河南省洛阳市老城区2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷（含答案）

2025-2026学年河南省洛阳市老城区八年级（上）期中数学试卷一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.如图四个图形中，轴对称图形是(

)A. B.

C. D.2.为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是(

)

A.两点之间，线段最短

B.垂线段最短

C.三角形具有稳定性

D.两直线平行，内错角相等3.将一副三角板如图摆放，则图中∠1的度数是(

)

A.105∘ B.120∘ C.135∘4.如图，点E、点F在BC上，BE=CF，∠B=∠C，添加一个条件，不能证明△ABF≌△DCE的是(

)A.∠A=∠D

B.∠AFB=∠DEC

C.AB=DC

D.AF=DE5.已知点A(m,2023)与点B(2024,n)关于y轴对称，则m+n的值为(

)A.-1 B.1 C.4043 D.-20226.如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABE是四边形ABCD的外角，且∠ABE=∠D，∠C=110∘，则∠A的度数是(

)A.110∘

B.50∘

C.70∘7.如图，△ABC的三边AB，BC，CA的长分别为20，30，20，三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BOC：S△CAO等于(

)A.1：1：1

B.2：2：3

C.2：3：2

D.3：2：28.如图，小虎用10块高度都是4cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90∘)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离DE的长度为

A.40cm B.36cm C.27cm D.24cm9.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，面积是14，AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于E、F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM+DM的最小值为(

)

A.21 B.7 C.6 D.3.510.如图，已知△ABC和△DCE均是等边三角形，点B、C、E在同一条直线上，AE与BD交于点O，AE与CD交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下列结论：①AE=BD；②AG=BF；③∠BOE=120∘.其中结论正确的(

)

A.① B.①③ C.②③ D.①②③二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.写出点M(-2,3)关于x轴对称的点N的坐标______.12.若正多边形的一个外角是45∘，则该正多边形的边数是______.13.工人师傅常用角尺平分一个任意角.作法如下：如图所示，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.这种作法的依据是

.

14.如图所示，已知AB⊥BC，AD⊥DC，要使△ABC≌△ADC.

(1)若利用AAS，需补充一个条件

.

(2)若利用HL，需补充一个条件

.

15.如图，在△ABC中，∠A=m，延长BC到点D，∠ABC与∠ACD的平分线相交于点A1.

(1)∠A1的大小是______；

(2)若∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，依此类推，三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)

下面是命题“等腰三角形两底角的平分线相等”的证明过程，把空格补充完整.已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线.

求证：(1)______.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(2)______.

∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，

∴∠CBD=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB(3)______.

即∠BCE=∠CBD.

∵在△BCE和△CBD中，

∠EBC=∠DCBBC=BC∠ECB=∠DBC

17.(本小题9分)

已知：如图，在△ABC中，∠C=120∘，边AC的垂直平分线DE与AC、AB分别交于点D和点E.

(1)作出边AC的垂直平分线DE；

(2)当AE=BC时，求∠A的度数．18.(本小题9分)

(1)如图1，A、B是两个蓄水池，都在河岸a的同侧，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站M，将河水送到A、B两地，问该站M建在河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点；(尺规作图，保留作图痕迹)

(2)如图2，写出△ABC的各顶点坐标，并画出△ABC关于y轴的对称图形，并直接写出△ABC关于y轴对称的三角形的各顶点坐标.

19.(本小题9分)

已知：如图，AB//DE，AB=DE，AF=DC.求证：∠B=∠E.20.(本小题10分)

若关于x，y的两个方程组m2x+ny=-2x+y=1与x-y=3nx+my=5有相同的解.

(1)求这个相同的解；

(2)若m，21.(本小题10分)

在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE=BD，连接AE、DE、DC.

(1)求证：△ABE≌△CBD；

(2)若∠CAE=30∘，求22.(本小题10分)

已知：如图1，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F.

求证：点F在∠DAE的平分线上.

某数学兴趣小姐的小明同学提出了如下的解题方法：

如图2，过点F作FG⊥AD于点G，作FH⊥AE于点H，作FM⊥BC于点M，由角平分线的性质定理可得：FG=FM，FH=FM.

