第4章相似三角形（知识清单）（学生版）数学浙教版九年级上册

第4章相似三角形

1.比与比例线段（1）比可以写成a：b=m：n，或写成ab（2）在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项.（3）如果比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c或ab=b2.比例的基本性质（1）基本性质：ab=cd⇔(bd≠（2）推论：a（3）合比性质：ab=cd合分比性质：a（4）等比性质：如果ab=c（5）如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足BCAB=ABAC（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的3.平行线分线段成比例（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段.（2）示例：如图，所得的对应线段成比例的有ABBC=或ABAC=或BCAB=或（3）平行于三角形一边的直线与其它两边（或两边的延长线）相交，截得的对应线段成比例．如图，若DE∥BC，则有ADAB=,ADBD=4.相似三角形的定义（1）定义：三个角对应，三条边对应的两个三角形叫做相似三角形.如△ABC和△DEF相似可表示为.特别的：三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于.（2）符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应；（3）相似三角形对应边的比叫做相似比.相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为.5.相似常见的基本图形：图①和图②分别为“A”字型图和“8”字型图，条件是，基本结论是；图③、图④是图①的变形图，图⑤是图②的变形图;图⑥是“母子型”图，条件是BD为直角△ABC斜边上的高，基本结论是△ABC∽△BDC∽△ADB.同时也是“母子型”图的变形图。图⑦图⑧图⑦是“旋转型”图，衍生结论是连结BD与CE后，∽；图⑧是“一线三等角”图，条件是∠A==，这里比较特殊，他们都是直角。6.相似三角形的判定①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．②分别相等的两个三角形相似．③两边成比例且的两个三角形相似；④三边的两个三角形相似；7.相似三角形的性质（1）相似三角形的对应角，对应边的比.（2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于.（3）相似三角形周长的比等于.（4）相似三角形面积比等于.（5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则.8.位似图形的性质1)位似图形的所有对应点的连线所在的直线相交与一点.2）位似图形的对应线段平行(或在同一条直线上)且比相等.3)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.4）位似图形是相似图形,具有相似图形的一切性质.5）一对对应边与位似中心(不在同一直线上)形成的两个三角形相似9.位似变换的坐标特征：一般地，在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么与原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为.一、比与比例线段1.比例与比例线段的性质错误：在根据比例的性质解决问题时不能用合适的推论进行推导。注意：一般的，计算时常用ab例1已知3x=2y，则x2.分割点的分类讨论错误：已知线段长，求分割点时不注意条件，也没有进行分类的讨论。注意：一条线段的分割点有两个，必要时需要进行分类讨论。例2定义：顶角为36°的等腰三角形叫做“三角形”，它的一个底角的平分线与腰的交点即为这条腰的分割点．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=18°，AC=2，点M是边AC上一点，若△二、相似三角形3.相似三角形对应边成比例错误：在列对应边成比例的等量关系时，没有将对应边列在一起，或在列比例的时候顺序调换。注意：在列比例时，要明确哪个三角形的边在前，哪个三角形的边在后。尤其当涉及相似比时，注意是哪个三角形的边比上哪个三角形的边，不能随意调换顺序。例3如图，在△ABC中，AB=9，AC=6，D是AB边上的一点，若△4.两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似错误：在进行三角形相似的判定采用两边一夹角时，用随意的角作为判定依据。注意：用两边一夹角作为三角形相似的判定依据时，必须两边所夹的角相等，而不是旁角。例4如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，且A(1)求证：△ABC(2)若∠BCD=150°，求5.三角形中的多对相似三角形错误：在三角形中，只关注比较明显的一对相似三角形。注意：相似三角形比全等三角形容易构成，只要满足两个三角形中两组对应角相等即可。尤其在特殊三角形中，简单的结构就能构成多对相似三角形，比如以下：①①CBAD②ABCDEP③ABCDE（1）如图①△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，因此有△ABC∽△CBD∽△ACD;（2）如图②△ABC中，BD和CE分别是边AC与AB上的高（也可不是高线，只要满足∠ABD=∠ACE，或满足AE:AC=AD:AB即可），相交于点P，因此：△ABD∽△ACE；△EPB∽△DPC；△ADE∽△ABC，△PDE∽△PCB。（3）如图③△ABC中△ADE∽△ABC,连结BD和CE，可得到△ABD∽△ACE.例5【问题背景】（1）已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着A【迁移应用】（2）如图3，在Rt△ACB中，∠BAC=90°，AB=15,AC=5,D、①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，直接旋转过程中写出线段CE和BD的始终存在的位置和数量关系：②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE=3【创新应用】（3）如图6，AB=AC=AE=25,BC=4,△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE绕着点A6.平行线题境下的相似三角形错误：不熟悉常见的相似三角形的结构，在平行线题境下不能找到相似三角形解决问题。