北师大版九年级数学上册 专题331 圆中的几何模型-隐形圆专题（专项练习）

专题3.31圆中的几何模型-隐形圆专题（专项练习）

一、单选题

1.如图，在等腰RtAABC中，AC=8C=4夜，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为

PC的中点.当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是（）

A.2&4+4B.2乃C.4x/2+2D.4"

2.如图，在中，"CB=R叱,AC=8cm,8C=3cm.。是边上的一个动点,

连接AO,过点C作CE_LAO于E,连接BE,在点。变化的过程中，线段跖的最小值是

C.2D.6

3.如图，是等腰直角三角形，正方形AO£户绕点A逆时针旋转，（0°<0<90。），再

延长3。交CF于G,以下结论中：®BD=CF；②BD1CF；③当人8=4,AO=血时,

8G=£叵，正确的有（）

5

A.3个B.2个C.1个D.都不对

4.如图，在△A/3C中，NAC8=90。，AC=I3C,4/3=4cm,CO是中线，点上、尸同时从点

。出发，以相同的速度分别沿。C、OB方向移动，当点E到达点C时，运动停止，直线AE

分别与CF、相交于G、H,则在点反口移动过程中，点G移动路线的长度为（）

c

A.2B.nC.2兀D.—7C

2

5.如图，AACb中，CA=CB=4,NACB=90。，点尸为CA上的动点，连3P,过点A作

于M.当点。从点C运动到点A时，线段/3M的中点N运动的路径长为()

A.q

B.72nC.AD.2兀

2

二、填空题

6.如图，在平面直角坐标系中，有一条长为10的线段AB,其端点A、点B分别在y轴、

x轴上滑动，点C为以AB为直径的©D上一点(C始终在第一象限)，且tanZBAC=y.则

当点A从Ao(0,10)滑动到O(0,0),B从O(0,0)滑动到Bo(10,0)的过程中，

点C运动的路径长为.

7.如图，扇形AOB,且OB=4,ZAOB=90°,C为弧AB上任意一点，过C点作CD_LOB

于点D,设AODC的内心为E,连接OE、CE,当点C从点B运动到点A时，内心E所经

过的路径长为.

8.如图，M的半径为4,圆心M的坐标为(5,12),点户是例上的任意一点，PAA.PB,

且户人、物与工轴分别交于A、B两点，若点A、点3关于原点。对称，则A8的最小值为一.

9.如图，在ABC中，NACB=90。，ZB=30°,AB=4,。是AC上一动点，连接AD,

过点C作CE_LA。于E,过点E作交8C于点F,则C尸的最大值是

10.如图，在等腰R/AABC中，4C=BC=&，点P在以斜边A8为直径的半圆上，”为PC

的中点，当点P沿半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径长是—.

11.如图，△A8C为等边三角形，A3=2,若p为AABC内一动点，且满足N雨3=NACP,

则点P运动的路径长为.

16.如图，矩形48co中，4B=8,BC=\2,以。为圆心，4为半径作。。，E为。。上一动

点，连接4E,以AE为直角边作放△AE忆使NE4尸=90。，tanNAEF=g,则点F与点。的

三、解答题

17.如图，正方形ABCD中，AB=2石，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE=2,

连接DE,将线段DE绕点D逆时针旋转90。得DF,连接AE,CF.

（2）若A,E,O三点共线，连接OF,求线段OF的长.

<3）求线段OF长的最小值.

18.如图，四边形ABCD是正方形，aABE是等边二角形，M为对角线BD（不含H点）

上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60。得到BN,连接EN、AM、CM.

(1)求证：△AMB^AENB；

⑵①当M点在何处时，AM+CM的值最小；

②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由；

⑶当AM+BM+CM的最小值为G+I时，求正方形的边长.

19.如图，人8是。。的直径，八月=4,点。为CO上一点，N48C=60。，点尸为(O上一

动点，点。是AP的中点，求CD的最小值.

20.在平面直角坐标系中，QQABC如图所示，45,0),8(9.6).点。从点O出发在线段。4

上以每秒1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点8出发在线段8C上以每秒2个单位

的速度向点C运动.其中一个点到达终点时，停止运动，连接PQ.

(1)如图1,连接。8交PQ于点则点。的坐标为；

(2)如图2,过4作A”_LPQ于点从求O”的最小值；

(3)如图3,在尸。上取一点M,使得N/M=45。，那么点M的纵坐标是否存在最大值,

若存在，求出此时OP的长；若不存在，说明理由.

