2025年江苏省南通市江安中学创新班招生数学测试试题（含答案）

2025年江苏省江安高级中学创新班招生测试试题数学试题（笔试）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只有一个选项正确。）1.根式的值为（）A． B．9 C． D．2.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是A． B． C． D．3.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD4.如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数（单位：与铁块被提起的高度（单位：之间的函数关系的大致图象是A．B． C． D．5.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是A． B． C． D．6.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γB．α+β+γ＝180°C．α+β﹣γ＝90°D．β+γ﹣α＝180°7.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5 B．1 C．2 D．38.（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（）A．2 B．4 C．6 D．89.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、，连接、、，过点、、分别向、、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于A． B． C． D．10.在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，B点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得EF＝5BF，BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结EG、CD交于点H，若D、E在反比例函数y=kx上，S△DHG＝4，则A．30 B．24 C．20 D．15二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分.）11.某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是．一分钟跳绳个数（个141142144145146学生人数（名3221212.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是．13.如图为最受欢迎的智力游戏之一——三阶魔方，三阶魔方是由26个小立方块和一个三维十字连接轴组成，且六个面分别涂有不同颜色，从小立方块中任取一个，恰好有两面涂色的概率为．14.如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合B={115.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是．16.观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述规律，则第2023个单项式是．17.如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内的一点，PO＝10，点Q，R分别在∠AOB的两边上，△PQR周长的最小值是．18.如图，已知直线l与⊙O相离，过点O作OA⊥l于点A，交⊙O于M，OA＝6，OM＝4．P为⊙O上一点，当P在⊙O上运动时，作PB⊥l于点B，则AB+PB最大值为．三．解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（本题8分）（1）先化简，再求值：x2−1x2−2x+1÷（2）分解因式：xy3+4xy2+4xy20.（本题8分）自江苏省深化课程改革以来，如皋市某校开设了：．利用影长求物体高度，．制作视力表，．设计遮阳棚，．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题：（1）本次共调查名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）选修类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．21.（本题8分）如图，四边形为的内接四边形，为直径，平分，过点作的平行线，交的延长线于点．（1）求证：与相切；（2）求证：．22.