垂直于弦的直径（第2课时）（导学案）数学人教版九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径（第2课时）（导学案）（解析版）1.教学目标（1）通过探究垂径定理得到垂径定理的推论。（2）掌握垂径定理及推论，并能解决相关计算和证明问题。（3）经历探究垂直于弦的直径的过程多角度体会垂径定理的推论，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。重点：垂径定理的推论及应用。难点：垂径定理推论的题设和结论区别及垂径定理及推论应用。第一环节自主学习温故知新：复习：①.圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。②垂径定理:垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。【学法指导】自研课本P8283页内容（一）垂径定理推论（1）垂径定理中可以看成一条直线具备5个条件，这个5个条件分别是什么？垂径定理是具备其中的哪些条件，可以推出另外的条件？①直线过圆心：即该直线是圆的直径或过圆心的直线。②直线垂直弦：直线与圆内的弦垂直相交。③直线平分弦（弦不是直径）：直线将弦分为相等的两部分，且被平分的弦不能是直径。④直线平分弦所对的优弧：直线将弦所对的优弧分为相等的两部分。⑤直线平分弦所对的劣弧：直线将弦所对的劣弧分为相等的两部分。垂径定理是具备①②可以推出③④⑤。探究：如果条件改为①过圆心③平分弦，可以推出②垂直于弦④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧吗?（2）你能把上面的探究写成命题的形式吗？如果有一条直径平分弦，那么它垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧.(3)你能根据上面命题画图并写出题设和结论吗？画图：题设:有一条直径平分弦；结论:垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。（4）弦ＡＢ如果过圆心，这个结论成立吗？举例说明？结论不一定成立，如下图右，弦ＡＢ过圆心，上面的结论不成立。（5）上面的弦不过圆心，结论成立吗？我们一起讨论并证明。已知:如图，CD是⊙O的直径，CD平分弦AB（AB不过圆心Ｏ）于点E.【分析】连接ＯＡ、ＯＢ，得到△OAB是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可以得到结论.【详解】证明:连接OA，OB.在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形.∵CD平分弦AB于点E,∴OE⊥AB于点E,即CD⊥AB于点E.归纳总结：垂径定理推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。强调：这条弦不是直径。（6）这条推论用符号语言如何表达？如图，几何语言表达如下:∵CD是⊙0的直径，AE=BE（ＡＢ不是直径）,（二）垂径定理及推论拓展问题：我们发现垂径定理是已知①②推出③④⑤，推论是已知①③推出②④⑤，接下来我们不妨拓展探究一下，看看①⑤能推出②③④吗?也就是说如果一条直线经过圆心，并且平分了弦所对的劣弧，那么它能否垂直平分弦，并且平分弦所对的优弧呢?(1)上面的问题“平分弦所对的一条弧的直线,垂直平分这条弦，且平分弦所对的另一条弧”成立吗？.（2）上述五个条件中任意选取2个条件作为已知条件，其他剩余条件作为结论，一共有多少种组合呢?垂径定理推论组合是什么？一共有10种组合；由①③推出了②④⑤是垂径定理推论。讨论：在这五个条件中可以已知二个条件推出其他三个结论是否都正确？为什么？请同学们课后自己探究给出证明.总结归纳：一条直线具备“①过圆心，②垂直于弦，③平分弦,④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧”中两个条件，就能推出其他三个结论成立。将直线CD满足的五个条件转化为直线CD经过不同的五个点，因为两点确一条直线定，所以只要知道两个条件成立就能推出其他三个结论成立。自研课本P8283页内容例1如图，如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，并且CD=4cm,EM=6cm,求⊙0的半径.【分析】根据垂径定理的推论，得EM⊥CD,连接OC,构造直角△0CM，应用勾股定理解决问题。∵M是CD的中点，∴ＯＭ⊥CD.在Rt△OCM中，由勾股定理，得0C²=0M²+CM²,因此，⊙0的半径为cm.例2.已知:如图，⊙O中，半径OE、OF分别平分弦AB、AC，交AB、AC于点D、G，交于点E、F，并且弦EF分别交AB、AC于点M、N.求证:△AMN是等腰三角形.【分析】根据垂径定理推论，可以得到OE⊥AB,OF⊥AC，进而得到∠AMN=∠ANM，可得AM=AN.【详解】证明:∵OE、OF分别平分弦AB、AC,∴OE⊥AB,OF⊥AC.∴∠EDM=∠FGN=90°，∵OE=OF,∴∠E=∠F.∴∠EMD=∠FNG.∵∠EMD=∠AMN，∠FNG=∠ANM∴∠AMN=∠ANM.∴AM=AN.∴△AMN是等腰三角形.例3如图，已知所在圆的半径为5，弦的长8，点P是中点，绕点A逆时针旋转后得到，两位同学提出了相关结论：嘉嘉：的长为；琪琪：扫过的面积为下列论正确的是（

）A．两人都错 B．嘉嘉对，琪琪错 C．嘉嘉错，琪琪对 D．两人都对∵点P是中点，故选：B．第二环节合作探究1.讨论垂径定理中可以看成一条直线具备5个条件，这个5个条件分别是什么？垂径定理是具备其中的哪些条件，可以推出另外的条件？2.讨论如果条件改为①过圆心③平分弦，可以推出②垂直于弦④平分弦所对的优弧,⑤平分弦所对的劣弧吗?弦ＡＢ如果过圆心，这个结论成立吗？举例说明？3.讨论什么是垂径定理推论？这条推论用符号语言如何表达？4.讨论在这五个条件中可以已知二个条件推出其他三个结论是否都正确？为什么？请同学们课后自己探究给出证明.

设该圆的半径长为米，即门洞的半径长为米。课本课堂练习：2.如围，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E.求证:四边形ADOE是正方形.参考答案：四边形ADOE有三个角是直角，它是矩形;又由AB=AC，可得OD=OE，所以四边形ADOE是正方形.1．（2025·广东江门校考）如图，在中，是弦的中点，是过点的直径，则下列结论中不正确的是（

）

【详解】解：∵是弦的中点，是过点的直径，故选：D．2．(2025•成都)如图，⊙O的半径为1，A，B，C是⊙O上的三个点．若四边形OABC为平行四边形，连接AC，则图中阴影部分的面积为______．【解答】解：如图，连接OB．∵四边形OABC为平行四边形，∴AB＝OC，∵OA＝OC，∴OA＝AB，∴▱OABC是菱形，∵OA＝OB＝AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴S阴影＝S扇形AOB＝60360π×12故答案为：π6

(1)求的长；【详解】（1）解：连接，交于一点，如图所示：

∵B为弧的中点（2）解：连接，交于一点，如图所示：

∴所