13.4 三角形中的边角关系、命题与证明（压轴题综合测试卷）（沪科版）（教师版）

专题13.4三角形中的边角关系、命题与证明（满分120）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足a-3+A．1 B．3 C．5 D．7【思路点拨】本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质．根据非负数的性质可得a=3,b=2【解题过程】解：∵a-∴a-解得：a=3,∵a、b、c是三角形的三边，∴3-2<c即1<c∴这个三角形的第三边可以是3．故选：B2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②∠A:∠B:∠C=3:2:1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【解题过程】解：①因为∠C=∠A+∠B②因为∠A:∠B:∠C=3:2:1，设∠A=x③因为∠A=90°-∠B，所以∠A+∠④因为∠A=∠B-∠C，所以∠C+∠A=∠能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4故选：D．3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（

）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种【思路点拨】本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．【解题过程】解：①∵正三角形的每个内角是60°，∴能够镶嵌成一个平面图案；②∵正方形的每个内角是90°，∴能够镶嵌成一个平面图案；③∵正五边形的每个内角是108°，∴不能镶嵌成一个平面图案；④∵正六边形的每个内角是120°，120°×3=360°∴能够镶嵌成一个平面图案；⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是180°，6个就可以组成360°，∴能够镶嵌成一个平面图案；⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成360°，∴4个即能够镶嵌成一个平面图案．综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种，故选：D．4．（2024七年级下·江苏·专题练习）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第三条高的长度是（

A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．6或7【思路点拨】本题主要考查了三角形的面积的应用，解题时需要熟练掌握并理解．依据题意，设△ABC的三边分别为a，b，c，再结合面积法，令a边上高为4，b边上高为12，c边上高为x，则4【解题过程】解：设△ABC的三边分别为a，b，c由题意，令a边上高为4，b边上高为12，c边上高为x，∴S∴4a∴a=xc∵a∴xc4∵c∴3<x∵x∴x=4或故选：B．5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC，AC的中点，连接AD，DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDE的面积为24，则△ABCA．36 B．34 C．32 D．30【思路点拨】本题考查了根据三角形中线求面积，根据中点和中线，得出图中各三角形面积的倍数关系，推出四边形ABDE的面积=6S△AEF【解题过程】解：∵D、E分别为△ABC的边BC，AC的中点，连接AD，DE，AF为△∴EF=DF，AE=∴△AEF和△ADF等底同高，△AED和△CED等底同高，∴S△AEF=S△又∵S△AEF+∴S△AED=∴四边形ABDE的面积=S△ABD∴S△∴S△故选：C．6．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，CE的延长线交AB于点F，设

A．β=110°+2a BC．β=110°+a D【思路点拨】延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角的性质得到x+【解题过程】解：如图，延长AD交BC于点G，

