第03讲整式与因式分解（讲练）（原卷版）

第一章数与式第03讲整式与因式分解（3~6分）（思维导图+5考点+2命题点11种题型）TOC\o"11"\n\h\z\u01考情透视·目标导航02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究考点一代数式的相关概念考点二整式的相关概念考点三整式的运算考点四整式化简求值考点五因式分解04题型精研·考向洞悉命题点一整式乘法运算►题型01幂的逆运算►题型02整体代入►题型03探求规律命题点二因式分解►题型01利用完全平方式求参数►题型02分组分解法因式分解►题型03因式分解的应用05分层训练·巩固提升基础巩固能力提升01考情透视·目标导航考点要求新课标要求考查频次（地区版加）命题预测代数式的相关概念借助现实情境了解代数式，进一步理解用字母表示数的意义；能分析具体问题中的简单数量关系，并用代数式表示；2024省卷5题，11题，16题中考数学中，整式这个考点一般会考学生对整式化简计算的应用，偶尔考察整式的基本概念，对整式的复习，重点是要理解并掌握整式的加减法则、乘除法则及幂的运算，难度一般不大.因式分解作为整式乘法的逆运算，在数学中考中占比不大，但是依然属于必考题，常以简单选择、填空题的形式出现，而且一般只考察因式分解的前两步，拓展延伸部分基本不考，所以学生在复习这部分内容时，除了要扎实掌握好基础，更需要甄别好主次，合理安排复习方向.整式的相关概念理解整式的概念，掌握合并同类项和去括号的法则，能进行简单的整式加法和减法运算；能进行简单的整式乘法运算(其中多项式相乘仅指一次式之间以及一次式与二次式相乘)整式的运算能推导乘法公式；了解公式的几何背景，并能利用公式进行简单计算整式化简求值灵活运用多种方法化简代数式因式分解能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超过二次)进行因式分解(指数是正整数)02知识导图·思维引航03考点突破·考法探究1.代数式中不含有=、<、>、≠等.2.单独的一个数或一个字母也是代数式.3.列代数式时注意事项：①仔细辨别词义．列代数式时，要先认真审题，抓住关键词语，仔细辨析词义．如“除”与“除以”，“平方的差（或平方差）”与“差的平方”的词义区分．②分清数量关系．要正确列代数式，只有分清数量之间的关系．③注意运算顺序．列代数式时，一般应在语言叙述的数量关系中，先读的先写，不同级运算的语言，且又要体现出先低级运算，要把代数式中代表低级运算的这部分用括号括起来．④规范书写格式．列代数时要按要求规范地书写．像数字与字母、字母与字母相乘可省略乘号不写，数与数相乘必须写乘号；除法可写成分数形式，带分数与字母相乘需把代分数化为假分数，书写单位名称什么时不加括号，什么时要加括号．注意代数式括号的适当运用．⑤正确进行代换．列代数式时，有时需将题中的字母代入公式，这就要求正确进行代换．考点一代数式的相关概念代数式的概念：用基本的运算符号把数和表示数的字母连接起来的式子叫做代数式.代数式的值的概念：一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.【例1】．（2024·山东临沂·二模）数学老师给所教的80名同学各买了一件相同的毕业纪念礼物，扫码支付了m元，则每件礼物的价格可表示为（

）A．m80元 B．80-m元 C．80m元 D．【变式11】．（2023·山东济南·模拟）小强上山和下山的路程都是S千米，上山的速度为v1千米时，下山的速度为v2千米时，则小强上山和下山的平均速度为（A．v1+v22s千米C．ssv1+sv2【变式12】．（2022·山东德州·一模）《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中《盈不足》卷记载了一道有趣的数学问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四人．问人数、物价各几何？意思是：今有人合伙购物，每人出8钱，会多3钱；每人出7钱，又差4钱．问人数、物价各多少？设人数为x人，则表示物价的代数式（

）A．8x-3 B．8x+3 C【变式13】．（2022·山东淄博·二模）某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过17立方米，每立方米a元；超过部分每立方米a+1.2元．该地区某用户上月用水量为20立方米，则应缴水费为（

A．20a元 B．20a+24元 C．17a+3.6考点二整式的相关概念判断依据次数系数与项数整式单项式①数字与字母或字母与字母相乘组成的代数式②单独的一个数或字母所有字母指数的和系数：单项式中不为零的数字因数多项式几个单项式的和次数最高项的次数项数：多项式中所含单项式的个数【例2】．（2022·山东日照·中考真题）单项式﹣3ab的系数是（）A．3 B．﹣3 C．3a D．﹣3a【变式21】．（2022·山东淄博·二模）下列说法正确的是（

