北师大版九年级上册压轴题数学数学模拟试题

北师大版九年级上册压轴题数学数学模拟试题

一、压轴题

1.如图，在平面直角坐标系中，点0为坐标原点，抛物线y=x?+bx+c交x轴于点

A、点B(点A在点B的左边)，交y轴于点C,直线y=kx-6k(k/0)经过点B,交y轴

于点D,且CD=OD,tan^OBD=-.

3

(1)求b、c的值；

(2)点P(m,m)在第一象限，连接OP、BP,若/OPB=/ODB，求点P的坐标，并直

接判断点P是否在该抛物线上；

(3)在(2)的条件下，连接PD,过点P作PF//BD,交抛物线于点F,点E为线段PF上一

点，连接DE和BE,BE交PD于点G,过点E作EH_LBD，垂足为H,若

EG

NDBE=2NDEH,求一的值.

2.已知函数y=X+2"Z-l,%=(2m+l)x+l均为一次函数，m为常数.

(1)如图1,将直线A。绕点A(-1,0)逆时针旋转45°得到直线/,直线/交y轴于点

B.若直线/恰好是y=1+21,%二(2〃z+l)x+l中某个函数的图象，请直接写出点B

坐标以及m可能的值；

(2)若存在实数b,使得二5二0成立，求函数

X=工+2m_1,%=(2加+1»+］图象间的距离；

(3)当机>1时，函数y=工+2〃?-1图象分别交x轴，y轴于C,E两点，

y=(2m+l)x+l图象交x轴于D点，将函数y=y・y的图象最低点F向上平移一^—

2m+1

个单位后刚好落在一次函数到二x+2机-1图象上，设)，=)卜)，2的图象，线段OD,线段

QE1围成的图形面积为S,试利用初中知识，探究S的一个近似取值范围.(要求：说出

一种得到S的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范

围两端的数值差不超过0.01.)

3.在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx・3过点4(-3,0),B(1,0),与y轴交

于点C,顶点为点0.

图1图2

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为直线C。上的一个动点，连接BC；

①如图1,是否存在点P,使NP8c=N8CO?若存在，求出所有满足条件的点P的坐标；

若不存在，请说明理由；

②如图2,点P在x轴上方，连接外交抛物线于点N,NPA8=N8C。，点M在第三象限

抛物线上，连接MN,当NANM=45°时，请直接写出点M的坐标.

4.在平面直角坐标系中，O是坐标原点，抛物线£,：)，='/+法一2的顶点。在第四

aa

象限，且经过旧(1+皿九),3(1-〃?,〃)(6>0,〃>0)两点直线A8与)'轴交于点C，与抛

物线的。对称轴交于点E，AC-8C=8,点E的纵坐标为L

(1)求抛物线4所对应的函数表达式；

(2)若将直线A3绕着点七旋转，直线A3与抛物线乙有一个交点Q在第三象限，另一

个交点记为抛物线右与抛物线。关于点?成中心对称，抛物线右的顶点记为。.

①若点Q的横坐标为-1,弛物线。与抛物线L2所对应的两个函数》的值都随着工的增大而

增大，求相应的x的取值范围；

②若直线PQ与抛物线右的另一个交点记为Q,连接PR,QR,试间：在旋转的过程

中，NP。。的度数会不会发生变化？请说明理由.

5.如图，过原点的抛物线y=-]x2+bx+c与x轴交于点A（4,0）,B为抛物线的顶点，

连接OB,点P是线段OA上的一个动点，过点P作PC_LOB,垂足为点C.

（1）求抛物线的解析式，并确定顶点B的坐标；

（2）设点P的横坐标为m,将△POC绕着点P按顺利针方向旋转90。，得△POC,当点CT

和点U分别落在抛物线上时，求相应的m的值；

（3）当（2）中的点U落在抛物线上时，将抛物线向左或向右平移n（0<n<2）个单位，

点B、U平移后对应的点分别记为夕、C〃，是否存在n,使得四边形OBt"A的周长最短？

若存在，请直接写出n的值和抛物线平移的方向，若不存在，请说明理由.

K为Bv

6a.如图1£,在中，ZA=90°,AB=AC,点。，E分别在边43,AC

上，AD=AE，连接。。，点M，尸，N分别为DE,DC，8C的中点.

