典型相关分析的基本思想 Canonical Correlation Analysis

典型相关分析的基本思想CanonicalCorrelationAnalysis

CCA典型相关分析

(canonicalcorrelationanalysis)利用综合变量对之间的相关关系来反映两组指

标之间的整体相关性的多元统计分析方法。它的基本原理是：为了从总体上把握

两组指标之间的相关关系，分别在两组变量中提取有代表性的两个综合变量U1

和V1(分别为两个变量组中各变量的线性组合)，利用这两个综合变量之间的

相关关系来反映两组指标之间的整体相关性。

CanonicalCorrelationAnalysis典范相关分析/CanonicalCorrespondence

Analysis典范对应分析

简单相关系数描述两组变量的相关关系的缺点:只是孤立考虑单个X与单个Y间

的相关，没有考虑X、Y变量组内部各变量间的相关。两组间有许多简单相关系

数，使问题显得复杂，难以从整体描述。典型相关是简单相关、多重相关的推广。

典型相关是研究两组变量之间相关性的一种统计分析方法。也是一种降维技术。

1936年，Hotelling提出典型相关分析。考虑两组变量的线性组合，并研究它们

之间的相关系数p(u,v).在所有的线性组合中，找一对相关系数最大的线性组合，

用这个组合的单相关系数来表示两组变量的相关性，叫做两组变量的典型相关

系数，而这两个线性组合叫做一对典型变量。在两组多变量的情形下，需要用若

干对典型变量才能完全反映出它们之间的相关性C下一步，再在两组变量的与

u1,v1不相关的线性组合中，找一对相关系数最大的线性组合，它就是第二对典

型变量，而且P（u2,v2）就是第二个典型相关系数。这样下去，可以得到若干对典

型变量，从而提取出两组变量间的全部信息。

典型相关分析的实质就是在两组随机变量中选取若干个有代表性的综合指标（变

量的线性组合），用这些指标的相关关系来表示原来的两组变量的相关关系。这

在两组变量的相关性分析中，可以起到合理的简化变量的作用；当典型相关系数

足够大时，可以像回归分析那样，由一组变量的数值预测另一组变量的线性组合

的数值。

典型关联分析（CanonicalCorrelationAnalysis）

[pdf版本]典型相关分析.pdf

1.问题

在线性回归中，我们使用直线来拟合样本点，寻找n维特征向量X和输出结果

（或者叫做label）丫之间的线性关系。其中----，,2。然而当丫也是多维

时，或者说Y也有多个特征时，我们希望分析出X和Y的关系。

当然我们仍然可以使用回归的方法来分析，做法如下：

假设盘萨，¥任胪，那么可以建立等式Y=AX如下

%

.*

Wi

其中加=W”，形式和线性回归一样，需要训练m次得到m个％。

这样做的一个缺点是，Y中的每个特征都与X的所有特征关联，Y中的特征之间

没有什么联系。

我们想换一种思路来看这个问题，如果将X和丫都看成整体，考察这两个整体

之间的关系。我们将整体表示成X和丫各自特征间的线性组合，也就是考察

和之间的关系。

这样的应用其实很多，举个简单的例子。我们想考察一个人解题能力X（解题速

度E,解题正确率）为与他/她的阅读能力Y（阅读速度二！，理解程度）立之间

的关系，那么形式化为：

u=a工+a2xa和v=及+与力

然后使用Pearson相关系数

•EA”_印1便•*)1

心6

来度量u和v的美系，我们期望寻求一组最优的解a和b,使得Corr（u,v）最大，

这样得到的a和b就是使得u和v就有最大关联的权重。

到这里，基本上介绍了典型相关分析的目的。

2.CCA表示与求解

给定两组向量$和内(替换之前的X为暇，y为。)，匕维度为外，必维度为内，

默认酎4%。形式化表示如下：

x=E)巾1=高”=配闾

£是X的协方差矩阵；左上角是-自己的协方差矩阵；右上角是械依V%。；左下

角是QK卬金，也是工始的转置；右下角是胃的协方差矩阵。

与之前一样，我们从Q和火，的整体入手，定义

UI-KJ.、*节区：