21.在平行四边形48。中，已知NA=45。，，点后为线段8c上的一点，连接

DE,以线段为直角边构造等腰R/DEF,£〃交线段43于点G,连接AP、DG.

(1)如图1,若AB=12、/i,BE=5,则。E的长为多少？

(2)如图2,若点、H,K分别为线段BG,。石的中点，连接HK,求证：AG=2HK；

(3)如图3,在(2)的条件下，若BE=2,BG=2叵,以点G为圆心，4G为半径作0G,

点M为(DG上一点，连接MK,取的中点P,连接AP,请直接写出线段4尸的取值范

围.

22.问题发现:

(1)正方形ABC。和正方形AEFG如图①放置，A8=4,AE=2.5,则==

问题探究:

(2)如图②，在矩形人BCO中，AB=3,8C=4,点~在矩形的内部，ZBPC=135°,求

AP长的最小值.

问题拓展：

(3)如图③，在四边形A8CO中，连接对角线AC、BD,已知48=6,AC=CD,ZACD

=90。，ZACB=45°,则对角线8。是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请

23.如图，已知正方形ABC。的边长为4、点。是A8边上的一个动点，连接CP,过点。

作PC的垂线交AD于点E,以PE为边作正方形PEFG、顶点G在线段PC上，对角线EG、

P/相交于点O.

(1)若A尸=1,则AK=；

(2)①点。与△APE的位置关系是,并说明理由；

②当点P从点A运动到点B时，点0也随之运动，求点。经过的路径长：

(3)在点尸从点4到点B的运动过程中，线段4E的大小也在改变，当AP=

4E达到最大值，最大值是.

24.A4?C中，AC=BC,ZC=90°,。_148于。，点正在线段8。上，点尸在射线C4

上，连CE,DF,满足N4Z)/7=N£C6.

(1)如图1,若。/=2#,AC=4,求4斤的长；

(2)如图2,若AF=8E,求证：BC=2DE；

(3)如图3,将△CQE绕点。逆时针旋转a(0°<a<360°)得到△COE,连CE',点P

为。£的中点，连接若£8=46-4,NDCE=30°.当AP最小时，直接写出48cp的

面积.

参考答案

1.B

分析：取A8的中点。、4C的中点£、4C的中点F,连结OC、OP、OM、OE、OF、EF,

如图，利用等腰直角三角形的性质得到A8二&808,则OC=；A8=4,0P=^AB=4,再根

据等腰三角形的性质得awipc,则NCMO90。，于是根据圆周角定理得到点M在以OC

为直径的圆上，由于点P点在A点时，M点在E点：点P点在B点时，M点在尸点，则利

用四边形CEOF为正方得到EF=0C=4,所以M点的路径为以EF为直径的半圆，然后根据

圆的周长公式计算点M运动的路径长.

详解：取A8的中点0、4C的中点E、8C的中点?，连结OC、OP、0M、0E、OF、EF,

如图，丁在等腰区14人区。中，人。=石。=475，.二八8=75笈。=8,.・.0。=；人"=4,00=；｛4=4.

・・•"为PC的中点，・・,0M_LPC,・・・NCMO=90。，・••点M在以0c为直径的圆上，点尸

点在A点时，M点在E点；点P点在B点时，M点在F点，易得四边形CEO尸为正方形,

EF=0C=4,.・.M点运动的路径为以跖为直径的半圆，.••点M运动的路径长=；

•4加=2兀.故选B.

点拨：本题考查了轨迹：点按一定规律运动所形成的图形为点运动的轨迹.解决此题的关键

是利用等腰三角形的性质和圆周角定理确定M点的轨迹为以E尸为直径的半圆.

2.A

【分析】由NAEC=90。知，点E在以AC为直径的（DM的CN上（不含点C、可含点N）,

从而得BE最短时，即为连接8M与。M的交点（图中点E点），BE长度的最小值BE，=

BM-ME.

解：如图，

由题意知，ZA£C=90°,

在以AC为直径的0M的CNI：(不含点C、可含点N),

.•.8E最短时，即为连接4”与I"的交点(图中点？点)，

在RtzXBCM中，BC=3cm,CM=gAC=4cm,则BM=4BC?+CM?=5cm.

ME=MC=4cm,

：.BE长度的最小值BE=BM-ME=\cm,

故选：A.

【点拨】本题主要考查了勾股定理，圆周角定理，三角形的三边关系等知识点，难度偏大,

解题时，注意辅助线的作法.

