13.1 三角形的边角关系（三角形中的几条重要线段）（解析版） 分层作业-沪科版(2024)八上

13.1三角形的边角关系

（三角形中的几条重要线段）题型一三角形的高、中线与角平分线的概念1．（23-24八年级上·河北唐山·期中）如图，下面是三位同学的折纸示意图，则依次是的（

）A．中线、角平分线、高线 B．角平分线、高线、中线C．高线、中线、角平分线 D．角平分线、中线、高线【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质及三角形的角平分线、中线和高线，解题关键是熟知三角形角平分线、中线和高线的定义．根据三位同学的折纸示意图，结合三角形角平分线、中线和高线的定义求解．【详解】解：由图①的折叠方式可知，，所以是的角平分线．由图②的折叠方式可知，，因为，所以，所以，所以是的高线．由图③的折叠方式可知，，所以是的中线．故选：B．2．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】本题考查了中线、角平分线和中线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．分别根据三角形的中线意义可判断A和D；根据三角形高的定义，直角三角形两锐角互余判断B；根据三角形角平分线的性质可判断C．【详解】解：∵是中线，∴，故A选项正确，不符合题意；∵是高，∴，∴，故B选项正确，不符合题意；过点E作于点G，于点H，∵是角平分线，∴，∵，，∴，故C正确，不符合题意；∵是中线，∴与不一定相等，故D错误，符合题意．故选：D．3．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在中，，G为的中点，延长交于点E，F为上的一点，于点H．下列判断错误的有（

）A．是的角平分线 B．为边上的高C．是边上的中线 D．为的高线【答案】C【分析】本题考查了三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线，根据三角形的角平分线、三角形的高线、以及三角形的中线的定义逐项分析即可．【详解】解：A．∵，是的角平分线，正确；B．∵，为边上的高，正确；C．∵G为的中点，是边上的中线，故原说法不正确；D．∵，为的高线，正确；故选C．4．（21-22七年级上·河南濮阳·期中）下列说法正确的是（

）①三角形的角平分线是射线；②三角形的三条角平分线都在三角形内部；③三角形的一条中线把该三角形分成面积相等的两部分；④三角形的三条高都在三角形内部．A．①② B．②③ C．③④ D．②④【答案】B【分析】根据三角形的角平分线的定义与性质判断①与②；根据三角形的高的定义及性质判断④；根据三角形的中线的定义及性质判断③即可．【详解】解：①三角形的角平分线是线段，故①说法错误；②三角形的三条角平分线都在三角形内部，故②说法正确；③因为三角形的一条中线把该三角形分成的两个三角形等底同高，所以这两部分的面积相等，故③说法正确；④锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．故④说法错误．故正确的有②③．故选：B．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线、中线和高的定义及性质，是基础题．题型二画三角形的高、中线或角平分线5．（2025七年级下·全国·专题练习）下列选项中，作中边上的高正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了三角形高的定义，从三角形一个顶点向它的对边（或对边所在的直线）作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．根据三角形高的定义判断即可．【详解】解：A、没有经过顶点B，不是边上的高，不符合题意；B、高垂直于于D，是边上的高，符合题意；C、没有经过顶点B，不是边上的高，不符合题意；D、没有经过顶点B，不是边上的高，不符合题意；故选：B．6．（23-24八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，已知中，，．

