北师大版七年级数学下册举一反三系列专题22平行线的判定【八大题型】同步练习(学生版+解析)

专题2.2平行线的判定【八大题型】

【北师大版】

♦题型梳理

【题型।平面内两直线的位置关系】.............................................................1

【题型2格点中作平行线】......................................................................2

【胭型3填写平行线判定的依据】...............................................................3

【题型4确定两直线平行的条件】...............................................................4

【题型5补充过程证明两直线平行】.............................................................5

【题型6利用平行线的判定进行证明】............................................................7

【题型7旋转使两直线平行】....................................................................8

【题型8平行线判定的实际应用】...............................................................9

►举一反三

【题型1平面内两直线的位置关系】

【例I】（2023下•北京延庆•七年级统考期末）如图的网格纸中，AB团，AB0

GB

【变式1-1]（2023下•吉林•七年级统考期中）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和两种

位置关系.

【变式1-2]（2023下•七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个

数为（）

A.0B.1C.2D.3

【变式1-3]（2023下•浙江•七年级专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段

可以抽象成两条一直线.

【例2】（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点

A、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7x7的方格纸中，找出格点G使的

面积为3,则满足条件的格点C的个数是（）

B

A.2个B.4个C.5个D.6个

【变式2-1]（2023下•陕西宝鸡•七年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，点4B,C,。在正方形

网格的格点上，请按要求画图并I可答问题：

ABc

\

\D

⑴过点8画直线8臼|4。：过点C画直线CFII4D；

⑵过点。画直线MN14。：

⑶试判断直线BE与直线CF的位置关系.

【变式2-2]（2023下•广东广州•七年级执信中学校考期中）如图，点4C,B,D在8x9网格的格点上，

每小方格是边长为1个单位长度的正方形.请按要求画图，并回答问题：

⑴过点C画直线A8的垂线，垂足为心并直接写出点C到直线48的距离；

⑵过点4画力FIIBC交于点F；

⑶请写出图中乙CBD的所有同位角.

【变式2-3]（2023下•江西抚州七年级统考期中）请仅用无刻度直尺完成下列作图.（注意：请将相关字

母标在相应位置上）

在图1的方格纸中过格点A作电线仇使bllQ.

【题型3填写平行线判定的依据】

【例3】（2023上•山西晋中•七年级统考期末）在同一平面内,洛两个完全相同的三角板按如图摆放，可以

画出两条互相平行的直线人与，2.这样画的依据是（）

A.内错角相等，两直线平行B.同位角相等，两直线平行

C.两直线平行，同位角相等D.两直线平行，内错角相等

【变式3-1]（2023下•山东泰安•七年级校考阶段练习）如图所示，一个弯形管道4BCD的拐角乙4"=110°,

/.BCD=70°,管道C。的关系是,依据是

【变式3-2]（2023下•河北石家庄•七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线a的平

行线b,如图是苗苗和小华画图的过程.老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的.甲、乙两位同学分

别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明：

甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行〃；

乙同学说：小华的画图依据是“在司一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行

对于甲、乙两同学的说法，下列判断正确的是（）

苗苗小华

a5

i

A.Z1=Z2B.43=z4C.Z5=ZCD.ZB4-^BDE=180°

【变式4-3］（2023上•河南南阳七年级统考期末）如图，已知条件：①/1二乙2；②42=43；③乙3=45；

@Z3+Z4=180°；⑤45+△6=180。；⑥47=42+43.其中不能够判定宜线。|仍的是.（只

【题型5补充过程证明两直线平行】

【例5】（2023下•福建宁德•七年级统考期中）请把以下说理过程补充完整:

如图，ABLBC,Zl+Z2=90°,/2=N3,

说明/法与平行的理由.

解：理由是：

因为48_LBC,

所以NA8C=°,即：Z3+Z4=

因为Nl+/2=90。，且N2=N3,

所以=（）.

【变式5-1］（2023下•北京延庆・七年级统考期末）如图，ZB+ZBAD=\S00,Z1=Z2.求证：A8||CD.请

将下面的证明过程补充完整.

AD

1

证明：

VZB+Z^D=180°（已知），

N1+NBAD=18O。（）,

，N1=NB（）.

VZ1=Z2（已知），

AZ2=（）.

：.AB\\CD（）.

【变式5-2]（2023下•四川达州•匕年级校考阶段练习）推理填空：

已知：如图AB1BC于B,CD1BC于C,Z1=42,求证：8EIICF.