3.B

【分析】根据等腰直角三角形的性质及正方形的性质易得△BAD94CAF,从而易得①②正

确；取4c的中点0,连接0G、则由直角三角形斜边上中线的性质可得OG是8C的

一半，即为定值，故可得点G的运动路径是以。为圆心0G长为半径一段圆弧上运动，从

而BG的长度不是固定的，因此可对③作出判定.

解•：(1)•••四边形人力石尸是正方形

：.AD=AF,ZDAF=ZDAC+ZCAF=90°

•・•△ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°

：.AB=AC

：.ZBAD+DAC=90°

：.ZBAD=ZCAF

在48人。和4C4厂中

AB=AC

-NBAD=NCAF

AD=AF

•••△84Og△C4F(SAS)

：.BD=CF,/DBA=NFCA

设BG与AC交于点M，则NBMA=NCMG

AZFCA+ZCMG=ZDBA+ZBMA=90°

/.ZCGW=90°

：,BD1CF

故①®均正确;

如图，取BC的中点0,连接OG、0A

・・・0G、0A分别是RmGBC、/?/△A8C斜边上的中线

OG=OC=-BC

2

在RQ48C中，由勾股定理得8C=逐/\8=4拒

・••0G=0C=2夜

则点G在以。为圆心2近为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点

所以4G的长变化的，不可能是定值

故③不正确

故选：B.

【点拨】本题综合考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理，直角三角形

斜边上中线的性质等知识，对③的判断是比较难，判断出点G的运动路径后问题则迎刃而

解.

4.D

解：如图,

：.CD±AB,

/.ZADE=ZCDF=9G°,CD=AD=DB,

在△川。£和^CO厂中，

AD=CD

<NADE=NCDF,

DE=DF

/.△ADE^ACDF(SAS),

/.ZDAE=/DCF,

,?NAED=NCEG,

：.NAOE=NCGE=9。。，

・・・A、C、G、D四点共圆，

，点G的运动轨迹为弧CD,

•・・A8=4,AB=6AC,

»*•AC=2,yf2,

OA—OC=5/2，

,:DA=DC,OA=OC,

：.DO±AC,

/.ZD(9C=90o,

・••点G的运动轨迹的长为9。"&=3.

1802

故选：D.

5.A

解：设A8的中点为Q,连接NQ,如图所示：

•；N为8M的中点，。为A3的中点，

:‘NQ'为〉BAM的中位线，

VAMIBP,

:・QNkBN,

・・・NQN8=90。，

，点N的路径是以QB的中点0为圆心，长为半径的圆交C3于。的QQ,

•：CA=CB=4,^ACB=90°,

:・AB=^CA=46NQ8£>=45。，

••・NOOQ=90。，

，。。为。。的；周长，

工线段4M的中点N运动的路径长为：丝上些=也兀，

"780"V

故选：A.

6.20-65/5.

【分析】由/AOB是直角,D为AB的中点，可得DO=5,由/ACB=90〃,AB=10,可得【an/BAC=

可得tanNAOC=tan/ABC=2.可得点C在马y轴夹角为NAOC的射线上运动，在计算

出C运动的路径长即可.

连接ODNAOB是直角、D为AB的中点,「.DOS.

「•原点O始终在OD上,；ZACB=9(T.AB=10,tanZBAC=；.BC=2逐,AC=4石.

连接OC,则/A(JC=/ABC,lan/A(JC=lan/ABC=2..••点C在与y轴央角为NAOC的射

线上运动.

GG=OG-OG=1。-2、6.

如图③,G&=oc2-oc,=10-4V5.

总路径长为GG+GG=20-66，

故答案：20-675.

【点拨】本题主要考杳三角函数及圆的综合知识,难度较大,求出点C在与y轴夹角为ZAOC

的射线上运动是解题的关健.

7.&兀

【分析】根据题意先利用内心的性质求出NOEC的度数和NCOEnNBOE,易证

△COE^ABOE,利用全等三角形的性质得NOEB=NOEC=I35。，从而确定出点E的运动

轨迹，则劣弧OB的长即为所求.

解：VCD1OB

・•・ZODC=90°

•・•点£是仆ODC的内心

・•・ZOEC=90°+^ZODC=I35°,ZCOE=ZBOE

又・・・OE=OE,OB=OC

AACOE^ABOE

.\ZOEB=ZOEC=I35°

・••点E的运动轨迹为：以OB为弦，并且弦OB所对圆周角为135。的一段劣弧.

设经过点0、B、E三点的圆M如图所示，

A

N

则NN=1800-NOEB=45。

:.ZM=2ZN=90°

.\OM=BM=^OB=2近

・•・劣弧OB的长=9（）K26=g兀.

180

・•・内心E所经过的路径长为正冗.

