北师大版数学高三年级上册试卷与参考答案(2024年)

2024年北师大版数学高三上学期模拟试卷（答案在后

面）

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、设集合A={x|-lWxW2},集合B={x|x^2-3x+2=0},则集合A与集合B的交集为（）

A、{1}B、{-1,1}C、{1,2}D、［1,2,-1）

2、已知函数=+2则下列说法正确的是（）

A.函数（x）在处取得极大值

B.函数/（x）在x=2处取得极小值

C.函数的图像与x轴有两个交点

D.函数（X）在区间（-8,0上单调递增

3、在复平面上，复数z=3+4了关于实轴的对称点为：

A.3-4i

B.-3-4i

C.-3+4i

D.3+（-4）i

4、已知函数（/*）=1。8<*-/））（其中9>。，（aW/））在其定义域内是单调递

增的，则实数（出的取值范围是：

A.（（〃,/））

B.((/,+8))

C.(("+8))

D.((-8,。U(/,+oo))

5、已知函数十)三+ln(x)在区间(0,+8)上单调递增，则实数3的取值范围是()

Za〉0

B.a》/

C.a<。

D.aW0

6、已知函数/(x):sin(然+5)，则下列叙述正确的是()

A./(x)的最小正周期为不

B.(x)的最大值为2

C.当时，/5)取得最大值

O

D.函数(x)在区间T上是单调递增的

7、函数/(x)=a/+力x+c(aW。)的图像开口向上，且顶点坐标为(/,J),若函

数的图像与x轴的交点坐标为(-2。和(4,。，则函数的解析式为()

A.y=2d-2x-6

B.y=2/+2x-6

C.y=2/-2x+6

D.y=2/+2x+6

8、已知函数((彳)=1。服。-/))(其中(日〉。，且(aW/))在其定义域内单调递

增，贝i」(a)的取值范围是：

A.(a>7)

B.(。＜1)

C.(a>0

D.(a</)

二、多选题(本大题有3小题，每小题6分，共18分)

1、若函数/(x)=W-3/+3x-，则有()

A、/(1)=f12}=0

B、/(X)在区间(-8,1)和(1,+oo)上单调递增

C、f(x)=3/-6x+3,且/"(x)=6x-6,f"^1)-0

D、队1)=f'(/)=fn(7)=0

2、已知函数=sin(a+一)，则下列结论正确的是：

A./{X)的最小正周期是几

B.乙⑼的最大值为1

C./U)在区间(-?,5)上单调递增

D.图像关于直线x=-3对称

b

3、已知函数(/U)=N-3/+2。，则以下选项正确的是：

A.(15))在((-8,/))上单调递增

B.("x))在((1,+8))上单调递减

C.(r(x)=3X2-6x-2)的两个实数根为(x=0和卜二|)

D.(心))的极值点为卜二勺和(x=/)

第二题

已知函数QW=--3x)在区间(［0,0)上连续，在区间((0,3)内可导。

(1)求函数(/(X))在区间(［〃,0)上的最大值和最小值。

(2)设(爪x)=/(x)-/),求(以»)的极值。

(3)求函数(力。)-岑)的单调区间。

第三题

己知函数(六入)=50+0-近)在区间［0,2］上连续，且在(0,2)内可导。

(1)求函数(/*))的导数(/⑼;

(2)若(1&))在区间［0,2］上的最大值与最小值分别在点&/)和(*2)处取得，且

(X］+X2=小，求(/(*))的最大值和最小值。

第四题

已知函数(/5)=ln(A+2)-，7二用的定义域为((-2勿)。

(1)求函数(外刈)在区间((。，勿)上的最大值。

(2)若(/&))的图像关于直线(x=1)对称，求常数(a)的值，使得(/&)+a)在(x=1)

