2025年下学期高二数学章节小测（第三章）

2025年下学期高二数学章节小测（第三章）一、选择题（每题5分，共60分）已知椭圆的两个焦点坐标分别为F₁(-3,0)和F₂(3,0)，且椭圆上一点P到两焦点的距离之和为10，则椭圆的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$B.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$C.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$D.$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{4}=1$的焦距为2，则m的值为（）A.5B.3C.5或3D.8若椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\frac{a}{b}$的值为（）A.2B.$\sqrt{3}$C.$\frac{1}{2}$D.$\frac{\sqrt{3}}{3}$已知椭圆的焦点在y轴上，焦距为4，且经过点(0,5)，则椭圆的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{21}=1$B.$\frac{x^2}{21}+\frac{y^2}{25}=1$C.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{4}=1$D.$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{25}=1$椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上一点P到左焦点F₁的距离为3，则点P到右焦点F₂的距离为（）A.1B.3C.5D.7若方程$\frac{x^2}{k+2}+\frac{y^2}{5}=1$表示椭圆，则k的取值范围是（）A.k>-2且k≠3B.k>3C.k<-2D.-2<k<3椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的焦点坐标为（）A.(±3,0)B.(0,±3)C.(±5,0)D.(0,±5)已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，离心率为$\frac{3}{5}$，则椭圆的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{64}=1$B.$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$C.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$D.$\frac{x^2}{64}+\frac{y^2}{100}=1$椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的两焦点为F₁、F₂，以F₁F₂为直径的圆与椭圆交于四个点，则这四个点与F₁、F₂构成的六边形的面积为（）A.2abB.abC.$\sqrt{2}$abD.$\frac{1}{2}$ab若椭圆$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$（m>0，n>0，m≠n）的离心率为$\frac{1}{2}$，则$\frac{m}{n}$的值为（）A.$\frac{4}{3}$或$\frac{3}{4}$B.$\frac{3}{4}$C.$\frac{4}{3}$D.$\frac{1}{4}$或4已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，则△F₁PF₂的面积为（）A.$\frac{\sqrt{3}}{3}b^2$B.$\sqrt{3}b^2$C.$\frac{\sqrt{3}}{4}b^2$D.$\frac{1}{2}b^2$点M(x,y)在椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$上，则x+y的最大值为（）A.5B.$\sqrt{7}$C.$\sqrt{25}$D.$\sqrt{16+9}$二、填空题（每题5分，共30分）椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$的长轴长为______，短轴长为______，离心率为______。若椭圆的焦点在y轴上，且a=5，c=3，则椭圆的标准方程为______。已知椭圆经过点(2,0)和(0,1)，则椭圆的标准方程为______。椭圆$\frac{x^2}{100}+\frac{y^2}{36}=1$上一点P到左焦点的距离为12，则点P到右准线的距离为______。若椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且经过点(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)和(2,0)，则椭圆的标准方程为______。设F₁、F₂是椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$的两个焦点，点P在椭圆上，若△F₁PF₂是直角三角形，则点P的坐标为______。三、解答题（共60分）（10分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为$\frac{1}{2}$，且经过点(2,$\sqrt{3}$)，求椭圆的标准方程。（12分）已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁(-c,0)、F₂(c,0)，点P在椭圆上，且PF₁⊥PF₂，|PF₁|=m，|PF₂|=n，求证：$2b^2=mn$。（12分）在圆x²+y²=4上任意取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足。当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。（13分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，且经过点M(2,1)，直线l：y=x+m交椭圆于A、B两点。（1）求椭圆的标准方程；（2）求m的取值范围；（3）若直线l不过点M，求证：直线MA、MB的斜率之和为定值。（13分）已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)。（1）求椭圆C的标准方程；（2）设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，求△AOB面积的最大值。四、附加题（20分）已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a>b>0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为e，直线l：y=ex+a与x轴、y轴分别交于点A、B，M是直线l与椭圆C的一个公共点，设$\overrightarrow{AM}=\lambda\overrightarrow{AB}$。（1）证明：λ=1-e²；（2）若$\lambda=\frac{3}{4}$，且椭圆C的焦距为2，求椭圆C的方程。参考答案及解析一、选择题A解析：由题意知，2a=10，c=3，所以a=5，b²=a²-c²=25-9=16，又焦点在x轴上，故椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。C解析：当焦点在x轴上时，c²=k+2-5=k-3=1，解得k=4；当焦点在y轴上时，c²=5-(k+2)=3-k=1，解得k=2。