设∠BAD的度数为2x，∠DCB∵AE平分∠BAD，CE平分∴∠EAF∵∠ADC∴∠DGC∴∠BGD在△BAG中，∠∴x∵∠AEF∴∠CFB在△BFC中，∠将x+y=整理得β=250°-2故选：D．7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且BC=4，连接AB、AC，点D、E分别为AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形AFEC的面积为10，则AB的最小值为（A．6 B．7 C．8 D．9【思路点拨】本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积．连接CF，如图，利用三角形中线的性质依次求出△ADF，△CDF，△CEF与△ABC的面积间的关系，然后根据四边形AFEC的面积为5求出△ABC【解题过程】解：连接CF，如图，∵点D为AC的中点，∴S∵AF为△∴S△ABF∵点E为BC中点，∴S∵四边形AFEC的面积为10，∴S即14解得S△作AG⊥BC于点∵BC∴12∴AG∵AB∴AB的最小值是8故选：C．8．（23-24七年级下·江苏南京·期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①∠BOC=90°+12∠AA．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【思路点拨】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得∠OBC+∠OCB=12∠ABC+∠ACB，再由三角形的内角和定理可求解∠BOC=90°+12∠A，即可判定【解题过程】解：如图，∵∠ACB，∠ABC的平分线交于点∴∠ABO=∠OBC∴∠OBC∵∠A∴∠ABC∵∠OBC∴∠BOC=180°-∠∵CD平分∠ACF∴∠DCF∵∠ACF=∠ABC∴∠D=1∵∠MBC=∠A+∠ACB∴∠MBC∵BE平分∠MBC，CE平分∠∴∠MBC=2∠EBC∴∠EBC∵∠E∴∠E=180°-∠∵∠DCF∴∠E∵∠ABD∴∠E+∠DCF综上正确的有：①②④，故选：C．9．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、AC上），连接PB、PC．若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，对于①α+γ-A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④【思路点拨】根据点P有6种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求解．【解题过程】解：如图一，∠P∵∠PDB∴∠P∴∠P如图二，在四边形ABPC中，α+∴∠P如图三，α+∵∠ADB∴α+∴∠P如图四，延长CA交PB于点D，∵∠BDA是△∴∠BDA∵∠BAC是△∴γ=∴∠P如图五，延长CB，∵∠1是△BCP∴∠1=∠4+∠BPC同理，∠2=∠3+∠BAC∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠BPC又∵∠1+∠2=α，∠3+∠4=β，∴α=∴∠BPC如图六，延长BC，∵∠3是△ABC∴∠3=∠1+∠BAC同理，∠4=∠2+∠BPC∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠BAC∵∠1+∠2=α，∠3+∠4=β，∴β=∴∠BPC综上判断①、②、③、④都正确，故选：D．10．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=20°，点D为AC边上靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C'处，①如图1，当点C'落在BC边上时，∠ADC'=40°；②如图2，当点C'落在△ABC内部时，∠ADC'+∠BEA．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出图象．根据题意可得∠C=20°，①如图1，当点C'落在BC边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即可；②如图2，当点C'落在△ABC内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点C'=180°-2∠CED-2∠CDE-【解题过程】解：根据题意可得∠C①如图1，当点C'落在BC根据折叠性质可得∠C∴∠ADC'②如图2，当点C'落在△根据折叠性质可得∠∴∠=180°×2-=360°-2=360°-2=2∠=40°，故②正确；③如图3，当点C'落在△根据折叠性质可得∠∴∠=180°-∠=180°-2∠=360°-2=360°-2=2∠=40°，故③正确；④当C'∵∠A∴∠B∵C'∴∠CE根据折叠性质可得∠CED∴∠CED∴∠CDE当C'∵∠A∴∠B∵C'∴∠BE根据折叠性质可得∠CED=∠C∴∠DFC∴∠CDF∴∠CDE综上∠CDE=35°或∠CDE故选：D．评卷人得分二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，求∠A+∠B+∠

【思路点拨】本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问题．连接BE，则∠C+∠D【解题过程】解：连接BE，

在△CDM与△BEM中，∴∠C∴在五边形ABEFG中∠=∠=∠=(5-2)⋅180°=540°．故答案为：540°．12．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A1，∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2