我们可以算出u和v的方差和协方差：

Mar(u/・11aVtr(v)=从工22bCov(uv)-

上面的结果其实很好算，推导一下第一个吧；

JV比

VirOO=0rxi-0TBJ'=尸/心说一2%=0工遇

最后，我们需要算Corr(u,v)了

c/、“‘工12b

Corr(uFv)..,

我们期望Corr(u,v)越大越好，关于Pearson相关系数，《数据挖掘导论》给出

了一个很好的图来说明：

Scatterplots

showingthe

similarityfrom

-1to1.

KumarmtrodoctiontoDatsMimno4/18/200463

横轴是u,纵轴是V,这里我们期望通过调整a和b使得u和V的关系越像最后

一个图越好。其实第一个图和最后一个图有联系的，我们可以调整a和b的符

号，使得从第一个图变为最后一个。

接下来我们求解a和b。

回想在LDA中，也得到了类似Corr(u,v)的公式,我们在求解时固定了分母，来

求分子(避免a和b同时扩大n倍仍然符号解条件的情况出现)。这里我们同

样这么做。

这个优化问题的条件是：

Maximizea%.

Subjectto:1

求解方法是构造Lagrangian等式，这里我简单推导如下:

f=*QF工修5—：（a开工_1）—日加沏一以）

求导，得

az

9£

万.X一无他

令导数为0后，得到方程组：

工"b一人工口。=o

工n”一二夏一卜二C

第一个等式左乘一，第尸二个左乘？，再根据-----,得到

外=讶:=，际当立方

也就是说求出的即是,Corr（u,v）,只需找最大，即可。

让我们把上面的方程组进一步简化，并写成矩阵形式，得到

工="

以X-社

写成矩阵形式

恃£4加3■啕

令

那么上式可以写作：

显然，又回到了求特征值的老路上了，只要求得肥胃的最大特征值入一，那么

Corr(u,v)和a和b都可以求出。

在上面的推导过程中，我们假设了-和乙，均可逆。一般情况下都是可逆的，只

有存在特征间线性相关时会出现不可逆的情况，在本文最后会提到不可逆的处理

办法。

再次审视一下，如果直接去计算才的特征值，复杂度有点高。我们将第二个

式子代入第一个，得

工if%.受金工：取。=心＜1

这样先对£隔1曼松*求特征值/和特征向量。，然后根据第二个式子求得几

待会举个例子说明求解过程。

假设按照上述过程，得到了最大时的和;心。那么q和嘛为典型变量

(canonicalvariates),即是u和v的相关系数。

最后，我们得到u和v的等式为：

U：二砥:X,1r伊二珞七

我们也可以接着去寻找第二组典型变量对，其最优化条件是

Maximize或私、声

g.Tr•-*krv&1

Subjectto:“好1分2—//心也4-

n◎.,b。工■---▼%・•™•1

ffi

其实第二组约束条件就是

计算步骤同第一组计算方法，只不过是取二•匕儿必，”的第二人特征值。

得到的和5其实也满足

片工匕瓦=。♦乂=0即F、、"O.Covgth)=0

总结一下，i和j分别表示和丁得到结果

Corr(uf/vf)=勺叫=Q

Corr(v^v^)■0Con^UpVy)―0((

3.CCA计算例子

我们回到之前的评价一个人解题和其阅读能力的关系的例子。假设我们通过对样

本计算协方差矩阵得到如下结果：

1.4.5.6

工・・41.3.4

.5.31.2

.4.21

%七九七:3:…昌才

然后求£不?25m,得

…总工密T裁嚏］

这里的A和前面的1质，=W中的A不是一回事（这里符号有点乱，不好意思）。

然后对A求特征值和特征向量，得到

腐=4W履..0009盥嚏

然后求b,之前我们说的方法是根据工=工道=动求b,这里，我们也可以采用

类似求a的方法来求b。

回想之前的等式

工二=船

我们将上面的式子代入下面的，得

.7%工充％b-Mb

然后直接对求特征向量即可，注意2ML■工五「和七V匕Q及'的特

征值相同，这个可以自己证明下。

不管使用哪种方法，

^4]

