2025~2026学年九年级数学上册专题提优训练《圆》-含解析

/2025-2026学年九年级数学上册专题提优训练《圆》

1.如图，在圆O中，直径AB平分弦CD于点E，且CD=43，连接AC，OD,若∠A与∠DOB互余，则A.23 B.4 C.3 D.2

2.如图⊙O的直径AB为10cm，弦BC为8cm，∠ACB的平分线交⊙O于点D，A.12 B.52−1 C.

3.下列说法正确的是（

）A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的内接四边形的对角相等C.三点确定一个圆D.三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心

4.如图，AB是⊙O的直径，⊙O的弦CD=8，且CD⊥AB于点E.若OE∶OB=3∶5A.16 B.13 C.10 D.6

5.如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点M，连接OC．若BC=0.6m，∠MOC=30∘，小花身高1.1mA.小亮和小花都不需要 B.小亮需要，小花不需要

C.小亮和小花都需要 D.小亮不需要，小花需要

6.如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A=60∘A.30∘ B.35∘ C.40∘

7.点O是△ABC的外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB、AI，若∠CAI=38∘，则∠A.15∘ B.14∘ C.35∘

8.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，点D是BC的中点，连接AC，CD，DB，若∠BAC=80∘A.100∘ B.110∘ C.120∘

9.小红、小明、小刚、小丽四人进行跳绳比赛，小红的成绩在前三名，小明既没有获得第一名，也不是最后一名，小刚也不是第一名，小丽是第二名．小红是第（

）名，小明是第（

）名，小刚是第（

）名．A.三，一，四 B.三，四，一 C.一，三，四 D.四，一，三

10.如图，AB是⊙O的一条弦，半径OC交AB于点D，且AD=BD，连接OA，∠OAB=30A.4π3+2+23 B.

11.直线l与⊙O相切于点P，点A在直线l上，线段AO与⊙O相交于点B，若AB=2，∠

12.若扇形的圆心角为120∘，半径为5，则该扇形的弧长为______________．

13.如图，有一直径是2米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90∘的最大扇形ABC，用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为_______米．

14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60∘，则∠

15.已知圆锥的侧面积为15π，母线长为5，则圆锥的底面半径是___________．

16.如图，已知圆心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB长为4米，⊙O半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦AB

17.如图，在△ABC中，CA=BC=2，∠C=90∘，以点

18.如图，Rt△ABC中，AB⊥BC,AB=6,BC

19.如图，从一块直径是8m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90∘的扇形，将剪下的扇形围成一个圆锥，圆锥的高是________m.

20.如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，则圆材的半径为____________寸．

21.如图，△ABC内接于⊙O，∠C=60∘，点E（1）求证：AE是⊙O（2）若AB=

22.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上两点，连接AD（1）如图1，点P是AC延长线上一点，∠APB=∠ADC，求证：BP（2）如图2，点G在CD上，OF⊥AC于点F，连接AG并延长交⊙O于点H，若CD为⊙O的直径，①求证：AO=②求⊙O

23.如图所示，AB是⊙O的直径，点D是AC⌢的中点，过点D作AC的平行线，交BA的延长线于点P，过点C作⊙O的切线，交PD的延长线于点E，交AD的延长线于点（1）求证：PD是⊙O（2）若AF⊥EF,（3）若tan∠FDE=12,⊙O的半径是

24.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC相交于点D，且DE（1）求证：DE是⊙O（2）∠A=45∘，

25.如图1，在Rt△ABC中，AB=AC=4，AD⊥BC于D，E为AB边上的点，过A、D、E三点的⊙O交（1）求证：AE=（2）若tan∠ADF=3（3）如图2，点P为DE⌢上一动点，连接PD，PE，PF①若P为DE⌢的中点，设AE为x，△PDF的面积为S，求S关于②在点P运动过程中，试探索PD，PE，PF之间的数量关系，并证明．

26.已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线（1）如图1，求证：∠ABC（2）如图2，当D是弧AC的中点时，过点D作DE⊥AB于E．求证：（3）如图3，在(2)的条件下，DE与AC相交于点F，连接CD，BD与AC相交于点G，若△CDG的面积为12，EF=3

27.如图，先将两块含30∘的三角板△ADB和△A′D′C的边AD、A′D′重合，再将△A′（1）当α=60∘时，BC=_______；当BC=（2）当α=（3）如图2，取BC的中点F，将△A′D′C绕着点A

28.如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD，以AB为直径作⊙O，分别交边AC、BC于点(1)求证：AD是(2)连接OC，交⊙O于点G，若AB=8，求线段CE、CG

29.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为直径，AC和BD交于点E，AB=BC.(1)①∠ADB=________​∘；

②在线段AD的左侧过点D作∠ADM，使(2)过B作AD的平行线，交AC于F，试判断线段EA，CF，EF

30.【数学认识】数学是研究数量关系的一门学科，在初中几何学习的历程中，常常把角与角的数量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系．【构造模型】(1)如图①，已知△ABC，在直线BC上用直尺与圆规作点D【应用模型】已知△ABC是⊙(2)如图②，若⊙O的半径r=5(3)如图③，已知线段MN，AB为⊙O的弦，用直尺与圆规作点C

