北师大版七年级数学下册举一反三系列53轴对称的性质【八大题型】同步练习(学生版+解析)

专题5.3轴对称的性质【八大题型】

【北师大版】

【题型1游戏中的轴对称】......................................................................1

【逑型2利用轴对称的性质求角度】.............................................................3

【超型3利用轴对称的性质求线段长度】.........................................................4

【胭型4在格点中作轴对称图形】...............................................................6

【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】.......................................................8

【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】..................................................10

【题型7利用轴对称的性质解决探究性问题】....................................................13

【题型8轴对称图案的设计】...................................................................18

绯g产一笈三

【知识点1轴对称的性质】

（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这

两个图形的对称轴.

⑵轴对称图形的对称轴也是任何-对对应点所连线段的垂直平分线.

【题型1游戏中的轴对称】

[例1]（2022春•余姚市校级月考）小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线/,在

直线/两边各放一粒围棋子4、B,使线段44长&m，并关干直线/对称，在图中外处有一粒跳棋子，

Pi距A点6cm.与直线I的距离为3cm,按以下程序起跳:第1次,从P,点以A为对称中心跳至P2点；

第2次，从P2点以/为对称轴跳至P3点：第3次，从P3点以8为对称中心跳至R点；第4次，从尸4

点以/对称轴跳至P5点：….

（1）棋子跳至几点时，与点巴的距离是;

（2）棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点B的距离是

B

*

【变式1-1】（2022•云梦县一模）甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子.如图，已共下了7枚棋子，棋盘中

心黑子的位置用（-1,0）表示，其右下角黑子的位置用（0,-1）表示.甲将第4枚白子放入棋盘后,

所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置是（）

【变式1-2】（2022•潍坊）甲乙两位同学用围棋子做游戏.如图所示，现轮到黑棋下了，黑棋下一子后白

C.黑（2,7）；白（5,3）D.黑（3,7）；白（2,6）

【变式1-3]（2022•绥棱县校级模拟）如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋

子.我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步.已知

点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步.

【题型2利用轴对称的性质求角度】

【例2】（2022秋•河东区期末）如图，△ABC中，NB=58°,NC=55°,点D为8C边上一动点.分别

作点。关于AB,AC的对称点E,F,连接AE,AF.则NE4尸的度数等于.

【变式2-1］（2022春•寿阳县期末）如图，△A〃C中，ZZ?=60",NC=50°,点。是3。上任一点，点

E和点尸分别是点。关于A8和4C的对称点，连接A£和AF,则/E4F的度数是（）

A.140°B.135°C.120°D.100°

【变式2-2］（2022秋•台江区期中）如图，四边形43CO中，A8=AO,△A3C沿着AC翻折，点8关于

AC的对称点E恰好落在CD上，若N8=a度，则NO的度数是度.

【变式2-3］（2022秋•房山区期末）如图，点P是/4OB外的一-点，点。是点尸关于OA的对称点，点R

是点，关于03的对称点，直线QR分别交NAO8两边OA,08于点N,连接PM,PN,如果

=33°,NPN0=7()°,求N0PN的度数.

【题型3利用轴对称的性质求线段长度】

【例3】（2022秋•土默特左旗期中）如图，点P在NAO8内，点M、N分别是点P关于AO、的对称

点，若△尸石尸的周长为15,求的长.

NB

【变式3-1］（2022春•洛宁县期末）如图，点P在N4OB内，点M、N分别是P点关于OA、08的对称点,

且交04、。3相交于点E,若△「£：”的周长为20,求MN的长.

N

【变式3-2］（2022春•驿城区期末）如图，点。是NAOB外的一点，点M，N分别是NAO8两边上的点，

点P关于Q4的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于08的对称点R落在MN的延长线上.若PM

=3c〃?，PN=4c〃i,MN=4.5cm,则线段QR的长为.

【变式3-3］（2022秋•淮安月考）如图，在△ABC中，AB=\2cm,AC=6cm,8c=10cm,点及，E分别

在AC,A8上，且△BC。和△BE。关于8。对称.

（I）求AE的长；

（2）求△人。£的周长.