故答案为：\fl7l.

【点拨】本题考查弧长计算，熟练掌握圆的内心的性质和全等三角形的性质是解题的关键.

8.18

【分析】由RlAAPB中AA=2QP知要使A8取得最小值，则P。需取得最小值，连接OM,交

GM于点产，当点尸位于产位置时，。产取得最小值，据此求解可得.

解：连接。?，

PA工PB，

/.Z4PB=90°,

•・•AO=BO,

:.AI3=2PO,

若要使A8取得最小值，则尸。需取得最小值，

连接交于点产，当点夕位于产位置时，OP取得最小值,

过点用作M2,4轴于点。，

：.OM=\3,

又MP=4,

;.OP=9,

A??=2O产=18,

故答案是：18.

【点拨】本题主要考查点与圆的位置关系，解题的关键是根据直角三角形斜边上的中线等于

斜边的一半得出AB取得最小值时点P的位置.

9.正

3

【分析】如图，取AC的中点。，连接OE,OF,延长正交4B于7.证明OE=/AC=1,

推出点£的在以。为圆心，1为半径的圆上运动，推出当口与。。相切时，C厂的值最大.

解：如图，取人C的中点。，连接OE,OF,延长户E交/W于7.

VZACB=90°,AB=4,Zfi=30°,

：.ZCAB=60°,AC=^AB=2,

VCE1AD,

，ZAEC=90°,

•・・AO=OC=1,

：.OE=^AC=\,

・••点E在以。为圆心，1为半径的圆上运动,

・•・当口与。。相切时，C尸的值最大，

•・•直线(7人直线E厂都是。。的切线，

：.FC=FE,

:・NFCE=/FEC,

VZCAE+ZACE=90°,NACE+NEC尸=90。,

：,ZCAE=ZFCE,

TNCE产+N4£T=90°,ZAET+ZEAT=9()0,

；・NFEC=NEAT,

，NC4E=NE4r=30。，

,:CF=FE,OC=OE,

：.OF±EC,

'CADYCE,

*：OF//AD,

：.ZCOF=NC4O=30。，

/.CF=OC-tan30°=^,

3

・・・。尸的最大值为由.

3

故答案为：立.

3

【点拨】本题主要考查直角三角形30。角的性质，直线与圆的位置关系，线段的垂直平分线

的性质等知识，解决本题的关键是发现点E在以。为圆心，1为半径的圆上运动，推出当

EC与。O相切时，C产的值最大.

10.-

2

【分析】如图，连接。P,OC,取OC的中点K,连接MK.由三角形的中位线定理可得KM

=!，推出当点。沿半圆从点A运动至点8时，点M运动的路径是以K为圆心，!为半径

22

的半圆，由此即可得出结论.

解：如图，连接OP，OC,取。C的中点K,连接MK.

♦:AC=BC=E，NACB=90。,：.AB=y/2+2=2,：,OP=^AB=\.

〈CM=MP,CK=OK,・・・MK=g0P=g,・••当点P沿半圆从点A运动至点4时，点M运动

的路径是以K为圆心，；为半径的半圆，...点M运动的路径长=；・2•兀=

故答案为］.

【点拨】本题考查了软迹，等腰直角三角形的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是学会

添加常用辅助线，正确寻找点的运动轨迹.

..4石乃

11■

9

解：♦••△/WC是等边三角形，

AZABC=ZBAC=60\AC=AB=2,

ZFAB=ZACP,

：,ZPAC+ZACP=60°,

/.ZAPC=120°,

•••点P的运动轨迹是AC,如图所示：

连接04、OC,作。。_LAC于。，

则4D=CO=；4c=1,

•IAEC所对的圆心角=2NAPC=240。，

，劣弧AC所对的圆心角NAOC=360。-240°=120°,

*：OA=C)C,

，/040=30。，

*：0DA.AC,

：.0D=^AD=B,0A=20D=—t

323

lon2、石

♦AC的长为12°"x亍=4Gm

-180~~9~

故答案为：述心

9

12.Vio-i

【分析】根据A£_LBE，可得到点E的运动轨迹是以A8的中点。为圆心，AB氏为直径的

圆，连接。。交圆。于点£,从而得到当点E位于点E'位置时，线段CE取最小值，再

利用勾股定理即可求解

解：•：AE上BE、

••・点E的运动轨迹是以AB的中点。为圆心，A3长为直径的圆，如图所示，

连接OC交圆。于点£,

・•・当点E位于点£位置时，线段CE取最小值，

在矩形48CO中，Z/WC=90°,

•/AB=2,

：,OA=OB=OE,=1,

•/6c=3,

・•・0C=ylOB2+BC2=&2+32=屈,

:・CE=0C-OF=仄-1

故答案为：＞/10—1

【点拨】本题主要考杳了圆周角定理，圆的基本性质及矩形的性质，勾股定理，根据AE_L3E，

可得到点E的运动轨迹是以AB的中点(J为圆心，AB长为直径的圆是解题的关键

13.34

解：画出点O运动的轨迹，如图虚线部分,

则点P从8到4的运动过程中，P。的中点。所经过的路线长等于加<句=3阳

故答案为：3Tl.