证明：•.•/1818C于3,。0186?于。（已知）

Azi+43=90°,42+匕4=90°

与±3互余，22与24互余

又LI=/2（）,

:、=（）

：.BE\\CF（）.

【变式5-3]（2023下•浙江•七年级专题练习）完成下面的证明：己知：如图，BE平分448。，DE平分

且/1+42=90°.求证：AB||CD.

证明:〈DE平分乙BDC（己知），

：.LBDC=2Z1（）.

•••HE平分乙48D（已知），

・・.，ABD=_（角的平分线的定义；.

:,乙BDC+乙ABD=2zl+2乙2=2(/1+42)(_).

・・21+22=90。(己知)，

：.LABD+Z.BDC=().

【题型6利用平行线的判定进行证明】

【例6】（2023下.广西南宁.七年级统考期末）如图N1=30。，△8=60。，4B1AC,点8,C,E在同一直线

[\}LDAB+48等于多少度？

（2）若=zD.{口与CO平行吗？证明你的结论.

【变式6-1]（2023下•广东东莞•七年级校考期中）在四边形ABCD中,8E平分乙1=43.证明：ADWBC.

【变式6-2]（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，在A/IBC中，点。在边BC上，将△力BZ）沿4D翻折

得到△4ED,设BC与4E交于点凡

（1）若△218尸的周长为12,4OEF的周长4,求/!尸的长;

(2)若乙ADC=4OAC,证明：DEWAC.

【变式6-3］（2023下•陕西西安•七年级校考阶段练习）如图，直线A8和CD被直线MN所截.

⑴如图I,EG平分“EGFH^^Z-DFE（平分的是一对同旁内角）则乙1与乙2满足______时，ABWCD,

并说明平行的理由;

（2）如图2,EG平分乙MEB,F”平分匕OFE（平分的是一对同位角），则乙1与乙2满足时,ABWCD,并

说明平行的理由;

（3）如图3,EG平分乙4EF,"〃平分乙DFZ7（平分的是一对内错角），则乙1与乙2满足.时，ABWCD,并

说明平行的理由.

【题型7旋转使两直线平行】

【例7】（2023下•新疆乌鲁木齐•七年级校考期末）如图，若将木条。绕点。旋转后使其与木条。平行，则

旋转的最小角度为（）

C.95°D.115°

【变式7-1］（2023下•河北秦皇岛•七年级统考期中）如图所示，直线EF上有两点A,C,分别引两条射线48,CD,

=110u,ZDCF=60",射线48,C'。别绕A点，C'点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设

时间为/,在射线CD转动一周的町■间内，使得CO与力8平行所有满足条件的时间t=.秒・

E

B

A

C

D

【变式7-2］（2023下•河北石家庄•七年级统考期末）如图（1）,在△/1BC中，41=42。，8。力绕点。按逆

时针方向旋转一周回到原来的位置.在旋转的过程中（图（2））,当NACB'=()时，"AB.

Q)

A.42°B.138°C.42。或138°D.42。或128°

【变式7-3］（2023下•重庆•七年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN,A、3分别为直线MN、PQ上

两点，且，8/N=45。，若射线AM绕点顺时针旋转至4N后立即回转，射线8Q绕点3逆时针旋转至后立

即回转，两射线分别绕点A、点6不停地旋转，若射线转动的速度是a7秒，射线BQ转动的速度是b°/秒,

且心〃满足|a-5|+（匕-=0.若射线AM绕点A顺时针先转动18秒，射线BQ才开始绕点8逆时针旋

转，在射线3Q到达ZM之前，问射线再转动秒时，射线AM与射线。Q互相平•行.

【题型8平行线判定的实际应用】

【例8】（2023下•浙江台州•七年级统考期末）在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的，如图，已经知

道22是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，不用判断两条直轨是否平行（）

A.Z1B.43C.44D.Z5

【变式8-1］（2023卜.・江西赣州•七年级校联考期中）如图所示的四种沿/W进行折叠的方法中，不一定能判

断纸带两条边〃互相平行的是（）

图1图2图3图4

A.如图1,展开后测得Nl=/2B.如图2,展开后测得N1=N2且N3=N4

C.如图3,测得N1=N2D.在图4中，展开后测得Nl+N2=180。

【变式8-2］（2023下•全国•七年级专题练习）光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入

空气中也会产生折射现象，如图，光线。从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线从根据光学

知识有Nl=42,Z3=Z4,请判断光线〃与光线〃是否平行，并说明理由.