【思路点拨】本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，利用类推法找出规律是解题的关键．根据角平分线的性质和三角形外角性质得出∠A1和∠A的关系，进而求出∠A2与∠【解题过程】解：∵∠ACD是△∴∠ACD∴∠A∵∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点∴∠A1BC∴∠A同理∠A∠A以此类推：∠A∴∠A∵∠∴∠A故答案为：60213．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高线．若∠ABC=62°，∠ACB=72°，则【思路点拨】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是在△BEC中根据三角形内角和定理求出∠BCE的度数，在△BCD中根据三角形内角和定理求出∠CBD的度数，在【解题过程】解：∵CE，BD分别是AB，AC∴∠BEC=90°，在△BEC中，∠∵∠ABC=62°，∴∠BCE在△BCD中，∠∵∠ACB=72°，∴∠CBD在△BOC中，∠∴∠BOC故答案为：134．14．（23-24七年级下·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是．【思路点拨】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解．【解题过程】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，∴选4，5，7，9，如图，①当AB=4,∴5-4<AC<4+5，即且9-7<AC<7+9，即∴2<AC此时对角线最长可以取到的整数是8，②当AB=4,∴7-4<BD<4+7，即且9-5<BD<5+9，即∴4<此时对角线最长可以取到的整数是10，如图，当AB=4,③当AB=4,∴9-4<AC<4+9，即且7-5<AC<7+5，即∴5<AC此时对角线最长可以取到的整数是11，④当AB=4,∴7-4<BD<4+7，即且9-5<BD<5+9，即∴4<此时对角线最长可以取到的整数是10，综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11．故答案为：11．15．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AD:DB=3:1，连接CD，点E是线段AC上一点，AE:EC=1:2，连接BE，CD与BE交于点F，若AC=8，【思路点拨】本题考查了三角形的面积，连接AF，设S△BDF=a，S△AEF=b，S△BCF=c，由AD:DB=3:1，AE:EC=1:2，可得S△ADF=3a，S△CEF=2【解题过程】解：连接AF，设S△BDF=a，∵AD:DB=3:1∴S△ADF=3∴S△ABE=4∵2S∴24∴c=8∵S△ADC=3a+3∴3a∴b=8∴S△当S△ABC取最大时，当AC⊥BC时，∴S△由S△ABC=36∴△BDF与△CEF面积之和的最大值故答案为：17．评卷人得分三、解答题（本大题共8小题，满分75分）16．（6分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c（1）若a=2，b=5，且（2）化简：a-【思路点拨】本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为解题的关键．（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；（2）先根据三角形的三边关系确定a-b+c、【解题过程】（1）解：∵a∴5-2<c<5+2，即由于c是偶数，则c=4或6当c=4时，△ABC的周长为当c=6时，△ABC的周长为综上所述，△ABC的周长为11或13（2）解：∵△ABC的三边长为a，b，c∴a∴|==a17．（6分）（23-24八年级·全国·课堂例题）如图所示，P为△ABC中任意一点．证明：AB【思路点拨】此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．延长BP交AC于点D．利用三角形三边关系得到AB+AC>BP+【解题过程】证明：如图所示，延长BP交AC于D，∵在△ABD中，AB在△DPC中，DP∴AB+∴AB+同理可得AC+BCAB+由①＋②＋③得2AB即AB+18．（8分）（23-24七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在BC、AC上，DE∥AB，EF

（1）判断EF与BD的位置关系，并说明理由；（2）若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可得∠DBC=12∠ABC,∠（2）由CD=2AD，△ABD中AD上的高与△DBC中CD上高相同，可得S△DBC=2S△ABD，因此【解题过程】（1）EF∥∵BD平分∠ABC，EF平分∴∠DBC∵DE∴∠ABC∴∠DBC∴EF（2）∵CD=2AD，△ABD中AD上的高与∴S∴S∵CE=2BE，△DEC中CE上的高与∴S∴S∵CF=2DF，△FEC中CF上的高与∴S∴S19．（8分）（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的5×5网格，△ABC

（1）将△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位得到△A'（2）画出AB边上的高CD；（3）△A'B（4）若S△ABP=S△ABC，点P为异于点【思路点拨】本题考查了平移作图，面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据平移作图方法即可；（2）根据三角形高的定义即可作图；（3）把三角形的面积看成正方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；（4）设△ABC中AB边上的高为h1，△ABP中AB边上的高为h2，由S△ABP=S△【解题过程】（1）解：根据题意可得：△ABC向上平移2个单位，向左平移1