）A．-3ab2的系数是－3 BC．2a+b-1的各项分别为2a，b，【变式22】．（2023·山东德州·一模）下列整式中，是二次单项式的是（

）A．x2+1 B．xy C．x2【变式23】．（2022·山东潍坊·三模）下列说法中，正确的是（

）．A．23ab的系数是23，次数是1 B．C．7πxy2的系数是7，次数是4 D．-5QUOTEQUOTE考点三整式的运算整式的加减同类项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项.合并同类项把同类项中的系数相加减，字母与字母的指数不变.添（去）括号法则括号外是“+”，添(去)括号不变号，括号外是“”，添(去)括号都变号.整式的加减法则几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项.整式的乘除运算步骤说明补充说明及注意事项单项式乘单项式①将单项式系数相乘作为积的系数;②相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为积的一个因式;③单独出现的字母，连同它的指数，作为积的一个因式.1）实质:乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.2）单项式乘单项式所得结果仍是单项式.单项式乘多项式①先用单项式和多项式的每一项分别相乘；②再把所得的积相加.1）单项式乘多项式实质上是转化为单项式乘以单项式2）单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同.多项式乘多项式①先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，②再把所得的积相加．运用法则时应注意以下两点：①相乘时，按一定的顺序进行，必须做到不重不漏；②多项式与多项式相乘，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号.且结果仍是多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于原多项式的项数之积．单项式除单项式①将单项式系数相除作为商的系数；②相同字母的因式，利用同底数幂的除法，作为商的一个因式；③只在被除式里含有的字母连同指数不变.多项式除单项式①先把这个多项式的每一项除以这个单项式；②再把所得的商相加整式的混合运算的运算顺序：先乘方，再乘除，后加减，有括号时先算括号里面的.完全平方公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．2.常见验证完全平方公式的几何图形结论：（a+b）2＝a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）平方差公式的几何背景1.意义：运用几何图形直观理解、解决平方差公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对平方差公式做出几何解释．2.常见验证平方差公式的几何图形结论：(a＋b)(a－b)＝a2－b2【例3】．（2024·山东济南·中考真题）下列运算正确的是（