（本题10分）【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；③tan(α+β)=tanα+tanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：tan105°=tan(45°+60°)=tan45°+tan60°【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：（1）求cos75°的值；（2）如图，一架直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高；（3）疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点A处往正东方向飞多远，居民在点D处看飞机的仰角恰好是30°．23.（本题12分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD于点E，AB＝10，CD＝6，点P是CD延长线上异于点D的一个动点，连结AP交⊙O于点Q，连结CQ交AB于点F，则点F的位置随着点P位置的改变而改变．（1）如图1，当DP＝4时，求tan∠P的值；（2）如图2，连结AC，DQ，在点P运动过程中，设DP＝x，S△QAC①求证：∠ACQ＝∠CPA；②求y与x之间的函数关系式．24.（本题12分）如图，抛物线经过和两点，直线交抛物线于，两点．（1）直接写出抛物线的解析式；（2）如图1，若，，的面积是，求的值；（3）如图2，若是直角，求原点到距离的最大值．2025年江苏省江安高级中学创新班招生测试试题数学试题（笔试）一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的四个选项中只有一个选项正确。）1.根式的值为（）A． B．9 C． D．2.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，它的左视图是A． B． C． D．【答案】【解答】解：从左边看，是一列两个小正方形．3.如图，四边形ABCD是平行四边形，要使它成为菱形，那么需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB⊥BC D．AC⊥BD【解答】解：A、∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，故选项A不符合题意；B、∵四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故选项B不符合题意；C、∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，不是菱形，故选项C不符合题意；D、∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴平行四边形ABCD是菱形，故选项D符合题意；故选：D．4.如图，在物理课上，老师将挂在弹簧测力计下端的铁块浸没于水中，然后缓慢匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度，则下图能反映弹簧测力计的读数（单位：与铁块被提起的高度（单位：之间的函数关系的大致图象是A． B． C． D．【解答】解：由题意可知，铁块露出水面以前，，浮力不变，故此过程中弹簧的度数不变，当铁块慢慢露出水面开始，浮力减小，则拉力增加，当铁块完全露出水面后，拉力等于重力，故选：．5.图1是等边三角形铁丝框，按图2方式变形成以为圆心，长为半径的扇形（图形周长保持不变），则所得扇形的圆心角的度数是A． B． C． D．【解答】解：设，，解得：，圆心角的度数为：．故选：．6.如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（）A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180°【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H．在直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故选：C．7.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝8，点P为矩形内一动点，且满足∠PBC＝∠PCD，则线段PD的最小值为（）A．5 B．1 C．2 D．3【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠BCD＝90°，∵∠PBC＝∠PCD，∴∠PBC+∠PCB＝90°，∴∠BPC＝90°，∴点P在以BC为直径的⊙O上，连接OD交⊙O于P′，连接OP、PD，如图，∵PD≥OD﹣OP（当且仅当O、P、D共线时，取等号），即P点运动到P′位置时，PD的值最小，最小值为DP′，在Rt△OCD中，OC＝BC＝4，CD＝AB＝3，∴OD＝＝5，∴DP′＝OD﹣OP′＝5﹣4＝1，∴线段PD的最小值为1．故选：B．8.（2+1）（22+1）（24+1）…（232+1）﹣1的个位数字（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1＝（22﹣1）（22+1）（24+1）...（232+1）﹣1＝（24﹣1）（24+1）...（232+1）﹣1＝264﹣1﹣1＝264﹣2，∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，∴2n的个位数字为2，4，8，6四个数字的循环．