这里我们得到a和b的两组向量，到这还没完，我们需要让它们满足之前的约

束条件

工找4・1

这里的应该是我们之前得到的VecA中的列向量的m倍，我们只需要求得m,

然后将VecA中的列向量乘以m即可。

m21TRa<=1

这里的是VecA的列向量。

1.230V-

A=VecA0.636协B='"B0.804)

因此最后的a和b为：

.856-.677.545-.863

andB=

.2781.055.737.706

第一组典型变量为

L-.85公二+%-545种一:朝现电

相关系数

CorTf%.%）.R=v-5457=.74

第二组典型变量为

Un三一.677“+1,0552,%旃4树石力

相关系数

Conf七，『“■促.V.OwO?■.03

这里的（解题速度），办公（解题正确率），工,（阅读速度），&（阅读理解程

度）。他们前面的系数意思不是特征对单个u或v的贡献比重，而是从u和v

整体关系看，当两者关系最密切时，特征计算时的权重。

4.KernelCanonicalCorrelationAnalysis(KCCA)

通常当我们发现特征的线性组合效果不够好或者两组集合关系是非线性的时候，

我们会尝试核函数方法，这里我们继续介绍KerrelCCAO

在《支持向量机-核函数》那一篇中，大致介绍了一下核函数，这里再简单提一

下：

当我们对两个向量作内积的时候

版物=、工/先

我们可以使用/⑸来替代r和・，，比如原来的,特征向量为（八".".），，那

么

我们可以定义

工心

W3

。（工）=32-

上213

"】

2•30

33

如果当与e“、的构造一样，那么

K・

《W6O（y»=乙乙四瑛。必）一乙乙2（”5）

Tift（■1

(«Ty)2=Ar(x,y>

这样，仅通过计算x和y的内积的平方就可以达到在高维空间（这里为）中

计算和改汜内积的效果。

由核函数，我们可以得到核矩阵K,其中

凡-Kdy-J

即第’•行第列的元素是.第』个和第个样例在核函数下的内积。

一个很好的核函数定义：

0：X=（Xl,...xn）一0（x）=3i（x）,…，0N（x））（n<N）

其中样例X有n个特征，经过♦（木）变换后，从n维特征上升到了N维特征，其

中每一个特征是

回到CCA,我们在使用核函数之前

这里假设x和y都是n维的，引入核函数后，和％变为了N维。

使用核函数后，u和v的公式为：

U:・1涕密式X）

削.万彳山）

这里的c和d都是N维向量。

现在我们有样本取卜火)％,这里的%表示样本x的第i个样例，是n维向量。

根据前面说过的相关系数，构造拉格朗日公式如下：

.

-^E[(r-E[v])2j.(7)

■

其中

E[uv]-220T/区)"3GJ

然后让L对a求导，令导数等于0,得到(这一步我没有验证，待会从宏观上解

释一下)

c=4%%㈤

t

同样对b求导，令导数等于0,得到

d=&仇）

求出c和d干嘛呢？c和d只是©的系数而已，按照原始的CCA做法去做就行

了呗，为了再引入和八？

回答这个问题要从核函数的意义上来说明。核函数初衷是希望在式子中有

6；沁;然后用K替换之，根本没有打算去计算出实际的。---＞因此即是按照

原始CCA的方式计算出了c和d,也是没用的，因为根本有没有实际的©让我

们去做岁徽硼。另一个原因是核函数比如高斯径向基核函数可以上升到无限维，

N是无穷的，因此c和d也是无穷维的，根本没办法直接计算出来。我们的思路

是在原始的空间中构造出权重和叩，然后利用。将和洋上升到高维，他们在高

维对应的权重就是c和d。

虽然，和是"在原始空间中(维度为样例个数M),但其作用点不是在原始特征

上，而是原始样例上。看上面得出的c和d的公式就知道。通过控制每个高维

样例的权重，来控制Co

好了，接下来我们看看使用和”后，u和v的变化

u=仁叭乙"。人

t

y==2即ty))