【变式8-3］（2023下•陕西延安•七年级统考期末）如图，一条公路绕湖而过，测得三个拐弯的角度分别为NA

=120°,ZB=150°,ZC=150°,试判断公路AE与CF是否平行,并说明理由.

A

EBC

专题2.2平行线的判定【八大题型】

【北师大版】

，题型梳理

【题型।平面内两直线的位置关系】..................................................................11

【题型2格点中作平行线】...........................................................................12

【题型3填写平行线判定的依据】....................................................................16

【题型4确定两直线平行的条件】....................................................................18

【题型5补充过程证明两直线平行】..................................................................22

【题型6利用平行线的判定进行证明】................................................................25

【题型7旋转使两直线平行】........................................................................29

【题型8平行线判定的实际应序】....................................................................34

，举一反三

【题型1平面内两直线的位置关系】

【例1】（2023下•北京延庆•七年级统考期末）如图的网格纸中，AB0,AB0.

【答案】CD,AE.

【分析】根据平行和垂直的定义结合网格即可作出判断.

【详解】解：由图可得AB团CD,而CD团AE,13可得AB12AE.

【点睛】本题考查了平行和垂直的判断，熟悉网格结构是解题关键.

【变式1-1]（2023下•吉林•七年级统考期中）在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和两种

位置关系.

【答案】平行

【分析】根据两宜线的位置关系解答即可.

【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交，

故答案为：平行.

【点睛】此题主要考查了平行线，关键是掌握在同•平面内，两条直线的位置关系有两种：平行和相交（重

合除外）.

【变式1-2]（2023下•七年级单元测试）同一平面内有三条直线，如果只有两条平行，那么它们交点的个

数为（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据题意先画出图形即可得到答案.

【详解】解：根据题意，第三条直线与这两条平行直线各有一个交点.如图,

【点睛】本题考查的是平面内，宜线的位置关系的理解，相交线的交点的含义，利用数形结合的方法解题

是关键.

【变式1-3]（2023"浙江•七年级专题练习）用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段

可以抽象成两条一直线.

太湖东路——1[-----

龙锦路^/L=====A

【答案】平行

【分析】根据平行线的定义，进行判断即可.

【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，

故答案为：平行.

【点睛】本题考查平面内两条直线的位置关系.熟练掌握同一平面内，不相交的两条直线是平行线，是解

题的关键.

【题型2格点中作平行线】

【例2】（2023下•江苏无锡•七年级校考阶段练习）如图网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，点

4、B是方格纸中的两个格点（网格线的交点称格点），在这个7x7的方格纸中，找出格点C,使的

面积为3,则满足条件的格点C的个数是（）

A.2个B.4个C.5个D.6个

【答案】D

［分析］利用格点的性质和三角形的面枳公式即可得.

【详解】由格点的性质和三角形的面积公式得，总共有6个满足条件的格点C,如图所示:（格点C均在平

行于AB的直线上）

其中，由点G，C2，C3，C4，Cs与点4B分别构成的5个三角形的面积显然是3

_S

△的面积为SMC3c6ABDC6-S直用梯形4ABDC3

111

=-x4x6--x3x3--x(34-6)xl

乙乙

【点睛】本题考查了平行线的实际应用，理解题意，结合格点的性质是解题关键.

【变式2-1］（2023下•陕西宝鸡•七年级统考期中）在如图所示的正方形网格中，点4B,C,。在正方形

网格的格点上，请按要求画图并回答问题：

（1）过点8画直线8臼口D；过点C画直线CFim。；

（2）过点D画直线MN140；

⑶试判断直线8E与直线CF的位置关系.

【答案】（1）见解析；

⑵见解析；

（3）BE\\CF,理由见解析.

【分析】（1）根据网格线的特点作图；

（2）根据网格线的特点作图；

（3）根据平行线的传递性证明.

•••BENAD,CFWAD,

.'.BEWCF.

【点睛】本题考查了作图的应用与设计，掌握网格线的特点及平行线的判定方法是解题的关键.

【变式2・2】（2023下•广东广州•七年级执信中学校考期中）如图,点4C,B,D在8x9网格的格点上,

每小方格是边长为1个单位长度的正方形.请按要求画图，并回答问题：

（1）过点。.画直线AN的垂线，垂足为占；并直接写出点C到直线48的距离；

（2）过点4画4FII8C交CE于点手;

⑶请写出图中乙C8D的所有同位角.

