13.1 三角形的边角关系（三角形中的经典模型）（原卷版） 分层作业-沪科版(2024)八上

13.1三角形的边角关系（三角形中的经典模型）题型一A字模型1．（2021九年级·全国·专题练习）如图是某建筑工地上的人字架，若，那么的度数为．2．（2021九年级·全国·专题练习）如图，中，，直线交于点D，交于点E，则（

）．A． B． C． D．3．（2021九年级·全国·专题练习）如图所示，的两边上各有一点，连接，求证．题型二8字模型1．（24-25八年级上·安徽安庆·期中）（1）生活中处处需要和谐，几何学也如此，如图1所示的图形我们称之为“和谐8字形”，则、、、之间的数量关系．（2）在图2中和的平分线和相交于P点，交叉形成了多个“和谐8字形”，若，，那么的度数是．2．（24-25八年级上·江西南昌·阶段练习）【模型理解】（1）如图1，和交于点O，求证：．【模型应用】（2）如图2，，分别平分，，求证：．3．（22-23八年级上·新疆乌鲁木齐·期中）（1）模型：如图1，，交于点．求证：．（2）模型应用：如图2，和的平分线交于点．①若，，则的度数是？②直接写出与，之间的数量关系是：（3）类比应用：如图3，的平分线与的平分线交于点．若，，（）．求的度数．（用含有，的式子表示）4．（23-24八年级上·辽宁丹东·期末）【数学模型】“8字型”是初中数学“图形与几何”中的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．如图1，交于点，根据“三角形内角和是”，不难得出两个三角形中的角存在以下关系：①（对顶角相等）；②．【提出问题】分别作出和的平分线，两条角平分线交于点，如图2，与，之间是否存在某种数量关系呢？【解决问题】为了解决上面的问题，我们从特例开始探究．已知的平分线与的平分线交于点．(1)如图2，，，则的度数是多少呢？易证，请你完成后续的推理过程：______，分别是，的平分线，______又，______度．(2)在总结前面问题的基础上，借助图2，直接写出与，之间的数量关系是：______．【类比应用】(3)如图3，的平分线与的平分线交于点．已知：，，则______．（用、表示）题型三飞镖模型1．（2021九年级·全国·专题练习）如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（

）．A． B． C． D．2．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图1，凹四边形形似圆规，这样的四边形称为“规形”．模型探究（1）如图1，在规形中，请探究之间的数量关系，并说明理由．实践应用（2）应用（1）中探究的结论解决下列问题：①如图2，在规形中，与的角平分线交于点E，若，则的度数是_________；②如图3，在规形中，若的角平分线交于点E，且，试探究之间的数量关系，并说明理由．3．（24-25八年级上·山东青岛·期末）【建立模型】如图1，在内部有一点，连接、，求证：；【尝试应用】如图2，利用上面的结论，直接写出五角星中，______度；【拓展创新】如图3，将五角星截去一个角后多出一个角，求的度数．【提升思维】如图4，将五角星的每个角都截去，则一共得到10个角，则这10个角的和的度数是______度．

题型四老鹰抓小鸡模型1．（23-24八年级上·重庆永川·期中）一张三角形纸片部分如图所示，将折叠，为折痕，A点落在的位置，若，则．2．（24-25八年级上·天津·期中）如图，把纸片沿折叠，使点落在内部点处，若，则等于．3（24-25八年级上·广西南宁·阶段练习）【问题呈现】小明在学习了三角形有关内角与外角的相关知识后遇到这样一个问题：如图①，与分别为的两个外角，求证：．（1）以下是小明给出的部分推理过程，请你帮他完成证明【推理证明】∵与分别为的两个外角，∴，，∴⋯⋯【应用】利用（1）中所证明的结论解决下列问题：（2）如图②，在纸片中剪去，得到四边形，若，，请直接写出的度数，不需要说明理由；（3）如图③，在中，、分别为外角、的平分线，猜想与的数量关系，并说明理由．4．（24-25八年级上·全国·期中）如图，把纸片沿折叠，当点A落在四边形内部时，(1)写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；(2)设的度数为，的度数为，那么，的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）(3)与之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律（写过程）．题型一三角形折叠模型1．（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，将纸片沿折叠，点的对应点为．若，则°．2．（22-23七年级下·江苏宿迁·期中）如图，中，E是边上的点，先将沿着翻折，翻折后的边交于点D，又将△沿着翻折，点C恰好落在上的点G处，此时，则原三角形的的度数为．3．（2024八年级上·黑龙江·专题练习）新考向【动手操作】一个三角形的纸片，沿折叠，使点落在点处．【观察猜想】（1）如图①，若，则___________°；若，则___________°；若，则___________°；【探索证明】（2）利用图①，探索与的关系，并说明理由；【拓展应用】（3）如图②，把折叠后，平分，平分，若，利用（2）中的结论求的度数．4．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）如图（1）所示，把沿折叠，(1)当点C落在四边形内部时，与、之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，请你写出规律并证明你的规律．(2)当点A落在四边形上方时，与、之间数量关系是．(3)当点A落在四边形下方时，与、之间数量关系是．题型二三角形双角平分线模型（两内）1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）如图，在中，与的平分线交于点P，若，则．2．（24-25八年级上·四川自贡·期末）如图，在中，，的平分线，相交于点F，，，则．3．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）如图，的和的平分线相交于点G，则与的数量关系是．题型三三角形双角平分线模型（一内一外）1．（24-25八年级上·安徽六安·期末）如图，在中，和外角的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得，已知、、的和为，则．2．（24-25八年级下·河北石家庄·期中）如图，在中，度，与的平分线交于点，则∠＝；∠与∠的平分线交于点，得∠；……∠与的平分线交于点，得∠．则∠＝°题型四三角形双角平分线模型（两外）1．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）如图①，在中，与的平分线相交于点．(1)如果，求的度数；（用含的式子表示）(2)如图②，作外角，的角平分线交于点，直接写出与之间满足的数量关系______；(3)如图③，延长线段交于点，若，求的度数．2．（22-23七年级下·吉林长春·期末）【探索发现】在一次数学学习活动中，刘华遇到了下面的这个问题：如图①，在中，平分，平分，请你判断和间的数量关系并说明理由．刘华对这个问题进行了判断并给出了证明过程，下面是部分证明过程，请你补全余下的证明过程．解：结论：_________．理由：∵平分，平分，∴．∴_________．【模型发展】如图②，点P是的外角平分线与的交点，请你判断和间的数量关系并说明理由．【解决问题】如图③，在中，平分，平分，点Q是的外角平分线与的交点．若，则______度．