14.3也

解：如图：以AO为边作等腰直角△AOF,且/AOb=9。。

•・•四边形BCQE是止方形

：.BO=CO,ZBOC=90°

•••△AO尸是等腰直角三角形

：.AO=FO,AF=y/2AO

•••/BOC=NA。尸=90。

：・4A0B=4C0F,且8O=CO,AO=FO

:•△AOBgXFOC(SAS)

・・・A8=C尸=4

若点A,点C,点尸三点不共线时，AF<AC+CFi

若点A,点C,点“三点共线时，AF=AC+CF

：.AF<AC+CF=2+4=()

•••4产的最大值为6

'：AF=42AO

・•・AO的最大值为3拒.

故答案为：3加

15生

3

解：*：AQA.CQ,

：.NAQC=90。，

・•・当点尸从点C运动到点B时，点Q的运动的轨迹是以AC为直径的半圆上，路径是120

度的弧长，

在R/A8C中，VAB=4,ZB=30°,

：.AC=-AB=2,

2

【分析】如图，取4B的中点G,连接尸G,FC,GC,itlAFAG^^EAD,推出“G：DE=

44

AF：AE=\：3,因为。£=4,可得/G=§,推出点尸的运动轨迹是以G为圆心§为半径

的圆，再利用两点之间线段最短即可解决问题.

解：如图，取AB的中点G,连接FG.FC.GC.

,/NEAF=90°,tanAAEF=1,

3

.AF\

••~9

AE3

・14=8,AG=GB,

・"G=G8=4,

'：AD=\2,

.AG41

••==,

AD123

.AFAG

••=,

AEAD

•・•四边形A8CD是矩形，

，ZBAD=NB=NEA〃=90°,

：.ZFAG=ZEAD,

•••△MGS/XEA。，

；・FG：DE=AF：AE=l：3,

VDE=4,

4

:.FG=一,

3

4

:•点'尸的运动轨迹是以G为圆心彳为半径的圆，

*­*GC=4GB?+8c2=742+122=4710，

：.FC>GC-FG,

•••94加

J

CF的最小值为45/10-j.

故答案为：4>/l()--.

【点拨】本题考查了矩形，圆，相似三角形的判定和性质，两点之间线段最短等知识，解题

的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题.

17.(1)证明见解析；(2)V26；(3)5夜-2

【分析】(1)根据旋转的性质，对应线段、对应角相等，可证明△ADE经Z\CDF,即可得

至IjAE=CF；

(2)先利用AAOE二AC",求得C/长，再利用求得CP=2PF,然后设

PF二x利用勾股定理求得x的值，即可求得OF的长；

(3)本题考查了利用三角形全等转化的思想解决问题.

解：(1)证明：如图I,由旋转得：ZTWF=90°,ED=DF,

••四边形ABC'D是正方形,

.,.NADC=90。，AD=CD,

.•./ADC=4DF,

BP/ADE+/EDC=ZEDC+zfCDF,

.•./ADE=NCDF,

在AADE和ACDF中，

AD=CD

,ZADE=/CDF,

DE=DF

.\AADE=ACDF,

AE=CF；

(2)解：如图2,过户作OC的垂线，交BC的延长线于P,

O是BC的中点，且AB=BC=2石，

•:A,E,。三点共线，

.•.OB=B

由勾股定理得：AO=5,

OE=2,

.\AE=5-2=3,

由(1)知：AADE=ACDF,

zfDAE=z^EXZF.CF=AE=3>

;・/BAD=/DCP,

.•.NOAB=^PCF,

.NABO=/=90。，

/.AABO^ACPF,

.AB_CP_2x/5__

OBPF75

/.CP=2PF,

设PF=x,则CP=2x,

由勾股定理得：32=X:+(2X)2,

55

,FP36r-6451175

555

由勾股定理得：OF=J1吗+(=底，

\55

1\/X7

(3)解：如图3,由于0E=2,所以E点可以看作是以0为圆心，2为半径的半圆上运

动，

延长BA到P点，使得AP=OC.连接PE,

AE=CF,4AE=/OCF,

「.△PAE二△OCF,

/.PE=OF,

当PE最小时，为0、E、。三点共线，

OP=JOB1+PB?="句+0商=572,

/.PE=OF=OP-OE=5夜-2，

，0F的最小值是5&-2.