注意：“A”字型和“8”字型模型的基础模型都是建立在平行线上的，因此在三角形中，关于其中一边作平行线，一定会有相似三角形构成。而在平行四边形中，由于对边平行，因此只要在对边内外作两条相交的线段，就能构成相似三角形。①①ABCDE②ABCDE③ABCDEF④ABCFED（1）图①为△ABC中平行线构成的“A”字型相似（DE∥BC），即：△ADE∽△ABC；（2）图②为△ABC中平行线构成的“8”字型相似（CD∥AB），即：△ABE∽△CDE；（3）图③为□ABCD中相交线构成的“8”字型相似（AC与BE相交于点F），即：△ABF∽△CEF；（4）图④为□ABCD中相交线构成的“A”字型相似（AE与BC的延长线相交于点F），即：△FCE∽△FBA；例6▱ABCD中，AE:EB=2:3，DE交(1)求证：△AEF(2)AF=6，求AC例7▱ABCD中，点F是边BC上一点，连接DF并延长交AB的延长线于点E，且∠(1)求证：△BDF(2)若AD=9，BD=357.常见的相似三角形的模型错误：不同的题境下有不同的相似三角形结构。不熟悉常见的相似三角形的模型，对于解决问题，甚至找到解题目标都有困难。注意：熟悉常见的相似三角形模型，尤其是旋转型多对相似三角形、母子型相似三角形和一线三等角模型。（其特点见知识清单第5条）例8如图，已知矩形ABCD的边长AB=8，BC=4，若将矩形ABCD绕点C旋转，使点B的对应点B′恰好落在BD上，连接DD′例9已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CH⊥AB，垂足为点H．点D在边BC上，连接AD，交(1)求证：△ACH(2)求证：AE⋅例10（1）如图1，在正方形ABCD中，E为BC的中点，作EF⊥AE交CD于点F，连接①求证：△ABE②求证：AF=（2）如图2，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AB=2，①判断AE与EF的数量关系，并说明理由；②求DF的长．8.通过对应边关系进行相似三角形存在性问题的分类讨论错误：在不确定对应关系的情况下，两个三角形相似时，确定相似三角形种数和求满足相似的线段长时，没有进行探究讨论。注意：在对应边关系不确定的时候（尤其是关于不确定点、动点时），如果两个三角形相似，不同的边对边的对应关系要进行分类的讨论，一般最多讨论3种情况，至少2种情况。例11如图，在平面直角坐标系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点A(1)求过点A,(2)过点B作直线BD，使BD⊥AB，与x轴相交于点D，求点(3)在（2）的条件下，如果点P、Q分别是线段AB和AD上的动点，连接PQ，设AP=DQ=m，问是否存在这样的m使得△APQ例12如图，对称轴为直线x=2的抛物线y=x2+mx+1的顶点为D，与y轴相交于点A，过点A作AD的垂线交x(1)求抛物线对应的函数解析式；(2)分别求点B，E的坐标；(3)在对称轴上找一点P，使得以P，B，E为顶点的三角形与△AOC相似，直接写出点P9.结合圆的性质判定圆内的相似三角形错误：在圆中无法根据其性质推断对应角相等，从而无法证明相似三角形。注意：圆的等弧的概念，垂径定理，圆心角的性质和圆周角的性质都能证明圆内角相等，再结合其他已知条件，就能证明两个三角形相似，为求圆内线段长提供列式的依据。例13如图，AB为⊙O的直径，点D为AB下方圆上一点，点C为ACD的中点，连接CA(1)求证：∠BDC(2)连接AD，并且过点C作CE⊥AB交AB于点H，交AD于点E．若OH=5，AD三、相似三角形的性质1.充分利用相似三角形对应高线之比等于相似比错误：不能只记得边之比等于相似比。注意：相似三角形对应高线之比也等于相似比，常用于当三角形内接矩形时。例14如图，有一块锐角三角形余料ABC，它的边BC=4米，高AD=2米，现要用它裁出一个矩形工件PQMN，使矩形的一边在BC上，其余的两个顶点分别在AB、AC上．设PN=(1)用含x的代数式表示AE=米，PQ=米，S=平方米，其中x(2)作出该函数的图象．①列表xS②描点，连线(3)观察图象可知，当x=米时，S的最大值为2.相似三角形实际应用中的反射问题错误：不知道利用反射问题中的入射角=反射角注意：在反射问题中，视线也好，光线也好，物体反弹也好，入射角=反射角，这是构建相似三角形的重要条件。①②①②ABPCD（1）如图①中，射线（光线）EF经过点F反射后为FD，因此有∠EFB=∠CFD，所以△EFB∽DFC；（2）如图②中，人观察到地面上镜子P中经反射后的旗帜，视线构成∠1=∠2，所以△ABP∽DCP.例158月20日，《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区，某实践小组欲测量飞虹塔的高度，测量过程见下表．主题跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度测量方案及示意图测量步骤步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平BD于点Q，测得QD=3步骤2：将标杆沿着BD的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线BD于点P，测得PF=4米，PD(1)嘉嘉发现当BD=60米时，轻松的就算出飞虹塔的高度，请你按嘉嘉的发现条件，计算飞虹塔AB(2)依据嘉嘉方法的启发，请你根据表格信息，求飞虹塔的大致高度AB．3.作图构造相似三角形解决实际问题错误：实际问题需要进行数形结合思想和转化思想，将实际问题转化为几何图形问题。不能构造相似三角形，就不能解决求线段长的问题，就不能解决实际问题中的长度问题。注意：在实际问题中，作图构造常见的几何图形，尤其是通过连结、做垂直的方式构造直角三角形，能更好的形成相似的直角三角形。例16在学完相似的知识后，数学老师将同学们分成两组，利用相似的知识测量校园内物体的高度．(1)第一小组的同学测得身高1.68米的小明影子长为2.52米，同一时刻，同一水平面上，测得校园内旗杆的影子长为18米，求旗杆的高度；(2)如图，第二小组的同学利用标杆测量操场边一棵树AB的高度，小丽在F处竖立了一根标杆EF，小华从F处走到C处时，站立在C处恰好看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上，此时测得小华的眼睛到地面的距离DC=1.6米，EF=2.4米，CF=2米，FA=16米，点C、四、相似多边形与位似1.多边形相似的判定。错误：混淆判定三角形相似“两个角相等的两个三角形相似”的依据，认为多边形只要全部角对应相等即可。注意：相似多边形不同于相似三角形，相似多边形不但需要每个对应角相等，还需要每条对应边成比例。例17如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（