（2）探究证明：把绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接必V,BD，

CE,判断△2；断的形状，并说明理由；

（3）拓展延伸：把绕点A在平面内自由旋转，若AQ=4,A3=10,请直接写出

△PMN面枳的最大值.

7.（问题发现）（1）如图①，在“8c中，AC=BC=2,Z4CB=90°,。是BC边的中

点，E是48边上一动点，则EC+ED的最小值是.

（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点八（-2.3）,B（.3,4）为圆

心，以1、3为半径作。4、08,M、N分别是GM、0B上的动点，点P为x轴上的动

点，试求PM+P/V的最小值.

（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据

设计要求，边框48长为2米，边框8c长为3米，ND4B=NB=NC=90。，联动杆DE长

为2米，联动杆OE的两端。、E允许在4）、CE所在直线上滑动，点G恰好是。E的中

点，点F可在边框8c上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆4F与FG长度和的最小

值并说明理由.

8.。。是四边形ABCD的外接圆，O3_LAC,OB与AC相交于点H,

BC=2®,AC=CD=12.

(1)求。0的半径；

(2)求AD的长；

(3)若E为弦CD上的一个动点，过点E作EF〃AC,EG//AD.EF与AD相交于点F,EG与

AC相交于点G.试问四边形AGEF的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积；若不

存在，请说明理由.

9.如图，抛物线y一改2-6%+。交*轴于人，3两点，交y轴于点C.直线)，二一工+5经

过点B,C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)抛物线的对称轴/与直线BC相交于点P,连接ACAP,判定△APC的形状，并

说明理由；

(3)在直线3c上是否存在点M,使40与直线8c的夹角等于44c8的2倍？若存

在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.

10.对于。C与。C上的一点4,若平面内的点P满足：用•缆AP与OC交于点Q(点Q可

以与点P重合)，且则点P称为点4关于OC的“生长点”.

已知点O为坐标原点，OO的半径为1,点4(-1,0).

(1)若点P是点A关于。。的“生长点”，且点P在X轴上，请写出一个符合条件的点P

的坐标；

(2)若点8是点4关于0。的“生长点”，且满足=；,求点8的纵坐标「的

取值范围；

(3)直线y=y/3x+力与x轴交于点M,与y轴交于点N,若线段MN上存在点A关于

O0的“生长点”，直接写出b的取值范围是.

11.如图，在中，E为边8。的中点，尸为线段AE上一点，连结8厂并延长交

Anpp

边40于点G,过点G作AE*的平行线，交射线DC于点H,设F=K=X.

ABAF

(1)当x=l时，求AG:AB的值；

S

(2)设铲丝二y,求y关于工的函数关系式;

(3)当DH=3HC时,求x的值.

12.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线48经过点A(-2,0),与y轴的正半轴

交于点B,且。凶=2。3.

(2)点C在直线48上，且8C=48,点E是y轴上的动点，直线EC交x轴于点D,设点

E的坐标为(0.m)(m>2),求点。的坐标(用含m的代数式表示)：

(3)在(2)的条件下，若CE：8=1：2,点F是直线上的动点，在直线AC上方的

平面内是否存在一点G,使以C,G,F,E为顶点的四边形是菱形？若存在，请求出点G

的坐标；若不存在，请说明理由.

13.如图，在平面直角坐标系中，函数)=4。>0)的图象经过点A(1,4)和点B,过点

x

A作AC_Lx轴，垂足为点C,过点B作BD_Ly轴，垂足为点D,连结AB、BC、DC、DA,点

B的横坐标为a(a>l)

(2)若4ABD的面积为4；

①求点B的坐标，

②在平面内存在点E,使得以点A、B、C、E为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合

条件的所有点E的坐标.

14.如图，RtZXABC中，/C=90",AB=15,BC=9,点P,Q分别在BC,AC±,CP=

3x,CQ=4x(0<x<3).把aPCQ绕点P旋转，得到APDE,点D落在线段PQ上.

(1)求证：PQ〃AB；

(2)若点D在/BAC的平分线上，求CP的长；

(3)若4PDE与AABC重叠部分图形的周长为T,且12WTW16,求x的取值范围.

A

Q

D

c,B

P

15.如图，已知矩形ABCD中，AB=8,AD=6,点E是边CD上一个动点，连接AE,将

△AED沿直线AE翻折得AAEF.