∴FG=FH.

∵FG⊥AD，FH⊥AE，

∴F在∠DAE的平分线上.

(1)小方在研究小明的解题过程时，还发现图2中BG、BC和CH三条线段存在一定的数量关系，请你写出它们的数量关系，并说明理由；

(2)小明也发现∠BFC和∠GFH之间存在一定的数量关系.请你直接写出它们的数量关系：______.23.(本小题10分)

引入概念1：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”.

引入概念2：从不等边三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形.若分成的两个小三角形中一个是满足有两个角相等的三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”.

【理解概念】：

(1)如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”.

①______；②______.

(2)如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A=40∘，∠B=60∘.请你说明CD是△ABC的等角分割线.

【应用概念】：

(3)在△ABC中，若∠A=40∘，CD为△ABC的等角分割线，请你直接写出所有可能的1.【答案】D

【解析】解：A，B，C中的图形不是轴对称图形，故A、B、C不符合题意；

D、此图形是轴对称图形，故D符合题意．

故选：D.

2.【答案】C

【解析】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．

故选：C.3.【答案】A

【解析】解：如图，

由题可得∠2=180∘-30∘-45∘=105∘，

∵∠14.【答案】D

【解析】解：∵BE=CF，

∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE，

∴当∠A=∠D时，利用AAS可得△ABF≌△DCE，故A不符合题意；

当∠AFB=∠DEC时，利用ASA可得△ABF≌△DCE，故B不符合题意；

当AB=DC时，利用SAS可得△ABF≌△DCE，故C不符合题意；

当AF=DE时，无法证明△ABF≌△DCE，故D符合题意；

故选：D.

5.【答案】A

【解析】解：∵点A(m,2023)与点B(2024,n)关于y轴对称，

∴m=-2024，n=2023，

∴m+n=-2024+2023=-1.

故选：A.

6.【答案】C【解析】解：∵AB//CD，∠C=110∘，

∴∠ABC+∠C=180∘，

∴∠ABC=70∘，

∵∠ABE是四边形ABCD的外角，

∴∠ABE=110∘，

∴∠ABE=∠D，

∴∠D=110∘【解析】解：过点O作OD⊥BC于D，OE⊥AC于E，OF⊥AB于F，

∵点O是内心，

∴OE=OF=OD，

∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=12⋅AB⋅OE：12⋅BC⋅OF8.【答案】A

【解析】解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC=∠CEB=90∘，

∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠DAC=90∘，

∴∠BCE=∠DAC，

在△ADC和△CEB中，

∠ADC=∠CEB∠DAC=∠BCEAC=BC，

∴△ADC≌△CEB(AAS)；

由题意得：AD=EC=12cm，DC=BE=28cm，

∴DE=DC+CE=40(cm)，

【解析】解：连接AD，AM，

∵AB=AC，点D是BC边的中点，

∴AD⊥BC，

∴S△ABC=12BC⋅AD=12×4×AD=14，

解得AD=7，

∵EF是线段AC的垂直平分线，

∴AM=CM，

当点M在AD上时，CM+MD最小，最小值为AD10.【答案】D

【解析】解：∵△ABC和△DCE均是等边三角形，

∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠ECD=60∘，

∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠ECD，

∴∠BCD=∠ACE，

在△BCD和△ACE中，

BC=AC∠BCD=∠ACECD=CE，

∴△BCD≌△ACE(SAS)，

∴AE=BD，∠CBD=∠CAE，

∴①正确；

∵∠ACB=∠ECD=60∘，

∴∠ACD=60∘，

在△BCF和△ACG中，

∠CBF=∠CAGBC=AC∠BCF=∠ACG，

∴△BCF≌△ACG(ASA)，

∴AG=BF，

∴②正确；

∵△BCD≌△ACE，

∴∠CDB=∠AEC，

∵∠DCE=60∘，11.【答案】(-2,-3)

【解析】解：∵M(-2,3)，3的相反数为-3，

∴M点关于x轴对称的点N的坐标为：(-2,-3)

故答案为(-2,-3)12.【答案】8

【解析】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45∘，

∴360∘÷45∘=8【解析】解：在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，

∴CM=CN，

在△COM和△CON中，

CM=CNOM=ONOC=OC，

∴△COM≌△CON(SSS)，

∴∠MOC=∠NOC，

即OC是∠AOB的平分线，

∴这种作法的依据是SSS.

