2025年下学期高二数学综合与实践试题

2025年下学期高二数学综合与实践试题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）已知向量$\vec{a}=(2,3)$，$\vec{b}=(m,4)$，若$\vec{a}\perp(\vec{a}-\vec{b})$，则实数$m$的值为（）A.1B.2C.3D.4某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（）A.$12\pi$B.$16\pi$C.$20\pi$D.$24\pi$已知椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$(2,1)$，则该椭圆的标准方程为（）A.$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$B.$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$C.$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{3}=1$D.$\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}=1$已知函数$f(x)=\sin\left(2x+\frac{\pi}{3}\right)$，则下列说法正确的是（）A.函数$f(x)$的最小正周期为$\pi$B.函数$f(x)$的图像关于直线$x=\frac{\pi}{12}$对称C.函数$f(x)$在区间$\left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\right]$上单调递增D.函数$f(x)$的图像可由$y=\sin2x$的图像向左平移$\frac{\pi}{6}$个单位得到已知等比数列${a_n}$的前$n$项和为$S_n$，若$S_3=7$，$S_6=63$，则公比$q$的值为（）A.2B.-2C.3D.-3某学校为了解学生的数学学习情况，随机抽取了100名学生进行数学成绩调查，得到如下频率分布直方图：则这100名学生数学成绩的中位数约为（）A.72B.73C.74D.75已知直线$l$：$y=kx+1$与圆$C$：$x^2+y^2-2x-3=0$相交于$A$，$B$两点，若$|AB|=2\sqrt{3}$，则实数$k$的值为（）A.$\pm\frac{\sqrt{3}}{3}$B.$\pm1$C.$\pm\sqrt{3}$D.$\pm2$已知函数$f(x)=\begin{cases}x^2-2x,x\leq0\\lnx,x>0\end{cases}$，则函数$y=f(x)-k$有两个零点时，实数$k$的取值范围是（）A.$(-1,0]$B.$(-1,0)$C.$[-1,0]$D.$[-1,0)$在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的表面积为（）A.$13\pi$B.$16\pi$C.$20\pi$D.$25\pi$已知双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0)$的一条渐近线方程为$y=2x$，且过点$(3,4\sqrt{2})$，则该双曲线的离心率为（）A.$\sqrt{5}$B.2C.$\sqrt{3}$D.$\sqrt{2}$已知函数$f(x)=x^3-3x^2+ax+b$在$x=-1$处取得极值，且在区间$[0,2]$上的最大值为5，则实数$b$的值为（）A.1B.2C.3D.4甲、乙两人进行射击比赛，约定每中一发记20分，脱靶一发扣12分，两人各打10发，共得208分，其中甲比乙多得64分，则甲中（）发A.6B.7C.8D.9二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）已知向量$\vec{a}=(1,2)$，$\vec{b}=(3,1)$，则向量$\vec{a}$在向量$\vec{b}$方向上的投影为________。已知函数$f(x)=\sinx+\cosx$，则$f\left(\frac{\pi}{12}\right)=$________。某公司有5名员工参加技能考核，考核成绩分别为85，92，88，90，95，则这5名员工考核成绩的方差为________。已知抛物线$y^2=4x$的焦点为$F$，准线为$l$，过点$F$的直线与抛物线交于$A$，$B$两点，过点$A$作准线$l$的垂线，垂足为$C$，则$\triangleABC$面积的最小值为________。三、解答题（本大题共6小题，共70分）（本小题满分10分）已知数列${a_n}$是等差数列，且$a_1=2$，$a_2+a_3=13$。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）设$b_n=a_n\cdot2^n$，求数列${b_n}$的前$n$项和$S_n$。（本小题满分12分）在$\triangleABC$中，角$A$，$B$，$C$所对的边分别为$a$，$b$，$c$，且满足$b\cosC=(2a-c)\cosB$。