(1)当点C落在射线AF上时，求DE的长；

(2)以F为圆心，FB长为半径作圆F,当AD与圆F相切时，求cos/FAB的值；

⑶若P为AB边上一点，当边CD上有且仅有一点Q满/BQP=45。，直接写出线段BP长的

取值范围.

16.如图，在平面直角坐标系中，以原点。为中心的正方形ABCD的边长为4m,我们把

轴时正方形ABCD的位置作为起始位置，若将它绕点0顺时针旋转任意角度。时，

k

它能够与反比例函数>=一(2>0)的图象相交于点E,F,G,H,则曲线段EF,HG与线段

X

EH,GF围成的封闭图形命名为"曲边四边形EFGH〃.

(1)①如图1,当轴时，用含m,k的代数式表示点E的坐标为；此时

存在曲边四边形EFGH,则k的取值范围是；

②己知人=3加2，把图1中的正方形ABCD绕点。顺时针旋转459时，是否存在曲边四边

形EFGH?请在备用图中画出图形，并说明理由.当把图1中的正方形ABCD绕点0顺时针

旋转任意角度。时，直接写出使曲边四边EFGH存在的k的取值范围.

③若将图1中的正方形绕点0顺时针旋转角度。180。)得到曲边四边形EFGH,

根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH

是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；

(2)正方形ABCD绕点。顺时针旋转到如图2位置，已知点A在反比例函数

L

y=—(4>())的图象上，AB与y轴交于点M,A8=8,AM=1,试问此时曲边四边

X

EFGH存在吗？请说明理由.

（1）求此抛物线的解析式和直线AB的解析式；

（2）如图①，动点E从。点出发，沿着0A方向以1个单位/秒的速度向终点A匀速运

动，同时，动点F从A点出发，沿着AB方向以④个单位/秒的速度向终点B匀速运动，

当E,F中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF,设运动时间为t秒，当t

为何值时，4AEF为直角三角形？

（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A,B处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖

P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P与A,B两点构成尢数个三角形，在这些三角形

中是否存在•个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P的坐标；

18.如图，在矩形ABCD中，已知AB=4,BC=2,E为AB的中点，设点P是NDAB平分线

上的一个动点（不与点A重合）.

（1）证明：PD=PE.

（2）连接PC,求PC的最小值.

（3）设点0是矩形ABCD的对称中心，是否存在点P,使NDPO=90。？若存在，请直接写

出AP的长.

19.如图①，在矩形A3CO中，AB=3cm,点E从点A出发，沿射线AC

以。（cm/s）的速度匀速移动.连接力石，过点E作所，力七,石产与射线BC相交于点

尸，作矩形。及G，连接CG.设点E1移动的时间为"s）,ACOE的面积为S（cm?）,S与

/的函数关系如图②所示.

（2）求矩形OEFG面积的最小值；

⑶当AC/X；为等腰三角形时，求f的值.

20.在锐角△力胸中，AB=AC,［。为a'边上的高，£为力。中点.

（1）如图1,过点。作CL协于/点，连接跖若/胡比20°,求的度数：

（2）若V为线段初上的动点（点时与点〃不重合），过点。作。归_加于十点，射线

EN,/1B交于P点、.

①依题意将图2补全；

②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点运动的过程中，始终有N47F2/物〃.

小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：

想法1：连接DE,要证N.4陷2N.物〃，只需证N必决24必〃.

想法2：设乙胡介。，NDA8B,只需用a,£表示出N&C通过角度计算得

ZAPB~2a.

想法3：在AE上取点0,使乙必/2乙必〃，要证/力/沪2乙必〃只需证

...

请你参考上面的想法，帮助小宇证明/力〃=2/物〃.（一种方法即可）

A

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、压轴题

1.(1)/?=pC=4：(2)P(4,4),点P在抛物线匕(3)2.

【解析】

【分析】

⑴直线y=kx-6k,令y=0,则B(6,0),便可求出点D、C的坐标，将B、C代入抛物线中，

即可求得b、c的值：

⑵过点P，作PL_Lx轴于点L,过点B作BT_LOP于点T,先求出点P的坐标为(4,4),

再代入抛物线进行判断即可；

⑶连接PC,过点D作DMJ_BE于点M,先证△PCDg/^PLB,再分别证四边形EHKP、FDKP

EG

为矩形，求得一=2.