处取得最小值。

第五题

题目：已知函数/(x)=〃*-ln(x+/),其中a>0,定义域为x〉-1。

(1)求函数/1X)的导数F'(X)；

(2)若(X)在区间(-/,+8)上单调递增，求实数a的取值范围；

(3)设/(x)的图像与直线y二x在点月处相切，证明：ln(x+/)+X。

2024年北师大版数学高三上学期模拟试卷与参考答案

一、单选题（本大题有8小题，每小题5分，共40分）

1、设集合A={x|-lWxW2},集合B={x|x^2-3x+2=0},则集合A与集合B的交集为（）

A、{1}B、{-1,1}C、{1,2}D、{1,2,-1）

答案：C

解析：首先解方程/2-3x+2=0,得x=l或x=2。因此，集合B二{1,2}。由于集合A

包含从-1到2的所有数，所以集合A与集合B的交集就是集合B本身，即{1,2}0因

此，正确答案是C。

2、己知函数/（x）=/-3/+2则下列说法正确的是（）

A.函数（x）在x=/处取得极大值

B.函数4X）在2处取得极小值

C.函数（丫）的图像与丫轴有两个交点

D.函数/%）在区间（-8,。上单调递增

答案：B

解析：

为了判断选项的正确性，我们首先对给定的函数进行求导来分析其单调性和极值情

况。给定函数为3/+2

•求一阶导数得到：­（x）=3/-6x=3x（x-2）

•令60）二。解得力二。,打二2,这两个点可能是极值点。

•分析/（x）符号变化：

•当彳＜0时，r（x）＞〃，即函数在此区间内单调递增;

•当。＜x＜2时，r（%）＜o,表明函数在这个区间内是单调递减的；

•当时，ro）＞o,意味着函数再次变得单调递增。

根据上述分析：

•在x=o附近，从左到右导数由正变负，说明不是极值点，而是单调性的

转折点。

•在附近，导数由负转正，因此/（X）在、二2处确实有一个极小值。

对于选项C,我们需要确定f（x）与x轴的交点数量。这等价于求解方程%3-3*+2=0

的实根个数。通过因式分解或直接观察可以发现，该方程至少有三个实根（因为最高次

项系数为正，且常数项非零），但考虑到三次方程最多只有三个实根，这意味着它恰好

有三个实根，故与x轴有三个交点，而非两个。因此选项C不正确。

对于选项D,由于我们在上面已经指出当x〈。时F'（x）＞。，即函数在（-8,。区

间上确实是单调递增的，但是这一结论并不影响其他更具体的选项优先级，特别是关于

极值点的具体描述。

综上所述，正确的选项是B,即“函数/＜x）在彳-2处取得极小值”。其他选项要么

基于错误的信息，要么虽然部分正确但不足以作为最佳选择。

3、在复平面上，复数z=3+4，关于实轴的对称点为：

A.3-4i

B.-3-4i

C.-3+4i

D.3+（-4）i

答案：A

解析：在复平面上，复数z=a十6的实部为%虚部为儿复数z关于实轴的对称

点，其虚部取相反数，实部不变。因此，复数3+4[.关于实轴的对称点为3-4工选项

A正确。

4、已知函数(/(x)=log<x-7))(其中(a>。，(aWI))在其定义域内是单调递

增的，则实数(a)的取值范围是：

A.(("7))

B.((A+8))

C.((4+8))

D.((-8,0u(1,+8))

正确答案:B.

解析：

对于函数(/U)=log<x-C),我们知道其定义域为(x>/),即接下来

我们来分析函数的单调性。对于对数函数(y=log"),当底数(a>/)时，函数在定义域

内单调递增;而当(0<a</)时，函数在定义域内单调递减。因此，要使得(/口)二logaO-

/))在其定义域内单调递增，我们需要(〃〉/)o因此，选项B正确。

5、已知函数/*)=：+ln(x)在区间(0,+8)上单调递增，则实数己的取值范围是()

La>0

B./

C.a<0

KO

答案：B

解析：首先求函数的导数:

x-a

f(x)

XXX2

要使得函数/(x)在区间(0,+8)上单调递增，需要满足白>)20,即:

由于x>0,则分子X-Q的符号决定了导数的符号。要使得f(x)N0,分子X-Q必

须非负,即XNO。

因为X可以取任意正实数，所以要使得X2a对于所有x>。都成立,必须有aW0。

因此，实数a的取值范围是aW0,选项B正确。

6、已知函数《X)=sin(2x+?),则下列叙述正确的是()

A.六牙)的最小正周期为不

B./&)的最大值为2

C.当x=-！时，/(x)取得最大值

O

D.函数/(x)在区间T上是单调递增的

答案：A

解析：

•首先考虑选项A。给定函数/")=sin(或+?)的形式表明它是一个正弦型函数,

其中振荡部分由以给出。对于形如sin(取+c)的函数来说，其周期是标准正弦

函数周期哈■<1这里人=2,因此该函数的最小正周期为0二五。所以选项A是正

确的。

•对于选项B,由于正弦函数的最大值为1(无论内部参数如何变化)，故共切的最

大值也只能达到1,而非2。因此选项B错误。

•接下来分析选项以要确定/!>)是否在处取到最大值，我们计算/(-V)=

sin(2(-?)+?)=sin(°二0。这说明当时，函数值为0,并非最大值1。

因此选项C也是不正确的。

•最后检查选项D关于单调性的陈述。考虑到F(x)=2cos(a+5)，我们需要判

断这个导数在给定区间司内的符号来决定原函数在此区间的单调性。然而，

直接从形式上看，随着x的变化，或+一也会覆盖多个周期内的角度，这意味着

在某些子区间内尸(X)可能为正而在另一些子区间内尸(X)可能为负，即/(X)