∵64÷4＝16，∴264﹣2的个位数字是4．故选：B．9.如图，在轴的正半轴上依次截取，过点、、、分别作轴的垂线，与反比例函数交于点、、、，连接、、，过点、、分别向、、作垂线段，构成的一系列直角三角形（图中阴影部分）的面积和等于A． B． C． D．【解答】解：，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为点的坐标为，、、、，在反比例函数的图象上，，，，；；；，．故选：．10.在平面直角坐标系中，C（0，4），点A在x轴上，以AC为对角线构造平行四边形ABCD，B点在第三象限，BC与x轴交于点F，延长BC至点E，使得EF＝5BF，BC＝EC，连结对角线BD与AC交于点G，连结EG、CD交于点H，若D、E在反比例函数y=kx上，S△DHG＝4，则A．30 B．24 C．20 D．15【分析】由C（0，4），点A在x轴上，EF＝5BF，BC＝EC，可得BE＝6BF，CF＝2BF，设点F（﹣2a，0），则E（3a，10），B（﹣3a，﹣2），因为四边形ABCD是平行四边形，所以BC∥AD，BC＝AD，易得四边形ACED是平行四边形，由D、E在反比例函数y=kx上，可得D（5a，6），又CG是△BDE的中位线，所以AC∥DE，则△CHG∽△DHE，可得GCED=12ACED=12，所以S△DHG=23S△DCG＝6，所以S△BCG=12（xG﹣xB）•CN=12•4a•CN＝2a•CN，根据点B和点D的坐标可得BD的解析式：y【解答】解：∵C（0，4），点A在x轴上，EF＝5BF，BC＝EC，∴BE＝6BF，CF＝2BF，设点F（﹣2a，0），则E（3a，10），B（﹣3a，﹣2），∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC∥AD，BC＝AD，∵EC＝BC，∴EC∥AD，EC＝AD，∴四边形ACED是平行四边形，∴点D的纵坐标为6，∵D、E在反比例函数y=kx上，∴30a＝6xD，∴xD＝5a，∴D（5∵点G为BD的中点，∴G（a，2），又∵点C为BE的中点，∴AC∥DE，∴△CHG∽△DHE，∴GCED=12ACED=12∵S△DHG＝4，∴S△DCG＝6，∴S△DCG＝S△BCG＝6，∴S△BCG=12（xG﹣xB）•CN=12•4a•CN＝2设直线BD的解析式为：y＝mx+n，∴−3am+n=−25am+n=6，解得m=1an=1，∴y=1a∴2a•3＝6，解得a＝1，∴E（3，10），将点E（3，10）代入y=kx，∴k＝30．故选：二．填空题（共8小题，每小题4分，共32分.）11.某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成如下统计表：这组数据的中位数是143．一分钟跳绳个数（个141142144145146学生人数（名32212【解答】解：这组数据的中位数是第5、6个数据的平均数，而这两个数据分别为142、144，所以这组数据的中位数是，故答案为：143．12.五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行横线上标以不同时值的音符及其他记号来记载音乐．如图，，，为直线与五线谱的横线相交的三个点，则的值是2．【解答】解：过点作于，交于，，，故答案为：2．13.如图为最受欢迎的智力游戏之一——三阶魔方，三阶魔方是由26个小立方块和一个三维十字连接轴组成，且六个面分别涂有不同颜色，从小立方块中任取一个，恰好有两面涂色的概率为．【解答】解：由图形可知，三阶魔方的26个小立方块里一面涂色有6个，两面涂色有12个，三面涂色有8个，恰好有两面涂色的概率为，故答案为：．14.如M＝{1，2，x}，我们叫集合M，其中1，2，x叫做集合M的元素．集合中的元素具有确定性（如x必然存在），互异性（如x≠1，x≠2），无序性（即改变元素的顺序，集合不变）．若集合N＝{x，1，2}，我们说M＝N．已知集合A＝{2，0，x}，集合B={1x，|x|，yx}，若A＝B，则x﹣y的值是【解答】解：由题意知A＝{2，0，x}，由互异性可知，x≠2，x≠0．因为B＝{1x，|x|，yx}，A＝B，由x≠0，可得|所以yx=0，即y＝0，那么就有1x当1x=2|x|=x得x=所以当x=12时，A＝{2，0，12}，B＝{2，12，0}，此时所以x﹣y=115.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是15．16.观察下列关于x的单项式，探究其规律：﹣x，4x2，﹣7x3，10x4，﹣13x5，16x6，…按照上述规律，则第2023个单项式是．17.如图，∠AOB＝45°，P是∠AOB内的一点，PO＝10，点Q，R分别在∠AOB的两边上，△PQR周长的最小值是10．【解答】解：如图所示，分别作点P关于OA、OB的对称点P'、P''，连接P'P''交OA、OB于点Q、R，此时，△PQR的周长最小，最小即为P'P''的长．连接OP'，OP''．根据轴对称性可得：∠P''OB＝∠BOP，∠P'OA＝∠AOP，OP＝OP'＝OP''＝10，∵∠AOB＝45°，∴∠P'OP''＝90°，∴P'P''＝＝＝．故答案为：10．18.如图，已知直线l与⊙O相离，过点O作OA⊥l于点A，交⊙O于M，OA＝6，OM＝4．