31.如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD，∠（1）求证：BC是⊙O（2）连接OD，若∠CAB=30∘，

32.下面是小东设计的“过圆外一点作这个圆的两条切线”的尺规作图过程．已知：⊙O及⊙O外一点求作：直线PA和直线PB，使PA切⊙O于点A,PB切⊙作法：如图，①连接OP，分别以点О和点P为圆心，大于12OP的同样长为半径作弧，两弧分别交于点②连接MN，交OP于点Q，再以点Q为圆心，OQ的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B③作直线PA和直线PB．所以直线PA和PB就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，(1(2证明：

33.问题提出（1）如图1，在△ABC中，∠BAC=90∘，AO是它的一条中线，则∠COA与（2）如图2，在△ABC中，∠A=60∘，BC=6，CG⊥AB于点G，BH⊥AC于点H问题解决（3）如图3，某次施工中，工人师傅需要画一个20∘①画线段OB=15cm，再过它的中点C②利用刻度尺在m上寻找点A使得OA=15cm，再过点A③利用刻度尺过点O作射线，将射线与AC和l的交点分别记为点F、E，调节刻度尺使FE=□cm时（“□”内的数字被汗渍侵蚀无法看清），则∠你认为监理给的方法可行吗?如果可行，请写出“□”内的数字，并说明理由；如果不可行，请给出可行的方案．

34.（1）如图1，用无刻度的直尺和圆规在图1中作出⊙O的内接正六边形ABCDEF，保留作图痕迹．(2)如图2、图3是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点．其中点A、点D为格点，⊙O①如图2，过点O作AD的垂线，交⊙O于E②如图3，点B在⊙O上，过点B作弦BC

35.如图，A(−4,0)（1）画出△ABC右移2个单位，再上移2个单位后得到的△（2）画出△ABC绕O点顺时针旋转90∘后得到的（3）求出点A绕O点顺时针旋转90∘后到A

36.有公共顶点A的两个正方形ABCD与AEFG，连接DE,BG，点M是BG的中点，连接AM交DE于点N（1）如图1，当点E，G分别在边AB,AD上时，直接写出线段DE与（2）如图2，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，线段DE与AM之间的数量关系和位置关系是否仍然成立？请说明理由：（3）如图3，将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，当点E在边DA的延长线上、点G在边AB上时，连接BE与CF相交于点H，①求∠BHC②连接BD交CF于点I，请直接写出ICBE

37.如图，AB为⊙O的直径，AC是⊙O的一条弦，D为弧BC的中点，作DE⊥AC，垂足为AC的延长线上的点E，连接DA(1)求证：DE为(2)试探究线段AB，BD，(3)延长ED交AB的延长线于F，若AD=DF，DE=

38.如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，其半径为1，P为弧AB上的动点(P点不与A、B重合)，连接AP，BP，(1)求证：(2)求四边形

39.定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象上存在点P(x,y)，满足y=mx+m，m为正整数，则称点P为该函数的“m倍点”．例如：（1）在点A(2,3)，B(−2,−3（2）若函数y=−x2+bx（3）若函数y=−x+2m+1的“m

40.如图，在△ABC中，∠ABC=90∘，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，连接BD，∠(1)判断直线DE与(2)若BDAD(3)过点D作DH⊥BC于

41.如图，AB是⊙O直径，点C为劣弧BD中点，弦AC、BD相交于点E，点F在AC的延长线上，且EB=（1）求证：BF是⊙O（2）当∠CAB=30

42.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，AB是⊙O的直径，过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E，延长EC交AB延长线于点F，且EF是⊙（1）写出图中一个与∠CAE（2）求证：△BCF（3）若CDAC=1

43.（1）已知：△ABC（图①），求作：△ABC(2)如图②，A为①连接OA；②以点A为圆心，AO长为半径作弧，交⊙O于点B；③在射线OB上截取BC=OA；④连接AC．若AC

44.如图，在四边形ABCD中，AD//BC，AD⊥CD，AC=AB(1)如图1，求证AD是(2)如图2，CD交⊙O于点E，过点A作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，若AD

45.如图，Rt△ABC是⊙O的内接三角形，点D为⊙O上一点，点C、点D分别在线段AB的两侧，AC（1）求⊙O（2）如图1，若CD⊥AB，求（3）如图2，若CD=22

46.如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）：作△ABC的外接圆⊙O，作直径AE，连接（2）证明：△ABE

47.(1)如图，在矩形ABCD中，AD=AE，DF⊥AE(2)如图，AB是⊙O的直径，∠

48.如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠ACB的平分线CD交⊙O于点D．点E为CA(1)判断DE与(2)若⊙O的半径为2

49.如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为(−1,0)，与y轴交于点C(0,3)，作直线BC（1）求抛物线的解析式和直线BC的解析式；（2）过点A、O、C的圆上有一点Q，请直接写出∠AQC（3）当点P在线段OB上运动时，连接MB，求△MBC（4）当m−1≤x≤

50.如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，CD与⊙O（1）求证：BD是⊙O（2）连接AD与BC交于点E，若AE=DE，求

51.综合与探究如图，等腰直角△ABC与等腰直角△CEF共顶点C，点D为AB的中点，连接AE,（1）问题解决：如图①，当点E在AC边上时，则线段AE与线段DF的数量关系是_______；（2）问题探究：如图②，将图①中的等腰直角△CEF绕点C逆时针旋转，线段AE和线段DF（3）拓展延伸：若BC=10,CF=6，将图①中的等腰直角△CEF绕点C逆时针旋转，使得B

52.如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC=OB，E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点（1）求BD⌢（2）求证：CD是⊙O（3）点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接PE，PC，求PE

53.已知：如图，A、B、C三个点．求作：⊙O，使⊙O经过A、B、C

54.[模型建立]

如图①、②，点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B，则PA是点P到⊙O上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离．

[问题解决]请就图①中PB为何最长进行证明．

[初步应用]

(1)已知点P到⊙O上的点的最短距离为3，最长距离为7．则⊙O的半径为________.