∴△A（2）解：如图，CD即为所求；（3）△A'B故答案为：3.5．（4）设△ABC中AB边上的高为h1，△ABP中AB则S△ABC=∵S△∴h1=h如图，格点P1，P2在过点C且平行于即：当S△ABP=S△ABC时，异于点故答案为：2．20．（10分）（23-24七年级下·江苏徐州·期末）已知在△ABC中，∠BAC=α，过点D作DE⊥BC，垂足为E，BF为（1）如图1，若α=90°，点G在边BC上且不与点B①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由，②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；（2）如图2，若0°<α<90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含有α的代数式表示∠BMD，则（3）如图3，若0°<α<90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含有α的代数式表示【思路点拨】（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得∠BFC=∠GDC，即可证明BF（2）根据四边形内角和等于360°可求出∠BMD=360°-90°-(∠MBE+∠MDE)，α+90°+∠（3）根据三角形外角的性质先得到∠H=∠FBG+∠EDG-90°【解题过程】（1）①∠1+∠2=90°，理由如下∵∠ABC+∠C∴∠ABC又∵∠CDE∴2∠1+2∠2=180°，即2(∠1+∠2)=180°，∴∠1+∠2=90°．②BF∥∵∠BFC∠GDC∴∠BFC∴BF∥（2）三角形内角和为180°，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：180°×2=360°，∵∠BMD∴∠BMD又∵α+90°+∠ABE+∠ADE=360°∴α+90°+2∠∴∠MBE将其代入∠BMD得∠BMD故答案为：135°+1（3）∠H∵∠H+∠BGH∴∠H∴∠H∵∠BGD=∠EDG+90°，∴∠EDG又∵∠ABF=∠FBG∴∠EDG整理得2(∠EDG∴∠FBG将其代入∠H得∠H21．（12分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和180°，四边形的内角和是360°．【问题思考】如图1，在△ABC中，延长AB到点D，AM，BM分别平分∠CAB和（1）若∠CAB=58°，∠CBA（2）设∠CAB=x°，∠CBA=y°，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即x+y=m，【问题拓展】在四边形ABCD中，设∠ADC=α，∠BCD=β，延长AB到点E，AP，（3）如图2，当α+β=180°，此时AP，BQ（4）如图3，当α+β>180°，AP，BQ所在直线交于点N，请说明∠ANB与（5）将（4）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，其余条件不变，请画出简图，并直接写出【思路点拨】（1）根据角平分线的定义可求得∠MAB和∠MBD的度数，再根据∠MBD（2）由（1）得∠AMB=∠MBD-∠MABx+y=m代入化简以后的式子中即可得（3）根据四边形的内角和等于360°，且α+β=180°，可得∠DAB+∠（4）根据四边形的内角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°-α+β，由平角的定义可得∠CBE=180°-∠ABC．根据角平分线的定义可得∠NAB（5）根据四边形的内角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°-α+β，由平角的定义可得∠CBE=180°-∠ABC．根据角平分线的定义可得∠NAB【解题过程】（1）∵∠CBA∴∠CBD∵AM，BM分别平分∠CAB和∠∴∠MAB=1∵∠MBD∴∠AMB（2）∠AMB由（1）得∠AMB====90°-=90°-=90°-=90-（3）∵四边形内角和等于360°，而α+∴∠DAB∵∠CBA∴∠DAB∵AP，BQ分别平分∠DAB和∠∴∠PAB=1∴∠PAB∴AP故答案为：平行（4）∵四边形ABCD中α+∴∠DAB∵∠ABC∴∠CBE∵AN、BN分别平分∠DAB和∠∴∠NAB=1∴∠===90°-=90°-=90°-180°+=1（5）如图，α+∵四边形ABCD中α+∴∠DAB∵∠ABC∴∠CBE∵AN、BN分别平分∠DAB和∠∴∠PAB=1∴∠ANB=∠======180°-=90°-122．（12分）（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题：在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°、90°、60°，这个三角形就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为90°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为______．（2）如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C【思路点拨】本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用．（1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答．（2）先证明∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为60°；②当另两个角中有优雅角这两个情况，分别得出∠ACB的度数为80°，∠ACB的度数为90°（3）进行角的运算得∠ADC=∠EFD，结合DE平分∠ADB以及△ADC是“【解题过程】（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为120°，另两个角之和为：180°-120°=60°，“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：60°×3故答案为：45°；（2）解：∵AB⊥OM交ON∴∠OAB=∠∵点C在线段OB上∴0°≤∠∵∠MON=60°，△AOC是“∴①当“优雅角”为60°时，另一个角为∠OAC=20°，则∠ACO=100°，②当另两个角中有“优雅角”时，180°-60°=120°即另两个角之和为120°，根据“优雅三角形”的定义，设另两个角的小的角为x°，则另两个角的大的角为则x∴x另两个角分别为：30°，90°，若∠ACO=90°，则∠ACB若∠ACO=30°，此时点C与点则∠ACB的度数为综上所述，∠ACB的度数为80°或90°或150°（3）解：∵∠AFE+∠ADC∴∠ADC∴EF∴∠∵DE平分∠ADB交AB于点E∴∠∵∠∴∠∴ED∴∠∵∠∴∠∴∠∵△ADC是“优雅三角形”①当∠C=α∠∵∠A=180°-∠∴∠ADB解得α=5407②当∠C=α∵∠∴∠∵∠ADB是△ADC∴∠ADB=α∴无解，故不符合题意；③当∠ADC=α∵∠∴∠∠ADB解得α=10