(1)画边上的中线，并求长；(2)画边上的高，若，求的面积．【答案】(1)图见解析，(2)图见解析，【分析】本题考查了线段中点和三角形面积的计算，熟练掌握三角形面积计算公式是解题的关键（1）把线段分为两条相等的线段的点，叫做这条线段的中点，根据是边上的中线即可求出；（2）是边的高，根据三角形面积=底高即可得到答案．【详解】（1）解：如图所示，是边上的中线，，点D是线段的中点，；（2）边上的高如图所示：是边的高，，．7．（24-25八年级上·湖北恩施·期末）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，其中．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．(1)在图1中，画的中线；(2)在图1中，画的角平分线；(3)在图2中，画的高线；(4)在图2中，M在格线上且是边上一点，画点M关于直线的对称点N．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析(4)见解析【分析】（1）利用每格之间距离相等的性质可以找到与格线的交点即为点D，连接，即为所求；（2）利用正方形的对角线平分每一组对角的性质可得平分，连接并延长与的交点为E，即可得解；（3）由，，，可证出，可得，由可得，利用三角形的内角和可得，进而即可得解；（4）利用轴对称的性质可得，和关于直线对称，由垂直于格线可得，，两点关于直线对称．【详解】（1）解：如图，线段（与格线的交点即为D）即为所求；（2）解：如图取格点T，连接并延长与的交点为E，即为所求；（3）解：如图，线段（取格点P，与的交点即为F）即为所求；（4）解：作关于的对称点，连接，与格线的交点N即为所求．【点睛】本题主要考查了三角形的中线、角平分线和高线的概念，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质，在网格中的作图方法等知识，正确在网格中作出图形是解决此题的关键．8．（23-24七年级下·江苏扬州·阶段练习）如图，已知△ABC．(1)画角平分线BD；(2)画中线CE；(3)画高AD．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】此题主要考查了基本作图，关键是掌握三角形中的三条重要线段的定义．根据三角形的中线、高线、角平分线的定义分别画出图形即可．【详解】（1）解：如图所示：线段即为所求．（2）解：如图所示：线段即为所求．（3）解：如图所示：线段即为所求．题型三网格中计算三角形的面积9．（22-23七年级上·广西防城港·开学考试）如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是．【答案】5.5平方厘米【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积．【详解】解：如图所示，∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米，∴图中每个小方格的边长都是1厘米，∴，，，，，，∴（平方厘米）．故答案为：5.5平方厘米．10．（24-25七年级下·安徽亳州·期末）在边长为1个单位的小正方形组成的网格中，三角形三个顶点的位置如图所示．现将三角形向右平移6个单位，在向下平移2个单位得到三角形．(1)请画出平移后的三角形；(2)求三角形的面积．【答案】(1)图见解析(2)7【分析】本题考查图形的平移和利用割补法求三角形面积．平移时要注意每个顶点的移动规律，求面积时割补法是常用方法，通过将不规则图形转化为规则图形的面积差来计算．（1）根据平移的性质，将三角形的每个顶点向右平移个单位，再向下平移个单位，然后连接各顶点得到三角形；（2）利用割补法，用梯形面积减去周围两个个直角三角形的面积来计算三角形的面积．【详解】（1）解：平移后的三角形如图；（2）解：．三角形的面积为7．11．（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，，．点为直线上一动点，则的最小值为．【答案】【分析】本题考查了点到直线的距离，坐标与图形，先根据坐标求得的面积，进而根据，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，此时最小，∵，，∴∵，∴故答案为：．12．（2025·吉林长春·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、、坐标分别为、、，则面积为．【答案】【分析】本题考查了坐标与图形，以及三角形的面积，数形结合是解题的关键，根据点的坐标，求得，边上的高为，进而根据三角形的面积公式，即可求解．【详解】解：∵点、、坐标分别为、、，∴，边上的高为，∴面积为故答案为：．13．（23-24七年级下·内蒙古通辽·期中）如图所示，是经过平移得到的，，中任意一点平移后的对应点为．(1)请写出平移的过程；(2)分别写出点，，的坐标；(3)求的面积．【答案】(1)先向左平移6个单位，再向上平移4个单位得到或先向上平移4个单位，再向左平移6个单位得到（写出一种即可）(2)，，(3)【分析】本题重点考查了根据平移前后点的坐标来确定平移方式、根据平移方式确定点的坐标、坐标与图形面积等知识，解题的关键是数形结合，熟练掌握平移的性质．（1）图形在平移运动中，该图形上的所有点都进行了同方向、等距离的移动．因此由中任意一点平移后的对应点为可知点P的移动方向和距离，从而反推出平移的过程；（2）根据第(1)小问平移的过程即可确定顶点A、B、C平移后的顶点，，的坐标；（3）的面积可以看作梯形的面积减去和的面积．【详解】（1）解：∵中任意一点平移后的对应点为，∴平移后对应点的横坐标减6，纵坐标加4，∴先向左平移6个单位，再向上平移4个单位得到或先向上平移4个单位，再向左平移6个单位得到．（写出一种即可）（2）解：∵，，，由（1）可知，，，．（3）解：如图，．题型四与三角形高有关的计算14．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，分别是的高线、中线，若，则高线长为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】本题考查了三角形的中线和高线，熟练掌握三角形的中线平分三角形的面积，是解题的关键．根据是的中线得出，根据三角形的面积公式即可得出的长．【详解】解：∵是的中线，，∴，∵是的高线，∴，即，解得，故选：B．15．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）如图，中，，是斜边上的高，，，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了直角三角形的性质，三角形的高，由直角三角形两锐角互余可得，进而由三角形的高得到，利用所对的直角边等于斜边的一半即可得和，掌握直接三角形的性质是解题的关键．【详解】解：∵，，∴，∵是斜边上的高，∴，∴，∴，∴，故选：D．16．（24-25七年级下·安徽黄山·期中）已知点，，点在轴上．若三角形的面积为，则点的坐标为．【答案】或/或【分析】本题考查了三角形的面积，点的坐标表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据题意，即可得到，然后表示出点坐标即可．【详解】解：点，，点在轴上，三角形的面积为，，，，点的坐标为或．故答案为：或．17．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）在中，，是的角平分线，，，．（1）点C到的距离为；（2）的面积为．【答案】【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质并求出CD的长度是解题的关键．（1）过点作于，根据三角形的面积公式列式计算即可得解；（2）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．【详解】解：（1）过点作于，如图，，即解得．故答案为：．（2）过点作于，如图，是的角平分线，，，．设，则．，即，解得，．．故答案为：．18．（24-25八年级上·安徽滁州·期中）如图，和是的两条高线且相交于点O．(1)已知，求的度数；(2)若，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形外角的性质，三角形的高的定义．（1）利用三角形内角和定理求出，即可求解；（2）利用等面积法得出，即可求解．【详解】（1）解：∵和是的两条高线，∴．∴．∴．∴．（2）解：由三角形的面积公式，得．∵，，∴．∴．题型五利用三角形的中线计算三角形的长度/周长19．（24-25八年级上·云南曲靖·期末）如图，在中，，分别是边上的中线和高，，，则的长是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，三角形的面积，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．首先根据三角形中线的性质得到，，然后利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：∵是边上的中线，，∴，∵是边上的高∴∴．故选：B．20．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）在中，为边的中线，若与的周长差为5，，则的长为（