EF

【详解】

解：⑴如图，直线y=kx_6k(kwO)经过点B,

令y=0,则x=6,即B(6,0),

・・・tan/OBD=-,.・.OD=2,・,.D（0,2）,

・.・CD=OD,.,.0€=4,点C（0,4）,

1、

•点B、C在抛物线丫二一一x"+bx+c上,

3

--x62+6Z?+c=0bd

3,解得：・3,

c=4c=4

函数表达式为：y=-2x2+?x+4…①；

33

PT

•・•点P（m,m）在第一象限，.•.PL=OL=m,

.•.^POL=45。，OP=厮，

/.OT=BT=OBsin45=3五，

OP=4\/2，/.OL=POcos453=m=4，

・・・P（4,4）,

I4

当x=4时，y=一一x2+—x+4=4,

33

故点P在抛物线上；

・.・P（4,4）,C（O,4）,

.•.PC〃x轴，

，PCD=/PLB=90，

・.・PC=PL=4,

.•.CD=BL=2,

..△PCD噌APLB（SAS）.

.•2CPD=4PB,PB=PD，

"PB="PL+4PB="PL+/CPD=90，

NPDB=45,

过点P作PK_LBD于点K,连接DF,

.-.EH//PK,.-.PK=DK=BK=-!-BD,

2

・.・PF//BD,••・四边形EHKP为平行四边形，

•・•NPKH=90，四边形EHKP为矩形，

EH=PK=-BD,

2

•.•^DBE-2^DEH，EHJ_BD,

/BDE=90-/DEH，

在aBDE中，4ED=180'一"DE-"BE=90-4EH，

/.^BDE=^BED，BD=BE，

EH1.八el

/.----=—=sin/HBE,

EB2

NHBE=3O，

过点D作DM_LBE于点M,

^MDB=60，/DE=/BED=75°，

/."DM=75-60=15°，NEDG=75-45°=30，

/.^DGE=75%/.ED=DG»/.EM=MG=-EG,

2

・.・PF//BD,「.直线PF与BD解析式中的k值相等，

二.YPF=_QX+-^...②，

JJJ

联立①②并解得：x—l,即F（l,5）,

PF=VT5,

・・・BD=2M，DK=Vio,

•••PF//DK,PF=DK.•••四边形FDKP为平行四边形，

•・•NDKP=90，二•四边形FDKP为矩形，

.•./FDK=90，.•.NFDE=90'-75°=15°，

/.^fFDE=x^MDE，

•.•EF_LDF，EM±DM,

.•.EF=EM,

.•毕=2.

EF

【点睛】

本题主要考查了二次函数的图象与性质，四边形综合性质，解直角三角形等知识，综合性

很强，难度很大.