(2)如图③，在△ABC中，∠C=90∘,AC=8,BC=6

．点E在边BC上，且CE=2，动点P在半径为

55.如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC>90∘，△ABC的外角∠EAC的平分线交⊙O于点D，连接DB，（1）求证：△DBC（2）若DA=①求证：BC②若⊙O的半径为5，BC=6

56.如图，在△ABC中，∠A=90∘，AB(1)用圆规和直尺作出⊙P，使圆心P在AC边上，且与AB(2)若在(1)的条件下，设⊙P与BC

57.如图，已知以AB为直径的⊙O中，点D，C在AB的同侧，点D是AC⌢的中点，连接BD，过点D作DE⊥BC于点E，DF(1)求证：DE是(2)已知AB=10，

58.如图，已知点A、B、C在⊙O上，点D在⊙O外，∠BCD=∠BAC，BE （1）求证：CD是⊙O（2）若⊙O的半径为5，∠BAC=

59.如图，在菱形ABCD中，点P、Q均在对角线BD上（不与点B、D重合），且BP=QD（1）求证：△BCQ（2）若∠BAD①已知BD=43，求平行线AD②若△APD的外心在其内部，且n∘<∠

60.【问题提出】车轮为什么要做成圆形？这里面有什么原理？【合作探究】（1）探究A组：如图1，圆形车轮半径为6cm，其车轮轴心O到地面的距离始终为_______cm（2）探究B组：如图2，正方形车轮的轴心为O，若正方形的边长为6cm，求车轮轴心O（3）探究C组：如图3，有一个破损的圆形车轮，半径为6cm，破损部分是一个弓形，其所对圆心角为90∘，车轮轴心为O，让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点【拓展延伸】（4）探究D组：如图4，分别以正三角形的三个顶点A，B，C为圆心，以正三角形的边长为半径作60∘圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”．使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动．在滚动过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”均在不断移动位置，那么在“莱洛三角形”滚动的过程中，其“最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是（

A．B．C．D．

参考答案与试题解析一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）1.【答案】D【考点】切线的判定与性质勾股定理圆周角定理圆的综合问题垂径定理的应用【解析】连接CO，由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB，则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30∘，∠COE=【解答】连接CO，∵AB平分CD∴∠COB=∠DOB，∵∠A与∠∴∠A又∠COB∴∠A=30∴∠OCE设OE=x,则∴即(解得x=∴BO∴故选D2.【答案】B【考点】勾股定理的应用圆周角定理半圆（直径）所对的圆周角是直角圆和圆的位置关系【解析】首先根据圆周角定理可得∠ACB=90∘，∠ADB=90∘，角平分线得∠ACD=∠BCD，再利用勾股定理计算出BC【解答】解：∵AB∴∠ACB=90∵AB=10∴BC∵∠ACB的平分线交⊙O于∴∠ACD∴AD∵∠ADB∴A∴A∴AD∴AD∴△ABD设△ABD内切圆的圆心为I，与AD，BD，AB切于点E，G，F，半径为rcm得正方形DGIE，∴AE∴5解得r=∴△ABD的内切圆半径是5故选：B．3.【答案】D【考点】圆内接四边形的性质垂径定理确定圆的条件【解析】利用利用垂径定理可判断A，由反证法可判断B，由确定圆的条件可判断C，根据三角形的外接圆与外心的定义可判断D．【解答】解：A、若两条弦为两条不垂直的直径也互相平分，故本选项不符合题意；B、在四边形ABCD中，∠B=80∵它的对角互补，∴四边形ABCD是圆内接四边形，但它的对角不相等，故本选项不符合题意；C、不在同一直线上的三点确定一个圆，故本选项不符合题意；D、三角形任意两边的垂直平分线的交点是三角形的外心，故本选项符合题意；故选：D．4.【答案】C【考点】勾股定理圆的有关概念垂径定理的应用【解析】连结OC，由垂径定理可得CE=DE==4，由OE∶OB=3∶5，可得OE:OC=【解答】解：连结OC，∵AB是⊙O的直径，CD为弦，∴CE∵OB=OA=OC，OE∴OE设OE=3x在Rt△由勾股定理OC2−整理得16x解得x=∴OC∴AB故选择C．5.【答案】B【考点】含30度角的直角三角形勾股定理的应用利用垂径定理求值【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可得CM=12BC=0.3(m)，AM⊥BC【解答】解：∵该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点M，∴CM=1在Rt△OMC中，∠OMC∴OC∴OM∵OA∴AM∵1.1∴小花不需要弯腰进入奇妙屋，小亮需要弯腰进入奇妙屋．故选：B．6.【答案】A【考点】三角形内角和定理圆周角定理【解析】本题考查了三角形内角和性质，圆周角定理，先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BOC=120【解答】解：∵∠A=∴∠∵BO∴∠OBC故选：A．7.【答案】B【考点】圆周角定理三角形的内切圆与内心【解析】此题暂无解析【解答】B