也3表示可以将第i个样例上升到的N维向量，曲仁意义可以类比原始CCA

的X。

鉴于这样表示接下来会越来越复杂，改用矩阵形式表示。

闻:

rf

^0ii-

i■

.

简

为

写

其中X(MxN)为

我们发现

履产"r

我们可以算出u和v的方差和协方差（这里实际上事先对样本和了做了均值归0

处理)：

%r(u)==cTXTXc==aTK.K^a

Var(吟■仪K7KM

TrTTrr

Ccv(uv)-(y))d-cXYd-aIXYYfi■0xMKJ

这里以外和♦&维度可以不一样。

最后，我们得到Corr(j,v)

Corr(u,v)=

可以看到，在将小和叼处埋成无＜】=',诋后，得到的结果和之前形式基

本一样，只是将一替换成了两个K乘积。

因此，得到的结果也是一样的，之前是

其中

“片W*-H

引入核函数后，得到

R~[Aw-Aw

其中

"%"%力'A=[金团

注意这里的两个W有点区别，前面的维度。和X的特征数相同，,维度和y的特

征数相同。后面的维二度和x的样例数相同「维度和v的样例数相同，严格来

说““维度二月维度”。

5.其他话题

1、当协方差矩阵不可逆时，怎么办？

要进行regularization0

一种方法是将前面的KCCA中的拉格朗日等式加上二次正则化项，即：

这样求导后得到的等式中，等式右边的矩阵一定是正定矩阵。

第二种方法是在Pearson系数的分母上加入正则化项，同样结果也一定可逆。

P=】】】―/

l|w-2)•(夕人'33+h|、小俨))

f

aKTKy/3

2、求Kernel矩阵效率不高怎么办？

使用Choleskydecomposition压缩法或者部分Gram-Schmi出正交化法，。

3、怎么使用CCA用来做预测？

其实很少有资料提到怎么使用CCA做预测，目前我看到的方法是Berkeley的博I：论文

《PredictingandOptimizingSystemUtilizationandPerformanceviaStatisticalMachineLearning》

中提到的使用KCCA做预测的方法。不过里面只用简略的语言做J'描述，没有具体的过程。

这里我以自己的理解给出一些方法吧.

对于普通的CCA：

先找出X和Y的典型相关系数a和b,新来一个样例孙好.算一下=。,叫抽，这

时候得到的〃ngw是实数。然后看原始样本X中有哪些x投影到a上的u》如gw相近，然后

提取临近的n个原始样本｛xi，上.•，/J，再找出这些x对应的原始样本中的仇,及…，切J。

最后使用根据邻近度加权平均或者直接求均值方法得到Mow（如（加+为+.・，%）"）。这个

方法在样本较大的情况下，应该比较有效。

如果不止取J'一组相关系数，如例子中那样取「两组，那么如.就是一个向量广，同

样可以使用KNN方法来得到临近的X进而得到临近的y,不过在计算邻近度的时候可以对

Www的不同分量设置不同的权重，华竟第二组相关系数的相关度要比第一组小。

对于KCCA：

A

C里A后样如

C°（

K这）影始

过W投原w

4“

经如x的y

些

到应到

叫孙（哪

看%’人对得

=有x

以是些法的

w中合

可o就X这方

，n也值集

“本出。？

图下，均两

＞）样找效系两

下一始求

f*再有关得

o为算，接f

孙原｝较的使d

s间，（看直p

n空v孙比集是.