C4GlC

2.(1)(0,1)；1或0(2)五(3)-----<S<—

1200010

【解析】

【分析】

(1)由题意，可得点B坐标，进而求得直线/的解析式，再分情况讨论即可解的m值；

(2)由非负性解得m和b的值，进而得到两个函数解析式，设/与x轴、y轴交于T,

P，%分别与x轴、y轴交于G,H,连接GP,TH,证得四边形GPTH是正方形，求出GP

即为距离；

(3)先根据解析式，用m表示出点C、E、D的坐标以及y关于x的表达式为

)'=乂・%=(2m+l)f+4"PR+2"?-1,得知y是关于x的二次函数且开口向上、最低

2"/(2"/-1丫、

点为其顶点尸--~J~一，根据坐标平移规则，得到关于m的方程，解出m

2m+12m+1

\/

值，即可得知点D、E的坐标且抛物线过D、E点，观察图象，即可得出S的大体范围，

如：S<S：，较小的可为平行丁DE且与抛物线相切可围成的图形面积•

【详解】

解：(1)由题意可得点E坐标为(0,1),

设直线/的表达式为y=kxT,将点A(-1,0)代入得：k=l,

所以直线/的表达式为：y=x+l,

若直线/恰好是X=x+2〃?-l的图象，则2m-1=1,解得：m=l,

若直线/恰好是％=(2〃z+l)x+1的图象，则2m+l=l,解得：m=0,

综上，6(0,1),〃2=1或者"7=0

(2)如图，•,­|/??|-Jl-b=0

.,1时+(1-〃)，1一〃=0

,/1/??|>0,l-Z?>0

/.|w|=0,l-Z?=0

/.tn-0

AJi=X-1,)，2=X+1

设M与x轴、y轴交于T,P,先分别与X轴、y轴交于G,H,连接GP,TH

•・・OG=OH=OP=OT=1,PH1GT

二.四边形GPTH是正方形

:.GH!/PT,ZHGP=90°,即HG上GP

•/HP=2

GP=e：

（3）y1=x+2m-1,y2=（2/??+l）x+l

・.•y=x+2〃2-l分别交x轴，y轴于C,E两点

.\C（l-2w,0）,E（0,2m-l）

y2=（2m+1）1+1图象交*轴于D点

（1、

:.D---------,0

I2〃?+1J

22

,/y=y\-y2=（x+2/7?-l）[（2/??+1）X+1]=（2AW+1）A+4mx+2m-l

•/m>1

/.2/w+l>0

・•・二次函数y=（2m+l）f+4，x+2"z—1开口向上，它的图象最低点在顶点

2疗（231）2

••・顶点尸

2m+1Im+1

•••抛物线顶点F向上平移产一，刚好在一次函数M"X+2"?-1图象上

2m+1

_包二+e一=_3二+（2〃z—1）且m>1

2m+12m+12tn+1

/.m=2

2

y=yi-y2=5x+16x4-3=（x+3）（5x+1）,

y=x+3,y2=5x+1

（iA

.•.由y=x+3,%=5x+l得至ij£）--,0,E（0,3）,

\*^/

由y=5/+16X+3得到与x轴，y轴交点是（一3,0）,（°，3），

（1、

••・抛物线经过。--,0,石（0,3）两点

・•.），=）管内的图象，线段OD,线段OE围成的图形是封闭图形，则S即为该封闭图形的

面积

探究办法：利用规则图形面积来估算不规则图形的面积.

探究过程：

①观察大于S的情况.

很容易发现SVSASK

(1A

,:D—,0,£(0,3)

\5>

=1X3X1=A,,,5<A

251010

（若有s小于其他值情况，只要合理，参照赋分.）

②观察小于S的情况.

选取小于S的几个特殊值来估计更精确的S的近似值，取值会因人而不同，下面推荐一种

方法，选取以下三种特殊位置.：

位置一：如图

当直线MN与DE平行且与抛物线有唯一交点时，设直线MN与x,y轴分别交于M,N

.：D司0,3)

I5J

直线。E:y=15x+3

设直线MN:y=15x+2

,/y=5x2+16x+3

/.5r+x+3一年=0

.\A=l-4x(3-Z?)=0,b、=|^

59

/.直线MN:y=15x+=

20

(59

点M,0

I300

u1595934813481

：.S=-x—x——=-----,Sr>-----

的OW1\V2203001200()12000

位置二：如图

当直线DR与抛物线有唯一交点时，直线DR与y轴交于点R

设直线DR：y=

・・・直线Z)R:y=日+,k

5

y=5x2+l6x+3

5x~+(16—Zr)x+3——Zr=0

...A=(16—Z)2—4X5X(3—R=0,k=\4

14

直线£>/?:)，=14x+《

(14、

・・・点R0,—

\/

.c1141767

©R2552525

X

当直线EQ与抛物线有唯•交点时，直线EQ与x轴交于点Q

设直线EQ：y=a+3

y=5/+16x+3

.,.5冗2+(167)x=0

.-.A=(16-r)2=0,r=16

直线EQ：y=16/+3

・•・点2得。

•s=.・.s>2

••J^OEQ2163232

348197

----->-->--

120003225

我们发现：在曲线DE两端位置时的三角形的面积远离S的值，由此估计在曲线DE靠近中

间部分时取值越接近S的值

探究的结论：按上述方法可得一个取值范围工生L〈s<a

1200010

(备注：不同的探究方法会有不同的结论，因而会有不同的答案.只要来龙去脉清晰、合

理，即可参照赋分，但若直接写出一个范围或者范围两端数值的差不在0.01之间不得

分.)