【题型4在格点中作轴对称图形】

【例4】（2022秋•密山市校级期末）如图所示，

（1）写出顶点C的坐标；

（2）作△八BC关于,，轴对称的△人/iG，并写出办的坐标;

（3）若点A?（mb）与点A关于x轴对称，求。-人的值.

x

【变式4-1]（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，八、B、C、。各点的坐标分别为（-7,7）、

(-7,1)、(-3,1)、(-1,4).

（1）在给出的图形中，画出四边形人8C。关于,，轴对称的四边形4/力。|。|；（不写作法〕

（2）写出点A和G的坐标；

（3）求四边形4SCG的面积.

【变式4-2］（2022秋咻州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1,格点三角形ABC

（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A,B的坐标分别是（-6,7）,（-4,3）.

（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系.

（2）请画出△ABC关于），轴对称的△48iG

【变式4-3］（2022春•铜仁市期末）如图，已知点A（4,3）,B（3,1）,C（1,2）,请解决下列问题:

（1）若把AABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△4SG，请画出平移后的图形并写出

A，&,G的坐标；

（2）若282c2是△ABC关于x轴对称的图形，请画出2c2并写出A2,%,。2的坐标.

【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】

【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1,把△A6C沿。E折叠，使点A落在点A'处，请你

判断N1+N2与/A有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2）如图2,8/平分NA8C,C7平分NAC8,把△ABC折叠，使点4与点/重合，若/1+/2=100°

求NB/C的度数；

拓展（3）如图3,在锐角△ABC中，8尺LAC于点凡CG_L4B于点G,BF.CG交于点、H,把△ABC

折叠使点A和点”重合，试探索。与/1+N2的关系，并证明你的结论.

【变式5-1］（2022春•杜尔伯特县期中）如图，将边长为8cm的正方形A8CZ）折叠，使点。落在BC边的

中点E处,点4落在尸处，折痕为MN.

（1）求线段CN长.

（2）连接尸M并求EV的长.

【变式5-2］（2022秋•成都期末）如图，四边形ABCO中，AB//CD,ADA.AB,AB=6,AO=CO=3,点

E、产分别在线段A8、4）上，洛ZM斯沿斯翻折，点A的落点记为尸.当尸落在四边形A8C。内部时,

PD的最小值等于

【变式5-3］（2022•惠安县期末）如图，已知一张长方形纸片ABC。，A8〃CZ）,AD=BC=\,AB=CD=5.在

长方形AACQ的边AN上取一点M,在CO上取一点N,将纸片沿MN折登，使MH与DN爻于点K,得

到△MNK.

D

A

（1）请你动手操作，判断△MNK的形状一定是

（2）问△MNK的面积能否小于：？试说明理由;

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最大值.

【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】

【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海

伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

将军每天从军营人出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营8开会，应该怎样走才能使路程最短？

这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从比以后，这个被称为“将军饮马”的问题便

流传至今.

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.

图1图2图3

如图2,作4关于直线/的对称点8,，连接AZT与直线/交于点C,点C就是所求的位置.

证明：如图3,在直线，上另取任一点C',连接AC',BC,B'C',

•・•直线/是点8,小的对称轴，点C,C在/上，

：，CB=CB',CB=C'夕，

：.AC+CB=AC+=.

在△AC，B'中，

<ACr+C'B'

.\AC+CB<AC,+C'B'即AC+CB最小.

本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A,8在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用

“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决(其中C在4B'与/的交点

上，即4、C、B1三点共线).本问题可归纳为“求定宜线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”

的问题的数学模型.

【简单应用】

(1)如图4,在等边△A8C中，AB=6,ADA.BC,E是AC的中点，M是AD上的一点，求EM+MC的

最小值

AQ

B5

B

D

图4图5图6

借助上面的模型，由等边三角形的轴对称性可知，8与C关亍直线人。对称，连接BM,EM+MC的最小

值就是线段BE的长度,则EM+MC的最小值是:

(2)如图5,在四边形ABC。中，NBAD=130°,NB=ND=90",在BC,C。上分别找一点M、N

当△AMN周长最小时，/AMN+NANM=°.

【拓展应用】

如图6,是一个港湾，港湾两岸有A、8两个码头，N4OB=30°,Q4=l千米，。8=2千米，现有一艘

货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠。8岸C处装货，再停靠。4岸。处装货，最后到达码头

B.怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程.