【答案】（1）图见解析；2

⑵图见解析

^}LBAF,/.BAC,Z-CED

【分析】（1）取格点E,作直线CE即可写；

（2）取格点F,连接4F即可;

（3）根据作图写出图中，C8。的所有同位角即可.

【详解】（1）解:如图,直线CE即为所求;

点C到直线的距离为2；

（2）解：如图,力产即为所求；

（3）解：的所有同彳立角有乙

【点睛】本题考查了作图一一应用与设计作图、点到直线的距离、画平行线，同位角，解决本题的关键是准

确画图.

【变式2-3］（2023下•江西抚州•七年级统考期中）请仅用无刻度直尺完成下列作图.（注意：请将相关字

母标在相应位置上）

在图1的方格纸中过格点A作直线。，使blla.

【分析】根据平行线的判定可取格点凡直线A尸即可.

【详解】解：如图1中，直线人即为所求.

【题型3填写平行线判定的依据】

【例3】（2023上•山西晋中•七年级统考期末）在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放，可以

画出两条互相平行的直线。与这样画的依据是（）

A.内错角相等，两直线平行B.同位角相等，西直线平行

C.两直线平行，同位角相等D.两直线平行，内错角相等

【答案】D

【分析】根据内错角相等，两直线平行直接得到答案.

【详解】解：由题意得41=42,

根据内错角相等，两直线平行可得匕11%.

【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键.

【变式3-1]（2023下•山东泰安•七年级校考阶段练习）如图所示，一个弯形管道/BCD的拐角乙48。=110°,

LBCD=70°,管道力8,C。的关系是,依据是

【答案】ABKD同旁内角互补，两直线平行

【分析】根据题意推出乙4BC+4800=110。+70。=180。，即可根据同旁内角互补，两直线平行得出结论.

【详解】解：团N4BC=110°,乙BCD=70°,

回乙ABC+乙BCD=110°+70°=180°,

团4811co（同旁内角互补,两直线平行）.

故答案为：ABWCD,同旁内角互补，两直线平行.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握同旁内角互补，两直线平行.

【变式3-2]（2023下•河北石家庄•七年级校考期末）数学课上老师要求同学们用三角板画已知直线a的平

行线b,如图是苗苗和小华画图的过程.老师说苗苗和小华两位同学的画法都是正确的.甲、乙两位同学分

别对苗苗和小华画平行线的依据进行了说明：

甲同学说：苗苗的画图依据是“同位角相等，两直线平行〃；

乙同学说：小华的画图依据是“在司一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行”.

【答案】A

【分析】根据平行线的判定定理即可得出结论.

【详解】苗苗画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行;

小华画平行线的依据是：内错角相等，两直线平行；

故甲正确，乙错误.

故选：B

【点睛】本题考查平行线的判定定理.掌握相关定理是解题的关键.

【变式3-3］（2023下•广东韶关•七年级统考期中）如图，木工用图中的角尺画平行线的依据是（）

①同位角相等，两直线平行；②平行于同一条直线的两条直线平行：③经过直线外一点，有且只有一条

直线与这条直线平行；④垂直于同一条直线的两条直线平行

A.①②B.②④C.①④D.③④

【答案】B

【分析】根据平行线的判定进行解答即可.

【详解】解：由题意知，木工用图中的角尺画平行线的依据是：同位角相等，两直线平行：垂直于同一条

直线的两条直线平行；

团依据为①④，

故答案为：C.

【点睛】本题考查了平行线的判定.解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用.

【知识点1平行线的判定】

①两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等,那么这两条直线平行.（同位角相等，两直线平行•）.

②两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等,那么这两条宜线平行.（内错角相等，两直线平行.

③两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补,则这两条直线平行.（同旁内角互补，两直线平行.）

【题型4确定两直线平行的条件】

【例4】（2023下•安徽六安•七年级校考阶段练习）如图，下列条件能判定的是（）

C.Z1=43B.Z4=Z5

D.C.乙B=乙DD.zfi+z2+Z4=180°

【答案】D

【分析】根据平行线的判定定理求解判断即可.

【详解】解：A.匕1=乙3,不能判定力8||CD,不符合题意；

B.乙4=乙5,根据内错角相等，两直线平行可判定力。II3C,不能判定力8||CD,不符合题意:

C.乙B=4,不能判定48||CO,不符合题意；

D.NB+24+42=180。，根据同旁内角互补，两直线平行可判定4B||C。，符合题意.