8.【答案】D【考点】圆周角定理半圆（直径）所对的圆周角是直角利用弧、弦、圆心角的关系求解【解析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键．连接BC，根据圆周角定理求出∠ACB=90∘，根据圆内接四边形的性质求出【解答】解：如图，连接BC，∵AB是⊙∴∠ACB∵∠BAC+∠D∴∠D∵点D是BC的中点，∴CD∴CD∴∠DCB∴∠ACD故选：D．9.【答案】C【考点】反证法【解析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理．根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可．【解答】解：由小明既没有获得第一名，也不是最后一名，小刚也不是第一名，小丽是第二名，得出第一名是小红；则小明是第二名或者第三名；∵小丽是第二名，∴小明是第三名；剩下第四名是小刚；故选：C．10.【答案】A【考点】全等的性质和SSS综合（SSS）含30度角的直角三角形勾股定理的应用求弧长【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质．连接OB，利用SSS证明△OAD≅△OBD，推出∠ADO=∠BDO=90∘【解答】解：连接OB，∵OA=∴△OAD∴∠ADO∵∠OAB∴2在Rt△AOD中，OA∴OA∴OC=OA∴CD∵∠OAB=30∴∠AOD∵阴影部分的周长=l∴阴影部分的周长=60故选：A．二、填空题（本题共计10小题，每题3分，共计30分）11.【答案】2【考点】等边三角形的性质与判定切线的性质求弧长【解析】先证明△OPB是等边三角形，得到∠BPA=∠OAP=【解答】解：连接OP、PB，∵AP是⊙∴OP⊥AP∵∠OAP∴∠AOP∵OB∴△OPB∴∠OBP∴∠BPA∴∠BPA∴PB∴OB∴劣弧PB的长为60π故答案为：2312.【答案】10【考点】求弧长【解析】本题考查了弧长公式．根据弧长的计算公式nπr180（n是扇形圆心角的度数，r【解答】解：根据题意可得，该扇形的弧长=120故答案为：10313.【答案】1【考点】圆锥的展开图及侧面积弧长的计算【解析】先利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=1，再设圆锥的底面圆的半径为r【解答】114.【答案】120【考点】圆内接四边形的性质【解析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O∴∠BCD+∠DAB∴∠BCD故答案为120∘15.【答案】3【考点】求圆锥底面半径【解析】本题考查了圆锥侧面积公式，根据S侧【解答】解：∵∴15∴r故答案为：3．16.【答案】3−【考点】勾股定理的应用垂径定理的应用【解析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．如图：连接OC交AB于D，由垂径定理得AD=BD=12【解答】解：如图：连接OC交AB于D，由题意得：OA=OC=∴AD=BD在Rt△ODA中，∴CD=OC−OD=3故答案为3−17.【答案】π【考点】扇形面积的计算求其他不规则图形的面积【解析】根据题意可求得△ACB的面积和扇形CAB【解答】解：∵CA=BC∴S△ACB则阴影部分的面积为S扇形故答案为：π−18.【答案】2【考点】勾股定理的应用90度的圆周角所对的弦是直径【解析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”，勾股定理等知识﹒根据AP⊥BP，得到点P在以AB为直径的圆上，以AB为直径作圆O，连接OC交圆O于点P，此时CP有最小值﹒根据勾股定理求出OC=5，即可求出【解答】解：如图，∵P是△ABC内部的一个动点，且满足∴点P在以AB为直径的圆上，以AB为直径作圆O，连接OC交圆O于点P，此时CP有最小值﹒∵AB∴OB∵AB∴在Rt△OBC中，∴PC故答案为：219.【答案】30【考点】圆锥的计算弧长的计算【解析】连接AO，求出AB的长度，然后求出BC的弧长，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，应用勾股定理，求出圆锥的高．【解答】3020.【答案】13【考点】勾股定理的应用垂径定理的应用【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．