）A．2 B．13 C．3或13 D．2或12【答案】C【分析】本题考查了三角形的中线的性质，分类讨论：①当的周长大于的周长时，②当的周长比的周长大时，根据三角形中线的性质及与的周长差即可求解，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键．【详解】解：①当的周长大于的周长时，为边的中线，，与的周长差，与的周长差为5，，，解得；②当的周长比的周长大时，为边的中线，，与的周长差，与的周长差为5，，，解得，综上或13，故选：C．21．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，点E是边的中点，的周长是22，则的周长是（

）A．15 B．25 C．29 D．32【答案】B【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后根据三角形的周长可进行求解．【详解】解：∵点E是边的中点，∴，∵，∴，∴；故选B．22．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，是的中线，，若的周长比的周长大3，则的周长为．【答案】17【分析】本题考查的是三角形的中线，根据三角形中线的特点进行解答即可．【详解】解：∵为的边上的中线，∴，∴，∵的周长比的周长大3，∴，∴，∵,∴，∴的周长为，故答案为：17．23．（23-24八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，在中，是中线，，．(1)求与的周长差．(2)点E在边上，连接，若与四边形的周长相等，求线段的长．【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形的中线性质，三角形周长的计算，掌握相关知识点是解题的关键．（1）的周长，的周长，由中线的定义可得，即可解答；（2）由图可知的周长，四边形的周长，，所以，则可解得长．【详解】（1）解：的周长，的周长，∵是中线，∴，∴与的周长差：；（2）解：由图可知：的周长，四边形的周长，又∵的周长与四边形的周长相等，D是的中点，∴，，∴，又∵，，，∴，∴，∴．题型六利用三角形的中线计算三角形的面积24．（24-25八年级上·安徽淮北·期中）如图，是的中线，点，分别为，的中点，若的面积为，则的面积是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形的中线平分三角形的面积是正确解答此题的关键．根据三角形中线平分三角形面积得到，进而得到，同理可得．【详解】解：∵点是的中点，的面积为，∴，∵点是的中点，∴，同理可得，同理可得，．故选B．25．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，在中，点D在边上，且，点E是的中点，，交于点G，已知的面积是8，的面积是3，则的面积是（

