7 2　定义与命题　　讲义　北师大版数学八年级上册

2定义与命题典型例题题型一定义的概念例1下列属于定义的是()A.两点确定一条直线B.线段是直线上的两点和两点间的部分C.同角或等角的补角相等D.内错角相等，两直线平行解析：A.两点确定一条直线为确定直线的条件，不是定义，故错误；B.“线段是直线上的两点和两点间的部分”是线段的定义，故正确；C.同角或等角的补角相等是补角的性质，不是定义，故错误；D.内错角相等，两直线平行，不是定义，故错误.故选B.答案：B题型二确定命题的条件和结论例2指出下列命题的条件和结论.(1)两直线平行，内错角相等；(2)三角形内角和等于180°.解：(1)改写成“如果两条直线平行，那么内错角相等”.命题的条件是两直线平行，结论是内错角相等.(2)改写成“如果三个角是一个三角形的三个内角，那么这三个内角的和等于180°”.命题的条件是三个角是一个三角形的三个内角，结论是这三个内角的和等于180°.解题通法：确定命题的条件和结论的方法如果命题不是“如果……那么……”的形式，先将命题改写成“如果……那么……”的形式，再根据“如果”之后的部分是条件，“那么”之后的部分是结论确定条件和结论.注意改写前后命题的内容要一致，改写后命题的句子要完整、语句要通顺.例3将下列命题写成“如果……那么……”的形式.(1)对顶角相等；(2)两直线平行，内错角相等；(3)等角的补角相等.分析：改写命题的形式，关键是把省略的内容加上，将语句修饰通顺流畅.解：(1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.(2)如果两条直线平行，那么内错角相等.(3)如果两个角是等角，那么它们的补角相等.题型三命题的相关概念例4下列语句中不是命题的有()①两点之间，线段最短.②画直线AB.③对顶角相等吗？④同位角相等，两直线平行.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个解析：两点之间，线段最短是命题；画直线AB，它是描述性语言，不是命题；③是问句，它不是命题；同位角相等，两直线平行是命题.所以不是命题的有②③.答案：B例5(2020·四川雅安中考)下列四个选项中不是命题的是()A.对顶角相等B.过直线外一点作直线的平行线C.三角形任意两边之和大于第三边D.如果a＝b，a＝c，那么b＝c解析：由题意可知，A，C，D都是命题，B不是命题.答案：B注意：疑问句与作图语句都不是命题.例6判断下列语句是不是命题，如果是命题，是真命题还是假命题？对于假命题，请举出反例.(1)画线段AB＝3cm；(2)平行于同一条直线的两条直线互相平行；(3)两条直线相交，有几个交点？(4)相等的角都是直角；(5)如果a2＝b2，那么a＝b；(6)直角都相等.解：(1)(3)不是命题，因为句子中没有作出任何判断.(2)(6)是真命题；(4)(5)是假命题.对于(4)，比如：∠A＝30°，∠B＝30°，则∠A＝∠B，但∠A，∠B都不是直角.对于(5)，比如：当a＝-5，b＝5时，a2＝25，b2＝25，满足a2＝b2，但a≠b.点拨：说明一个命题是假命题，只需要举出一个反例即可；而说明一个命题是真命题，则要看它是不是公理、定理，或者是不是一个能由定义、公理或定理推出的正确命题.题型四构造命题例7如图1所示，在同一平面内有直线l1，l2，l3，现有三个条件：图1①l1⊥l3；②l2⊥l3；③l1∥l2.请以其中两个为条件，另一个为结论构造命题.(1)请写出你构造的所有命题.(2)你构造的命题哪些是真命题，哪些是是假命题？若是假命题，请举反例说明.分析：(1)分别以①②③为结论写出三个命题；(2)根据平行与垂直的有关知识进行判断.解：(1)命题1：若l1⊥l3，l2⊥l3，则l1∥l2.命题2：若l1⊥l3，l1∥l2，则l2⊥l3.命题3：若l2⊥l3，l1∥l2，则l1⊥l3.(2)三个命题都是真命题.点拨：根据命题的定义和题目的要求写出命题，再判断是真命题还是假命题.题型五命题的证明例8如图2，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且∠ACD＝∠B.