【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”及“同旁内

角互补，两直线平行”是解题的关漫.

【变式4-1］（2023下•河北廊坊•七年级统考期末）如图，下列说法错误的是（）

A.若41=42,贝必BIICCB.若41+/3=180。，则/BIICD

C.若匕3=45,贝MBIICOD.若乙4=45,^\AB\\CD

【答案】B

【分析】根据平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角用等，两直线平行；同旁内角互补，两直线

平行，对各项进行判断即可.

【详解】解：A、zl=z2,根据同位角相等，两直线平行，可判定ABIICD,故本选项不符合题意：

B、如图，

•••Z14-Z3=180°,乙1+乙6=180°,

:.z3=z.6>

-.ABWCD,故本选项不符合题意；

C、Z.3,乙5不是内错角，故乙3=乙5不能判定力8IICD,本选项错误，故本选项符合题意:

D、44,NS是内错角，可以判定例IC。，故本选项不符合题意.

【点睛】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答本题的关键.

【变式4-2］（2023下川1东日照•七年级统考期末）如图，在下列给出的条件中，不能判定DEIIBC的是（）

A.41=42B.43=24C.Z5=Z.CD.+/.BDE=180°

【答案】A

【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可.

【详解】因为乙1=乙2,

所以DEII8C,

故A不符合题意；

因为43=Z4,

不能判断0EII8C,

故B符合题意；

因为NS=Z.C.

所以DEIIBC,

故C不符合题意：

因为48+48。£=180°,

所以DEII8C,

故D不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键.

【变式4-3］（2023上,河南南阳•七年级统考期末）如图，己知条件：①41=匕2：②乙2=43；③乙3=45；

④，3+匕4=180°；⑤乙5+匕6=180°；⑥△7=乙2+乙3.其中不能够判定直线a||Z?的是.（只

填序号）

6

【答案】@@©©⑥

【分析】根据内错角相等，两直线平行，即可判断①；根据同位用相等，两直线平行，即可判断③；根据同

旁内角互补，两直线平行，即可判断④；根据同角的补交相等可得乙4=/6,再根据同位角相等，两直线平

行，即可判断⑤；过点B作则乙3=4/180,从而得出乙2=48D,进而得出BD||a,最后根据平行

于同一直线的两直线互相平行，即可判断⑥.

【详解】解：①・・21=42,

/.Glib,

故①能够判定直线all。，符合题意；

②，2=乙3不能判定Q||b,故②不符合题意；

③*23=45,

r.allb,

故③能够判定直线allb,符合题意；

@Vz3+z4=180°,

/.Glib,

故④能够判定直线allb,符合题意：

@Vz5+z6=180°,Z5+Z4=180°,

z4=z.6»

A.'.allb,

故⑤能够判定直线allb,符合题意；

VBDII/J,

・"3=Z.ABD,

Vz7=z2+z3,z7=2480+乙CBD,

:q=乙CBD,

：.BD\\a,

Aallb.

故⑥能够判定直线allb,符合题意；

综上：能够判定直线可仍的有：①③④⑤⑥.

故答案为：①③④⑤©.

【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理，解题的关键是掌握：同位角相等，两直线平行；内错角相等,

两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一直线的两直线互相平行.

【题型5补充过程证明两直线平行】

【例5】(2023下•福建宁德•七年级统考期中)请把以下说理过程补充完整：

如图，ABLBC,Zl+Z2=90°,Z2=Z3,

说明BE与。尸平行的理由.

解：理由是：

因为A8_L8C,

所以NA3O\即：Z3+Z4=°,

因为Nl+N2=90。，且N2=N3,

所以二().

【答案】90,90：Z.1,Z4,等角的余角相等；同位角相等两直线平行

【分析】由A8垂直于4C,利用垂直的定义得到N48。为直角，进而得到N3与N4互余，再由N1与N2互

余，根据N2=N3,利用等角的余角相等得到N1=N4,利用同位角相等两直线平行即可得证.

【详解】解：理由是：

:.N/WC=90。，

即N3+N4=90。.

又•・・N1+N2=9O°,

且N2=N3,

AZ1=Z4,

理由是：等角的余角相等，

：,BE//DF.

理由是：同位角相等，两直线平行.

故答案为：90；90：Zl,Z4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行.