）A．a=22 B．x=2 C．∠2.位似注意分类讨论错误：作已知图形的位似图形，尤其在平面直角坐标系中，只考虑做一种形式的位似。注意：在题目没有明确限制的情况下，作已知图形的位似图形时，在位似中心与各点连结线上或延长线上有位似图形，在其反向延长线上也有位似图形，需两个都考虑到。例18如图，直线y=12x+1与x轴交于点A，与y轴交于点B，△BOC与△B'O'C1．已知a，b是不等于0的实数，2a=3bA．ab=23 B．a−bA．∠B=∠EC．ABAC=AD3．下列两个图形一定相似的是（

）A．两个矩形 B．两个菱形C．两个等腰三角形 D．两个等腰直角三角形4．如图，在矩形ABCD中，AB=2，对角线AC与BD相交于点O，AE⊥BD，ED=3BEA．25 B．23 C．4 5．我国学者墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验的做法与成因．图1是小孔成像实验图，抽象为数学模型如图2所示．已知AC与BD交于点O，AB∥CD．若点O到AB的距离为10cm，点O到CD的距离为15cm，蜡烛火焰AB的高度是2cm，则蜡烛火焰倒立的像A．3cm B．52cm C．436．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，△ADE的顶点D在BC上运动，且∠DAE=90°，∠ADE=∠B，FA．1 B．2 C．652 D．7．如图AD∥BE∥CF，若AB=4，BC=6，8．如图，在平面直角坐标系内，某图象上的点A、B为整数点，以点O为位似中心将该图象扩大为原来的2倍，则点A的对应点A′的坐标为9．如图，在菱形纸片ABCD中，点E在边AB上，将纸片沿CE折叠，点B落在B′处，CB′⊥AD，垂足为F

若CF10．如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，矩形OABC的两边分别在x轴和y轴上，点B的坐标为12,8，现有两动点P，Q，点P以每秒3个单位的速度从点O出发向终点A运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点A出发向终点B运动，连接PC，PQ，CQ．设运动时间为t秒t>0．若A，P，Q为顶点的三角形与△OCP相似时，则t11．为测量水平操场上旗杆的高度，九（1）班各学习小组运用了下面两种测量方法．(1)如图1，小张在测量时发现，自己在操场上的影长EF恰好等于自己的身高DE．此时，小组同学测得旗杆AB的影长BC为11.3m，据此可得旗杆高度为__________m；(2)如图2，小李站在操场上E点处，前面水平放置镜面C，并通过镜面观测到旗杆顶部A．小组同学测得小李的眼睛距地面高