2026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷03（参考答案）

1/22026年上海市普通高校春季高考数学仿真模拟卷03·参考答案一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．22．−517,3175．x|0<x≤126．327．9．23710．211．402−1二、选择题（本大题共4题,满分18分,第13-14题每题4分,第15-16题每题5分)13141516ABAD三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=78分）17．【解析】（1）由，（2分）则最小正周期，即.（4分）令，解得，则单调减区间.（6分）（2）因为，则，（8分）当时，，（10分）若恰有3个不相等的实数根，则，解得，则实数的取值范围为.（14分）18．【解析】（1）取中点，连接，，由是的中点，故，且，（2分）由是的中点，故，且，则有、，故四边形是平行四边形，故，（4分）又平面，平面，故平面；（5分）（2）以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，.由题意、、、、、，则有，，.（6分）设平面的法向量分别为，则有，取，则、，即，设平面的法向量分别为，则有，取，则、，即，（8分）设平面与平面所成角的大小为，则，故平面与平面的夹角余弦值为；（10分）（3）由，平面的法向量为，（12分）故点B到平面的距离为.（14分）19．【解析】（1）如图，延长，交AC于点G，过点G作，H为垂足，在中，，，所以，在中，，，所以，（2分）所以；同理可得；（4分）所以；（6分）（2）令，（8分）则，所以，（10分）令，问题即转化为关于t的方程在上是否有解，方程整理得．（10分）令，则其图象的对称轴方程为，所以在上单调递增．（12分）又因为，所以方程在上无解，因此该货车不能顺利通过该弯道．（14分）20．【解析】（1）因为椭圆的离心率为，且，（2分）所以，解得，故椭圆的方程为.（4分）（2）设直线的方程为，，，由，得，，即，则，，（6分）而，，直线斜率，，，由在椭圆上，得到，即，因此，由题意得，即（8分）由，在直线l上，得，，则，而，解得，此时，则直线的方程为，即直线过定点.（10分）（3）由（1）知，设，，，连接，交于，四边形为平行四边形，为的中点且与轴既不垂直也不平行，法一：，（12分），，即记为①，又，，，直线的方程为，（14分）∴由得，由得记为②，由①②得，（16分）对任意的恒成立，，即，的最小值为.（18分）法二：设，将与联立消得.由韦达定理可得，且，即记为①，（12分），，，，得，，，（14分）点，，即，令，其中，，我们把记为②式，把记为③式，由②得，代入③得，代入①得，（16分）解得，，，，，的最小值为.（18分）21．【解析】（1）函数，求导得，（2分），恒成立，所以是上的函数.（4分）（2）由为上的函数，，得，（6分）取，得，反之当时，在恒成立，令，求导得，且的为离散的点，因此为严格减函数，又，则，（8分）又，所以t的取值范围是：且.（10分）（3）（充分性）对任意与恒成立，则对任意正整数，有：，因此为上的函数，即充分条件成立；（12分）（必要性）即对任意正整数，有①，记函数的最大值为，先证明恒成立，反证法，假设存在使得，则取正整数，使得，此时有，与①矛盾，因此假设错误，即；（14分）再证明恒成立，取为的