故答案为：SSS.

14.【答案】∠BAC=∠DAC(AB=AD(答案不唯一).

【解析】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，

∴∠B=∠D=90∘，

(1)在△ABC≌△ADC中，

∠B=∠D∠BAC=∠DACAC=AC，

∴△ABC≌△ADC(AAS)，

∴利用AAS，需补充一个条件是∠BAC=∠DAC(答案不唯一).

故答案为：∠BAC=∠DAC(答案不唯一).

(2)在Rt△ABC和Rt△ADC中，

AC=ACAB=AD，

∴Rt△ABC≌Rt△ADC(HL)，

∴利用HL，需补充一个条件AB=AD(答案不唯一).

故答案为：AB=AD(答案不唯一).

15.【答案】m【解析】解：(1)∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，

∴∠A1BC=12∠ABC,∠A1CD=12∠ACD，

∵∠A1CD=∠A1+∠A1BC，

即12∠ACD=∠A1+12∠ABC，

∴∠A1=【解析】已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD，CE是△ABC的角平分线．

求证：(1)BD=CE.

证明：∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB(2)(等边对等角).

∵BD，CE分别是∠ABC，∠ACB的角平分线，

∴∠CBD=12∠ABC，∠BCE=12∠ACB(3)(角平分线的定义)，

即∠BCE=∠CBD.

在△BCE和△CBD中，

∠EBC=∠DCBBC=BC∠ECB=∠DBC，

∴△BCE≌△CBD(ASA)，

∴BD=CE(4)(全等三角形的对应边相等).

故答案为：(1)BD=CE17.【答案】解：(1)如图所示，DE即为所求作的边AC的垂直平分线；

(2)如图，连接CE，

∵DE是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，

∴∠A=∠ACE，

∵AE=BC，

∴CE=BC，

∴∠B=∠CEB，

设∠A=x，

则∠CEB=∠A+∠ACE=x+x=2x，

在△BCE中，∠BCE=180∘-2×2x=180∘-4x，

∴∠ACB=∠ACE+∠BCE=x+180∘-4x=12018.【答案】解：(1)可使所修的渠道最短的点M，如图1，即为所求；

(2)由图可得：A(-3,2)，B(-4,-3)，C(-1,-1)，

△ABC关于y轴对称的△DEF，如图2即为所求；

由图可得：D(3,2)，E(4,-3)，F(1,-1).

19.【答案】证明：∵AF=DC，

∴AF+CF=DC+CF，即AC=DF，

∵AB//DE，

∴∠A=∠D，

在△ABC和△DEF中，

AB=DE∠A=∠DAC=DF，

∴△ABC≌△DEF(SAS)，

20.【答案】解：(1)由题意可得：x+y=1x-y=3，

解得x=2y=-1；

(2)将x=2y=-1代入含有m，n的方程得

m-n=-22n-m=5

解得n=3m=1，

①当若m=1是一个等腰三角形的腰时，1+1<3，不能构成三角形．

②当若21.【答案】(1)证明：在△ABC中，∠ABC=90∘，D为AB延长线上一点，

∴∠ABC=∠CBD=90∘，

在△ABE和△CBD中，

AB=CB∠ABC=∠CBDBE=BD，

∴△ABE≌△CBD(SAS)；

(2)解：在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90∘，

∴∠BAC=∠ACB=12(180∘-90∘)=45∘，

由(1)得：△ABE≌△CBD，

22.【答案】BC=BG+CH，理由见解析；

∠GFH=2∠BFC.

【解析】解：(1)BC=BG+CH，理由如下：

∵BF平分∠DBC，

∴∠MBF=∠GBF，

在△GBF和△MBF中，

∠FGB=∠FMB∠FBG=∠FBMBF=BF，

∴△GFB≌△MFB(AAS)

∴BG=BM；

同理可得CH=CM，

∵BC=BM+CM，

∴BC=BG+CH；

(2)由