（1）求角$B$的大小；（2）若$b=2\sqrt{3}$，$a+c=4$，求$\triangleABC$的面积。（本小题满分12分）如图，在四棱锥$P-ABCD$中，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$平面$ABCD$，$PA=AD=2$，$AB=1$，$E$是$PD$的中点。（1）求证：$AE\perp$平面$PCD$；（2）求平面$PCE$与平面$ABCD$所成锐二面角的余弦值。（本小题满分12分）已知椭圆$C$：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的左、右焦点分别为$F_1$，$F_2$，离心率为$\frac{\sqrt{2}}{2}$，且过点$(1,\frac{\sqrt{2}}{2})$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）过点$F_2$的直线$l$与椭圆$C$交于$A$，$B$两点，求$\triangleAF_1B$面积的最大值。（本小题满分12分）已知函数$f(x)=x\lnx-ax^2+x(a\inR)$。（1）当$a=1$时，求函数$f(x)$的单调区间；（2）若函数$f(x)$在区间$(0,+\infty)$上单调递减，求实数$a$的取值范围。（本小题满分12分）某工厂生产一种产品，每件产品的成本为40元，销售单价为60元，该厂为了扩大销售，决定在原来的基础上降价销售，经市场调查发现，这种产品销售单价每降低1元，月销售量就增加10件。（1）设该产品销售单价降低$x$元，月销售利润为$y$元，求$y$与$x$之间的函数关系式；（2）当销售单价降低多少元时，月销售利润最大？最大月销售利润是多少？（3）为了使月销售利润不低于20000元，且尽可能地减少库存，该产品销售单价应在什么范围内？四、实践应用题（本大题共2小题，共30分）（本小题满分15分）某学校为了丰富学生的课余生活，决定在校园内修建一个如图所示的矩形休闲广场，广场的长为$x$米，宽为$y$米，其中矩形广场的中间修建一个半径为$r$米的圆形花坛，四周修建宽度为1米的人行道。已知矩形广场的面积为400平方米。（1）试用$x$表示$y$和$r$；（2）若修建圆形花坛的成本为每平方米200元，修建人行道的成本为每平方米100元，其他区域的成本为每平方米50元，求修建这个休闲广场的总费用$C$关于$x$的函数关系式；（3）当$x$为何值时，修建这个休闲广场的总费用最低？最低总费用是多少？（本小题满分15分）某城市为了缓解交通拥堵，决定在市中心区域修建一条地下隧道，隧道的截面为如图所示的抛物线形，其底部宽度为8米，高度为6米。（1）建立适当的平面直角坐标系，求该抛物线的标准方程；（2）若该隧道内的车辆限高为4米，求车辆通过隧道时的最大宽度；（3）为了保证隧道的通风效果，需要在隧道顶部安装通风管道，通风管道的截面为矩形，其一边在隧道顶部，另一边在抛物线上，求通风管道截面面积的最大值。五、开放探究题（本大题共1小题，共20分）（本小题满分20分）在数学史上，斐波那契数列是一个非常著名的数列，它的定义如下：$F_1=1$，$F_2=1$，$F_n=F_{n-1}+F_{n-2}(n\geq3)$。（1）写出斐波那契数列的前10项；（2）证明：斐波那契数列满足性质$F_1^2+F_2^2+\cdots+F_n^2=F_nF_{n+1}$；（3）在现实生活中，斐波那契数列有着广泛的应用，请你举出一个斐波那契数列在实际生活中应用的例子，并进行简要说明。（4）请你设计一个与斐波那契数列相关的数学问题，并给出解答过程。六、数据分析题（本大题共1小题，共20分）（本小题满分20分）某学校为了了解学生的体育锻炼情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到如下数据：每周锻炼时间（小时）0-22-44-66-88-1010以上人数10203025105（1）根据以上数据，绘制该样本的频率分布直方图；（2）计算这100名学生每周锻炼时间的平均数和方差；（3）若该校共有学生2000人，试估计该校每周锻炼时间不少于6小时的学生人数；（4）从每周锻炼时间在8-10小时的学生中随机抽取2人，求这2人每周锻炼时间都在9小时以上的概率（注：假设每周锻炼时间在8-10小时的学生中，有5人每周锻炼时间在9小时以上）。七、数学建模题（本大题共1小题，共30分）（本小题满分30分）某农场要建造一个矩形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25米），另三边用木栏围成，木栏的总长度为40米。（1）设鸡场的长为$x$米，宽为$y$米，试建立$x$与$y$之间的关系式；（2）求鸡场面积$S$关于$x$的函数关系式，并求出该函数的定义域；（3）当鸡场的长和宽分别为多少时，鸡场的面积最大？最大面积是多少？（4）若该农场要在鸡场内修建一个矩形的饲料储存区，饲料储存区的一边与鸡场的墙平行，另三边用竹篱笆围成，竹篱笆的总长度为16米，求此时鸡场的最大面积。（5）为了提高鸡的产蛋率，该农场决定在鸡场内种植一些蔬菜，经市场调查发现，每平方米蔬菜的年收益为50元，每平方米鸡场的年收益为100元