）A．24 B．30 C．36 D．40【答案】B【分析】本题考查三角形的面积，等高模型等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的中线平分三角形的面积可得的面积的面积，的面积的面积，再由求出的面积的，可得结论．【详解】解：连接，是的中点，的面积的面积，的面积的面积，，的面积，的面积，的面积的面积．故选：B．26．（24-25八年级下·安徽宣城·期末）如图，菱形的面积为12，点E是的中点，点F是上的点，且．则图中阴影部分的面积．【答案】5【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中线平分面积，连接，根据菱形的性质，三角形的中线平分面积，求出，同高三角形的面积比等于底边比，求出，平行等积转化，得到，进而求出，分割法求出阴影部分的面积即可．【详解】解：连接，∵菱形，∴，，∵点E是的中点，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，，∴阴影部分的面积；故答案为：527．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，是边上的中线，，与交于点F，若的面积等于16．（1）的面积为；（2）设的面积为m，的面积为n，则．【答案】4/【分析】本题考查了三角形中线的意义，三角形面积的性质，解方程，熟练掌握中线的意义是解题的关键．（1）设边上的高为h，根据题意，得，，结合得，代入计算即可．（2）根据是边上的中线，的面积等于16，得到，结合的面积为m，的面积为n，得到即，连接，根据，得到，根据是边上的中线，，继而得到，得到，代入解答即可．【详解】（1）解：设边上的高为h，根据题意，得，，∵，∴，故答案为：4．（2）解：根据是边上的中线，的面积等于16，得到，又的面积为m，的面积为n，得到即，如图，连接，根据，得到，又是边上的中线，，故，解得，故．故答案为：．28．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，．(1)求的长．(2)求的面积．【答案】(1)的长度为；(2)【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线的性质，熟练掌握三角形面积公式和三角形中线的性质是解题的关键．（1）根据直角三角形的面积公式即可计算出的长；（2）根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分即可求出的面积．【详解】（1）解：，是边上的高，，，答：的长度为；（2）解：是直角三角形，，，又是边的中线，．答：．题型七与角平分线有关的角度计算29．（22-23八年级上·安徽阜阳·期中）如图，平分，，，则

【答案】【分析】根据三角形的外角性质可得，求得，根据角平分线的定义即可求解．【详解】解：在中，，又∵，∴，∴，∵平分，∴．故答案为：【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握三角形的外角性质和角平分线的定义是解题的关键．30．（21-22七年级下·福建福州·期末）在中，，的平分线交于点O，外角平分线所在的直线的平分线相交于点，与的外角平分线相交于点E，则下列结论一定正确的是．（填写所有正确结论的序号）①；②；③；④．【答案】①②④【分析】由角平分线的定义可得，再结合三角形内角和定理可求，即可判定①；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义以及三角形内角和定理可判定③；利用三角形外角的性质可得，结合，可判定④．【详解】∵，的平分线交于点O，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，故①正确，∵平分，∴，∵，∴；故②正确，∵，∴，∵平分，平分，∴，∴，∵，∴，故③错误；∵，∴，∵，∴．故④正确，综上正确的有：①②④．【点睛】此题考查了三角形内角和性质和外角和的性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握并灵活应用相关性质进行求解．31．（22-23八年级下·安徽淮北·期中）如图，在▱中，的平分线与的延长线相交于点E，，，则的长为．