【点睛】

本题是一道综合性很强的代数与几何相结合的压轴题，知识面广，涉及有旋转的性质、坐

标平移规则、非负数的性质、一次函数的图象与性质、二次函数的图象与性质、一元二次

方程、不规则图形面积的估计等知识，解答的关键是认真审题，找出相关信息，利用待定

系数法、数形结合法等解题方法确定解题思路，利用相关信息进行推理、探究、发现和计

算.

3.(1)y=x2+2x-3；(2)①存在，点P的坐标为(1,-2)或(-5,-8)；②点M

435

(--,--)

39

【解析】

【分析】

(1)y=ax2+bx-3=o(x+3)(x-1),即可求解；

(2)①分点P(P')在点C的右侧、点P在点C的左侧两种情况，分别求解即可；

②证明咨△RHM(A45),则点M(m+n,n-m-3),利用点M在抛物线上和4?

=NR,列出等式即可求解.

【详解】

解:(1)y=ax2+bx-3=a(x+3)(x-1),

解得：a=l,

故抛物线的表达式为：y=x2+2x-3®；

(2)由抛物线的表达式知，点C、。的坐标分别为(0,-3)、(-1,-4),

由点C、。的坐标知，宜线C。的表达式为：y=x-3；

图1

•••NP28=N8C。，

故P，8〃y釉，则点7（1,-2）；

当点P在点C的左侧时，

设直线PB交y轴于点从过点H作HNJ_8c于点N,

*：ZPBC=ZBCO,

•••△8CH为等腰三角形，则

8C=2CH*cosZBCO=2XCHX卡=由不=同

544

解得：CH=二，则0H=3-CH=一，故点H（0,--）,

333

44

由点8、H的坐标得，直线8H的表达式为：y=，x-4②，

JJ

x=-5

联立①②并解得：C，

>'=-8

故点P的坐标为（1,-2）或（-5,-8）；

②•••N%B=N8C。，而tanN8co=—，

3

故设直线AP的表达式为：y=gx+s,将点A的坐标代入上式并解得：s=l,

故直线4P的表达式为：y=-x+l,

3

*

4

X=­

联立①©并解得：I、3，故点4十13）：

IJJy

当NANM=45°时，则NARM=90°,设圆心R的坐标为（m,n）,

ZGRA+ZMRH=90°,/MRH+NRMH=90°,

/./RMH—/GAR,

*：AR=MR,NAGR=NRHM=90’,

.•.△AGR冬ARHM(AAS),

,\AG=m+3=RH,R6=-n=MH,

:.点M(m+n,n-m-3),

将点M的坐标代入抛物线表达式得：n-m-3=(m+n)2+2(m+n)-3③,

413

由题意得：AR=NR,即(m+3)2=(m--)2+(—)20,

39

2

m=——

9

联立③@并解得：],

n=---

435

故点M(---»-----).

39

【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、圆的基本知识

等，其中(2)①，要注意分类求解，避免遗漏.

175

4.(1))，=-/一一X—；(2)①iWxKlO；②不会发生变化，理由见解析

333

【解析】

【分析】

(1)根据点A,B坐标求出对称轴为工=1,得到〃=-2,代入抛物线解析式得到

a

y=-(x-\)2--,写出顶点。(1,一£］，根据其位置，得出根据A,B坐标表示

出AC,BC长度，结合AC-BC=8,求得加的值，代入点A,B得其坐标，将A坐标代入抛

物线解析式得。的值，即可得到抛物线的解析式；

17S(2、

(2)①将x=—l代入y=一一X一—，求得。一1,一彳，结合点E求得PQ解析式，

333I3J

125

联立丁=4/—解得点P的坐标，根据中心对称的性质，得到点仅的横坐标为

JJJ

10,可得X的取值范围;

②过P,Q分别作直线X=1的垂线，垂足分别为EG,设出点P,Q坐标，求出PQ的解析

式，联立>二§/一§了一§,得到玉+占，玉-2，由tanNQDG='得到

ZDPF=ZQDG,结合NOPb+/POb=90'，得到NPOQ=90'，可证得结果.

