（人教A版）必修第二册高一数学下册期末复习训练专题05 向量三大定理及三角形四心问题（原卷版）

体系搭建体系搭建(－)平面向量共线定理已知,若,则A,B,C三点共线;反之亦然.(二)等和线平面内一组基底及任一向量,若点在直线AB上或者在平行于AB的直线上,则(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和线.如图,则有.(1)当等和线恰为直线AB时,;(2)当等和线在点和直线AB之间时,;(3)当直线AB在点和等和线之间时,;(4)当等和线过点时,;(5)若两等和线关于点对称,则定值k互为相反数.（三）极化恒等式:设、是两个平面向量,则有恒等式,在三角形中,也可以用三角形的中线来表示,.极化恒等式的作用主要在于,它可以将两个向量的数量积转化为这两个向量之和或之差,因此,当两个向量之和或之差为定值时,常常可以考虑利用极化恒等式进行转化求解.（四）奔驰定理:若为内任意一点,有,则.证明:如图1,取点,使得,则,即为的重心.同理.故,即证明（五）三角形“四心”问题.内心:三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点(或三角形内切圆的圆心).垂心:三角形的垂心是三角形三边上的高的交点.重心:三角形的重心是三角形三条中线的交点.(1)是的重心：(2)是的内心：(3)是的外心;(4)是的垂心:例题分析例题分析考点1等和线问题【例1】.在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，若，则λ+μ的最大值为．变式训练【变1-1】.给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为120°如图所示，点C在以O为圆心的圆弧上变动．若＝x+y，其中x，y∈R，则x+y的最大值是（）A． B．2 C． D．3【变1-2】.在平行四边形ABCD中，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝120°，平面ABCD内有一点P，满足AP＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A． B． C． D．考点2极化恒等式问题【例2】．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝3，BC＝10，则•＝．变式训练【变2-1】．如图，在△ABC中，D是BC的中点，E、F是AD上的两个三等分点，•＝4，•＝﹣1，则•的值是（）A．4 B．8 C． D．【变2-2】．已知AB为圆O的直径，M为圆O的弦CD上一动点，AB＝8，CD＝6，则•的取值范围是．考点3奔驰定理在向量中的应用【例3】．已知点O在△ABC内部一点，且满足2+3+4＝，则三角形△AOB，△BOC，△AOC的面积之比依次为（）A．4：2：3 B．2：3：4 C．4：3：2 D．3：4：5变式训练【变3-1】．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是．【变3-2】．已知点P是△ABC所在平面内一点，且满足，设△ABC的面积为S，则△PAB的面积为（）A． B． C． D．考点4向量与三角形四心的综合【例4】．已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足＝+λ（+）λ∈[0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心变式训练【变4-1】．已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈[0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．内心 B．垂心 C．重心 D．外心【变4-2】．如图，O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈（0，+∞），则点P的轨迹一定通过△ABC的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心实战演练实战演练1．O是平面内的一个定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P满足＝+λ（+），λ∈[0，+∞），则P点所在的直线是△ABC的（）A．边 B．中线 C．高 D．角平分线2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且，则＝（）A． B． C． D．3．已知O​是平面内一定点，A，B，C​是平面上不共线的三个点，动点P​满足​，则点P​的轨迹一定通过△ABC​的（）A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心4．已知向量满足，若M为AB的中点，并且，则λ+μ的最大值是（）A． B． C． D．5．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，动圆Q的半径为1，圆心在线段CD（含端点）上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量（m，n为实数），则m+n的最大值是（）A．2 B．3 C．5 D．66．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且＝0，则△ABC的面积为（）A．1+ B．+ C．1+ D．7．已知△ABC中，点P是△ABC所在平面内一点，且满足+＝，设△PAB，△PBC，△PCA的面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为（）A．S1＝S2＝S3 B．S1＝S2＞S3 C．S2＝S3＞S1 D．S3＝S1＞S28．若点M是△ABC所在平面内一点，且满足：．则△ABM与△ABC的面积之比为（）A． B． C． D．9．已知点P是△ABC的内心（三个内角平分线交点）、外心（三条边的中垂线交点）、重心（三条中线交点）、垂心（三个高的交点）之一，且满足2•＝﹣，则点P一定是△ABC的（）A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心10．已知△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，P为平面ABC内一点，则的最小值为（）A．﹣8 B． C．﹣6 D．﹣111．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1．若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．312．已知等边三角形ABC的边长为2，点P在平面ABC内，则|PA|2+|PC|2+|PB|2的最小值为（）A．2 B．4 C．3 D．213．奔驰定理：已知点O是△ABC内的一点，若△BOC，△AOC，△AOB的面积分别记为S1，S2，S3，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是△ABC的垂心，且，则cosC＝（）A． B． C． D．14．已知△ABC的三内角A，B，C所对边的长依次为a，b，c，M为该三角形所在平面内的一点，若a+b+c＝，则M是△ABC的（）A．内心 B．重心 C．垂心 D．外心15．如图正六边形ABCDEF中，P是△CDE内（包括边界）的动点，设＝a+β（α、β∈R），则α+β的取值范围是．16．已知点O、N、P在△ABC所在的平面内，且，，则点O、N、P依次是△ABC的、、．17．已知非零向量，且，则△ABC为三角形．18．已知△ABC的外接圆圆心为O，|AB|＝6，|AC|＝8，且（α，β∈R），则取最小值时，cosA的值为．19．如图放置的边长为1的正方形ABCD的顶点A、D分别在x轴、y轴正半轴上（含原点）上滑动，则的最大值是．20．已知△ABC是边长为2的等边三角形，P是平面ABC内一点，则的最小值为．21．心．22．已知点P为△ABC所在平面内一点，满足m＝﹣3+（m＞0），S△PBC＝S△ABC，则m＝．23．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB的角平分线，I为PC上一点，满足，的值24．在直角梯形．ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2AD＝2，E，F分别为BC，CD的中点，以A为圆心，AD为半径的圆交AB于G，点P在上运动（如图）．若，其中λ，μ∈R，则2λ+μ的最大值是．25．点O是平面上一定点，A、B、C是平面上△ABC的三个顶点，∠B、∠C分别是边AC、AB的对角，以下命题正确的是（把你认为正确的序号全部写上）．①动点P满足＝++，则△AB