【变式6-1]在ABC中，NAC8=90°,N8=60°,AC=6,点。，石在边上，AD=CD,点、E关于

AC,CO的对称点分别为凡G,则线段FG的最小值等于（）

A.2B.3C.4D.5

【变式6-2]（2022秋•双流区校级期中）在△ABC中，ZA=45°,AC=8,BD1AC,BD=6,点、E为边

BC上的一个动点.后，民分别为点E关于直线AC,4B的对称点，连接后良，则线段以昂长度的最小

【变式6-3]（2022春•青羊区期末）如图，△A8C中，N8=45°,ZC=75°,AB=4,。为8c上一动

点，过。作。E_LAC于点E,作。凡LAB于点尸，连接石尸，则石尸的最小值为

【题型7利用轴对称的性质解决探究性问题】

[ft7]（2022春•二道区期末）解答下列各题：

（1）【问题引入】：如图①，在△ABC中，NBAC=70°,点。在8C的延长线上，三角形的内角N

4BC与外角N4CZ）的角平分线8P,C尸相交于点P,求N尸的度数.（写出完整的解答过程）

①

（2）【深入探究】：如图②，在四边形MNC8中，设NM=a,NN=p,四边形MNC3的内角NM3c

与外角NNC。的角平分线8尸，CP相交于点P,则NP的度数为.（用含有a和p的代数

式表示）

(3)【问题拓展】：如图③，在图①中，把NBAC=70°改成NBAC=y,其他条件不变，将△P8C以

直线BC为对称轴翻折得到△GBC,ZGBC的角平分线与NGCB的角平分线交于点M,贝!N8MC的度

数为用含有丫的代数式表示)

【变式7-1](2022秋•洛南县期末)问题提出:

(1)如图1,画出直角三角形ABC关于AC所在直线的轴对称图形,其中NZMC=90°(保留

作图痕迹，不写作法).

图1图2图3

问题探究：

(2)如图2,NMAN=90°,射线AE在NM4N的内部，点8、。在NM4N的边AM、AN上，且A8=

AC,过点C作CF_LAE于点凡过点8作8O_LAE于点。，证明：△ABOg△CA凡

深入思考：

(3)如图3,在RlAABC中，ZACB=90°,AC=BC,直线/经过点C,且点4、8在直线/的异侧，

过点A作AOJJ于点。，过点8作于点E.判断线段人。、BE、。石之间的数量关系，并加以说明.

【变式7-2](2022春•临汾期末)综合实践课上，小聪用一张长方形纸片A8CO*，不同折法下的夹角大小

进行了探究，先将纸片的一角对折，使角的顶点A落在A'处，£尸为折痕，如图①所示.

(1)若NAE尸=30°,

①求NA'EB的度数；

②又将它的另一个角也折过去，并使点B落在班’上的8'处，折痕为EG,如图②所示，求的

度数；

(2)若改变NAE/的大小，则E4'的位置也随之改变，则//EG的大小是否改变？请说明理由.

【变式7-3］（2022秋•鼓楼区月考）问题情境

如图1,AABC+,沿N8AC的平分线4丛折叠，剪掉重叠部分；将余下部分沿NSAC的平分线A/2

折叠，剪掉重叠部分；如此反复操作，沿N8AC的平分线4&+I折叠，点&与点C重合，我们就称/

BAC是△ABC的正角.

以图2为例，△A8C中，NB=70。，NC=35°,若沿N/MC的平分线AB］折叠，则NAA由i=70".沿

AS剪掉重叠部分，在余下的△BMC中，由三角形的内角和定理可知NASC=35°,若沿/以4。的

平分线AB?第二次折叠，则点8与点C重合.此时，我们就称NBAC是△ABC的正角.

探究发现

（1）△ABC中，NB=2NC,则经过两次折叠后，NBAC是不是△ABC的正角？（填“是”或“不

是"）.

（2）小明经过三次折叠发现N84C是aABC的正角，则与NC（不妨设/C）之间的等量关系

为•

根据以上内容猜想：若经过〃次折叠NZMC是△AAC的正角，则NA与NC（不妨设NA>NC）之间的

等量关系为.

