易错拔尖：二次根式的概念（解析版）

易错拔尖：二次根式的概念（解析版）易错点1．（2022•荔湾区一模）若式子1-x|x|-2有意义，则实数x的取值范围是x≤1且x≠﹣2思路引领：要使代数式有意义，令被开方数≥0，分母≠0，得1﹣x≥0，|x|≠2，即可得答案．解：由题意知：1﹣x≥0，|x|≠2，解得：x≤1且x≠﹣2，故答案为：x≤1且x≠﹣2．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，关键是令被开方数≥0，分母≠0．误点警示：本题容易因考虑不全造成答案不完整拔尖角度角度1利用被开方数的非负性求字母的值1．（2022春•龙岩期中）已知|2022﹣a|+a-2023=a，求a﹣2022思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数求出a的范围，去绝对值，化简即可得出答案．解：∵a﹣2023≥0，∴a≥2023，∴2022﹣a＜0，∴a﹣2022+a-2023=∴a-2023=2022∴a﹣2023＝20222，∴a﹣20222＝2023．总结提升：本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．2．（2022秋•姑苏区校级期中）已知实数x，y满足y=x-13+（1）x与y的值；（2）x2﹣y2的平方根．思路引领：（1）根据二次根式的被开方数是非负数求出x的值，进而可以得到y的值；（2）求出代数式的值，再求平方根即可．解：（1）根据题意得：x﹣13≥0，13﹣x≥0，∴x＝13，∴y＝5；（2）x2﹣y2＝132﹣52＝169﹣25＝144，144的平方根为±12，∴x2﹣y2的平方根为±12．总结提升：本题考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．角度2利用二次根式的非负性求字母的值3．（2022春•汉阳区校级月考）实数x，y使x-3+y2思路引领：利用算术平方根和偶次方的非负数的性质求得x、y的值，然后代入求值．解：∵x-3+∴x-3+（y+2）2＝0又∵x-3≥0，（y+2）2≥0∴x﹣3＝0，y+2＝0．解得x＝3，y＝﹣2，∴xy总结提升：考查了二次根式的意义和性质．概念：式子a（a≥0）叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．同时考查了非负数的性质，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0．角度3利用二次根式的非负性求最值4．已知函数y=3x+4+5，当实数x取何值时，思路引领：由于3x+4≥0，则y=3x+4+5≥5，当3x+4=0时，y有最小值，然后求出此时的解：∵3x+4≥0∴y=3x+4+∴当3x+4=0时，y即3x+4＝0，所以x=-43，y有最小值总结提升：本题考查了二次根式的定义：一般地，我们把形如a（a≥0）的式子叫做二次根式．也考查了非负数的性质．5．学习二次根式后，小王认为：当x＝m时，3-1-x有最大值，且最大值为n，你知道m，n思路引领：根据二次根式的被开方数是非负数，可得答案．解：1-x=0时，即m＝x＝1时，3-n最大＝3，m＝1．总结提升：本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的被开方数是非负数是解题关键．角度4利用二次根式的非负性解与三角形相关的问题6．（2021春•黄骅市期中）若a，b是一等腰三角形的两边长，且满足等式23a-6+32-a=b思路引领：根据被开方数大于等于0列式求出a，再求出b，然后分a是腰长与底边两种情况讨论．解：根据题意得，3a﹣6≥0且2﹣a≥0，解得a≥2且a≤2，所以a＝2，b＝4，①a＝2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，∵2+2＝4，∴不能组成三角形，②a＝2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，能组成三角形，周长＝2+4+4＝10，所以此等腰三角形的周长为10．总结提升：本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数，等腰三角形的性质，注意要分情况讨论并利用三角形三边关系进行判断．角度5利用二次根式的非负性求方程(组)中字母的值(整体思想）7．已知m满足2x+3y-m=0，3x+2y+1+2m=0，且x+y-2022思路引领：根据a（a≥0），可得x+y＝2022，然后把两个方程相加，进行计算即可解答．解：由题意得：x+y﹣2022≥0，2022﹣x﹣y≥0，∴x+y≥2022，x+y≤2022，∴x+y＝2022，2x+3y-m=0①3x+2y+1+2m=0②①+②得：5x+5y+1+m＝0，5（x+y）+1+m＝0，∴m＝﹣10111，∴m的值为﹣10111．总结提升：本题考查了算术平方根，二元一次方程组的解，熟练掌握解方程中的整体思想是解题的关键．角度6利用二次根式的隐含条件求值(定义法）8．已知a为实数，求代数式|a+4|-9-4a思路引领：首先根据﹣a2≥0，可得：a2≤0，所以a＝0；然后计算开方、绝对值，再从左向右依次计算即可．解：∵﹣a2≥0，∴a2≤0，∴a＝0，∴|a+4|-＝4﹣3﹣1+0＝0．总结提升：此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答