图3

图2

【点拨】本题考查了正方形的性质、几何图形旋转的性质、利用三角形全等解决问题的

相关知识，解题关键是注意构造辅助线进行解答.

18.(1)见解析；(2)①当M点落在BD的中点时；②当M点位于BD与CE的交点处

时，AM+BM+CM的值最小，理由见解析；(3)V?

解：(DTaABE是等边三角形，

，BA=BE,ZABE=60°.

VZMBN=60°,

Z.ZMBN-ZABN=ZABE-ZABN.

BPZBMA=ZNBE.

又・.・MB=NB,

AAAMB^AENB(SAS)

⑵①当M点落在BD的中点时，AM+CM的值最小

②如图，连接CE,当M点位于BD与CE的交点处时，

AM+BM+CM的值最小.

理由如下：连接MN.由⑴知，△AMB^AENB,

，AM=EN.

VZMBN=60°,MB=NB,

•••△BMN是等边三角形.

ABM=MN.

，AM+BM+CM=EN+MN+CM.

根据“两点之间线段最短“，得EN+MN+CM=EC最短

••・当M点位于BD与CE的交点处时，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的长

⑶过E点作EF_LBC交CB的延长线于F,

.,.ZEBF=90°-60o=30°.

设正方形的边长为x,则BF=^x,EF=；.

22

在RtAEFC中，

VEF+FC^EC2,

....）2+（争+x）2=（石+02

解得，x=V2（舍去负值）.

・•・止方形的边长为友.

19.77-1.

解：如解图，连接。。、BP.

VAD=PD,AO=BO,

...OD//BP,

VAB是。。的直径，

・•・ZAPB=90°.

JZADO=90°,

取A。的中点为£,以£为圆心，AE长为半径作圆，则点D在圆上.

连接AC,作于点“，连接EC交（石于点尸，则”•为所求的最小值，

VAB=4,ZABC=60。，ZACB=90°,

:・BC=2,CH=日BH=\,

VAE=OE=-AO=1,：.EH=2,

2

，由勾股定理得EC=JCH、EH2=V7，

ACF=x/7-l,即CD的最小值为万-1.

20.(1)(3,2)；(2)V17-V2；(3)存在点M纵坐标的最大值，此时

【分析】(1)有P，Q的运动速度，设时间为，，表示出Q，尸的坐标，再求出直线PQ的

解析式，直线08的解析式;，联立即可求出点。的坐标：

(2)连接OB与PQ交于点。，由(1)得，连接D4,取D4的中点M,以M为圆心，以

DM的长为半径作圆，连接OM,先说明点”在I股上运动，再由图形得出。”之OM-HM,

三点共线时，取得最小值，用勾股定理，即可得出答案；

(3)连接。从交PQ于点D,以AD为斜边，作等腰直角△?!£“，以点N为圆心，以2

为半径作eN,说明点M在eN上，连接MM过点M作MTJLQ4于点了，连接AN交于

cN于点AT,可得出M7<AM<4V+MV=AN+MN=2+2=4即加工皿=4,再求出直

线“。的解析式，求出与x轴的交点即为OP的长.

解•：(1)•・•四边形A8CZ)是平行四边形，

/.OA=BC,OA//BC,

•・,45,0),

/.AO=BC=5,

・••点C的坐标为(4,6),

•••点P从点。出发以每秒1个单位的速度向点八运动，点。从点8出发以每秒2个单位的

速度向点C运动，

・••设时间为〃/,则O『二/“,3Q=2/〃，

・•・2(9-2m,6),6(肛0),

设直线PQ的解析式为y=依+加&w0),

八、、2K2m

代入解得y=--------------,

3-/W3-m

2

代入点8的坐标，求得

2x2m

y=-----------

联“j2，

??=3X

解得[“■：，

[)，=2

故点。的坐标为(3,2),

故答案为(3,2)；

(2)连接0B与PQ交于点D,由(1)得，点。(3,2),

连接ZM,取D4的中点“，以M为圆心，以。M的长为半径作圆,

•点。(3,2),点45,0),

，点M的坐标为(4,1),AD=7(5-3)2+(2-0)2=272,

•••OM=j42+1=旧,

ZAHD=90o,

，点〃在。M上运动，

：.HM=-AD=42

连接

由图可知，

OH2OM-HM,

当三点共线时，取得最小值，

即==布-0,

故。”的最小值为J万-&;