【答案】4【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义求得，，则可求得的长．【详解】解：如图，∵四边形为平行四边形，∴，，∴，，平分，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：4．

【点睛】本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义及平行线的性质，掌握平行四边形的对边平行且相等是解题的关键．32．（20-21八年级下·安徽芜湖·期中）如图所示，在平行四边形中，，平分交边于点E，且，则的长为．【答案】【分析】根据平行四边形的性质可得，，然后根据角平分线定义证明，得出，进而可以解决问题．【详解】解：在平行四边形中，，，∴，∵，∴，∵平分，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案为：【点睛】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义和等腰三角形的判定．解决本题的关键是掌握平行四边形的性质．33．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图，在中，，点为上一点，过点作于点．(1)当平分，且时，求的度数；(2)当点是中点，，且的面积为，求的长．【答案】(1)；(2)4．【分析】此题考查了角平分线的定义，三角形中线的性质，直角三角形两锐角互余，等面积法．（1）根据角平分线的定义及直角三角形的性质求解即可；（2）由点是中点得，然后根据求解即可．【详解】（1）解：∵平分，（已知）∴，（角平分线的定义）∵，（已知）∴，（垂直的定义）∴（三角形内角和推论）；（2）解：∵点是中点，∴，∵，∴，∵，∴．题型一高、中线、角平分线的综合1．（21-22八年级上·安徽合肥·期末）如图，AD、AE、AF分别是ABC的高线、角平分线和中线．(1)若，CF=4，求AD的长．(2)若∠C=70°，∠B=26°，求∠DAE的度数．【答案】(1)AD=5(2)∠DAE=22°．【分析】（1）根据角平分线和三角形的面积公式即可解答；（2）根据角平分线、三角形的高线结合三角形内角和定理即可解答．【详解】（1）解：∵AF是△ABC的中线，CF=4，∴BC=2CF=8．∵S△ABC=×BC×AD=20，∴AD=5；（2）解：∵∠C=70°，∠B=26°．∴∠BAC=180°−∠B−∠C=180°−26°−70°=84°．∵AD，AE分别是△ABC的高线和角平分线．∴∠EAC=∠BAC=42°，∴∠DAC=90°−70°=20°，∴∠DAE=∠EAC−∠DAC=42°−20°=22°．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线、中线、高线的定义，直角三角形两锐角互余的性质，熟记定理并准确识图是解题的关键．2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）如图，和分别是的高和角平分线，是边的中线．(1)若的面积为6，则的面积为_________．(2)若，求的度数．(3)在（2）的条件下，若，求的度数．【答案】(1)12(2)(3)【分析】（1）根据三角形中线的性质即可解答；（2）根据题意得到，由，利用三角形内角和定理即可解答；（3）利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求出，再利用三角形外角的性质即可解答．【详解】（1）解：的面积为6，是边的中线，的面积为；（2）解：是的高，，，；（3）解：，，，是的角平分线，，．【点睛】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，三角形的中线，高，角平分线的性质．熟练掌握知识点是解题的关键．3．（22-23七年级下·湖南长沙·期末）如图，中，是的中线，是的角平分线，是的高．(1)若的面积为8，，求的长；(2)若，求的度数【答案】(1)(2)【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，三角形的面积等知识点，熟练掌握三角形的内角和定理及三角形的外角性质是解此题的关键．（1）由三角形面积公式可得，可求得，最后可求得；（2）先求得，由是的角平分线可得，最后可得结果．【详解】（1）解：由题意可得：，即，∴，又为的中线，∴；（2）解：∵是的高，，∴，，又是的角平分线，∴，∴．4．（24-25八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，分别是的高线，角平分线和中线，(1)下列结论：①，②，③，④与互余，其中正确的是________（只填序号）．(2)若，，求的度数．(3)若，直接写出与之间的数量关系．【答案】(1)②③④(2)(3)【分析】本题主要考查了三角形的角平分线、高线、中线的性质以及三角形的内角和定理，熟悉相关性质是解题的关键．（1）依据分别是三角形的高线，角平分线及中线，即可得出，，，据此分别判断各选项即可；（2）先根据三角形的内角和求出，然后分别求出和，再利用角的和差计算即可；（3）根据题意可以用和表示出和，从而可以得到与的关系．【详解】（1）解：∵，，分别是的高线，角平分线，中线，∴，，，而不一定成立，故①不正确，②正确；∴，∴，即与互余，④正确；∴，,∴，③正确；综上所述，正确的是：②③④，故答案为：②③④；（2）解：∵，，∴，∵，，∴，，∴；（3）解：，理由：在中，，分别是的高和角平分线，，，，．题型二等底同高的三角形的有关的计算5．（23-24七年级下·安徽阜阳·阶段练习）如图，，，则点到的距离为（