P为⊙O上一点，当P在⊙O上运动时，作PB⊥l于点B，则AB+PB最大值为6+42．【分析】分两种情况：当P点在过点O且平行于直线l的直线之上时，当P点不在过点O且平行于直线l的直线之上时，过点P作PN⊥AO于N，连接OP，通过证明所构造的四边形是矩形，设AB＝x，结合矩形的性质利用勾股定理可得关于AB+PB的式子，再分别计算可求解．【解答】解：当P点在过点O且平行于直线l的直线之上时，过点P作PN⊥AO于N，连接OP，∴∠ONB＝90°，∵OA⊥l，PB⊥l，∴∠OAB＝∠PBA＝90°，∴四边形ABNO是矩形，∴AB＝ON，NB＝OA＝6，设AB＝ON＝x，在Rt△ONP中，PN=OPB＝BN+PN＝6+16−∴AB+PB＝x+6+16−∴当x+16−x2最大值时，AB令y＝x+16−则y2＝（x+16−x2）2＝16+2x16−x2∴当x2﹣8＝0，即x=22时，y∴AB+PB=22+6+16−(2故当x＝22时，AB+PB最大，最大值为：6+42；当P点不在过点O且平行于直线l的直线之上时，过点P作PN⊥AO于N，连接OP，∴∠PNA＝90°，∵OA⊥l，PB⊥l，∴∠OAB＝∠PBA＝90°，∴四边形ABPN是矩形，∴AB＝PN，PB＝AN，设AB＝PN＝x，在Rt△ONP中，ON=OPB＝AN＝OA﹣ON＝6−16−∴AB+PB＝x+6−16−∵16−x2≥∴当x＝4时，AB+PB最大，最大值为：4+6﹣0＝10．综上，AB+PB的最大值为：6+42．故答案为：6+42．三．解答题（本大题共6小题，共58分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）先化简，再求值：x2−1x2−2x+1÷【分析】先根据分式的混合运算法则化简，然后代入计算即可．【解答】解：(x+1)(x−1)(x−1)2•=1−x1+x，当x=1（2）分解因式：xy3+4xy2+4xy【分析】先提公因式，再利用完全平方公式继续分解即可解答．【解答】解：xy3+4xy2+4xy＝xy（y2+4y+4）＝xy（y+2）2，故答案为：xy（y+2）2．20.自江苏省深化课程改革以来，如皋市某校开设了：．利用影长求物体高度，．制作视力表，．设计遮阳棚，．制作中心对称图形，四类数学实践活动课．规定每名学生必选且只能选修一类实践活动课，学校对学生选修实践活动课的情况进行抽样调查，将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息解决下列问题：（1）本次共调查名学生，扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为度；（2）补全条形统计图；（3）选修类数学实践活动的学生中有2名女生和2名男生表现出色，现从4人中随机抽取2人做校报设计，请用列表或画树状图法求所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率．【解答】解：（1）本次调查的学生人数为（名，则扇形统计图中所对应的扇形的圆心角为．故答案为：60，．（2）类别人数为（人，则类别人数为（人，补全条形图如下：（3）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的结果数为8，所以所抽取的两人恰好是1名女生和1名男生的概率为．21.如图，四边形为的内接四边形，为直径，平分，过点作的平行线，交的延长线于点．（1）求证：与相切；（2）求证：．【解答】证明：（1）如图：连接．平分，，；为直径，，，，，，，与相切；（2），，，；四边形为的内接四边形，，，，，，．22.【阅读材料】关于三角函数有如下的公式：①cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；②sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；③tan(α+β)=tanα+tanβ利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如tan105°=tan(45°+60°)=tan45°+tan60°【学以致用】根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：（1）求cos75°的值；（2）如图，一架直升机在一建筑物CD上方的点A处测得建筑物顶端点D的俯角α为60°，底端点C的俯角β为75°，此时直升机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高；（3）疫情封控期间，直升机给该建筑物的居民投放物资，试求飞机从点A处往正东方向飞多远，居民在点D处看飞机的仰角恰好是30°．【解答】解：（1）cos75°＝cos（45°+30°）＝cos45°cos30°﹣sin45°sin30°=6（2）如图，过点D作DF⊥AB于点F，∵β＝75°，BC＝42m，∴AB＝BC⋅tanβ＝42tan75°=42×tan45°+tan30°1−tan45°⋅tan30°=42×∵α＝60°，BC＝42m，∴AF=BC⋅tanα=423m，∴BF=CD=AB−423=84答：建筑物CD的高为84m；（3）延长CD交AE于点E，作∠GDM交AE于点M，并使∠GDM＝30°，∴