在这个较大范围内并不一定是单调递增的。特别地，在时，F他二

2cos(7)>0；但接近x=时，f(f)=2:cs(2•~7+~7)<显示出了函数

并非全程递增。因此选项D也不成立。

综上所述，只有选项A描述了/(x)=sin(2x+§的一个正确性质一一其最小正周期

确实为以。

7、函数/(x)二日/+力x+c(日W〃)的图像开口向上，且顶点坐标为(/,9，若函

数的图像与x轴的交点坐标为(-20和(4,0,则函数的解析式为()

A.y=2d-2x-6

B.y=2/+2x-6

C.y=2X2-2x+6

D.y=2/+2x+6

答案：A

解析：由于函数图像开口向上，且顶点坐标为([①，所以函数的对称轴为才二/,

因此人=-2外又因为函数与x轴的交点坐标为(-2,0和(4,劣，根据韦达定理，有：

$$

$$解得a=26=-么代入顶点坐标(/,》，可得。二人因此，函数的解析式为j，=

2/-2x-60

8、已知函数(/(x)=loga(x-/))(其中(a>0,且0W/))在其定义域内单调递

增，贝Ka)的取值范围是：

A.(a>7)

B.(0<a<7)

C.(a>0

D.(a</)

答案：

A.(a>/)

解析：

对于函数(/W=loga(x-1)),其定义域为(x>D，即((1,+8))。此函数的单调性

取决于底数0)的值。根据对数函数的性质，当底数Q>7)时，函数在定义域内单调递

增；而当(。<4</)时，函数在定义域内单调递减。因此，要使函数(人外)单调递增，则

0)必须满足条件Q>/)o

正确选项为Ao

二、多选题(本大题有3小题，每小题6分，共18分)

1、若函数/(x);r-Bf+Sx-l,则有()

A、久1):久2)=0

B、/(X)在区间(-8,1)和(1,+8)上单调递增

C^f(x)=3X2-6x+3,且f"(%)-6x-6,f"(7)=0

D、/(7)=f(/)=r(7)=0

答案：A、C、D

解析：

A选项：将/和代入函数/")中，得到/(1)=/-J,F+3-1-1=0,

-0=夕-3・夕+«?•2-1=0,因此选项A正确。

B选项：计算f(x)=3/-6x+3,令/•'(x)=0解得x=/或x=/(重根)，由于

r(x)=6x-6将x=/代入得到rQ)=0,因此乃=/是/(x)的极值点,说明f(x)

在x二1处有拐点，故选项B错误。

C选项：f(x)=3X2-6x+3,且/(x)=6x-6,将x=/代入F"(x)得到/"(/)=0,

因此选项C正确。

D选项：久7)=0,r(/)=17•I2-6-1+3=0,f"=6,1一6二0,因此选

项D正确。

综上所述，正确答案为A、C、Do

2、已知函数/5);sin(2x+?),则下列结论正确的是：

A.(x)的最小正周期是〃

B./(x)的最大值为1

C.八功在区间(-看，上单调递增

D.图像关于直线x=-f对称

0

答案：A,B,D

解析：

•对于选项A,根据三角函数性质，形如sin(H+c)的函数周期为高。因此，给定

I例

函数4X）=sin（0+?）的最小正周期确实是U二4。所以A正确。

•选项B,由于sin（O）的最大值为1（对于所有实数〃），不论输入为何，只要保

持在sin的定义域内，最大输出始终为1。因此，/&）的最大值确实为1,故B

也正确。

•选项C考察的是/（X）在特定区间内的单调性。考虑到F（x）=2cos（2x-5）,我

们分析其符号变化以判断单调性。当才位于（-?，!）时，2x+?从。变到右这

意味着导数f（x）在此区间内先正后负，说明4、）先增后减。因此，直接说它

在整个区间上单调潴增并不准确，C错误。

•最后，选项D涉及到函数图像的对称轴。由sin函数的基本特性可知，如果某点

功满足lUo）=±1,那么该点所在的垂直线可以作为函数的一个对称轴。将x二-

于弋入原函数得到=sin（0=O,但这并不是检验对称性的直接方法；正

确的做法是检查是否存在A£Z使得（为+?）-卜卜?）+T二女不对所有x成立,

简化后发现确实存在这样的A=0,表明a-一5是函数图像的一条对称轴，故D

6

正确。

综上所述，正确选项为A,B,D。

3、己知函数（/&）=7-3/+或），则以下选项正确的是：

A.（a（）在（（-8,；））上单调递增

B.（lx））在（（（+8））上单调递减

C.（r（工）=3/-6户2）的两个实数根为0=/）和卜二勺

D.（/⑼的极值点为（x=0和（x=D

答案：ACD

解析:

首先，我们需要求出函数(/1>))的一阶导数(尸W)o

d

£⑸=/x3-3/+2刊=3/-6x+2

然后，找出(〃。)二。的实数根，即解方程(3/-领+2=0)。

利用求根公式：

其中(a=Q,(b=-6),(。=0,代入得：

6±1(-6)2-4-3'26±736-246±VT?6±W5q

x--------------------------------------------=-----------------------=---------------=---------------=/4-——

2・3666-3

因此，(f(x))的两个实数根为(x=/)和［二(),所以选项C正确。

接下来，我们分析(尸(x))的符号。由于(/(M=3/-6x+2),当(x</)时，

(F(x))的值小于0,所以(7!>))在((-8,1))上单调递减；当(x>/)时，(F靠))的值大

于0,所以(4工))在((1,+8))上单调递增。因此，选项A和B错误。

最后，由于(&))的极值点出现在(/(x)=。的实数根处，即=0和(x=/),所

以选项D正确。

综上所述，正确答案为ACD。

三、填空题(本大题有3小题，每小题5分，共15分)

1、题目设计：

1、设函数(»)=/-3x+2),则该函数在(x=/)处的导数值为

答案与解析如下：

解析：

为了求解此题，我们需要计算给定函数Q(X)=/-3X+0在(x=1)处的导数值。首

先我们找出(/J))的导数(〃(x)),然后代入(x=/)来找到导数值。

我们先来计算&W)的导数(/(*))・解析：

函数(/0)=/-33+2)的导数为。”0)=3/-3)。因此，在(x=/)处的导数值为

2

(r(1)=3Xl-3=0)o

答案：

1、0

这意味着在(x=/)处，函数(/U)=--3x+0的瞬时变化率为Oo

2、已知函数(穴x)二

7c其定义域为(〃)，且(名)中存在实数Q)和5)(023),

使得"0)=/(a)。则Q+8)的取值范围是O

答案：O+6W(-8,0u(2+8))

解析：

首先，对函数(/&)=7尢)进行因式分解，得到：

［心)=(_二_J所以，函数的定义域为(，=｛川X丰1,X于箫。

L(尸“(LJ),

由于(/(a)=/［份)，则有：

二一一］即：

\,tr-4a^3b■■-4b^3、

-4a+3=-4b+3］化简得：

［(a-力)(a+力一书二。由于(aW6),所以(a+6-4=。不成立，因此(a-b=。也

不成立。

由于(a)和(3都不在定义域(〃力的端点，即6r/)且9六/)且O于9且(。关4

我们可以得出（a+6W9。

因此，（a+6）的取值范围是除了4以外的所有实数，即（a+A£（-8,0j（2,+

°°））o

3、若函数（（X）=ln（/-/））的定义域为（功，则⑺的形式为o

答案：（（一8,-7）U（7,+8））

解析：由于（ln（/-1））中的（/-1）必须大于0,因此（/-/>0）。解不等式得（x<-

/）或（x>/）,所以定义域（功为（（-8,-7）u（/,+8））。

四、解答题（第1题13分，第2、3题15,第4、5题17分，总分：

77）

第一题

已知函数/（X）二三匚，其中

/*I

（1）求函数/（X）的导数f（X）;