）A．3 B．8 C．10 D．12【答案】A【分析】本题主要考查平行线的性质，根据平行线间的距离处处相等求解即可．【详解】解：∵，，∴∴点到的距离为,故选：A．6．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为和．若三角形的面积大于平行四边形的面积，则、满足的条件是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可．【详解】解：设两平行线间的距离为，∵三角形的面积大于平行四边形的面积∴，∴，当时，三角形的面积大于平行四边形的面积．故选：D．7．（24-25七年级下·湖南株洲·期中）如图，、是直线上两个定点，是直线上一个动点，且，以下说法：①三角形的周长不变；②三角形的面积不变；③的度数不变；④点到直线的距离不变．其中正确的是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】本题考查了两平行线间的公垂线段相等，等底等高的三角形面积相等等知识；根据这些知识逐一判断即可．【详解】解：、为定点，则为定值，随着点的运动，的长度是变化的，即的周长变化的；故①错误；由于两平行线间的距离相等，即点到底边的距离不变，即的面积不变；故②正确；随着点的运动，的度数是变化的；故③错误；两平行线间的距离相等，即点到直线的距离不变；故④正确；综上，正确的有②④；故选：C．8．（24-25七年级下·广西贵港·期末）如图，已知梯形中，，点E和F分别在和上，和相交于点G，和相交于点H，，，则阴影部分的面积为．【答案】【分析】本题主要考查三角形面积、平行线的性质等知识点，发现等底等高的两三角形是解题的关键．如图：连接，因为，所以两平行线间的距离处处相等，易得、的面积与的面积，即可解决．【详解】解：如图：连接，∵，，∴∴，即，同理：∴．故答案为：．题型三应用等面积法求线段长9．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，在中，，，点是的中点，过点作于点，则的长为（