）A．3x+3y=6xy B．xy【变式31】．（2024·山东青岛·中考真题）下列计算正确的是（

）A．a+2a=3C．(-a)2【变式32】．（2024·山东日照·中考真题）下列计算正确的是（

）A．2a23=6a6 B．a【变式33】．（2024·山东泰安·中考真题）下列运算正确的是（

）A．2x2yC．x-y-考点四整式化简求值1.直接代入法：把已知字母的值直接代入代数式计算求值.2.间接代入法：将已知的代数式化简后，再将已知字母的值代入化简后的代数式中计算求值.3.整体代入法：①观察已知代数式和所求代数式的关系.②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系.③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值．4.赋值求值法：指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法．这是一种开放型题目，答案不唯一.在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值．5.隐含条件求值法：先通过隐含条件求出字母值，然后化简再求值．例如：①若几个非负数的和为0，则每个非负数的值均为0②已知两个单项式为同类项，通过求次数中未知数的值，进而带入到代数式中计算求值.6.利用“无关”求值：①若一个代数式的值与某个字母的取值无关时需先对原式进行化简，则可得出该无关字母的系数为0；②若给定字母写错得出正确答案，则该代数式的值与该字母无关．7.配方法：若已知条件含有完全平方式，则可通过配方，把条件转化成几个平方和的形式，再利用非负数的性质来确定字母的值，从而求得结果．8.平方法：在直接求值比较困难时，有时也可先求出其平方，再求平方值的平方根，但要注意最后结果的符号．9.特殊值法：有些试题，用常规方法直接求解比较困难，若根据答案中所提供的信息，选择某些特殊情况进行分析，或选择某些特殊值进行计算，把一般形式变为特殊形式进行判断，这时常常会使题目变得十分简单．10.设参法：遇到比值的情况，可对比值整体设参数，把每个字母用参数表示，然后代入计算即可．11.利用根与系数的关系求解：如果代数式可以看作某两个“字母”的轮换对称式，而这两个“字母”又可能看作某个一元二次方程的根，可以先用根与系数的关系求得其和、积式，再整体代入求值．12.利用消元法求值：若已知条件以比值的形式出现，则可利用比例的性质设比值为一个参数，或利用一个字母来表示另一个字母．13.利用倒数法求值：将已知条件或待求的代数式作倒数变形，从而求出代数式的值．【例4】．（2024·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：x(y-4x【变式41】．（2022·山东济宁·中考真题）先化简，再求值:(x+1)(x1)+x(2x),其中x=12【变式42】．（2023·山东济宁·中考真题）先化简，再求值：a（a﹣2b）+（a+b）2，其中a=﹣1，b=．【变式43】．（2022·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：a（a+2b）﹣（a+1）2+2a，其中a=考点五因式分解【例5】．（2024·山东东营·中考真题）因式分解：2x3【变式51】．（2024·山东德州·中考真题）分解因式∶x2-【变式52】．（2024·山东威海·中考真题）因式分解：x+2x【变式53】．（2023·山东东营·中考真题）因式分解：3ma整式的加减运算的实质就是合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，以及分配率.因此关于整式加减的一般步骤为：①列出代数式；②去括号；③找出同类项；④合并同类项.需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数.涉及整式加减运算的常见题型还有代数式求值，这类题目的一般步骤：①代数式化简；②代入计算；③对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算.做题时特别要注意的是在整式的加减运算过程中，不多项，不漏项，交换项的位置时，要注意连同符号一起交换.04题型精研·考向洞悉命题点一整式乘法运算►题型01幂的逆运算【例1】．（2024·山东·模拟预测）计算82024×-A．-8 B．8 C．-2 D【变式11】．（2024·山东聊城·一模）计算26072×(-0.125)A．-8 B．8 C．-2 D【变式12】．（2023·山东淄博·一模）已知：10m=5，10n=4【变式13】．（2024·山东济宁·二模）已知9m=3，27n=5QUOTEQUOTEQUOTE►题型02整体代入【例2】．（2023·山东·中考真题）已知实数m满足m2-m-【变式21】．（2023·山东临沂·二模）已知m是方程式x2+x-3=0【变式22】．（2023·山东聊城·一模）已知2m－3n=－4，则代数式m(n－4)－n(m－6)的值为．【变式23】．（2023·山东烟台·二模）若a+b=2，则代数式3-2►题型03探究规律【例3】．（2024·山东潍坊·中考真题）将连续的正整数排成如图所示的数表．记ai,j为数表中第i行第j列位置的数字，如a1,2=4，a3,2=8，a5,4=22【变式31】．（2024·山东泰安·中考真题）如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”．按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍．【变式32】．（2023·山东聊城·中考真题）如图，图中数字是从1开始按箭头方向排列的有序数阵．从3开始，把位于同一列且在拐角处的两个数字提取出来组成有序数对：3,5；7,10；13,17；21,26；31,37…如果单把每个数对中的第一个或第二个数字按顺序排列起来研究，就会发现其中的规律．请写出第n个数对：．

【变式33】．（2023·山东临沂·中考真题）观察下列式子1×3+1=22×4+1=33×5+1=4……按照上述规律，=n命题点二实数的运算►题型01利用完全平方式求参数【例1】．（2022·山东临沂·一模）如果多项式16a2+ma+9【变式11】．（2022·山东日照·二模）已知x2-2m+1x+16【变式12】．（2022·山东烟台·一模）若x2+2(m-3)x【变式13】．（2021·山东聊城·二模）若x2+2(3-m)x►题型02分组分解法因式分解【例2】．（2024·山东烟台·一模）因式分解：9x2【变式21】．（2023·山东日照·二模）因式分解：x2＋【变式22】．（2022·山东济宁·一模）分解因式a2+4【变式23】．（2023·山东潍坊·一模）分解因式：x2-4►题型03因式分解的应用【例3】．（2023·山东济宁·二模）若xy=3，x+y=5【变式31】．（2023·山东聊城·二模）已知a+b=4，a-b【变式32】．（2022·山东临沂·二模）已知a−3b=2，ab=3，则2a3b−12a2b2+18ab3=．【变式33】．（2021·山东潍坊·二模）已知x+y＝3，xy＝－2，则代数式x2y+xy2的值为．05分层训练·巩固提升基础巩固1．下列运算，正确的是（

）A．x2+xC．2x3÷2．下列说法正确的是（

）A．单项式-πa2b的系数是1 BC．2x2+3xy-1是四次三项式3．已知a2-a-4=0A．2012 B．2013 C．2014 D．20154．把如图1的两张大小相同的长方形卡片（长为xcm，宽为ycm）放置在图2中的大长方形中，已知这个大长方形的宽为100cm，长为120cm，若记图2中阴影部分的周长为C，那么C=A．(360-4x)cm B．(360-4y)cm5．下面是某同学的作业题：①3a+2b=5ab；②4m3n-5mn3=-m3n；A．3 B．4 C．5 D．66．下列各等式中，