（2）证明：当x>，时，4*）〉2

（3）求函数4X）的极值。

答案：

（l）r（x）=上一）使用商的导数法则，设"2伊-3.-5/二才-/,则〃'=

UX\X-1/

4x-3,v'-]o

■'_（公一①（尸/）-（21-3k0

所以，〃（X）二产券

（尸/）2化简得，f（x）:史哈丹

2x2-4x^8

（2）证明：由（1）知，F（⑼二手■辛：

因为x>/,所以x-/>0,2d-4x+8）0。

因此，/（x）>0,说明函数/!>）在（/,+8）上单调递增。

又因为代为二>〃二I二未定义,所以/（x）在x=J处无定义。

由于/（X）在（1,+8）上单调递增，且/&）在x=1附近从负无穷大变为.正无穷大，

所以存在初>/使得/口。）=2。

因此，当x>/时，/（x）>4与）22。

（3）求函数/（x）的极值。

由（1）知，F（x）;号*°

令/（x）=0,解得x=1（舍去，因为x#J）,或者2X2-4x+8=。，解得x=2±VX

由于（X）在x=/处无定义，我们只需考虑x=2±VX

当x=2+退时，取得极小值《2+码=岂蹩券畛=3+四；

当x=2-近时，死0取得极大值｛2-®:弋学谓:3-VX

解析：

（1）通过求导，我们得到了函数ax）的导数/（⑼。

（2）通过证明f（x）>0,我们得出了函数/（x）在（1,+8）上单调递增，进而证明

了当x>/时，（X）>2。

（3）通过求导数为零的点，我们找到了可能的极值点，并计算出了极小值和极大

值。

第二题

已知函数（/«=3x）在区间（图0）上连续，在区间（（。,幻）内可导。

（1）求函数（/（x））在区间（口幻）上的最大值和最小值。

（2）设（爪x）=/0）-刁，求（双»）的极值。

（3）求函数（Mx）二等）的单调区间。

答案：

（1）函数（/&））在区间（图0）上的最大值为（/（①=2，-3X2=2）,最小值为

（/（0—X0=0）o

（2）（爪x）=（X）-/=/-3x-/=*'一/一3。。求导得（/（x）=3*-2x-3）0

令3（X）=。，解得（x=-1）或（X=/）。

当。<-。或（x>/）时，300>0,所以（式»）在区间（（-8,_/））»（（/,+8））

上单调递增。

当时，（g'（x）<0,所以（炭X））在区间（（-/,/））上单调递减。

所以（双»）的极大值为（虱-/）=（-/）3-（-/）2-3X（-/）=3）,极小值为UG）二

13-胫-3X1=_

⑶（取）・=学=£-%

求导得（力，O）=_/+—<>

由于（力'（x）>0对所有O#0成立，所以（Mx））在区间（（-8,。）和（（“+8））上

单调递增。

解析：

（1）利用闭区间上连续函数的最大值最小值定理.，求出函数在区间端点的函数值,

再比较大小即可得到最大值和最小值。

（2）先求出（式x））的导数，令导数等于0求出极值点，然后根据导数的正负判断

函数的单调性，从而得到极值。

（3）求出（力。））的导数，判断导数的正负，从而得到函数的单调区间。

第三题

己知函数（/&）=ln（x+0-F）在区间［0,2］上连续，且在（0,2）内可导。

（1）求函数（）*））的导数（6⑼；

（2）若（4x））在区间［0,2］上的最大值与最小值分别在点（勺）和（心）处取得，且

（X］+X2=4）,求（ZU））的最大值和最小值。

答案：

（1）求导数（F（X））：

（2）求（4x））的最大值和最小值：

首先，求（尸（x）=0的解，即：

［9一点=。］［防7—2二仍［/-念+4=0口-02=0］卜0

因此，。二0是函数（/（x））的一个临界点。

接下来，检查区间［0,2］的端点值：

因为（勺+电=0且（占）和（心）是（/（x））的最大值和最小值对应的点，所以（々）和（心）

分别是［0,2］区间内的临界点和端点。由于（才二为是临界点，且（3+全=妁，我们可

以推断（々二Z，因此（&二0。

所以,（/（x））的最大值和最小值分别为：

解析：

（1）通过求导得到（广（X））的表达式；

（2）找到（真乃）的临界点（x=Z，并计算端点值,结合（打+的条件，确定

最大值和最小值对应的点，最终得到（4⑼）的最大值和最小值。

第四题

已知函数（《X）=ln（x+2）-67）的定义域为（（-2力）。

（1）求函数（/5））在区间（（。,4］）上的最大值。

（2）若（/U））的图像关于直线（x=/）对称，求常数Q）的值，使得（（））+»在（x=7）

处取得最小值。

答案：

（1）函数（/5））在区间（（。,4］）上的最大值为（ln（0-为。

解析：

首先，求（/（x））的导数：

11

f{x}------------

x+22^4-x-

令（f（x）=。求极值点：

昌-/=°］［啰T］启^7+才［16-16x=（x+^］"6-/6x”+

4x+幺［/+2〃x+/2=0］［（x+6）（x+匐=0］

由于（x）的定义域为（（-2力），故（、二一与不在定义域内，舍去。因此，。二一＜0也

不在定义域内，舍去。因此，在（（。4］）内没有极值点。

接下来，检查端点（X=9：

［f{4）=ln（6）-V^=lr.（6）］

因此，（”x））在（（。，①）上的最大值为（ln（6））。

（2）由于（/&））的图像关于直线（x=/）对称，所以（/（1）