题型五高+角平分线模型1．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）如图，在中，是的高，是的平分线，是的平分线，相交于点．(1)求的度数；(2)求的度数．2．（24-25七年级上·山东淄博·阶段练习）（1）如图①所示，在中，分别是的高和角平分线，若，，求的度数．（2）如图②所示，已知平分，交边于点E，过点F作于点D，，．①；（用含x的式子表示）②求的度数．3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）如图，在中，是边上的高，是的平分线．(1)若，求的度数：(2)若，求的度数（用含的式子表示）．4．（24-25八年级上·广东汕头·期中）已知，如图，在中，、分别是的高和角平分线，(1)若，，求的度数；(2)若为x，为y，求与x、y的关系．1．（24-25八年级上·河北保定·期末）已知在中，．在图（1）中，、的平分线交于点，则计算可得；在图（2）中，设、的三等分线相交于点，，则计算可得；在图（3）中请你猜想，当、同时等分时，等分线分别对应交于、、…，则（用含的代数式表示）．2．（20-21七年级下·山西临汾·期末）（1）已知：如图（1）的图形我们把它称为“8字形”，试说明：．（2）如图（2），分别平分，若．求的度数．（3）如图（3），直线平分平分的外角，猜想与的数量关系是______；（4）如图（4），直线平分的外角平分的外角，猜想与的数量关系是______．

3．（22-23七年级下·河南南阳·期末）(1)如图1，在△ABC中，点是和的角平分线的交点，请你判断与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，在四边形中，点是和的角平分线的交点，请你用和表示，并说明理由；(3)如图3，在四边形中，，是的平分线所在直线与外角的平分线所在直线构成的锐角，直接写出用和表示的结果．

4．如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究与之间的关系，并说明理由；(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边恰好经过点B、C，若，直接写出的结果；②如图3，平分，平分，若，求的度数；③如图4，的10等分线相交于点，若，求的度数．5．（24-25八年级上·贵州黔南·期中）问题情境：如图1，在中，和的平分线交于点．(1)探索发现：若，则的度数为________；若，则的度数为________．(2)猜想证明：猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想．(3)拓展应用：如图2，在中，和的平分线交于点，和的平分线交于点，直接写出与之间的数量关系．6．（24-25八年级上·全国·期末）如图1，线段与相交于点O，连接，我们把这样的图形称为“8字形”，数学兴趣课上，老师安排同学们探索“8字形”中相关角度的数量关系．(1)请通过观察、测量，猜想图1中与之间的数量关系，并说明理由；(2)如图2，奋斗小组在图1的基础上，分别作与的平分线交于点P，若，求的度数；(3)智慧小组在图1的基础上，分别作射线，使得，，两条射线交于点P，请直接写出之间的数量关系．7．（24-25八年级上·河南漯河·阶段练习）他阅读下面的材料，并解决问题(1)在中，，图1，是两内角平分线的夹角：图2，是内角和外角角平分线的夹角；图3，是两外角平分线的夹角，请直接写出的度数．如图1，如图2，；如图3，；如图4，和的三等分线相交于点，则．(2)如图5所示，在中，的三等分线、和的平分线相交于点和点，，度，求的度数．8．（20-21七年级下·江苏镇江·期中）模型规律：如图1，延长交于点D，则．因为凹四边形形似箭头，其四角具有