初中数学《二次函数中的最值问题》3大题型含解析

【人教版】 1 25 48），其中，所有正确结论的个数是()【答案】D【分析】根据题意可得两个函数的对称轴均为直:P(2,0)，两个函数的对称轴均为直线x=2，在△CEP和△BDP中，:△CEP≥△BDP(ASA)，:PB=PC，故正确②;【答案】C:B(1,，点C的横坐标为3，【点睛】本题是二次函数的综合题，涉及二次函数的图像与性质，全等定，对称中的最值问题等知识，解题的关键是灵活运用这些知识.【分析】设M(x1,y1),N(x2,y2)，则x1,x2是联立两个函数解析式所得方程的两个根，求出x1+x2=2，y1+y2=2a+2b，进而可得H(1,a+b)，可得点H在直线x=1上运动，这是典型的“将军饮马”问题，然后设点A关于直线x=1的对称点为C，连接BC交直线x=1于点H，则求出BC即可.设M(x1,y1),N(x2,y2)，∵线段MN中点为H，如图，设点A关于直线x=1的对称点为C，连接BC交直线x=1于点H，则此时AH【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的交点、一元二次方程根与系数的关系、利用轴对称的性质求两线段和的最小值等知识，熟练掌握上述知识、得出点H的运动轨迹是解题的关键.【答案】①②③的另一个交点坐标为(1,0)，即可判断①;进而由函数图象可知，当x>1时，图象位于x轴下方，即可判断对称轴x=―1相交于点P，可得△PCO周长=PC+PO+CO=PC+PO′+CO=CO′+CO，的最小，利用勾股定理求出CO′得到△PCO周长的最小值，即可判断④,掌握以上知识点是解题的关键.422-23九年级上·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，二次函数x2+2x+2的图象与x【答案】2【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，正确作出辅助线确定当D、P、E三点共线时PE+DP最小，即CP+DP最小，最小值为DE是解题的关键．先求出C(0,2)，D(2,4)，如图所示，作点C关于x轴的对称连接EP、DE，则E(0,―2)，然后证明当D、P、E三点共线时PE+DP最小，即CP+DP最小，最小值为DE，利用勾股定理求出DE的长即可得到答案.:C(0,2)；:D(2,4)；如图所示，作点C关于x轴的对称点E，连接EP、DE，则E(0,―2)，∴当D、P、E三点共线时PE+DP最小，即CP+DP最小，最小值为DE，522-23九年级上·天津红桥·期中）如图(2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限.②P是抛物线上的动点，当PA―PB取得最大值时，求点P的坐标.【答案】(1)y=x2―4x(2)B(2,8)；P(―2,12)【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：y=ax2+bx+C，（2）解：如图OA与对称轴交于点C，设B(2,a):y=x，:C(2,2)，“S△OAB=S△OBC+S△ABC=|BC|.xA，“点B在第一象限，:B(2,8)解得：EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(c),d)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(—1),10)，“PA—PB≤AB，:当P,A,B三点共线时，PA—PB最长，:y:P(—2,12)；62024·山东青岛·模拟预测）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(1)求此二次函数的表达式.(2)已知P为抛物线对称轴上一动点，求△APC周长的最小值.(3)已知Q为抛物线上一点，当点Q运动到直线BC下方时，求△BCQ面积的最大值.【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，轴对称解决最短路径问题，三解得：，:对称轴为直线x=1，:点A关于对称轴的对称点为点B，连接CB，则与对称轴的交点即为点P，连接AP，:△APC周长最小值为3V2+√10EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(k),b)∴△BCQ面积的最大值为.723-24九年级上·内蒙古乌兰察布·期中）已知二次函(2)如图，当m=3时，二次函数图象与y轴交于点B，与x轴交于点A，抛物线与x轴的另一个抛物线对称轴上的一个动点，求PB+PC的最小值及此时点P的坐标.【分析】本题考查了二次函数与x轴的交点问题、轴对称的性质—最短路径问题、待定系数法求一次函数的解析式，熟练掌握轴对称的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键.PB+PB=PB+PA，当B、P、A在同一直线上时，PB+PC最小，待定系数法求出直线AB的解析式，令x=1，求出y的值即可.∴B(0，3)，,∴PB+PB=PB+PA，将A(3，0)，B(0，3)代入得：t3k0，∴P(1，2).82023·广东广州·二模）二次函数y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与y轴交于点C，与x轴交于点A(1,0)、B(,0(2)P是二次函数图象在第一象限部分上一点，且∠BCP=2∠ABC，求点P的坐标.