n外后,者6

oin的m,该本法3

so4）然…或6.

i后阳应样方

nt例（。均9

eal影本，个00

样心的平多nE

mier投个〈下oiL

drN样量t/

o过一是*权况al6

ocM加情衡e3

t经来维始r6t

nm新一即度的么oat

o原怎Cs

tu八。每量近大l/

c？ag

emi和性，向个邻较cni

jx数本…ik

oax关的n据Znc

r为系的样oo

Pm相M根、nch

别*关近在丫a2r

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分相法、献~/

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本是个取方Xht文d

较后？fe

样卬多提个o考.

有心最办u

始具是后这n参m

心卜。么oia

原Y，以之）怎t以t.

可，如九a可t

，和同,/合zilat

X也近）acs

图不,…集r.

的的l相2%e小w

心*V,.个n

面后皈，i.e最w

y+多Gw

上射M孙（2有和〃:

与y为献p

看映是与的果之t

,+称差文h

」

包

。u

gedssegedswopaQd以中如考

Meu%个离参

后的可的本（、.、

4这距61

2、Canonicalcorrelationanalysis:Anoverviewwithapplicationtolearning

methods.DavidR.Hardoon,SandorSzedmakandJohnShawe-Taylor

3、Akernelmethodforcanonicalcorrelationanalysis.ShotaroAkaho

4、CanonicalCorrelationaTutorial.MagnusBorga

5、KernelCanonicalCorrelationAnalysis.MaxWelling

http:〃/jerrylead/archive/2011/06/20/2085491.htmlCanonical

correlation

FromWikipedia,thefreeencyclopedia

Jumpto:navigation,search

Instatistics,canonicalcorrelationanalysis,introducedbyHaroldHotellingisa

wayofmakingsenseofcross・covariancematrices.Ifwehavetwosetsof

variables,11•••>andih,,andtherearecorrelationsamong

thevariables,thencanonicalcorrelationanalysiswillenableustofindlinear

combinationsofthex'sandtheV'swhichhavemaximumcorrelationwith

eachother.

Contents

[hide]

JDefirdtion

2Computation

o2J.Proof

0212Solution

3Hypothesistesting

4Practicaluses

5Connectiontoprincipalangles

6Seealso

7Notes

8References

9Externallinks

[ed巾Definition

Giventwocolumn

vectors'丸=（工”•,严力）and丫一（物…・娥・）ofrandom

variableswithfinitesecondmoments,onemaydefine

thecross-covariance'e=Y}tobe

the布富1原matrixwhose（1>/）entryisthecovariance^^风的）.In

practice,wewouldestimatethecovariancematrixbasedonsampleddata

from此andY（i.e.fromapairofdatamatrices）.

Canonicalcorrelationanalysisseeksvectorsuand5suchthattherandom

variablesXandmaximizethecorrelationP=区'a

Therandomvariables卜=向‘宠andI"=arethefirstpairof

canonica/variables.Thenoneseeksvectorsmaximizingthesamecorrelation

subjecttotheconstraintthattheyaretobeuncorrelatedwiththefirstpairof

canonicalvariables;thisgivesthesecondpairofcanonicalvariables.This

proceduremaybecontinuedupto巾叫,凡｝times.

[edt]Computation

[edit]Proof

Let£%国=8V(X,Ji)and/丁■ccv代Y]Theparameterto

maximizeis

Thefirststepistodefineachangeofbasisanddefine

c=求运

rf=

Andthuswehave

BytheCauchy・Schwa「zineauahty,wehave

P<

Thereisequalityifthevectorsand^-1/2Gv-l/2arecollinear.In

dLyv厉Xia”*c

addition,themaximumofcorrelationisattainedifcistheeigenvectorwith

themaximumeigenvalueforthe

“二y-»-lry*『W?

matrix5X乙一丁元(seeRayleighquotient).The

subsequentpairsarefoundbyusingeigenvaluesofdecreasingmagnitudes.