(3)存在，理由如卜，

连接。&交PQ于点。，以A。为斜边，作等腰直角△ADV,以点N为圆心，以2为半径

作eN,则。在圆上，cN与x轴相切，

•••/AMP=45。,/AND=90。，

，点M在eN上，

,•飞收与工轴相切，A在eN上，

ANLOA

连接MN,过点M作“7_LQ4于点7,连接AN交于eN于点AT,

・•・MT<AM<AN+MN=AN+MN=2+2=4

・••M:4

・•・”(5,4),

连接WD交x轴「点P,交于8。9点Q',

设直线MD的解析式为y=H+双攵工0),

代入点M'(5,4),D(3,2),

解得直线M7)的解析式为y=x-i,

，当y=0时，x=\,

・•・存在点M纵坐标的最大值，此时OP=1.

【点拨】本题考查菱形的性质，一次函数问题，构造三角形求线段最小值，圆的知识，三角

形三边关系，坐标与图形，解题关键是熟练掌握相关知识点，能够构造圆进行求解..

21.（1）OE=13；（2）见解析；（3）"T-2播“PW/i+2&

【分析】（1）借助三角形全等，求线段的长度.

（2）借助模型“对边平行+中点”构造全等三角形.将AG转化为GM：

（3）主动点M在圆上运动，从动点尸也在圆上运动，利用中位线找到户的运动轨迹.

解：（1）VZA=45°,且

图1

，/4。8=90°,

,△ABO为等腰直角三角形,

又;AB=12近，

,8。=12,

•・•四边形A8CD是平行四边形,

:.ADHBC,

:.NDBE=408=90°,

在心△BE。中，80=12,BE=5,NOBE=90°,

:・DE={BD?+BE。=V1F+F=13；

(2)如图2,

连接GK,BK,延长BK交AD于M,连接GM,

图2

*：AD//BC,

：,AEBK=NDMK,ZKEB=NMDK,

乂DK=KE,

:•△BEK妾AMDK(AAS),

:・DK=KE,

又〈BH=GH,

：.KH//^GM,

是等腰直角三角形，

：.ZEDF=ZADB=9()°,DE=DF,NDFE=NDEF=45。,

：.NEDB+NBDF=NFDA+NBDF,

:,NEDR=NFDA,

VZADB=90°,N84O=45。，

JZABD=900-N84O=45。，

/.NABD=/BAD,

：・DB=DA,

：AADF@4BDE(SAS),

ZDAF=NDBE=9()。,AF=BE

VZD4G=ZDFG=45°,

・・・A、F、G、。四点共圆，

・・・NOGE=ND4产=90°,

在RMOGE中，K是OE的中点，

:.GK=；DE,

在DKE中，

同理可得：KB=^DE,

:.GK=KB,

又•：BH=GH,

:.KH1.BG,

■:KH//MG,

・・・MG_LA8,

/.NAGM=90。，

VZBAD=45°,

ZAMG=NBAO=45°,

：.AG=GM,

：.KH=^GM=^AG.

(3)作EN_L4B于N,

在即△BEN中，NEBN=180。・NABC=45。，BE=2,

:.EN=BN=&,

在Rt&GEN中，GN=GB+BN=30，EN=&,

:.GE=2卡,

:.DE=0GE=2M,

在RmQBE中，BE=2,DE=2M,

:・BD=G,

:・AB=OBD=6叵,

，AG=A8-8G=4及

连接MG,取GK的中点/,作/Q_L48于Q,

图3

•・•尸是MK的中点,

:.PI=；MC=2叵,

・••点。在以/为圆心，半径为2&的。/上运动

由（2）知：KH=±AG=2g,

•••/。是^KGH的中位线，

：・IQ=WKH=&,

任RmAIQ中，AQ=AG+GQ=4d2+—=—,IQ=^-KH=—,

2222

：.AI-PI<AP<AI+Ph

，历-2近WAPS向+2丘.

【点拨】本题主要考查等腰三角形与直角三角形、圆的有关概念及性质、三角形的全等和圆

的综合运用，解题关键是确定P点的轨迹并且要灵活运用转化思想、推理能力、模型思想

和创新意识.