(3)在（2）的条件下，有一条长度为1的线段EF落在OA上（E与O重合，F与A重合），将线段EF沿x轴正方向以每秒个单位向右平移，设移动时间为t秒，当四边形CEFP周长最小时，求t的值.（2）作C关于x轴的对称点D，连接BD，过点C作CP∥BD，依题意，点P即为所求，求得直线BD的解析式，（3），连接CE,DE,PF,QF，将点D沿x轴的轴正方向移动1个单位得到点Q，则四边形ADQF是平行四边形，根据题意，CEFP的周长等于DE+EF+PF=DQ+QF+FP≥DQ+PQ，当Q,F,P三点共线时，求得最小值，待定系数法求得直线PQ的解析式，令y=0求得点F的坐标，进而即可求解.“抛物线过点A(1,0)、B,0)，解得： :点P即为所求，:D(0,3)，992解得：:直线PC的解析式为y=x+3，:P(,；（3）如图所示，连接CE,DE,PF,QF，将点D沿x轴的轴正方向移动1个单位得到点Q，则四边形ADQF是平行根据题意，CEFP的周长等于DE+EF+PF=DQ+QF+FP≥DQ+PQ，当Q,F,P三点共线时，CEFP的周长取得最小值，2解得：，:直线PQ的解析式y=x―，16162:F的坐标为16162，【点睛】本题考查了二次函数综合应用，角度问题，轴对称的性质，性质是解题的关键.轴交于点B(2,0).①若直线l：Y=x+n经过点B，且点P关于直线l的对称点Q恰好落在直线AB上，求点P坐标.②设直线PB与二次函数图象另一交点为Q，过二次函数图象顶点作M，使得MP+MQ最小？若存在请直接写出这个最小值；若不存在，请说明理由.(2)①点P的坐标为―1,或(6,―2)；②存在QM+MP的最小值为8V3直线AB的解析式为Y=―2x+4，过点B作BC⊥定直线BC的解析式为Y=―x+2，根据对称性可得直线BD垂直平分PQ，设根据函数图象上点的坐标特征得到―(―2a+6)2+2(―2a+6)+4=a―2，②作点P关于直线m的对称点P′，连接QP交直线m于点M，设抛物线与x轴交于点N、R．则QM+MP＞QP，即可求解.:此二次函数的表达式为x2+2x+4；:D(0,2)，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(=),b):C(0,2)，EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up4(2),b)∵二次函数图象上的点P关于直线l的对称点Q在直线∴直线BD垂直平分PQ，设Q(a,―2a+4)，P(e,f)，y解得：―a+2),22(―a+6―a+2),22a+e =2a+e =2∴―2a+4+f2―2a+4+f22∴ff3232―【点睛】本题是二次函数与一次函数的综合题，考查了待定系数法确定二次函数和一次函数解析式，函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称轴，一次函数与坐标轴的交点坐标，等腰三角称的性质，平行线的性质，中点坐标公式，勾股定理，一元一次方程的应用等知识点定函数解析式及对称的性质是解题的关键.102024·江西·一模）已知关于x的二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直【答案】(1)见解析【分析】本题考查二次函数综合题，轴对称图形的画法，抛物线的性质，熟练掌握抛称轴的作图技巧是解题的关键.（2）求△ABQ的周长最小，AB是固定值，即BQ+AQ最小，即找到B的对称点，连接另一个点和对称点，点Q即是AP与对称轴的交点.【详解】（1）∴在图上找到点B关于对称轴对称的点即是点P；：，的图象交于A，B两点，点A在y轴上，抛物线的对称轴为直线x=2，点C是(3)如图2，P是x轴下方线段AB上一点，过点P分别作x轴的垂线和平行线，垂足为点E，平行线交直线BC于点F．当△PEF面积最大时，在x轴上找一点M，使|BM―PM|的值最大，求出点P的坐标，并直接写出点M的坐标和|BM―PM|的最大值.723―,723―,2:C,(12,6)；:△PEF面积=×PE.PF=“—<0，故ΔPEF面积有最大值，此时m=，【点睛】本题是二次函数的综合题，考查的是待定系数法求二次函数的解析式，熟练及性质，灵活应用直角三角形的勾股定理是解题的关键.和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，经过点A的直线与抛物线交于点D(—1,3)，与y轴交于点E.(2)点M是线段OA上一动点，点N是线段AE上一动点，且AM=EN，求EM+ON的最小值. 3―2 3―2258 对于（2），先作EH∥x轴，截取EH=AE，得∠HEA=∠EAB，再证明△EHN≅△AEM，N、H共线时，EM+ON=HN+ON=OH最小，最后根据解得：（2）解：过点E在第二象限作EH∥x轴，截取EH=AE，则∠HEA=∠EAB，∴HN=EM，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(m),n)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(1),4)勾股定理，当三点共线时取得最小值是解题关键.132025·安徽合肥·三模）已知：直线y=―x+2经过点A(a,b)，抛物线y1=(x―a)(x+b)与x轴交于B，C两点（点B在点C的左侧抛物线y1的顶点为D，抛物线y2=(x―a)(x―b)与交y轴于点E.