判断△ACD的形状，并说明理由.图2分析：根据∠ACB＝90°，得出∠A+∠B＝90°.根据∠ACD＝∠B，得出∠A+∠ACD＝90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.解：∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°.∵∠ACD＝∠B，∴∠A+∠ACD＝90°，∴∠ADC＝90°，∴△ACD是直角三角形.点拨：此题考查了命题与定理，用到的知识点是直角三角形的性质和判定.熟练掌握直角三角形的判定方法是解题的关键.解题反思：几何证明的步骤：(1)根据题意画出图形.(2)根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证.(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.关键是证明中的每一句话都要有依据，并把依据写在后面的括号里.拓展资源欧几里得没有谁能够像伟大的希腊几何学家欧几里得(EUCLID，公元前300)那样，声誉经久不衰.确立他历史地位的，主要是那本伟大的几何教科书《原本》.《原本》的重要性并不在于书中提出的哪一条定理.书中提出的几乎所有的定理在欧几里得之前就已经为人知晓，使用的许多证明亦是如此.欧几里得的伟大贡献在于他将这些材料做了整理，并在书中作了全面的系统阐述.这包括首次对公理和公设作了适当的选择.然后，他仔细地将这些定理做了安排，使每一个定理与以前的定理在逻辑上前后一致.在需要的地方，他对缺少的步骤和不足的证明也作了补充.值得一提的是，《原本》虽然基本上是平面和立体几何的内容，但也包括大量代数和数论的内容.《原本》作为教科书使用了两千多年.在形成文字的教科书之中，无疑它是最成功的.欧几里得的杰出工作，使以前类似的东西黯然失色.该书问世之后，很快取代了以前的几何教科书.《原本》是用希腊文写成的，后来被翻译成多种文字.它首版于1482年.自那时以来，《原本》已经出版了上千种不同版本.在训练人的逻辑推理思维方面，《原本》比亚里土多德的任何一本有关逻辑的著作影响都大得多.在完整的演绎推理结构方面，这是一个十分杰出的典范.正因为如此，自它问世以来，思想家们为之而倾倒.我们不清楚为什么现代科学产生于欧洲而不是在中国或日本.但可以肯定地说，这并非偶然.毫无疑问，像牛顿、伽利略、哥白尼和开普勒这样的卓越人物所起的作用是极为重要的.也许一些基本的原因，可以解释为什么这些出类拔萃的人物都出现在欧洲，而不是东方.或许，使欧洲人易于理解科学的一个明显的历史因素，是希腊的理性主义以及从希腊人那里流传下来的数学知识.对于欧洲人来讲，只要有了几个基本的物理原理，其他都可以由此推演而来的想法似乎是很自然的事.因为在他们之前有欧几里得作为典范.上面提到的所有人物都接受了欧几里得的传统.他们的确都认真地学习过欧几里得的《原本》，并使之成为他们数学知识的基础.欧几里得对牛顿的影响尤为明显.牛顿的《数学原理》一书，就是按照类似于《原本》的“几何学”的形式写成的.自那以后，许多西方的科学家都效仿欧几里得，说明他们的结论是如何从最初的几个假设逻辑地推导出来的.许多数学家，像伯莎德·罗素、阿尔弗雷德·怀特海，以及一些哲学家，如斯宾诺莎也都如此.同中国进行比较，情况尤为令人瞩目.多少个世纪中，中国在技术方面一直领先于欧洲，但是从来没有出现一个可以同欧几里得对应的中国数学家.其结果是，中国从未拥有过欧洲人那样的数学理论体系(中国人对实际的几何知识理解得不错，但他们的几何知识从未被提高到演绎体系的高度).直到1600年，欧几里得才被介绍到中国来.此后，又用了几个世纪的时间，他的演绎几何体系才在受过教育的中国人之中普遍知晓.在日本，情况也是如此.直到18世纪，日本人才知道欧几里得的著作，并且用了很多年才理解了该书的主要思想.尽管今天日本有许多著名的科学家，但在欧几里得之前却没有一个.人们不禁会问，如果没有欧几里得的奠基性工作，现代科学会在欧洲产生吗？如今，数学家们已经认识到，欧几里得的几何学并不是能够设计出来的唯一的一种内在统一的几何体系.在过去的