设圆形木材的圆心为O，连接OA，OD，先根据垂径定理可得AD=5寸，再设圆材的半径为r寸，则OA=OC=【解答】解：如图，设圆形木材的圆心为O，连接OA，OD，由题意得：点O,D,∴OC∴AD设圆材的半径为r寸，则OA=∵深度CD为1寸，∴OD在Rt△AOD中，OD解得r=即圆材的半径为13寸，故答案为：三、解答题（本题共计40小题，每题10分，共计400分）21.【答案】（1）见解析（2）6【考点】证明某直线是圆的切线求其他不规则图形的面积圆周角定理解直角三角形的相关计算【解析】（1）先根据圆周角定理求得∠AOB=2∠C=120（2）先利用锐角三角函数求得AO，再根据扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可【解答】解：（1）证明：连接OA，∵∠C∴∠AOB=2∴∠ABD∵AE∴∠E∴∠OAE∵OA是⊙∴AE是⊙（2）解：在Rt△AOE中，∠OAE=90∴OA∴===622.【答案】（1）见解析（2）①见解析；②26【考点】半圆（直径）所对的圆周角是直角证明某直线是圆的切线全等三角形的应用勾股定理的应用【解析】（1）如图1，连接BC，根据圆周角定理得到∠ACB=90∘，易得（2）①如图：连接BC、BH，作BM⊥CD于M，AN⊥CD于N．证明BC=2OF，BC // OF，△【解答】（1）解：如图1，连接BC，∵AB是⊙∴∠ACB∴∠ABC∵∠ABC∴∠ABC∴∠P∴∠ABP∵OB是⊙∴BP与⊙（2）解：①如图：连接BC、BH，作BM⊥CD于M，∵OF⊥AC∴∵CD∴OA∴BC=2∵∠AOD∴△AOD∴AD∵OA∴△AON∴OM∵∠CGB∴∠OGH∵BC∴∠GCB∵∠BOG∴∠BOG∴∠AOG∴AO②设OM=∵AN⊥OG∴ON∵BG∴Rt∴MG∴BM在Rt△CBM中，∴36∵a∴a∴MG=∴DG∴CD∴⊙O半径的长为223.【答案】（1）见详解（2）⊙O的半径为（3）四边形POCD的面积为80【考点】证明某直线是圆的切线利用垂径定理求值解直角三角形的相关计算切线的性质【解析】（1）连接OD，由题意易得OD⊥AC，则有（2）连接CD，设OD与AC交于点H，先证四边形AOCD是菱形，则有∠OAC=30（3）由(2)可知：∠DAC=∠FDE,∠AHO【解答】解：（1）证明：连接OD，如图所示：∵点D是AC⌢的中点，OD是⊙∴OD∵AC∴OD∴∠PDO∴PD是⊙（2）解：连接CD，设OD与AC交于点H，如图所示：∵CF是⊙∴OC∵AF∴AF∴∠DAC∵OA∴∠OAC∵点D是AC⌢的中点，OD是⊙∴AD=CD∵AH∴△AHD∴AD∴四边形AOCD是菱形，∴OH∴sin∠OAC∴∠OAC∴∠DAC∴∠ACF∴∠DCF∵AC∴∠FDE∴DF∴CD即⊙O的半径为2（3）解：如(2由(2)可知：∵tan∠∴tan∠DAC设DH=∴OH在Rt△AHO中，由勾股定理可得：解得：x=∴AH∴tan∠OAH∵AC∴∠P∴tan∠P∵PD是⊙O的切线，即∴PD∴S24.【答案】（1）证明过程见详解（2）图中阴影部分的面积为2【考点】证明某直线是圆的切线扇形面积的计算求其他不规则图形的面积圆与三角形的综合(圆的综合问题)【解析】（1）如图所示，连接OD，根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠ACB，OD∥AC（2）如图所示，连接OD,OH,BH，BH与OD交于点G，根据圆的基础知识可得BH的值，根据垂径定理可得BG的值，由此可算出【解答】（1）解：如图所示，连接OD，∵点B,D在∴OB,OD∴∠OBD∵AB∴∠ABC∴∠ODB∴OD∵DE∴DE⊥OD∴DE是⊙（2）解：如图所示，连接OD,OH,BH，BH与∵AB∴∠AHB∵∠A∴△ABH是等腰直角三角形，且⊙O的半径为∴AB=8∴BH∵DE⊥AC∴BH∵OD∴OD⊥BH∴BG∴S由(1)可知，OD∥∴∠BOD=45∘，且∴S∴S∴图中阴影部分的面积为2π25.