【点睛】本题考查了平行线的判定以及余角和补角，利用等角的余角相等找出N1=N4是解题的关键.

【变式5-1］（2023下•北京延庆•匕年级统考期末）如图，ZB+ZBAD=18O°,Z1=Z2.求证：A3||CD.请

将下面的证明过程补充完整.

证明：

VZB+ZBAD=180°（已知）,

Zl+ZBAZ>180°（）,

，N1=NB（）.

VZ1=Z2（已知），

AZ2=（）.

：.AB\\CD（）.

【答案】见解析

【分析】根据平行的判定定理证明即可.

【详解】•・・N8+N/MQ=180。（已知），

Nl+NBAD=180°（平角定义）,

・・・N1=N8（同角的补角相等）.

VZ1=Z2（已知），

AZ2=ZB（等量代换）.

AXBHCD（同位角相等，两条直线平行）.

【点睛】本题考查平行线的判定定理，解题的关键是掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内

错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.

【变式5-2］（2023下•四川达州•七年级校考阶段练习）推理填空：

已知：如图力B18C于B,CD工BC于C,zl=Z2,求证：BEWCF.

证明：V/4Z71DCT。。_13。于。（已如）

Azi+t3=90°,42+乙4=90°

.二/l与43互余，乙2与乙4互余

XVZ1=Z2（）,

：•=（）

：,BEWCF（）.

【答案】已知；/3；△4；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行

【分析】注意观察图中角之间的位置关系，主要依据为同角或等角的余角相等，平行线的判定定理.

【详解】解：于8,。。18。于。（已知）

Azi+匕3=90°,Z24-Z4=90°

工/1与匕3互余，42与44互余

又1・41=乙2（已知）,

・"3=Z4（等角的余角相等）

：.BE\\CF（内错角相等，两直线平行）.

【点睛】本题主要考杳同角或等角的余角相等，内错角相等，两直线平行；熟练相关定理的运用是解题的关

键.

【变式5-3］（2023下•浙江•七年级专题练习）完成下面的证明：已知：如图，BE平分上MD,DE平分48DC,

且乙1+乙2=90。.求证：ABIICD.

证明：；DE平分乙BDC（已知），

：.LBDC=2Z1().

；BE平分乙ABD(已知)，

(角的平分线的定义).

・"BDC+乙ABD=2zl+2z2=2(zl+z2)(_).

Vzl+z2=90。(已知)，

：.LABD+乙BDC=().

：.AB||CD().

【答案】角平分线的定义；2Z2；等式的性质；180。；等量代换；同旁内角互补，两直线平行

【分析】首先根据角平分线的定义可得NBOC=241,（ABD=2乙2,根据等量代换可得N8DC+4力80=

2Z1+2Z2=2（Zl+42）,进而得到4180+乙BDC=180°,然后再根据同旁内角互补两直线平行可得答案.

【详解】证明：・・*E平分N8DC（已知），

：.ABDC=2zl（角平分线的定义）.

〈BE平分乙ABD（已知），

：.Z.ABD=2Z2（角的平分线的定义）.

C.LBDC+LABD=2zl+2z2=2（zl+z2）（等式的性质）.

Vzl+z2=90°（已知），

：.LABD+/-BDC=180°（等量/弋换）.

||CD（向旁内角互补两直线平行）.

【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线定义和平行线的判定方法.

【题型6利用平行线的判定进行证明】

【例6】（2023下•广西南宁・七年级统考期末）如图乙1=30。，乙8二60。，力B14C,点3,C,E在同一直线

(l)zD4B+，8等于多少度？

(2)若=Z-D,AB与CD平行吗?证明你的结论.

【答案】(1)180

(2)平行，理由见解析

【分析】(1)由A81AC^Z.BAC=90°,已知41=30°,乙B=60°,根据乙=乙1+Z.BAC+计

算即可;

(2)由(1)得：^DAB+zil?=100°,结合乙。=乙。，得乙。/W十乙。=180°,根据“同旁内角互补，两直

线平行”，即可证明28与CD平行.

【详解】(1)-AB1AC,

:.Z.BAC=90°,

又•；Z1=30°,乙B=60°,

二^DAB+=41+乙BAC+Z.B=30°+90°+60°=180°,

故，。力5+48等于180度.

(2)•••乙B=乙D,

由(1)得：乙DAB+4B=180°,

•••Z.DAB+Z.D=180°>

48与CD平行.(同旁内角互补，两直线平行)

【点睛】本题考查了角度计算、平行线的判定，熟练计算、掌握平行线的判定定理“同旁内角互补，两直线

平行”，是解题的关键.