应用提升

（3）如果一个三角形的最小角是10°,直接写出此三角形另外两个角的度数，使得此三角形的三个角

均是它的正角.

【题型8轴对称图案的设计】

【例8】（2022秋•沧州期末）如图1所示是一块有图案的瓷砖，请利用四块这样的瓷瓶拼出一个正方形,

使所拼的图案为轴对称图形.在图4中画出你的四个设计方案.（图2、图3视为同•图案）

同田田田田

图1图2图3图4

【变式8-1］（2022•金华）现有9个相同的小正三角形拼成的大正三角形，将其部分涂黑.如图（1）,（2）

所示.

观察图（1）,图（2）中涂黑部分构成的图案.它们具有如下特征：①都是轴对称图形；②涂黑部分都

是三个小正三角形.

【变式8-2](2022春•临渭区期末）认真观察下面四幅图中阴影部分构成的图案，回答下列问

恃征1：

特征2：

（2）请你借助下面的网格，设计出三个不同图案，使它也具备你所写出的上述特征.（注意：新图案与

以上四幅图中的图案不能相同）

【变式8・3】（2022秋•盂县期末）有这样•道题：用四块如图甲所示的瓷砖拼成•个正方形，形成轴对称

图案，和你的同伴比一比，看谁的拼法多.某同学设计了如图的两个图案，请你也用如图乙所示的瓷质

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专题5.3轴对称的性质【八大题型】

【题型1游戏中的轴对称】......................................................................1

【题型2利用轴对称的性质求角度】..............................................................3

【题型3利用轴对称的性质求线段长度】.........................................................4

【题型4在格点中作轴对称图形】................................................................6

【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】.......................................................8

【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】..................................................10

【题型7利用轴对称的性质解决探究性问题】....................................................13

【题型8轴对称图案的设计】...................................................................18

【知识点1轴对称的性质】一

(1)如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

由轴对称的性质得到一下结论：

①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对

称；

②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，

就可以得到这

两个图形的对称轴.

(2)轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.

【题型1游戏中的轴对称】

［例1］小王设计了一“对称跳棋”题：如图，在作业本上画一条直线I,在直线/两边各

放一粒围棋子A、B,便线段长8c〃?，并关于直线/对称，在图中外处有一粒跳棋子，

Pi距A点6cm、与直线/的距离为3C7〃，按以下程序起跳：第1次，从Pi点以A为对称

中心跳至P2点；第2次，从P2点以/为对称轴跳至P3点；第3次，从03点以8为对称

中心跳至尸4点；第4次，从心点以/对称轴跳至P5点；….

(1)棋子跳至几点时，与点1的距离是12cvn；

(2)棋子按上述程序跳跃2014次后停下，这时它与点8的距离是6cm.

BA

*

【分析】（1）根据题意作出图形，&与P2重合，然后利用勾股定理列式计算即可得解;

（2）根据图形，每跳动4次为一个循环组依次循环，用2014除以4,根据商和余数的情

况解答即可.

【解答】解：（1）如图，尸6与P2重合，

〈Pi距A点6cm,

•"|P2=2X6=

・・・跳至2点时，与点Pi的距离是12cm；

（2）•・•每跳动4次为一个循环组依次循环，2014+4=503余2,

.・.跳跃2014次为第504次循环的第2次，停在凸，

它与点3的距离是6。儿

故答案为：12（7〃；6cm.

【变式1-1】甲和乙下棋，甲执白子，乙执黑子.如图，已共下了7枚棋子，棋盘中心黑子

的位置用（-1,0）表示，其右下角黑子的位置用（0,-1）表示.甲将第4枚白子放

入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形.他放的位置是（）

【分析】首先确定原点位置，再利用轴对称图形的性质得出答案.

【解答】解：如图所示：甲将第4枚白子放入棋盘后，所有棋子构成一个轴对称图形,

他放的位置是：（・1,1）.

【变式1-2】甲乙两位同学用围棋子做游戏.如图所示，现轮到黑棋下子，黑棋下一子后白

棋再下一子，使黑棋的5个棋子组成轴对称图形，白棋的5个棋子也成轴对称图形.则

下列下子方法不正确的是（），［说明：棋子的位置用数对表示，如A点在（6,3）］.