【答案】（1）见解析；（2）52（3）①S=14【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）圆周角定理已知圆内接四边形求角度解直角三角形的相关计算【解析】（1）求出∠C=∠DAB，∠CFD=∠AED，利用（2）连接EF，先求出∠EDF=90∘，可得EF为直径，再利用tan∠AEF=tan∠ADF=3，求出AF=3（3）①连接EF，OP，OD，利用勾股定理求得直径EF，利用平行线之间的距离相等和同底等高的三角形的面积相等，得到S△PFD=S△OFD，证明∠FOD=2∠CAD=90∘，通过计算△OFD的面积即可得出结论；②连接EF，过点D【解答】解：（1）证明：∵在Rt△ABC中，∴∠C∵AD∴∠CAD=45∘，∴∠C∵四边形FAED是圆的内接四边形，∴∠CFD在△CFD和△AED中∴△CFD≅∴AE（2）解：连接EF，如图，∵AD∴∠ADC∴∠ADF∵△CFD≅∴∠CDF∴∠ADF∴∠FDE∴EF为⊙∵∠ADF∴tan∠AEF∵tan∠AEF∴AF∵AE∴AF∵AC∴CF=1∴AE∴EF∴⊙O的面积为：π（3）解：①连接EF，OP，OD，如图，∵AE为x，AE∴CF=x∴EF∴OF∵P为DE∴∠EOP∵∠EFD∴∠EOP∴OP∴S∵∠FOD∴OD∴S∴S②PD，PE，PF之间的数量关系为：PF=证明：连接EF，过点D作DN⊥DP，交PF于点∵DN∴∠NDE∵∠EDF∴∠NDE∴∠EDP∵∠DEF∴△DEF∴DE在△DEP和△DFN中，∴△DEP≅∴EP=FN∴△DNP∴NP∴PF26.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）64【考点】垂径定理圆周角定理切线的性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和同角的余角相等解答即可；（2）连接CD，AD，OD，OD与AC交于点F，延长DE交⊙O于点G（3）过点C作CH⊥AB于点H，连接OD，DA，OD与AC交于点K，延长DE交⊙O于点J，利用圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质得到FG=FD=FA，利用全等三角形的判定与性质得到KF=EF=3，DK=AE【解答】解：（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB∴∠ABC∵MN为⊙O∴OA⊥∴∠MAC∴∠ABC（2）证明：连接CD，AD，OD，OD与AC交于点F，延长DE交⊙O于点G∵D是弧AC的中点，∴OF⊥AC，AF=∴AD=∵AB是⊙O的直径，DE∴AD⌢∴∠DCA在△CDF和△∠DFC∴△CDF∴CF=∴DE=∴AC=（3）解：过点C作CH⊥AB于点H，连接OD，DA，OD与AC交于点K，延长DE交⊙O∵AB是直径，DE⊥AB∴AJ⌢∵D是弧AC的中点，∴CD⌢∴CD⌢∴∠EDA=∠CAD∴FD=∵AB是直径，∴∠ADG∴∠DGF+∠DAG∴∠FDG∴FG=∴FG=∵D是弧AC的中点，∴OK⊥AC，∴∠DKF在△DKF和△∠DKF∴△DKF∴KF=EF=设FG=FD=∵AC=∴AC=∴CG+∴CG=∵△CDG的面积为12∴12∴DK=∴AE=∴DF=∴FG=∴AG=∴AC=∵CH⊥AB，∴DE∥∴△AEF∴AEAH∴4AH∴AH=∵MN⊥AB，∴CH∥∴点C到MN的距离为AH=27.【答案】2，30或210（2）12【考点】90度的圆周角所对的弦是直径根据旋转的性质求解解直角三角形的相关计算【解析】（1）当α=60∘时，A，D′，B共线，A，D，C共线，可得△ABC是等边三角形，故BC=AB=2（2）画出图形，可得S△ADQ=12×1×3（3）连接AF，由AB=AC，点F为BC的中点，知∠AFB=90【解答】（1）解：如图，则∠ADB=∠A∴∠BAD当α=60∘时，A，D′，B共线，A，∵AB∴△ABC∴BC当BC=22时，过点A作AH∵AB∴BH∴sin∠BAH∴∠BAH∴∠BAC∴α如图，同理可得∠BAC∴α∴当BC=22时，α故答案为：2；30或210；（2）解：如图，∵∠ADB=90∘，∴AD∵α∴∠BAC∴∠QAD∴DQ∴S∵∠D=∠D∴四边形ADPD∴DP∴S∴S同理S△∴两块三角板重叠部分图形的面积为1−（3）解：连接AF，如图，∵AB=AC，F∴∠AFB∴点F的运动轨迹是以AB为直径的圆，∴点F的运动路径长为2π故答案为：2π28.【答案】见解答；3−【考点】扇形面积的计算直线与圆的位置关系【解析】(1)已知△ABC为等边三角形，可得AC=BC，又因AC(2)连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，根据【解答】解：(1)证明：∴AC又∵AC∴AC∴△ABD∴AB∵AB∴AD是⊙(2)连接∵OA=OE∴△OAE∴∠AOE∵CB=BA∴CO∴∠AOC∴∠EOC∵△ABC是边长为4∴AO=2同理等边三角形AOE边AO上高是22S阴影29.【答案】（1）解：①答案为：45．