【答案】(1)B(a―2,0),C(a,0)【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，与一次函数的综合问题，二次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键.可求出点B,C；x2―2x+a(2―a)，那么E(0,2a―a2)，由于直线BD经过点E，则a―2=a(2―a)，即可求解.（2）解：∵B(a―2,0),C(a,0)，∴A(a,2―a)，（3）解：设直线BD为y=mx+n，将B(a―2,0),D(∴E(0,2a―a2):点C(0,2)，【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及—12942,由线段MN与二次函数9494:h的最大值为.2“把M向上平移h=2个单位得到点N，—一—(3)线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值.【分析】此题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数的解析式和二次函数的最值问题，求得解析式是解题关键.（3）根据抛物线的解析式求得B点的坐标，然后根据待定系数法求得直 解得：，C(2，3两点，与y轴交于点NC(2，3（2）作直线x=3，作点D关于直线x=3的对称点D,，得D,坐标为(5，4)，连结ND,交直线x=EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(2),3),得EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(1),1):D(1,4)，:直线NM的函数关系式为x+3，∴PQ有最大值，最大值为.【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了二次函数待定系数法，利用函数关求最值，正确地作出辅助线是解题的关键.12,12,52和B(4,m)，点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C.(3)在（2）的条件下，请用含有n的式子表示PC的长，并确定PC长度的最大值.抛物线的解析式中，通过联立方程组即可求得待定系数的值.（3）可设出P点横坐标，根据直线AB和抛物线的解析式表示出P、C的纵坐标，进而得到关于PC与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出PC的最大值.22294294【点睛】此题主要考查了二次函数解析式的确定、二次函数最值的应用以及直角三角隐含条件.192023九年级·全国·专题练习）如图，在(―1,0)，交y轴于点C.(3)若点D是线段AC上一动点，过点D作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点F，求线段DF长度的最大值.【详解】（1）解：将A(4,0),B(―1,0)代入y=―x2∴,解得EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up4(3),4)，22EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up7(=),m)【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，函的关键.2022-23九年级上·广东广州·期末）如图，(3)若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值. （3）先求出直线CA的表达式，然后过点P作y轴的平行线交CA于点H，根据OA=OC=5，可得PD=PH，设点Px，x2―4x―5)，则点H(x,x―5)，可得PD的长，再过点P作y轴的平行线交CA于点H，设点P(x，x2―4x―5，则点H(x,x―5)， 52―x― 52其中（3），用函数关系表示PD，是本题解题的关键2122-23九年级·全国·单元测试）已知：如图，抛物线Y=ax2+4x+c经过原抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B(m,0)，并与直线OA交于点C.利用方程组即可解决问题.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(C),1)∵D(m,0)，PD⊥x轴，P在y=―x2+4x上，C在OA上，A(3,3)，232232当D,0)时，PC最大值=，故当点P在直线OA上方时，线段PC的最大 【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建一次函数，利用方坐标，属于中考压轴题.222025·山东枣庄·模拟预测）在平面直角坐标系中，值.―― ,,【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键.2S=EF=―m―+，据此求解即可.212122141414 ―,2,），22P作x轴的垂线，垂足为D(m,0)，并与直请说明理由.