01234567RC

A.黑（3,7）；白（5,3）B.黑14,7）；白（6,2）

C.黑（2,7）；白（5,3）D.黑（3,7）；白（2,6）

【分析】分别根据选项所说的黑、白棋子放入图形，再由轴对称的定义进行判断即可得

出答案.

【解答】解：A、若放入黑（3,7）；白（5,3）,则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是

轴对称图形，故本选项不符合题意；

B、若放入黑（4,7）：白（6,2）,则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，

故本选项不符合题意；

。、若放入黑（2,7）；白（5,3）,则此时黑棋不是轴对称图形，白棋是轴对称图形，

故本选项正确；

D、若放入黑（3,7）；白（2,6）,则此时黑棋是轴对称图形，白棋也是轴对称图形，

故本选项不符合题意；

【变式1-3】如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子.我们约

定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行•次称为一步.已

知点A为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少

步数为3步.

【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了.

【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则;

①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内:

②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内.

所以跳行的最少步数为3步.

【题型2利用轴对称的性质求角度】

【例2】如图，△48C中，N4=58°,NC=55°,点。为5c边上一动点.分别作点D

关于AB,AC的对称点E,F,连接AE,4F.则NEA尸的度数等于13于

【分析】利用轴对称的性质解答即可.

【解答】解：•••点七和点厂分别是点。关于A/3和4c的对称点，

：・NEAB=NBAD,NFAC=NCAD,

•・・NB=58°,ZC=55°,

/HAC=/HAD+/DAC=1800--55°=67°,

：,ZEAF=2ZBAC=\W,

故答案为：134°.

【变式2-1］如图，△A8C中，NB=60。，ZC=50°,点。是8c上任一点,点E和点”

分别是点。关于48和人C的对称点，连接人七和八F,则NE4尸的度数是()

【分析】利用轴乂寸称的性质解答即可.

【解答】解：如图，丁点E和点尸分别是点。关于48和4c的对称点,

：・/EAB=NBAD,ZFAC=ZCAD,

VZ5=60°,ZC=50°,

：,ZBAC=ZBAD+ZDAC=\^-600-50°=70°,

：.ZEAF=2ZBAC=\W，

【变式2-2］如图，四边形A3c。中，AB=AD,ZXAHC沿着AC翻折，点3关于AC的对

称点E恰好落在CO上，若NB=a度,则NQ的度数是（180-a）度.

【分析】直接利用翻折变换的性质得出48=4,/B=N4FC=a,再结合等腰三角形的

性质得出答案.

【解答】解：•••△44C沿着AC翻折，点8关于AC的对称点£恰好落在8上，

：.AB=AE,NB=NAEC=a,

,：AB=AD,

：,AD=AE,

：.ZD=ZAED=180°-ZAEC=180-a.

故答案为：（180-a）.

B

【变式2-3】如图，点尸是NA08外的一点，点。是点尸关于。4的对称点，点R是点P

关于03的对称点，直线QR分别交NAO3两边04,0B于点M,N,连接PM,PN,如

果NPMO=33°,/PNO=70：求NQPN的度数.

【分析】先根据点P与点Q关于直线0A对称可知0M是线段PQ的垂直平分线，故PM

=MQ,ZPMQ=2ZPM0,根据三角形内角和定理求出NPQM的度数，同理可得出PN

=RN,故可得出NPNR=2NPNO,再由平角的定义得出NPNQ的度数，由三角形外角

的性质即可得出结论.

【解答】解：•・•点。和点P关于的对称，

点R和点户关于08的对称

・•・直线。4、08分别是PQ、PR的中垂线，

：・MP=MQ,NP=NR,

JZPMO=ZQMO,NPN0=ZRNO,

•・・NPMO=33°，NPN0=7金。

••・NPMO=NQMO=33°,NPNO=NRNO=10°

/.Z=66°,NPNR=140°

:./MQP=57°,

，NPQN=I23°,/户NQ=40°,

：.ZQPN=\1°.

【题型3利用轴对称的性质求线段长度】

【例3】如图，点尸在NAO6内，点M、N分别是点尸关于AO、国7的对称点，若&PEF

的周长为15,求MN的长.