Orthogonalityisguaranteedbythesymmetryofthecorrelationmatrices.

[edit]Solution

Thesolutionstherefore:

cisaneigenvectorof乙XN乙XT乙yy乙VX乙

disproportionalto号，yxUW%

Reciprocally,thereisalso:

disaneigenvectorof乙YY乙于文山投嵬心ifcKlyV

cisproportionalto^XX〃

Reversingthechangeofcoordinates,wehavethat

建isaneigenvectorof乙xx*"•'*庶y修货

isaneigenvectorof型今食&遇鼻氢空Eiit

h

T*Tp_j,

aisproportionalto-一

isproportionaltot

Thecanonicalvariablesaredefinedby:

U=dw春X=

V=〃v

[edit]Hypothesistesting

ance

EachrowcanbetestedforsignifPwiththefollowingmethod.Sincethe

correlationsaresorted,sayingthatrow*iszeroimpliesallfurther

correlationsarealsozero.IfwehavePindependentobservationsina

sampleandAistheestimatedcorrelationfor'=1,"}

Fortheithrow,theteststatisticis:

Q=-(P-l-^=硝,

whichisasymptoticallydistributedas

achi-sQuaredwith(m-i++1)degreesoffreedomfor

large也.cuSinceallthecorrelationsfromt0夕arelogically

zero(andestimatedthatwayalso)theproductforthetermsafterthispointis

irrelevant.

[ectit]Practicaluses

Atypicaluseforcanonicalcorrelationintheexperimentalcontextistotaketwo

setsofvariablesandseewhatiscommonamongstthetwosets.Forexample

inpsychologicaltesting,youcouldtaketwowellestablished

multidimensionalpersonalitytestssuchastheMinnesotaMultiphasic

PersonaltyInventory(MMPI)andtheNEO.ByseeinghowtheMMPIfactors

relatetotheNEOfactors,youcouldgaininsightintowhatdimensionswere

commonbetweenthetestsandhowmuchvariancewasshared.Forexample

youmightfindthatanextraversionorneuroticismdimensionaccountedfora

substantialamountofsharedvariancebetweenthetwotests.

Onecanalsousecanonicalcorrelationanalysistoproduceamodelequation

whichrelatestwosetsofvariables,forexampleasetofperformance

measuresandasetofexplanatoryvariables,orasetofoutputsandsetof

inputs.Constraintrestrictionscanbeimposedonsuchamodeltoensureit

reflectstheoreticalrequirementsorintuitivelyobviousconditions.Thistypeof

modelisknownasamaximumcorrelationmodel.团

Visualizationoftheresultsofcanonicalcorrelationisusuallythroughbarplots

ofthecoefficientsofthetwosetsofvariablesforthepairsofcanonicalvariates

showingsignificantcorrelation.Someauthorssuggestthattheyarebest

visualizedbyplottingthemasheliographs,acircularformatwithraylikebars,

witheachhalfrepresentingthetwosetsofvariables.^

[edit]Connectiontoprincipalangles

Assumingthat如=即他八卜w竭andhave

zeroexpectedvalues,ie.»E(X)-E(y)=G

theircovariancematrices比a

and与y==却*S]canbeviewedasGrammatricesin

aninnerproduct,seeCovariance#RelationshiptoJrnerproducts,forthe

columnsofA-andY,correspondingly.Thedefinitionofthecanonical

variablesUandIisequivalenttothedefinitionofprincipalvectorsforthe

bythecolumnsof*andYwithrespectto

pairofsubspacesspanned

的M"]

thisinnerproduct.Thecanonicalcorrelationsisequalto

thecosineofprincipalangles.