【答案】(1)y=-x2+4x），【详解】（1）解∶∵二次函数的图像经过点B(4,0)和原∴可设二次函数的解析式为y=ax（x-4），∴二次函数的解析式为y=-x（x-4）=-x2+4x；∵D（m，0PD⊥x轴，P在y=-x2 2 2【点睛】本题主要考查对用待定系数法求二次函数的解析式，等腰三最值等知识点的理解和掌握，用的数学思想是分类讨论思想，此题是一个综合性比较强的题目3）小题有一定的难度.242025·云南玉溪·二模）如图，抛物线y=x2+bx+3与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C.(2)将抛物线的顶点D向上平移2个单位长度得到点E，点M为抛物线的对称轴上一动点，记L=MA2+ME2，求L的最小值.22252024·福建泉州·模拟预测）已知点(2,1)和点(4,4)在抛物线y=ax2+bx上.(2)四边形ABCD的四个顶点均在该抛物线上，AC与BD交于点E(0,n)，直线AB为y=k1x+m(0<m<n)，直线CD为y=k2x+t.【答案】(1)y=x2；(2)①0；.（2）①联立直线和抛物线的解析式得出xxA⋅xB=―4m，利用待定系数法求出直线AC的表达式为y=xA―)x+n，联立后得出x2―xA―C―,)，同理，D―,)，求出xC+xD==4k2，即可得解；②设CD与y轴交于点F，AB与y轴交于点G，求出直线CD的表达式为y=k2x+4，得出F(0,4)，记△ADE的面积为S2，△ABE的面积为S3，λ2+(5―4f)λ+4=0，再运用一元二次方程根的判别式即可求得答案.解得a=所以抛物线的表达式为y=x2；（2）解：①依题意，联立y=x2，得x2―4k1所以xA+xB=4k1，xA设直线AC的表达式为y=px+q，又直线AC过点E(0,n)，1所以直线AC的表达式为y=1xA―)x+n，4EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(―),1)x+n，得x2―xA―x―4n=0，4xB,xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up2(2),B)xB,xEQ\*jc3\*hps10\o\al(\s\up2(2),B) 4k1―4m联立y=x2，得x2―4k2x―4t=0， 4k1―4m所以k1n=k2m，即k1n―k2m=0；②设CD与y轴交于点F，AB与y轴交于点G，所以F(0,4)，所以S=S1+S2+S3+S4=S记f=>1，则f=++，即λ2+(5―4f所以5―4f≤―4或5―4f≥4，解得f≥或f≤(不符合题意，舍去)，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系等，熟练掌握以上知识点并灵活性强，难度较大，属于常考的中考数学压轴题.交y轴于点c.(2)记AB中点为点D，过点D作直线DP交y轴负半轴于点F，交抛物线于点P，Q，点P在Q点右边.②当∠ODF=60°时，若点O与点G关于直线DP对称，求证：DG⊥BF.EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up9(2),3)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(x),3)得：t9EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(a),a)解得：，:D(1,0)，12:当t=时，△MPQ面积的最大，最大值为；12:在△BDF中，设BF边上的高为h，2【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，勾股定理，对称的性质，含30°角的直角三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识.面积的最大值.【分析】本题考查二次函数的图象及性质，二次函数与面积问题.（2）设点(x,y)是C1:y=x2+2x―3上任意一点，则点(x,y)关于②过点M作ME∥y轴交PQ于点E，过点N作NF∥y轴交PQ于点F，先求出直线PQ的解析式为y=2x+1，设4，当n=0时，NF有最大值4，再根据S四边形PMQN=S△CDN+S△CDM=2(ME+NF)，得到当ME+NF最大时，四边形PMQN面积的最大，最后代入计算即可.【详解】（1）解：将点A(―3,0)和点B(1,0)代入y=x2+bx+c得（2）解：由（1）可得抛物线c1:y=x2+2设点(x,y)是c1:y=x2+2x―3上任意一点，则点(x,y)关于原点O成中心对称的点坐标为(―x,―y)，∵抛物线c1与c3相交于P，Q两点（点P在点Q的②过点M作ME∥y轴交PQ于点E，过点N作NF∥y轴交PQ于点F，∴EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(k),b)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up6(2),1)∵S四边形PMQN=S△CDN+S△CDM=×(xQ―xP)×ME+×(xQ―xP)×NF=2(ME+NF)，∴当ME+NF最大时，四边形PMQN面积的最大值为S四边形PMQN=2(ME+NF)=2×(4+4)=16.282025·湖南株洲·三模）如图，抛物线y=―x2+bx+c交x轴于A(―4,0),B两点，交y轴于点C(0,4).(1)求抛物线的函数解析式.(2)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.(3)若点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值，并写出此时点P的坐标.