【详解】

12

解：(1)；抛物线y=-x2+bx一一过A(1+/??,〃)，3(1一加,〃)(〃>0)两点，

，由抛物线对称性知：抛物线对称轴为直线X=1,

•-1

2x—

a

，一

a

1,25I,26

?.y=­x~——x——=—(x-1)——

又•・•顶点。在第四象限，

—<0»解得：一>0,ci>0

aa

,/机>0,几>0,

・•・抛物线的开口向上，其图象如图所示,

x=l

AC=1+w,BC=|1—mLAC'BC=8,

...(1+加)(机一1)=±8,解得：m=±3

m>0»

=3,

由题意可知，点E在线段A8上，而点£的纵坐标为1,

.♦.4(4,1),笈(-2,1),

把4(4,1)代入)，='(/-一勺得，1=,(4-1)2-9解得：1=1

aaa4a3

i75

2

・•・抛物线L,所对应的函数表达式为y=-x--X--

I952

(2)①把x=T代入y=_12—x—得，y=—

3333

・・•£(U),

:.直线PQ的解析式为y=-x+-

66

y=一厂—x—

「333

解得：％=-1,0=；

••・点尸的横坐标为?

2

由中心对称的性质可得，点，的横坐标为10,即抛物线4的对称轴为宜线工=10,

可得，x的范围为14x410；

②在旋转的过程中，的度数不会发生变化，理口如下：

连接PD。。，由中心对称的性质可得，NPDQ=/PDQ.

过P,Q分别作直线x=l的垂线，垂足分别为EG,如图所示,

设尸（加3）,0优，%），直线尸。的解析式为y=H+b',则

•・•直线P2过后（1,1）,

:.l=k+b可得,b=l-k，

•••直线PQ的解析式为y=h+(I-k)

y=kx+(S-k)

1225.

由，125得,-x——x——二米+(1-幻

y=-x"2——x——333

.333

整理得，工2一(32+2»+(32-8)=0

/.x}+x2=3k+2,%•%=3%—8

tanZ.DPF(X)—1)(1—x2)—x1-x2+(^+x2)—1—(3k—8)+(3k+2)—1

tanNQDG999

/.tanZ.DPF=tanNQDG

ZDPF=4QDG

又・・・/OPF+/POF=90"

.\ZCDG+ZPZ)F=90

:.ZPDQ=90r

.•.NPAQ=90",即在旋转的过程中，NPOQ的度数不会发生变化.

【点睛】

本题考查了二次函数与几何图形的综合应用，熟知其设计的知识点及相关关系，是解题的

关键.

5.(1)y=X*23+2x,点B(2,2)；(2)m=2或初=丑；(3)存在；n=2时，

297

抛物线向左平移.

【解析】

【分析】

(1)将点A和点。的坐标代入解析式，利用待定系数法即可求得二次函数的解析式，然

后利用配方法可求得点B的坐标；

(2)由点A、点B、点C的坐标以及旋转的性质可知△△「口(：为等腰直角三角形，从而可得

3min

到点O'坐标为：(m,m),点U坐标为：(二丁，—),然后根据点在抛物线上，列出

22

关于m的方程，从而可解得m的值；

(3)如图，将AU沿UB平移，使得U与B重合，点A落在/V处，以过点B的直线y=2为

对称轴，作/V的对称点A"，连接OA”,由线段的性质可知当£为OA”与直线y=2的交点

时，四边形OBt〃A的周长最短，先求得点夕的坐标，根据点B移动的方向和距离从而可得

出点抛物线移动的方向和苑离.

【详解】

解：（1）把原点0（0，0）,和点A（4,0）代入y=-1x2+bx+c.

2

c=0

得《，

-/?+4/?+c=0

c=0

•••

b=2

y=—x~+2.x=—（x-2）~4-2.

・••点B的坐标为（2,2）.

（2）,・,点B坐标为（2,2）.

.\ZBOA=45O,

/.△PDC为等腰直角三角形.

如图，过U作UD_LOP于D.

VOzP=OP=m.

11

.\CD=—OZP=—m.

22

3Hl

工点O'坐标为：（m,m）,点U坐标为：（不〃?，一）.

22

当点0,在y=-^-x2+2x上.

则—-m2+2m=m.

2

解得：叫一2,‘叫一。（舍去）.

/.m=2.

当点C'在y=-;x?+2x上，

1331

则——x（—m『+2x—6=—m,

2222

20

解得：/z/j=—,m2=0（舍去）.