解析：∵AC为直径，

∴∠ABC=90∘，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠CAB=45∘，

∴∠ADB=∠ACB=45∘；

②如图，连接OD，

∵AC为直径，

∴∠ADC∴∠ADM=∠ODC，

∴∠ADO+∠ADM=90∘

，

即∠ODM=90∘，

∴OD⊥DM，

∴DM是⊙O的切线；

（2）解：

CF2+EA2=EF2，理由如下：

如图，将△ABE绕点B逆时针旋转90∘得到△CBM，连接FM，

∴△ABE≅△CBM，

∴∠ABE=∠CBM

，∠BAE=∠BCM=45∘,BE=BM,EA=MC，

∵AD//BF，

∴∠EBF=∠ADB【考点】圆周角定理半圆（直径）所对的圆周角是直角旋转的性质用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）切线的判定【解析】此题暂无解析【解答】（1）解：①答案为：45．

解析：∵AC为直径，

∴∠ABC=90∘，

∵AB=BC，

∴∠ACB=∠CAB=45∘，

∴∠ADB=∠ACB=45∘；

②如图，连接OD，

∵AC为直径，

∴∠ADC∴∠ADM=∠ODC，

∴∠ADO+∠ADM=90∘

，

即∠ODM=90∘，

∴OD⊥DM，

∴DM是⊙O的切线；

（2）解：

CF2+EA2=EF2，理由如下：

如图，将△ABE绕点B逆时针旋转90∘得到△CBM，连接FM，

∴△ABE≅△CBM，

∴∠ABE=∠CBM

，∠BAE=∠BCM=45∘,BE=BM,EA=MC，

∵AD//BF，

∴∠EBF=∠ADB30.【答案】（1）见解析；(2)8【考点】作垂线(尺规作图)根据等边对等角证明垂径定理的应用圆周角定理【解析】（1）当点D在BC的延长线上时，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；当点D在CB的延长线上时，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交CB的延长线于点D1，连接A(2)由三角形两边之和大于第三边可得AC+BC>8，连接AC并延长至D，使得CD=CB，连接(3)第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P；第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P；第3步：以A为圆心，MN的长为半径画弧交⊙P于点E；第4步：连接AE【解答】解：如图，当点D在BC的延长线上时，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交BC的延长线于点D，连接AD，即为所求；当点D在CB的延长线上时，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交CB的延长线于点D1，连接A(2∴如图，连接AC并延长至D，使得CD=CB，连接∴∠D=∵∠ACB∴∠D当CO最长时，即CO⊥AB时，∵∴CO∴OE=∴CE∴AC∴AC+BC(3)如图，第1步：作AB的垂直平分线交⊙O第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P第3步：以A为圆心，MN的长为半径画弧交⊙P于点E第4步：连接AE交⊙O于点C则AC+31.【答案】（1）见解析（2）2【考点】直角三角形的两个锐角互余圆周角定理证明某直线是圆的切线扇形面积的计算【解析】（1）先根据圆周角定理得到∠ADB=90∘，则∠A+∠ABD=90（2）先根据圆周角定理得到∠BOD【解答】解：（1）证明：∵AB是半圆O∴∠ADB∴∠A∵∠CBD∴∠CBD∴∠ABC=90∵OB∴BC是⊙（2）解：如图，∵∠A∴∠BOD∵AB∴OB∴扇形OBD的面积=6032.【答案】(1)见解答；【考点】切线的判定尺规作图——过圆外一点作圆的切线【解析】(1(2【解答】(1；(2)如图，连接PA，PB，OA，∵PO是⊙∴∠OAP∴OA∴PA是⊙同理可证，PB是⊙O33.【答案】2（2）3（3）可行，30【考点】含30度角的直角三角形直角三角形斜边上的中线四点共圆利用弧、弦、圆心角的关系求证【解析】（1）根据直角三角形斜边上中线性质得出OC=（2）连接OH，证出△GOH（3）取FE中点P，连接AP，证出AP=【解答】（1）解：∵∠BAC=90∴OA∴∠OAB∵∠COA∴∠COA故答案：2．（2）解：∵OB∴∠GBO∵∠CGB∴∠GBO+∠GCO∴∠GCO∴BO连接OH，∵∠BHC∴OH∴B，C，H，G在以O为圆心，OC∵∠∴∠ACG∴∠GOH∴△GOH∴GH（3）解：可行，30理由：在Rt△tan∠OAC∴∠AOB取FE中点P，连接AP，如图，∵l∴∠FAE=90∴AP∴∠AEF=∠EAP∴∠AOP∴∠BOE故答案：可行，30．34.【答案】（1）画图见解析；(2【考点】圆周角定理正多边形和圆无刻度直尺作图利用垂径定理求值【解析】（1）先作直径AD，分别以A,D为圆心，OA为半径画弧，与⊙O的交点分别为F(2)①取格点Q,K，连接QK交AD于N，过O,②取格点Q,K，连接QK交AD于N，过O,N作直线交⊙O于E,F，连接AB交EF于M，连接DM并延长交⊙【解答】解：（1）如图，六边形ABCDEF即为所求；理由：连接OB,由作图可得：OA=∴△AOB∴∠AOB同理可得：∠COD∴∠COD∴AB∴AB∴∠ABC∴六边形ABCDEF为⊙O(2)①如图，理由：由格点图形可得：四边形AQDK为正方形，∴DN∴ON⊥AD②如图，BC即为所求；理由：由(2)得：EF是∴MA∴∠MAD∵∠MDA=∠MBC∴∠MDA∴BC35.