）A．6 B． C．5 D．【答案】D【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．连接，通过等腰三角形三线合一，可知，利用勾股定理，可求得，再利用三角形的面积求得．【详解】解：连接，如图所示：，，点是的中点，，，，，，．故选：D．10．（24-25八年级上·河南焦作·期中）如图，，是的两条高，，，，则的长为（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了三角形的面积．要求高长，只需分别以和为底边，利用面积相等即可求解．【详解】解：，，，，，，故选：A．11．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在中，，，的高与的比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了三角形的高，三角形的面积公式，根据等面积法求解即可．【详解】解∶∵与是高，∴，∴，故选∶B．45．（24-25八年级上·湖南长沙·期中）如图，在中，，垂足为点．则的长为．【答案】/【分析】本题考查了三角形高有关的计算，掌握等面积法求高是解题的关键．根据题意，，由此即可求解．【详解】解：根据题意得，，∴，故答案为：．题型四探究三角形的边、角、线12．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）如图1，在中，，是边上的高线，是的平分线．(1)若，，求的度数；(2)根据（1）的计算结果，猜想与和之间的等量关系（直接写出结论，不需要证明）；(3)如图2，若是钝角，上述猜想的结论是否仍然成立？并说明理由．【答案】(1)(2)(3)成立【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质以及三角形高线的性质，解题的关键是利用这些性质求出相关角的度数，进而找出角之间的关系．（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线性质求出，根据直角三角形性质求出，最后得出．（2）根据（1）的计算结果进行归纳猜想．（3）同样先求出相关角的度数，再验证猜想是否成立．【详解】（1）在中，已知，则，是的平分线，．是边上的高线，，在中，，；（2）猜想：，证明如下：，，∴；（3）当是钝角时，上述猜想成立，设．根据三角形内角和定理，，是的平分线，是边上的高线，，在中，所以当是钝角时，上述猜想仍然成立．13．（23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）阅读材料：如图，中，为底边上任意一点，点到两腰的距离分别为，，腰上的高为，连接，则，即：，（定值），即为定值．(1)深入探究将“在中，为上一点”改成“为等边三角形内一点”，作，，垂足分别为、，有类似结论吗?请写出结论并证明；(2)理解与应用当点在外，（1）结论是否成立?若成立，请予以证明；若不成立，和之间又有怎样的关系，并说明理由．【答案】(1)，理由见解析(2)，理由见解析【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形的面积；（1）连接、、，利用计算即可；（2）连接、、，利用计算即可．【详解】（1），理由如下：连接、、，则∵等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴；（2），理由如下：连接、、，则∵等边三角形，∴，∵，，∴，∴，∴．14．（24-25七年级下·河南周口·阶段练习）如图，在中，平分，交于点，为边上的高．(1)若，，求的度数；(2)在（1）的条件下，求的度数；(3)若，直接写出、、的关系．【答案】(1)(2)；(3)，理由见解析【分析】本题考查了三角形内角和定理和角平分线的定义．（1）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数；（2）由的度数利用三角形内角和定理即可求出的度数，再根据代入数据即可得到结论；（3）猜想，重复（1）（2）的过程找出和的度数，二者做差即可得到结论．【详解】（1）解：在中，，，；又是的平分线，；（2）解：是边上的高，，在中，，，，由（1）知，，，即；（3）解：，理由如下：且是的平分线，，，．15．（23-24七年级下·江苏淮安·开学考试）已知，，点为射线上一点．(1)如图，若，，则__________°；(2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论；(3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）延长交于点，根据是的外角求解；（2）根据，可得，再根据是的外角可得，即；（3）设，则，通过三角形的内角和定理得到，由三角形角平分线的定义及得到，求出的值再通过三角形的内角和定理求．【详解】（1）解：如图，延长交于点，，，是的外角，，故答案为：；（2）解：，理由如下：，，是的外角，，；（3）解：，设，则，，，，又，，平分，，，，即，解得：，，．【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键．1．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）在中，，（），是的高．(1)如图，若为内角的平分线．①当，，则的度数为_________；②用含，的代数式表示的度数，并说明理由；(2)如图，若是外角的平分线，交延长线于点，若，则的度数为_________．【答案】(1)①；②，理由见解析(2)【分析】（）①由三角形内角和定理得，进而根据三角形角平分线的定义可得，又由三角形的高可得，最后根据角的和差即可求解；②同理①解答即可求解；（）作的内角平分线，由（1）②得，再根据角平分线的性质可得，进而由角的和差即可求解；本题考查了三角形的角平分线和高，三角形内角和定理，角的和差，掌握以上知识点是解题的关键．【详解】（1）解：①∵，，∴，∵为的平分线，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴，故答案为：；②，理由如下：∵，，∴，∵为的平分线，∴，∵是的高，∴，∴，∴，∴；（2）解：如图，作的内角平分线，则，∵是的角平分线，为的平分线，∴，∴，故答案为：．2．（24-25八年级上·江苏扬州·期中）小正方形网格中，三个顶点均在格点上的三角形叫做格点三角形．设每个小正方形边长为1．如下图，格点，(1)图中格点的面积是_______；(2)按要求画图：①在图1中画一个与全等且有一条公共边的格点三角形；②在图2中画一个与全等且只有唯一公共点A的格点三角形；③在图3中画一个面积为5的格点直角三角形且直角边为网格图中的斜格点线段．【答案】(1)(2)①见解析②见解析③见解析【分析】本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）利用三角形面积公式求解即可．（2）①根据全等三角形的判定，画出图形即可．②利用轴对称法画出图形即可．③画出直角三角形即可．【详解】（1）解：的面积，故答案为：；（2）解：①如图，