内.合.

题解决问题：通过“提出问题

当销售单价X是____________元当销售单价是——解决问题〃的

解时，可以获得最大利润外最大利润29元时，可以获得过程，前后照应，

y是____________元.最大利润是16200稳固己学知识，并

决元.让学生体会二次函

数是解决实际问题

的一类重要数学模

型.

同学们利用己学过的知识解决了

“何时获得最大利润〃问题.教师进

一步提出：怎样来求一般二次函数的

最值呢？

由于前面研究的

是a<0的二次函

数，因此先观察此

学生观察二次函类函数图象.

归数图象，验证归纳

纳得出：当a<0时，

求二次函数最大值是

"[顶点的纵坐标值；

次当aX）时，二次函

函数的最小值也是顶有了a<0的二次

数点的纵坐标值.函数最大值的验证

最过程后，学生很容

值易归纳出aX）的二

的次函数最小值也是

顶点的纵坐标值.

般

方

法

最后归纳出求二

通过对一般二次

次函数最大（小）

在此过程中鼓励学生相互补充.函数最大（小）值

值的方法：

问题的探究归纳，

（1）.配方化为顶点

让学生再次明确二

式求最大（小）值；

次函数的最大（小）

（2）.直接带入顶点

坐标公式求最大值就是顶点的纵坐

(小)值；标值，使学生明确

(3).利用图象找顶求二次函数最大

点求最大(小)值.(小)值的三种方

法.

1.在本章第一节“种多少棵橙子树〃学生答复：

的问题中，我们得到表示增种橙子树1.y=5(尸IO)、第1题运用求二

的数量X(棵)与橙子总产量y(个)60500，当户10时,次函数最大值的方

的二次函数表达式为7=60500.法解决橙子最大产

知>'=-5.r2+100^+60000,也曾用列表的此外，学生还可量问题，验证本章

第一节所提出的问

方法得到一个猜测：当p10时;橙以利用顶点坐标公

题中猜测的正确

子的总产量最多.现在请你验证一下式、图象求该二次

识性.

你的猜测是否正确.你是怎样做的？函数最大值.

与同伴交流.

2.如图，假设篱笆(虚线局部)的

运

长度是15米，/夕边为x米，所围

成矩形的面积为y平方米.

用

(1).写出y与x的关系式；

(2).利用函数图象描述篱笆所围成2.(1).尸y+15x

(0<AK15)

的矩形面积与月方的长之间的关系；

(2).引导学生分

第2题第(2)问,

析图象得到当

教师利用多媒体课

x<l.5时，所围成

件绘制该二次函数

矩形的面积随着

图象，学生利用图

的增大而增大；

象直观分析，体会

当心>7.5时，所围

数形结合的思想方

成矩形的面积随着

48的增大而减小.法，再次感受二次

函数的最大值是图

知（3）.当力夕为多少米时，可以使篱笆象顶点的纵坐标

所围成的矩形面积在50平方米以值.

上？结合图象进行分析.（3）.当5cm<AB<

第⑶问通过设

识教师利用多媒体展示该二次函数10cm时,可以使篱

置由函数值求自变

大致图象.笆所围成的矩形面

量取值的问题培养

积在50平方米以

学生的逆向思维.

运

用

3.某公司试销一种本钱单价为500针对我班学生能

元/件的新产品，规定试销时的销售力较强，思维比较

单价不低于本钱单价，又不高于800活泼的特点，补充

元/件，经试销调查，发现销售量y了一题综合利用一

（件）与销售单价x（元/件）可近次函数和二次函数

似于一次函数：知识求最大毛利润

片一户1000（500WxW830,彳为整的练习，进一步培

数）.3.(DS=A150养学生的数学阅读

设公司获得毛利润（毛利润:销售总Ox能力和知识综合运

价一本钱总价）为S元.500000用能力.

（1）.使用销售单价x表示毛利润S；(500WxW800,xS与x之间无直

（2）.若你是试销员，要使公司获得最为整数）.接联系，必须通过

大的毛利润，销售单价应定为多少⑵.S=(x750)中间变量y进行代

元？此时最大毛利润是多少元，销售2+换，因此确定S与

量是多少件？62500.X之间的函数关系

当方750时，SQ值是解决此题的关

=62500,此时

尸250（件）.键.

通过小结，使学

生这节课所学的知

教师在学生小结的基础上作点评识系统化，感性认

或补充.识上升为理性认

1.求二次函数最大（小）值的方法：识.

（1）.利用顶点坐标公式,求最大（小）

知学生小结求二次

值；

函数最大（小）值

（2）.利用配方化为顶点式，求最大

识的方法和利用二次

（小）值；

函数知识解;夬生活

（3）.利用图象，找顶点，求最大（小）

小中最大（小）值问

值.

题的步骤.

结

2.利用二次函数知识解决实际问题

的步骤：在归纳解题步骤

中适当渗透简单的

数学建模和算法思

想.

在矩形ABCD中，/庐6cm,比M2cm.点

产从1点开始沿边向4点以每秒为满足不同学生

1cm的速度运动，点"的学习要求设计此

从点〃开始沿阳边向C点、以每秒2cm题,若时间允许，

的速度运动.如果入科分别同学生讨论并做出课堂上完成.若时

时从48出发，设S表示△PDM答复：间不允许，鼓励学

知

的面积，X表示运动的时间.(1).S-/6户36生课外探究.

(1).求出S与x之间的函数关系式(0WxW6).第⑵问涉及到

识

及自变量x的取值范围.(2).当x=3时,S最小值，对本节课

(2).求出何时S的值最小，S最小有最小值27.内容进行拓展的同

拓

值为多少？时，为下节