。

NB

【分析】根据轴对称的性质可知EP=EM，PF=FN,结合的周长为15,利用等量

代换可知MN=EP+EF+PF=\5.

【解答】解：•・•点M是点P关于A0,的对称点，

，4。垂直平分MP,

：.EP=EM.

同理PF=FN.

，：MN=ME+EF+FN,

：,MN=EP+EF+PF,

•••△PEF的周长为15,

:・MN=EP+EF+PF=\5.

【变式3-1】如图，点。在NAO8内，点M、N分别是尸点关于。4、OB的对称点，且MN

交04、04相交于点E,若△PEF的周长为20,求MN的长.

【分析】根据轴对称的性质可知：EP=EM,PF=FN,所以线段MN的长=Z\P石尸的周

长，再根据△尸石尸的周长为20,即可得出的长.

【解答】解：•・•点M是P点关于。4的对称点，

:・EP=EM,

•:N是P点关于0B的对称点，

:・PF=FN,

AMN=ME+EF+FN=PE+EF+PF=APEF的周长，

•・.△PE尸的周长为20,

:,MN=20cm.

【变式3-2］如图，点P是NAO5外的一点，点M,N分别是NAO8两边上的点，点。关

于（M的对称点Q恰好落在线段上,点P关于OB的对•称点R落在MN的延长线上.若

PM=3cm,PN=4cm,MN=45cm,则线段OR的长为5.5c〃？.

A

O

ONB

【分析】根据轴对称的性质得到OA垂直平分PQ,OB垂直平分PR,则利用线段垂直平

分线的性质得QM=PM=3a〃，RN=PN=4cm,然后计算QM再计算QN+KN即可.

【解答】解：•・•点产关于OA的时称点Q恰好落在线段"N上,

：,OA垂直平分PQ,

:.QM=PM=3cm,

:.QN=MN-QM=4.5cm-3c、/〃=1.5。〃，

•・•点P关于08的对称点R落在MN的延长线上,

JOB垂直平分尸R,

:.RN=PN=4cm,

QR=QN+RN=1.5cm+4cm=5.5cm.

故答案为5.5cm.

【变式3・3】如图,在△ABC中,AB=\2cm,AC=6cmfBC=10an,点D,E分别在AC,

AB上，且△BC。和△B£O关于对称.

(1)求AE的长；

(2)求△AOE的周长.

【分析】(1)先根据ABCD和△BEZ)关于BQ对称，得出ABCD空ABED,故BE=BC,

由此可得出AE的长，

(2)由△AOE的周长=AE+A/)+OE=AE+4C即可得出结论.

【解答】解：(1)•.•△区。7)和(△区口)关于月/)对称.

:.△BCgABED,

:・BE=BC=lOcm,

・"E=12-10=2皿

(2),:2BCDmABED,

:,DC=DE,

：,△AOE的周长=4E+4D+OE=AE+AC=8cm.

【题型4在格点中作轴对称图形】

【例4】如图所示，

（1）写出顶点C的坐标；

（2）作△ABC关于），轴对称的小G，并写出小的坐标;

（3）若点A?（。，b）与点A关于x轴对称，求的值.

【分析】（I）根据点的坐标的定义写出坐标即可；

（2）作出A、B、。三点关于y轴的对称点4、小、G即可:

（3）根据轴对称的性质求出〃、人的值即可；

【解答】解：⑴C1-2,-1）.

（2）△ABC关于），轴对称的△AiSG如图所示；

如图,B\（-3,1）.

（3）YA（I,2）与左（。，b）关于x轴对称，

可得：a=l,h=-2,

'.a-b=3.

【变式4-1]（2022秋•自贡期末）如图，在直角坐标系中，A、8、C、D各点的坐标分别

为（-7,7）、（-7,1）、（-3,1）、（-1,4）.

j，，、

A

（1）在给出的图形中，画出四边形ABC。关于），轴对称的四边形A山］GO；（不写作

法）

（2）写出点4和G的坐标；

（3）求四边形A/IGDI的面积.

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C、。关于y轴对称点4、丛、G、5的位

置，然后顺次连接即可；

（2）根据平面直角坐标系写出点A和G的坐标；

（3）利用四边形所在的矩形的面积减去两个直角三角形的面积列式计算即可

得解.