(2)存在，点M的坐标为―,2+)或(―,2―)；(3)四边形AOCP的面积的最大值为16，此时点P的坐标为(―2,6).（2）先求出抛物线的对称轴，进而设点M―,m)，利用坐标两点距离公式，得到AC2=32，AM2=+ （3）先求出S△AOC=OA⋅OC=8，再利用待定系数法求出直线AC的解析式为y=x+4，设D(a,0)，且―4≤a≤0，则P(a,―a2―3a+4)，Q(a,a+4)，可得PQ=―a2―4a，从而得出S△ACP=S△APQ+S△CPQ=―2a2―8a，进而得到S四边形AOCP=S△APC+S△AOC=―2(a+2)2+16，利用二次函数的性质求最值即可.【详解】（1）解：抛物线y=―x2+bx+c交x轴于A(―4,0),B两点，交y轴于点C(0,4)，22“点M在抛物线的对称轴上，“△ACM是以AC为斜边的直角三角形，:AM2+CM2=AC2，:存在点M使得△ACM是以AC为斜边的直角三角形，点M的坐标为—,2+)或(—,2—)；:S△AOC=OA.OC=8，EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(m),n)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up3(n),4)“点D在线段OA上运动，“过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，∴S△ACP=S△APQ+S△CPQ=PQ⋅AD+PQ⋅OD=PQ⋅OA=×4(―a2―4a)=―2a2―8a，∴S四边形AOCP=S△APC+S△AOC=―2a2―8a+8=―2(a+2)2+16，即四边形AOCP的面积的最大值为16，此时点P的坐标为(―2,6).【点睛】本题是二次函数综合题，考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，勾解一元二次方程，二次函数的最值问题等，利用数形结合的思想解决问题是关键.2924-25九年级下·河南驻马店·期中）如图1，一块钢板截面的一边为线段AB，另一线的一部分，D为AB的中点，现沿线段CD将这块钢板分成①②两部分，以AB边所在直线为x轴，经过点(2)如图2，在区域①中截取一个矩形PEFG，其中点P在线段CD上（不含端点C，D），点E在曲线AC上，(3)如图3，在区域②中截取一个四边形CDBQ，其中点Q在曲线BC上（不含端点B，C记四边形C【分析】本题考查用待定系数法求二次函数与一次函数解析式，二次函数的图像与性质，二次函数的最值，矩形的性质，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，二次函数图像性质是解题的关键.（3）连接BC，过点Q作x轴的垂线，交BC于点H．先求得BC求解即可.∴可设曲线ACB所在抛物线的函数表达式为y=ax2+bx+2.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up1(―),3)a=（2）解：由（1）易知C(0,2)，D,0)， （3）解：如图，连接BC，过点Q作x轴的垂线，交BC于点H.∴S=S△BCD+S△BQH+S△CQH=BD·OC+QH·OB，302025·辽宁营口·二模）已知函数y1=ax2+3b，y2=―ax+b，定义新函数y:y=2y1―y2.②过点B作x轴的平行线交函数y2图象于点C，函数f:f=AB+BC，求函数f关于m的解析式（写出自变量m的取值范围）；△ABC的面积是否存在最大值，若存在，请直接写出△ABC面积的最大值，若不存在请说明理由.EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(m),m)EQ\*jc3\*hps15\o\al(\s\up13(2),2)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(m),m)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(8),8)EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up9(≤),3)②先求出点A、B、C的坐标，从而求得AB、BC长，代入f=AB+BC，即可求解；再根据S△ABC=AB.BC，分类讨论求解即可.:y=2y1—y2:B(m,n)，:x=m2+6，)，12122此时，△ABC面积的最大，最大值2222【点睛】本题属二次函数综合题目，主要考查二次函数与一次函数交点，二次函数的图象性质，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键.312025·宁夏银川·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+经过点A(―4,0),C(0,8)，点B的坐标为(6,0)，连接BC.(2)如图，过点C作CD∥x轴，交抛物线于点D，连接AD，判断四边形ABC(3)在（2）的条件下，若P是AD所在直线下方抛物线上的一个动点，求△ADP面积的最大值.【分析】本题考查了二次函数和几何综合，菱形的判定，正确做出辅助线表示键.（3）过点P作y的平行线交直线DA于点M，设P的横坐标为m，求得PM的长，进而表示出△ADP的面积，利用二次函数的性质，即可解答.“B(6,0)， :直线AD的解析式为:当x=7，即P(7,1)时，△ADP的面积最大为9.