第09讲函数的对称性和周期性的综合应用(学生版)

第09讲函数的对称性和周期性的综合应用【基础回顾】知识点1．奇函数、偶函数的对称性（1）奇函数关于原点对称，偶函数关于y轴对称．（2）若f(x＋a)是偶函数，则函数f(x)图象的对称轴为x＝a；（3）若f(x＋a)是奇函数，则函数f(x)图象的对称中心为(a,0)．知识点2．任意函数的对称若函数y＝f(x)满足f(－x)＝f(2a＋x)，则函数的图象关于直线x＝a对称；若函数y＝f(x)满足f(2a－x)+f(x)=2b，则函数的图象关于点(a,b)对称．知识点3．两个函数图象的对称(1)函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)与y＝－f(x)的图象关于x轴对称；(3)函数y＝f(x)与y＝－f(－x)的图象关于原点对称．(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a,b)对称．知识点4.函数的周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．(3)常见周期：f(x＋A)＝f(x)，T=2|A|f(x＋A)+f(x)=B，T=2|A|f(x＋A)f(x)=B，T=2|A|f(x＋1)=f(x)+f(x+2)，则T=6知识点5.函数的周期性和对称性的关系题型一函数的对称性及应用一．对称性的表述1.轴对称：2.中心对称：特别的对称：二．对称性的证明：1.利用对称性建立等式：2.对称变换法：【例题精讲】题型二函数的周期性的应用【例题精讲】1．若函数f（x）满足f（x+1）＝﹣f（x）．且当0＜x≤2，f(x)=log12A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．12．已知偶函数f（x）的定义域为R，f（x）+f（3﹣x）＝0，且当x∈[0，32]时，f(x)=A．−94 B．﹣1 C．1 3．设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5﹣2x，则f(19A．−12 B．−14 C．（多选）4．已知函数f（x）定义域为R，其导函数为g（x），且f（2﹣x）+f（x）＝2，g（3﹣2x）+g（1+2x）＝1，则下列说法正确的是（）A．f（x）一个对称中心为（1，1） B．g（x）的一个周期为2 C．g（x）的图象关于x＝5对称 D．n=1（多选）5．已知非常数函数f（x）是定义在R上的偶函数，且f（0）＝0，f（2x﹣1）＝f（x），则（）A．f（1）＝0 B．2是f（x）的一个周期 C．当且仅当x∈Z时，f（x）＝0 D．f（x）不存在最小正周期题型三对称性与奇偶性、周期性的综合应用知识点1.对称性与周期性的关系：知识点2.奇偶性与对称性的结合：【例题精讲】1．已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（x）＝f（2﹣x），若f（1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+…+f（2025）＝（）A．1 B．0 C．1013 D．20252．设定义在R上的奇函数f（x）的导函数为f′（x），且对任意的x∈R，f′（x+4）＝﹣f′（x），f（1）＝2，则f（2027）的值为（）A．﹣2 B．0 C．2 D．20263．已知函数f（x）的定义域为R，其图象关于直线x＝﹣3对称且f（x+3）＝f（x﹣3），当x∈[0，3]时，f（x）＝2x+2x﹣11，则下列说法不正确的是（）A．函数f（x）为偶函数 B．函数f（x）在[﹣6，﹣3]上单调递增 C．函数f（x）的图象关于直线x＝3对称 D．f（2026）＝﹣7（多选）4．已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足f（x+4）＝﹣f（x），g（x）＝f（3x+2），g（﹣x）＝g（x），g(−1A．f（﹣x）＝﹣f（x） B．f（2024）＝2 C．f（2﹣x）＝f（x） D．k=1（多选）5．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x∈（0，1]时，f(x)=xA．x∈[1，2）时，f(x)=2−xB．函数f（x）的最小正周期是4 C．i=12025D．方程f（x）＝lg|x|恰有10个不同的实数根课时精练一．选择题（共8小题）1．已知函数f（x）满足f（x+2）关于直线x＝﹣2对称，且f（x+2）=1f(x)，当2≤x≤3时，f（x）＝log2（x+112），则A．2 B．3 C．4 D．62．已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，且对∀x∈R，f（x+4）＝f（﹣x）恒成立．