22.（1）立；（2）4P的最小值为回-2及；（3）存在，的最大值为6&+6

2

【分析】（1）连接AC、AF、DG、CF,证△AOGs△八。凡根据线段比例关系可求；

（2）以8C为斜边作等腰直角三角形8OC,以。为圆心80为半径画圆，则户的运动轨迹

在矩形A8CQ内的劣弧3c上，连接A0交弧3。于点凡此时4户最小，根据给出数据求

值即可；

（3）以为斜边向下做等腰直角三角形连接CE,根据△力/Ws^CAE得出8。=

叵CE,以48为斜边向上做等腰直角三角形40B,以0为圆心0A为半径画圆，根据。点

的轨迹求出CE最大值，即求出8。最大值.

解：（1）如图①，连接AC、AF、DG、CF,

在正方形ABC。和正方形AEFG中，AB=4,AE=2.5,

・"C=&/W,AF=®AE,AG=AE=2.5,AD=AB=4,

.ADAC

••----=-----,

AGAF

又：NOAG=NQAC-NG4C=45°-NG4C,ZCAF=ZGAF-ZGAC=45°-ZGAC,

：,ZDAG=ZCAF,

.'.△DGA^ACM,

.DGAD4V2

••-----=----=,

CFAC4x/22

故答案为也；

2

（2）如图②，以8c为斜边作等腰直角三角形BOC,

以。为圆心30为半径画圆，则/BPC作为圆周角刚好是135°,

：.P的运动轨迹在矩形ABCD内的劣弧4c上,

连接A0交弧于点P，此时AP最小，

作O上垂直AB延长线于由E,

为等腰直角三角形，BC=4,

，OB=OC=—BC=—x4=2&，Z080450，

22

，NO8E=90°-NOBC=9()c-450=45。，

^.VOEIAE,

・••△BE。为等腰直角三角形，

/.BE=OE=叵()13=叵x2J2=2,

22

y.'：AB=3,

：.AE=AB+BE=3+2=5,

***AO=\IAE2+OE2=V52+22=729，

•・,OP=O8=2&,

：.AP=AO-OP=y/29-2y[i,

即AP的最小值为729-272;

（3）存在，如图3,以4B为斜边向下做等腰直角三角形4EB,连接CE,

E

图3

则NE48=45。，—=V2,

AE

*：AC=AD,ZACD=90°,

AD

ADAC=45°,AC=

——,=—-，Z.DAB=Z.CAE=45°，

AEAC

•••△O/Ws/XCAE,

.BDAD

*CE-AC

:・BD=®CE,

•••当CE最大时，8/)取最大值，

以AB为斜边向上做等腰直角三角形40B,以0为圆心04为半径画圆，

•・・/4。8=90°,ZACB=45°,

・••点C在优弧A8上，

由图知当。在0E延长线。位置时CE有最大值，

此时CE=0E+0C,

•・・A4=6,△A0B和aAEB都是以A8为斜边的等腰直角三角形，

・••四边形人08E为正方形，

/.0E=AB=6,OC=OA=^AB=34i,

2

・・・CE的最大值为6+30.

\'BD=42CE,

工8。的最大值为拒x(6+3&)=6夜+6.

【点拨】本题主要考查了图形的变换，三角形相似，等腰直角三角形，正方形，圆周角，圆

心角等知识点，熟练掌握并灵活运用这些知识点是解题的关键.

23.(1)-：(2)①点。在AW的外接圆上，见解析•：②2拉；(3)2,1

解：(1)•・•四边形A8C。、四边形PEFG是正方形，

AZA=ZB=ZEPG=90%PF工EG,A4=8C=4,NO£P=450,

ZAEP+ZAPE=9()^N8PC+NAPE=9()°,

/.NAEP=NBPC,

/.△APESXBCP,

.AEAPAE1

••,RorJt=~9

BPBC4-14

3

解得：AE=：；

4

3

故答案为：4；

4

(2)①点。在△APE的外接圆上，理由是：

证明：如图1，

DC

取PE的中点Q,连接AQ,OQ,

•・•/POE=90。，

：,OQ=*E,

•••△APE是直角三角形，

:.点Q是RtAAPE外接圆的圆心,

：.AQ=^PE,

：.OQ=AQ=EQ=P(),

•••0在以。为圆心，以OQ为半径的圆上,

即点。在△APE的外接圆上；(到圆心的距离等于半径的点必在此圆上)，

故答案为：点。在△APE的外接圆上；

②连接。4、AC,如图2所示，

••・四边形A3CQ是正方形，

.\ZB=90°,ZB4C=45°,

・••点。在AC上,

当。运动到点8时，。为AC的中点，OA=；4C=2拉，

即点。经过的路径长为2a；

（3）设则BP=4-x,

由（1）得：AAPEsABCP,

.AEAP

••=,

BPBC