(1)求二次函数的解析式.间的二次函数图象上的两个动点，PM⊥x轴交直线AC于点M，QN⊥x轴交直线AC于点N，ME⊥y轴于点E，ND⊥y轴于点D，PM=QN，求当P，Q两点不重合时，线段ME+ND的长.(3)在（2）的条件下，连接NE，求△CNE的面积的最大值.【分析】本题主要考查了二次函数综合，求二次函数解析式等等，熟知二次函数的性质是解题的关键.解即可.【详解】（1）解：∵当自变量x=―时，函数y的最大值为，:C(0,2)；::bI=:直线AC解析式为y=x+2；“PM=QN，:当m=—1时，S△CNE有最大值，最大值为.332024·安徽合肥·二模）如图，抛物线y=―x2+bx+c与x轴交于点A(―1,0)，B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D，直线y=kx与抛物线交于点E，F，M是线段EF的中点.(1)求抛物线的解析式.(3)若0<k<2，求四边形MCDB的面积的【分析】本题考查了二次函数的解析式的确定、一次函数解析式的确定、中点坐标公式，三角形面积的计算．解题的关键是求出两个函数图像的交点坐标.（1）利用交点式求抛物线解析式即可.（2）先将―3代入抛物线解析式得出点E坐标，将得出点F坐标，根据点M是线段EF的中点即可求出.（3）用题（2）的方法求出点M的坐标（用含k的式子表示），然后把四边形MCDB分割成几个三角形来求EQ\*jc3\*hps21\o\al(\s\up5(2),3)x2y2x2y2四边形MCDB的面积为：S△OCD+S△OBD―S△OCM―S△OBM212=(k212当k=时，四边形MCDB的面积有最小值，最小值B与点A关于抛物线的对称轴对称，直线AB与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，点E的坐标为(1,1).(2)点P为线段AB上方抛物线上的任意一点，当△PBE的面积最大时，求此时P点坐标，并求出最(3)在（2）的情况下，过点P作AB的垂线交AB于点H，点F在y轴上一点，求PH+HF+FO的最小值.【分析】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图题，数形结合是解决问题的关键.（1）根据题意，令x=1，代入表达式求出y即可得到A(1,3)，再根据点B与点A关于抛物线的对称轴对称，（3）作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°,作HK⊥OG于K交OC于F，如图所示，数形结合得PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，利用等面积法求解即可得到答案.∴抛物线开口向下，有最大值，当m=时，△PEB的面积最大为，此时P32,4（3）解：作直线OG交AB于G，使得∠COG=30°,作HK⊥OG于K交OC于F，如图所示：∵FK=OF∴PH+HF+FO=PH+FH+FK=PH+HK，此时PH+HF+OF的值最小，∴PH+HF+OF的最小值为+.352025·吉林松原·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+2x+c(a≠0)与x轴交于点A,B，与y轴交于点C，连接BC,OA=(1)求抛物线的解析式.(2)若连接CD，则∠BCD=°(3)点E是第一象限内抛物线上的动点，连接BE和CE，求△BCE面积的最大值.(4)点P在抛物线的对称轴上，平面内存在点Q，当的横坐标.【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，矩形的性（2）求出顶点D的坐标，分别求出BC,CD,BD，根据勾股定理逆定理得△BCD是直角三角形，故可得先根据解析式求得C的坐标，进而求得BC的解析式，设E(m,―m22m+3)，作EF∥y轴交BC于点F，则F（3）分情况讨论，BC，BP，BQ为矩形的对角线，设P(2,y),Q(m,n)，根据矩形的性质以及中点坐标公式求如图，作EF∥y轴交BC于点F，32当m=时，S△BCE有最大值为；322∴点Q的横坐标为4；3624-25九年级上·天津·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx―(3)过点Q作QP∥AC交抛物线的第四象限部分于点P，连接PA，PB，记△PAQ与△PBQ的面积分别为SS2，设S=S1+S2，当S最大时，求点P的坐标，并求S的最大值.【答案】(1)y=x2―2x―6(3)S最大值为，此时点P的坐标为）， （3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC．得到S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB―性质即可求解.【详解】（1）解：将A(―2,0)，B(6,∴OO′平分BC，∴OO′垂直平分BC.∴四边形OCO′B是正方形.连接O′A，（3）过点P作PM⊥x轴，交x轴于点M．连接PC.∴S△PAQ=S△PCQ（同底等高），∴S△PAQ+S△PBQ=S△PBC=S梯形PCOM+SRt△PMB―SRt△BOC.综上，S最大值为，此时点P的坐标为3,―.【点睛】此题是二次函数和几何综合题，考查了待定系数法、正方形的判定和性定理等知识，数形结合和准确计算是解题的关键.3724-25九年级下·四川眉山·期中）如图1，已知抛