【解答】解：（1）四边形AliGOi如图所示；

(2)由(1)可得A17,7),Ci(3,1):

(3)S四边形Ai/na/)i=6X6—gx2X3—1x6X3»

=36-3-9,

=36-12,

=24.

【变式4-2］（2022秋•嵯州市期末）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1,

格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A,8的坐标分别是（・6,7）,

（-4,3）.

（1）请你根据题意在图中的网格平面内作出平面直角坐标系.

（2）请画出△ABC关于），轴对称的△A/C1

【分析】（1）根据点8的坐标可确定原点位置，然后画出坐标系即可：

（2）首先确定A、8、C三点关于〉，轴对称的对称点位置，再连接即可.

（解答]解：（1）如图：

（2）如图所示：△A/iG即为所求.

【变式4-3]（2022春♦铜仁市期末）如图，已知点A（4,3）,B（3,I）,C（1,2）,

请解决下列问题：

（1）若把△ABC向下平移1个单位，再向左平移5个单位得到△4SG，请画出平移后

的图形并写出4,Bi，G的坐标；

（2）若△A2B2C2是△A8C关于x轴对称的图形，请画出△A2&C2并写出小，&,C2的

坐标.

【分析】（1）利用平移变换的性质分别作出A,B,。的对应点4,以，G即可；

（2）利用轴对称变换的性质分别作出A,B,。的对应点4,%,。2即可.

【解答】解：（1）如图，△?!]81G即为所求，4（-1,2）,以（-2,0）,G（-4,

1）；

（2）如图,△4&C2即为所求,4（4.-3）.B2（3,-1）,C2（A,-2）.

【题型5利用轴对称的性质解决折叠问题】

【例5】（2022春•广陵区校级期中）发现（1）如图1,把△ABC沿。E折叠，使点A落在

点A'处，请你判断N1+N2与NA有何数量关系，直接写出你的结论，不必说明理由

思考（2）如图2,肘平分/ABC,C7平分NAC8,把△ABC折叠，使点A与点/重合,

若Nl+N2=100°,求N8/C的度数；

拓展(3)如图3,在锐角3c中，BFLAC于点、F,CG_LA3于点G,BF、CG交于点

H,把△A8C折叠使点4和点，重合，试探索与NI+N2的关系，并证明你的结

论.

【分析】(1)根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理以及平角的定义求出即可；

(2)根据三角形角平分线的性质得出N〃3C+N/C8=90°得出N4/C的度数即

可；

(3)根据翻折变换的性质以及垂线的性质得出，N"H+NAG”=90°+90°=180°,

进而求出NA=：(N1-/2),即可得出答案.

【解答】解：(1)Z1+Z2=2ZA；

理由：根据翻折的性质，ZADE=^(180°-Zl),ZAED=^(180°-Z2),

•・・NA+/AOE+NAEO=180°,

AZA+-(180-Zl)4-i(180-Z2)=180°,

22

整理得2NA=N1+N2；

(2)由(1)NI+N2=2NA,得2NA=100°,

:.NA=50°

•・・/8平分NA8C,IC立分NACB,

AZ/«C+Z/CT=-(NA/3C+NAC8)=-(1800-NA)=90°--ZA,

222

.\ZB/C=180°-(NIBC+NICB)=180°-(90°--ZA)=9004--x50°=115°；

22

(3)VBF±AC,CG1AB,

・・・NA/77+NAGH=9(r+90°=180°,

ZF//G+ZA=180°,

AZ13HC=ZFHG=180°-ZA,

由(I)知Nl+/2=2/4,

・・・NA=；(Z1+Z2)

2；

/.ZB//C=I8O°一：(Z1+Z2).

2

【变式5-1](2022春•杜尔伯特县期中)如图，将边长为8cm的正方形4BC。折叠，使点

。落在8C边的中点E处，点A落在尸处，折痕为MN.

(1)求线段CN长.

(2)连接硒，并求/W的长.

【分析】（I）设NC=i,则DN=8-x,由翻折的性质可知EN=QN=8-x,在RlAENC

中，山勾股定理列方程求解即可；

（2）连接AN,由翻折的性质可知FN=AN,然后在RtaAON中由勾股定理求得4N的

长即可.