但原方程表示椭圆需满足k+2>0且k+2≠5，即k>-2且k≠3，所以k=4或2，选项中无2，可能题目存在疏漏，此处按选项C处理（注：原选项可能应为k=4或2，此处按题目所给选项选C）。A解析：离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，则c=$\frac{\sqrt{3}}{2}a$，又b²=a²-c²=a²-$\frac{3}{4}a²=\frac{1}{4}a²$，所以b=$\frac{1}{2}a$，即$\frac{a}{b}=2$。B解析：焦点在y轴上，焦距2c=4，所以c=2，又椭圆经过点(0,5)，所以a=5，b²=a²-c²=25-4=21，故椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{21}+\frac{y^2}{25}=1$。C解析：由椭圆定义知，|PF₁|+|PF₂|=2a=10，所以|PF₂|=10-3=7？（注：原椭圆$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$中，a=4，2a=8，所以|PF₂|=8-3=5，此处修正为C）。A解析：方程表示椭圆需满足k+2>0且k+2≠5，即k>-2且k≠3。A解析：a²=25，b²=16，c²=a²-b²=9，所以c=3，焦点坐标为(±3,0)。B解析：长轴长2a=10，所以a=5，离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{3}{5}$，所以c=3，b²=a²-c²=25-9=16，故椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$。A解析：以F₁F₂为直径的圆的方程为x²+y²=c²，与椭圆方程联立可得四个交点，每个交点到两焦点的距离之和为2a，根据对称性，四个点构成的菱形面积为2ab，六边形面积为2ab（注：此处简化处理，实际计算需考虑具体坐标）。A解析：当焦点在x轴上时，e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，c=$\frac{1}{2}a$，b²=a²-c²=$\frac{3}{4}a²$，即n=$\frac{3}{4}m$，$\frac{m}{n}=\frac{4}{3}$；当焦点在y轴上时，同理可得$\frac{m}{n}=\frac{3}{4}$。A解析：由椭圆定义知，|PF₁|+|PF₂|=2a，设|PF₁|=m，|PF₂|=n，则m+n=2a，在△F₁PF₂中，由余弦定理得m²+n²-2mncos60°=(2c)²，即(m+n)²-3mn=4c²，4a²-3mn=4c²，又b²=a²-c²，所以mn=$\frac{4b²}{3}$，面积S=$\frac{1}{2}mnsin60°=\frac{\sqrt{3}}{3}b²$。A解析：设x=4cosθ，y=3sinθ，则x+y=4cosθ+3sinθ=5sin(θ+φ)，最大值为5。二、填空题13.10；6；$\frac{3}{5}$解析：a=5，b=3，c=4，长轴长2a=10，短轴长2b=6，离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$（注：原椭圆$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$中，c²=25-9=16，c=4，离心率应为$\frac{4}{5}$，此处修正）。14.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$解析：b²=a²-c²=25-9=16，焦点在y轴上，方程为$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$。15.$\frac{x^2}{4}+y²=1$解析：椭圆经过点(2,0)和(0,1)，所以a=2，b=1，焦点在x轴上。16.10解析：椭圆离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$，点P到右焦点的距离为2a-12=8，到右准线的距离为$\frac{8}{e}=10$。17.$\frac{x^2}{4}+y²=1$解析：设椭圆方程为$\frac{x^2}{a²}+\frac{y²}{b²}=1$，代入点(2,0)得a=2，代入点(1,$\frac{\sqrt{3}}{2}$)得$\frac{1}{4}+\frac{3}{4b²}=1$，解得b²=1。18.(±3,±$\frac{16}{5}$)、(±5,0)解析：当∠F₁PF₂=90°时，点P在以F₁F₂为直径的圆上，联立椭圆方程可得x=±3，y=±$\frac{16}{5}$；当∠PF₁F₂或∠PF₂F₁=90°时，点P为(±5,0)。三、解答题19.解：设椭圆方程为$\frac{x^2}{a²}+\frac{y²}{b²}=1$（a>b>0），离心率e=$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，所以c=$\frac{1}{2}a$，b²=a²-c²=$\frac{3}{4}a²$。椭圆经过点(2,$\sqrt{3}$)，代入方程得$\frac{4}{a²}+\frac{3}{\frac{3}{4}a²}=1$，解得a²=8，b²=6，椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y²}{6}=1$。证明：由椭圆定义知m+n=2a，在Rt△F₁PF₂中，m²+n²=(2c)²，又(m+n)²=m²+n²+2mn，即4a²=4c²+2mn，所以2mn=4(a²-c²)=4b²，即mn=2b²。解：设M(x,y)，P(x₀,y₀)，则D(x₀,0)，因为M是PD的中点，所以x₀=x，y₀=2y，又P在圆x²+y²=4上，所以x₀²+y₀²=4，即x²+(2y)²=4，化简得$\frac{x²}{4}+y²=1$，轨迹是椭圆。解：（1）设椭圆方程为$\frac{x^2}{4b²}+\frac{y²}{b²}=1$，代入点M(2,1)得$\frac{4}{4b²}+\frac{1}{b²}=1$，解得b²=2，椭圆方程为$\frac{x^2}{8}+\frac{y²}{2}=1$。（2）联立直线与椭圆方程得5x²+8mx+4m²-8=0，Δ=64m²-20(4m²-8)=160-16m²>0，解得-$\sqrt{10}$<m<$\sqrt{10}$。（3）设A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂)，kₘₐ+kₘᵦ=$\frac{y₁-1}{x₁-2}+\frac{y₂-1}{x₂-2}$，将y₁=x₁+m，y₂=x₂+m代入，化简得$\frac{2x₁x₂+(m-3)(x₁+x₂)-4(m-1)}{(x₁-2)(x₂-2)}$，由韦达定理x₁+x₂=-$\frac{8m}{5}$，x₁x₂=$\frac{4m²-8}{5}$，代入得分子为0，所以kₘₐ+kₘᵦ=0，为定值。解：（1）离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以a²=2b²，椭圆方程为$\frac{x²}{2b²}+\frac{y²}{b²}=1$，代入点(1,$\frac{\sqrt{2}}{2}$)得$\frac{1}{2b²}+\frac{1}{2b²}=1$，解得b²=1，a²=2，椭圆方程为$\frac{x²}{2}+y²=1$。（2）设直线l：y=kx+m，由原点到直线距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+k²}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，得m²=$\frac{3}{4}(1+k²)$。联立椭圆方程得(1+2k²)x²+4kmx+2m²-2=0，|AB|=$\sqrt{1+k²}\cdot\frac{\sqrt{8(2k²