【变式6-1](2023下•广东东莞•七年级校考期中)在四边形力BCD中,IE平分4BC,△1=乙3.证明：AD\\BC.

【答案】见解析

【分析】根据角平分线的定义可得乙1=乙2,再由乙1=43,可得42=乙3,根据内错角相等，两直线平行,

即可得证.

【详解】证明：：8E1平分4WC,

zl=z2»

又41=23,

•••z2=Z3,

•••ADWBC.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键.

【变式6-2]（2023下•福建泉州•七年级统考期末）如图，在△4"中，点。在边8。上，将△45。沿4。翻折

得到△4ED,设8C与力E交于点F.

（1）若的周长为12,△CEF的周长4,求AF的长；

（2）若N/1OC=4O/1C,证明：DEWAC.

【答案】（I）力"的长为4；

⑵见解析

【分析】（1）设BD=a,0尸=儿由折叠的性质得DE=BO=a,4B=4E=x+E",再根据周

长公式列式计算即可求解；

（2）由折叠的性质得44DB=Z4DE,由邻补角的性质结合已知，推出ND4C+2/DE=180。，根据平行线

的判定定理即可得到结论.

【详解】（1）解：设BO=Q,DF=b,AF=x.

•••将△480沿力。翻折得至1卜AED,

•»DE=BD=a,AB=AE=xEF,

,・NDEF的周长4,

・・・EF=4-(a+b),

••AB=x+4—(Q+b),

的周长为⑵，

+4—(a+b)+a+b+X=12,

解得%=4,即人尸的长为4；

(2)证明：由折叠的性质得乙1D8=乙/WE,

£ADC+^ADB=180°,

：.LADC+Z.ADE=180°,

*：LADC=Z.DAC,

：.LDAC+Z.ADE=180°,

：.DE\\AC.

【，点睛】本题考杳了折叠的性质，平行线的判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.

【变式6-3](2023下•陕西西安•匕年级校考阶段练习)如图，直线力3和C。被直线MN所截.

(1)如图1,EG平分"E",FH平分4D/E(平分的是一对同旁内角)，则乙1与乙2满足______时，AB\\CD,

并说明平行的理由；

(2)如图2,EG平分乙MEB,尸“平分ZDFE(平分的是一对同位角)，则乙1与乙2满足______时，AB\\CD,并

说明平行的理由；

(3)如图3,EG平分〃"，尸"平分4尸E(平分的是一对内错角)，则21与42满足时，ABWCD,并

说明平行的理由.

【答案"1)41+乙2=90。，见解析

(2比1=42,见解析

(3)工1=乙2,见解析

【分析】(1)根据角平分线的定义可得乙8EF=241,乙EFD=2z.2,故Z.1与42满足+△2=90。，即可

得出ZBEF+乙EFD=2(41+42)=180°,即可判断4B||CD；

(2)根据角平分线的定义可得N8EM=2乙1,乙EFD=2z2,故41与上2满足Nl=z2,即可得48EM=乙DFE,

即可判断4BIICD；

（3）同（2）的分析即得结论.

【详解】（1）当乙1与乙2满足乙1+乙2=90。时，ABWCD,理由如下:

TEG平分NBE",FH平分

C.LBEF=2zl,^EFD=2z2,

Vzl+Z2=90°,

：.Z.BEF+乙EFD=2（Z1+Z2）=180°,

：.AB\\CD；

（2）当21与N2满足N1=42时，ABWCD,理由如下：

TEG平分乙ME8,FH平分乙OFE,

：,LBEM=2Z.1,/.EFD=2Z.2,

=乙2,

=乙DFE,

•MBIICD；

TEG平分乙AEF,FH平分NCFE,

/.LAEF=2z.l,Z,EFD=2z.2»

Vzl=z2,

，乙4E产=Z-DFE,

：.AB\\CD.

【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，常见的判

定两直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平

行.

【题型7旋转使两直线平行】

【例7】（2023下•新疆乌鲁木齐七年级校考期末）如图，若将木条。绕点O旋转后使其与木条力平行，则

旋转的最小角度为（）

A.65°B.85°C.95°D.115°

【答案】A

【分析】根据同位角相等两宜线平行可得当NAOB=65。时，allb,进而算出答案.