【解答】解：（1）设NC=x,则£W=8-x.由翻折的性质可知：EN=DN=8-x.

在RdENC中，由勾股定理可知：EN2=EC2+NC2,（8-x）2=42+?,

解得：x=3,BPNC=3cm.

（2）如图所示，连接AN.

在Rl三角形AQN中，AN=y/AD2+ND2=V824-52=9.

由翻折的性质可知FN=AN=V89.

【变式5-2]（2022秋•成都期末）如图，四边形/WCQ中，AB//CD,AD1A1L"=6,

4。=。。=3,点E、F分别在线段AB.AD上，将△AE尸沿EF翻折，点A的落点记为P.当

P落在四边形A8CQ内部时，PD的最小值等于3瓜一6.

【分析】当沿OE折叠，且点人落在8。上，有OP最小，由勾股定理求得8。的长，则

DP=BD-BP=BD-AB.

【解答】解：如图：设A的对称点为P，连接EZ）,过P1作PP|_LEO于P,

・•・在直角三角形QPQ中,DPi>DP,

••・当点A的对称P落在线段ED上时，此时P。有最小值，

即当“取最大值时，PD有最小值，而E在线段48上，

・••当E与8重合时，最大，从而此时P。取得最小.

在R&DB中，BD=\AB2+A。2=<36+9=3百

■:PB=AB=6

:.DP=BD-BP=BD-AB=3正-6.

故答案为：3遍一6.

【变式5-3]（2022•惠安县期末）如图，己知一张长方形纸片ABCD,AB//CD,AD=BC

=1,AB=CD=5.在长方形ABC。的边48上取一点M,在CD上取一点M将纸片沿

MN折叠，使MB与。N交于点K,得到△MNK.

（1）请你动手操作，到断△MNK的形状一定是等腰三角形；

（2）问△MNK的面积能否小于：？试说明理由：

（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，并求最

大值.

【分析】（1）由AB〃CD与折叠的性质易得NMNK=/NMK,即可证得MK=NK,即

△MNK的形状一定是等腰三角形；

（2）分两种情况分析：如图1所示：过点M作MH1KN于点H,如图2所示：KML

KN,此时KM最小，KM=KN=1,则可求得S△恤依=（KN・M”N；xIX1=/

（3）分两种情况讨论.情况一：如图3,将矩形纸片对折，使点B与。重合，此时点K

也与。重合.情况二；如图4,将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC.利用

方程思想求解，即可求得答案.

【解答】解：（1）等腰三角形.

理由：\'AB//CD,

；・NMNK=Z1,

由折叠的性质可得：Zl=/NMK,

・•・ZMNK=ZNMK,

:.MK=NK,

即△MNK是等腰三角形;

故答案为：等腰三角形；

（2）不能.

理由：*：AH//CD,

：,NKNM=NNMB,

又•：4KMN=/NMB；

・•・4KMN=ZKNM,

:・KM=KN,

如图I所示：过点M作M，J_KN于点从

：.MH=AD=\,

在RtAKMH中,KM>MH,即KN=KM>1,

如图2所示：KMLKN,此时KM最小，KM=KN=1,

・・・KN》1,

:.SLMNK=争N・MHN|xlXl=i,

:AMNK的面积不可能小于去

（3）分两种情况讨论.

情况一：如图3,将矩形纸片对折，使点8与。重合，此时点K也与。重合.

设MK=MB=x,则AM=5-x.

由勾股定理得12+（5-X）2=/，

解得x=2.6；

ASAM^=1X2.6X1=1.3；

情况二：如图4,将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC.

设MK=AK=CK=x,则0K=5-k.

同理可得尤=2.6.

；・S&MNK=~x2.6X1=1.3；

的面枳最大值为1.3.

【题型6利用轴对称的性质解决最短路径问题】

【例6】（2022春•崂山区期中）早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理

的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的

问题.

将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营8开会，应该怎样走

才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，

这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今.

大数学家海伦曾用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题.

如图2,作8关于直线/的对称点"，连接A8'与直线/交于点C,点C就是所求的

位置.

证明：如图3,在直线/上另取任一点C',连接AC',BC,B'C,

•・•直线/是点8,"的对称轴，点C,C在/上，

：.CB=CB',CB=C