20

••m=—

9

2

（3）存在n=],抛物线向左平移.

当时，点U的坐标为（y,y）.

如图，将AU沿CB平移，使得C与B重合，点A落在内处.

以过点B的直线y=2为对称轴，作A，的对称点A”,连接OA”.

当为OA"与直线y=2的交点时，四边形OBt"A的周长最短.

•・・BA'〃AC',且BA=AC,点A（4,0）,点C（山，或），点B（2,2）.

39

，点A'（一,

33

Q9Q

・••点A"的坐标为（一，—）.

39

Q28

设直线OA"的解析式为y=kx,将点A"代入得：=

7

解得：k=-.

6

7

，直线OA〃的解析式为y=-x.

6

7

将y=2代入得：-x=2,

6

解得：x=~»

12

，点B彳导坐标为（一，2）.

7

122

n=2------=—.

77

2

・•・存在n=1,抛物线向左平移.

【点睛】

本题主要考查的是二次函数、旋转的性质、平移的性质,路径最短等知识点，由旋转的性

3intn

质和平移的性质求得点点O'坐标为：(m,m),点U坐标为：(——,-)以及点1的

22

坐标是解题的关键.

49

6.(1)PM=PN,PM工PN；(2)等腰直角三角形，见解析；(3)—

2

【解析】

【分析】

(1)由三角形中位线定理及平行的性质可得PN与PM等于DE或CE的一半，又aABC为

等腰直角三角形，AD=AE,所以得PN=PM,且互相垂直；

(2)由旋转可推出A3AO四ACAE,再利用PM与PN皆为中位线，得到PM=PN,再利

用角度间关系推导出垂直却可；

(3)找到面积最大的位置作出图形，由(2)可知PM=PM,且PM_LPN,利用三角形面积

公式求解即可.

【详解】

(1)PM=PN,PM1PN；

己知点M，F,N分别为DC,BC的中点，根据二角形的中位线定理可得

PM=-EC,PN=、BD,PMHEC,PN//BD

22

根据平行线性质可得ZDPM=ZDCE,4NPD=ZADC

在RtMBC中，ZA=90°,AB=AC^AD=AE

可得BD=EC,ZDCE+ZADC=90°

即得PM=PN,PM1PN

故答案为：PM=PN；PMA.PN.

(2)等腰直角三角形，理由如下：

由旋转可得/BAD=ZCAE,

又A8=AC,AD=AE

・••\BAD^\CAE

:,BD=CE,ZABD=^ACE,

丁点M，P分别为OE，。。的中点

・・・PM是AOCE的中位线

APM=-CE且PM〃CE,

2t

同理可证PN=，8。，且PN〃B/)

2

:.PM=PN,ZMPD=ZECD,NPNC=4DBC,

:.ZMPD=/ECD=ZACD-^-ZACE=ZACD+ZABD,

ZDPN=/PNC+ZPCN=/DBC+ZPCN,

/MPN=/MPD+NDPN=/ACD+NABD+乙DBC+乙PCN=Z/WC+ZACB=90c

即"MN为等腰直角三角形.

（3）把AM坦绕点A旋转的如图的位置,

D

且PN、PM的值最长，由（2）可知PM=PN,PM工PN

149

所以»MN面积最大值为一X7x7=—.

22

【点睛】

本题主要考查三角形中位线的判定及性质、全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的

判定及性质、旋转的性质等相关知识，解题关键在于找到图形中各角度之间的数量关系.

7.（1）75;（2）774-4:（3）4,理由见解析

【解析】

【分析】

（1）作点C关干48的对称点连接。£,与4B交干点£,连接CE.此时£C+£D=

1222

£e+ED=C*D最短,易证08C=90°,CB=CB=29DB=1,所以在RtZ\OBC中，CD=l+2

=5,故CD=逐，即EC+ED的最小值是逐；

（2）作。A关于x轴的对称。A,连接8A分别交。A和。6于N,交x轴于P,连接

PA,交于M,根据两点之间线段最短得到此时PM+PN最小，再利用对称确定A的坐

标，接着利用两点间的距离公式计算出A8的长，然后用48的长减去两个圆的半径即可

得到MN的长，即得到PM+PN的最小值；

（3）如图③，延长4D、CE,交于点”，连接GH.易知GE=go