【详解】解：•・•当NAO8=65。时,a\\b

・•・旋转的最小角度为150°-6旋=8的,

故选：B

【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等两直线平行.

【变式7-1］（2023下•河北秦皇岛•七年级统考期中）如图所示，宜线EF上有两点A,C,分别引两条射线/W,CD,

ZR4F=110°,乙DCF=60。,射线AB,C。别绕A点,C点以1度/秒和3度/秒的速度同时顺时针转动，设

时间为/，在射线CD转动一周的时间内，使得CD与力8平行所有满足条件的时间£=秒.

【答案】5或95

【分析】分①为8与在"的两侧时，分别表示出乙4co与乙b4C，然后根据内错角相等两直线平行，列式计

算即可得解；②CD旋转到与AB都在EF的右侧，分别表示出乙OC产与乙8AC,然后根据同位角相等两直线平

行，列式计算即可得解；③CD旋转到与718都在的左侧，分别表示出ZDCF与4BAC,然后根据同位角相

等两直线平行，列式计算即可得解.

【详解】VzDCF=60°,

：./.ACD=180°-乙DCF=180°-60°=120°,

分三种情况：

如图①，48与CD在EF的两侧时，Z.ACD=120°-(3。°,Z.BAC=110°-产,

E

力卜T

D

F

①

要使ABIICZ),则44CD=乙BAC,

BP120°-(3t)°=110°-t°,

解得£=5；

如图②，CD旋转到与4B都在Er的右侧时，

②

乙DCF=360°-(3t)°-60°=300°-(3t)°»^BAC=110°-t°,

要使力贝ij4=

即300°-(31)。=110°-产,

解得”95；

如图③，。。旋转到与都在EF的左侧时，

③

乙DCF=(3t)°-(180°-60°+180°)=(3t)°-300°,Z-BAC=俨一1100,

要使48IIC0,MzDCF=Z-BAC,

BP(3t)°-300o=to-110°,

解得£=95,

此时/847=£。-110。＜0。,

工此情况不存在.

综上所述，当时间，的值为5秒或95秒时，CD与48平行.

故答案为：5或95.

【点睛】本题考查了平行线的判定、一元一次方程的应用,读懂题意并熟练掌握根据平行线的判定方法列方

程是解题的关键，要注意分情况讨论.

【变式7-2］（2023下•河北石家庄•七年级统考期末）如图(1),在△力8C中，乙4=42。，BC边绕点。按逆

,当乙()时，CB'//AB.

⑴Q)

A.42°B.138°C.42。或138。D.42。或128°

【答案】B

【分析】结合旋转的过程可知，因为。夕位置的改变，乙4C夕与/A可能构成内错角，也有可能构成同旁内

角，所以需分两种情况加以计算即可.

【详解】解：如图（2）①,

当/4CB'=42。时，

Vz/1=42°,

/.ZACBf=ZA.

:‘CB'〃AB.

如图(2)②,

B'

------------------B

图⑵②

当NACB'=138°时，

,:NA=42。，

・•・，力CB'+z/l=138°+42°=180°.

综上可得，当匕4。夕=42°或乙4CB'=138°时，CB,〃AB.

故选：C

【点睛】本题考查了平行线的判定、分类讨论的数学思想等知识点，根据C9在旋转过程中的不同位置，进

行分类讨论是解题的关键.

【变式7-3]（2023下•重庆•七年级重庆八中校考阶段练习）如图，PQ//MN,A、B分别为直线MN、PQ上

两点，且NB4N=45。，若射线4M绕点顺时针旋转至4N后立即I可转，射线8Q绕点B逆时针旋转至BP后立

即回转，两射线分别绕点4、点月不停地旋转，若射线4M转动的速度是屋/秒，射线8Q转动的速度是//秒,

且。、〃满足|。一5|+（匕-I/=0.若射线绕点八顺时针先转动18秒，射线8Q才开始绕点4逆时针旋

转，在射线8Q到达84之前，问射线再转动秒时，射线力M与射线BQ互相平行.

【答案】15或22.5

【分析】先由题意得出a,b的值，再推出射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，AM转动至AM'的位置,

ZMAM/=18°x5=90°,然后分情况讨论即可.

【详解】V|a-5|+（b-l）2=0,

a=5,b=l,

设射线AM再转动t秒时，射线AM、射线BQ互相平行，如图，射线AM绕点A顺时针先转动18秒后，

AM转动至AM'的位置，ZMAM