[edit]Seealso

.Regularizedcanonicalcorrelationanalysis

,GeneralizedCanonicalCorrelation

.RVcoefficient

Principalangles

CanonicalCorrelationAnalysis

Canonicalcorrelationanalysis(CCA)isawayofmeasuringthelinear

relationshipbetweentwomultidimensionalvariables.Itfindstwobases,one

foreachvariable,thatareoptimalwithrespecttocorrelationsand,atthesame

time,itfindsthecorrespondingcorrelations.Inotherwords,itfindsthetwo

basesinwhichthecorrelationmatrixbetweenthevariablesisdiagonalandthe

correlationsonthediagonalaremaximized.Thedimensionalityofthesenew

basesisequaltoorlessthanthesmallestdimensionalityofthetwovariables.

FormoreinformationonCCA,pleasereadmy0nlinetutorial(orthePDF

version).

Matlabfunctions

cca.mCCA

ccabss.mBlindSourceSeparationbasedonCCA.Forreference,seeA

CanonicalCorrelationApproachtoExploratoryDataAnalysisinfMRI.

Pleaseemailyourcommentstome.

CanonicalCorrespondenceAnalysis

Description

PerformsaCanonicalCorrespondenceAnalysis.

Usage

cca(sitspe,sitenv,scannf=TRUE,nf=2)

Arguments

sitspeadataframeforcorrespondenceanalysis,typicallyasitesxspecies

table

sitenvadataframecontainingvariables,typicallyasitesxenvironmental

variablestable

scannfalogicalvalueindicatingwhethertheeigenvaluesbarplotshouldbe

displayed

nfifscannfFALSE,anintegerindicatingthenumberofkeptaxes

Value

returnsanobjectofclasspcaiv.Seepcaiv

Author(s)

DanielChessel

AnneBDufourdufour@biomserv.univ-lyon1.fr

References

TerBraak,C.J.F.(1986)Canonicalcorrespondenceanalysis:anew

eigenvectortechniqueformultivariatedirectgradientanalysis.Ecology,67,

1167-1179.

TerBraak,C.J.F.(1987)Theanalysisofvegetation-environment

relationshipsbycanonicalcorrespondenceanalysis.Vegetatio,69,69-77.

Chessel,D.,LebretonJ.D.andYoccozN.(1987)ProprietesdePanalyse

canoniquedescorrespondances.Uneutilisationenhydrobiologie.Revuede

StatistiqueAppliquee,35,55-72.

SeeAlso

ccainthepackagevegan

Examples

data(rpjdl)millog<-log(rpjdl$mil+1)iv1<-cca(rpjdl$fau,millog,scan=

FALSE)plot(ivl)#analysiswithc1-as-li-Is#projectionsofinertiaaxeson

PCAIVaxess.corcircle(iv1$as)#Speciespositionss.label(iv1$c1,2,1,clab=

0.5,xlim=c(-4,4))#Sitespositionsattheweightedmeanofpresentspecies

s.label(iv1$ls,2,1,clab=0,cpoi=1,add.p=TRUE)#Predictionofthe

positionsbyregressiononenvironmentalvariabless.match(iv1$ls,iv1$li,2,1,

clab=0.5)#analysiswithfa-11-co-cor#canonicalweightsgivingunit

variancecombinationss.arrow(iv1$fa)#sitespositionbyenvironmental

variablescombinations#positionofspeciesbyaveragings.label(iv1$l1,2,1,

clab=0,cpoi=1.5)s.label(iv1$co,2,1,add.plot=TRUE)s.distri(iv1$l1,

rpjdl$fau,2,1,cell=0,csta=0.33)s.label(iv1$co,2,1,clab=0.75,add.plot=

TRUE)#coherencebetweenweightsandcorrelationspar(mfrow=c(1,2))

s.corcircle(iv1$cor,2,1)s.arrow(iv1$fa,2,1)par(mfrow=c(1,1))

Workedoutexamples

>Iibrary(ade4)>###Name:cca>###Title:CanonicalCorrespondence

Analysis>###Aliases:cca>###Keywords:multivariate>>###**

Examples>>data(rpjdl)>