则以下结论：①f（x）为奇函数；②f（3）＝0；③f(1④f（2023）＝0．其中正确的为（）A．①②④ B．②③ C．②③④ D．①③④3．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝0，且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则3f（2023）﹣2f（2022）的值为（）A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣34．已知函数f（x）满足：∀x∈R，f（x﹣1）+6≥f（x+5），f（x+1）﹣3≥f（x﹣2），若f（3）＝1，则f（2025）＝（）A．2026 B．2025 C．2024 D．20235．已知函数f（x）的定义域为R，且f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y），f（1）＝1，则k=122f（A．﹣3 B．﹣2 C．0 D．16．已知函数f（x）满足f（x﹣1）+f（x+1）＝2，且f（﹣1）＝1，则f（1）+f（2）+f（3）+⋯+f（9）的值为（）A．8 B．9 C．10 D．117．已知函数f（x），g（x）的定义域均为R，且f（x）+g（2﹣x）＝5，g（x）﹣f（x﹣4）＝7．若y＝g（x）的图像关于直线x＝2对称，g（2）＝4，则k=122f（A．﹣21 B．﹣22 C．﹣23 D．﹣248．已知定义域均为R的函数f（x），g（x）满足f（2﹣x）+f（x）＝2，g（4﹣x）＝g（x），g（2）＝3，若f（x）＝g（2+x）+4，则下列说法错误的是（）A．f（x）的图象关于y轴对称 B．﹣8为f（x）的一个周期 C．f（2023）＝﹣1 D．k=122f（二．多选题（共3小题）（多选）9．已知定义域为R的偶函数f（x）满足f（x+2）＝﹣f（﹣x），当x∈（1，2]时f（x）＝2x﹣2，则下列结论正确的有（）A．f（﹣1）＝0 B．f（x）的图象关于点（3，0）成中心对称 C．f（2024）＞f（2025） D．f(（多选）10．已知函数f（x）与g（x）及其导函数f′（x）与g′（x）的定义域均为R．若f（x）为奇函数，f（x）+g（2﹣x）＝2，f′（x）+g′（x+1）＝2，则（）A．g（﹣2）+g（6）＝4 B．f′（0）＝0 C．曲线y＝f′（x）关于点(12D．k=1（多选）11．定义在区间[0，2]上的函数f（x）满足下列条件：（i）f（1）＝2，对于任意的x∈[0，2]，有f（x）≥1，且f（x）＝f（2﹣x）；（ii）对于任意的x∈[1，2]，当x+y≥3时，f（x）+f（y）≤f（x+y﹣2）+1成立．则下列说法正确的是（）A．f（2）≥5 B．x∈[﹣2，0]时，恒有f（x+2）＝f（﹣x） C．f（x）在[0，1]上非减且f(1D．当x∈[1，2]，f（x）≤5﹣2x三．填空题（共3小题）12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2x+3）为偶函数，同时f（x+3）+f（5﹣x）＝0，且f（3）＝1，则i=12025f（i13．偶函数f（x）满足f（x+2）＝f（x），且x∈[﹣1，1]时，f(x)=log2(2x14．已知函数f（x）满足：f（a+b）＝f（a）•f（b），f（1）＝2，则f2(1)+f(2)四．解答题（共5小题）15．定义在（﹣2，2）上的函数f（x）满足对任意的x，y∈（﹣2，2），都有f（x）+f（y）＝f（x+y），且当x∈（0，2）时，f（x）＞0．（1）证明：函数f（x）是奇函数；（2）证明：f（x）在（﹣2，2）上是增函数；（3）若f（﹣1）＝﹣2，f（x）≤t2+at﹣1对任意x∈[﹣1，1]，a∈[﹣2，2]恒成立，求实数t的取值范围．16．已知定义域为I＝（﹣∞，0）∪（0，+∞）的函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0）∪（0，+∞），都有f（x1x2）＝x1f（x2）+x2f（x1）．（1）求证：f（x）是奇函数；（2）设g（x）=f(x)x，且x＞1时g（①求证：g（x）在（0，+∞）上是减函数；②求不等式g（2x﹣1）＞g（3x）的解集．17．函数f（x）满足对任意x∈R，都有f（x+2）＝f（﹣x+2），且f（x）的图象关于直线x＝1对称，当x∈[2，3）时，f（x）＝2（x﹣2）3，且函数y＝f（x）﹣|logax|恰有2025个零点．（1）证明：函数f（x）为周期函数；（2）求整数a的值．18．已知定义在R上的函数f（x）满足：对任意x，y∈R都有f（x+y）＝f（x）+f（y），且当x＞0时，f（