【答案】（1）图见解析（2）图见解析（3）2【考点】求某点的弧形运动路径长度作图－平移变换生活中的旋转现象【解析】（1）将A(−4,0)，B(0（2）将A(−4,0)，B(0（3）利用弧长公式求解．【解答】（1）解：如图，△A（2）解：如图，△A（3）解：如图，点A绕O点顺时针旋转90∘后到A236.【答案】（1）DE=2AM（2）DE=2AM（3）①45∘②【考点】根据正方形的性质证明圆周角定理已知圆内接四边形求角度根据旋转的性质求解【解析】（1）由正方形的性质得出AD=AB，AG=AE，∠DAE=∠BAG（2）延长AM至点H，使得AM=MH，连接BH，证明△AMG≅△HMB(SAS)，由全等三角形的性质得出（3）①过点C作CM∥EB交AD于一点M，连接FM，证明四边形EBCM是平行四边形，再推出△FEM≅△MDC②连接BD交CF于点I，连接MI，根据同弧所对的圆周角是相等是，得出点M,I,C,D四点共圆，结合圆内接四边形对角互补，得出【解答】（1）解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，∴AD=AB，AG∴△DAE∴DE=BG∵∠ABG∴∠ADE在Rt△BAG中，M是∴AM∴DE∵AM∴∠AGB又∵∠ADE∴∠ADE∴∠AND即AN⊥故答案为：DE=2AM（2）解：仍然成立，证明如下：延长AM至点H，使得AM=MH，连接∵M是BG的中点，∴BM又∵∠AMG∴△AMG∴HB=AG∴AG∴∠BAG+∠∵四边形ABCD是正方形，∴∠即(∴∠DAG∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴∠DAB=∠EAG=90∵∠DAG∴∠EAD=则∴∠∴△EAD∴∠ADE=∠∵∠∴∠即∠即AN⊥故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM．线段DE与AM（3）解：①如图：过点C作CM∥EB交AD于一点M，连接∵AD∴ED∵CM∴四边形EBCM是平行四边形，∴EM∵MD∴MD∵∠FEM∴△FEM∴FM=∴∠EMF∴∠FMC∵FM∴△FMC∴∠BHC②连接BD交CF于点I，连接MI，如图∵∠MDI∴点M,∴∠∵∠MDC∴∠MIC∵△FMC∴∠IMC则MC=则ICMC∵四边形EBCM是平行四边形，∴BE∴IC37.【答案】见解答;BD2【考点】切线的判定圆内接四边形的性质相似三角形的性质与判定【解析】(1)、连接OD，根据弧的中点以及OA=OD得出(2)、根据AB为⊙O的直径，DE⊥AE得出∠E=∠(3)、根据AD=DF得出∠1=∠F=∠3，根据△ADF的内角和得出∠1【解答】解：(1)证明：连接∵D为弧BC的中点，∴∠1=∠∴∠3=∠2∵DE∴DE是⊙(1)解：数量关系是BD2=∵AB为⊙O的直径，∵DE⊥AE∵A，B，D，C四点共圆，∴∠∴△ECD∽△DBA∵D为弧BC∴CD=∴B(2)解：∴∠ODF=90∴∠1在△ADF中，∠∴∠1=30在Rt△ECD中tan∠ECD∴CE=3∴CE=1由BD2=CE⋅AB得(238.【答案】(1)【考点】圆内接四边形的性质圆周角定理圆的综合问题垂径定理的应用【解析】（1）在PC上截取PD=AP，利用圆周角定理得到∠APC=60∘，则△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AD(2)过点P作PE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，利用面积公式可得S四边形APBC=1【解答】解：在PC上截取PD=AP，如图∵△ABC∴∠ABC∴∠APC又∵∴△APD∴AD=AP=又∵∠APB=∠APC∴∠ADC在△APB和△∠APB∴△APB∴BP又∵PD∴PC(2)当点P为弧AB的中点时，四边形理由如下，如图2，过点P作PE⊥AB过点C作CF⊥AB∵S△APB=12∴S四边形APBC当点P为弧AB的中点时，PE+CF=PC，∴此时四边形APBC的面积最大.如图所示，过O作OM⊥BC，连接OB，∵⊙O为等边△∴∠BOC由垂径定理可知∠BOM=60∴∴∴其内接正三角形的边长AB=∴39.【答案】点A(2（2）b（3）m=1【考点】抛物线与x轴的交点用反比例函数描述数量关系勾股定理的应用圆的有关概念【解析】（1）根据“m倍点”的定义结合反比例函数的定义分析即可得解；（2）当m=3时，y=（3）由题意可得函数y=−x+2m+1的“m倍点”为(1,2m)，直线x=1与【解答】（1）解：当m=∵mx+m∴点A(2,3)∵mx∴点B(−2,−3)∵mx+m∴点C(−3,−2)综上，点A(2,3)和C故答案为：点A(2,（2）解：当m=3时，∵函数y=−x2∴3∴x∴Δ=(3∴b（3）解：∵y∴x∴函数y=−x+2m如图所示，直线x=1与⊙A交于点B，连接AB，过点B作BC∴AC∴10∴m∵m∴m40.【答案】直线DE与⊙OCD=DB−DH的最大值为【考点】切线的判定切线长定理勾股定理相似三角形的性质与判定【解析】(1)连接OD，利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出(2)得出△BCD(3)，作DH⊥BC，作点H关于DE的对称点F，连接连接BF,DF,EH，则BD−【解答】解：(1)直线DE与理由如下：连接OD．∵∴∠又∵∠∴∠∵AB是⊙∴∠即∠∴∠∴∠∴∴DE与⊙(1∴AB在Rt△∵tan∴BC∴AC∵∠BDC=∠∴△∴∴CD(2)如图，作DH⊥BC，作点H关于DE的对称点∴当B,则∵∠ABC=90∘，则∵DE是⊙∴∴∠EBD∵对称，∴∠∴∠∵∴∠∴∠∴∠∴∠OBD=60∵AB∴∠∴∵∴∴即BD−DH41.【答案】（1）见解析（2）2【考点】同弧或等弧所对的圆周角相等半圆（直径）所对的圆周角是直角证明某直线是圆的切线求弧长【解析】（1）由题意连接BC，得出∠DAC=∠BAC，进而得出∠（2）连接OD，由点C为劣弧BD⌢中点，得CD⌢=BC⌢【解答】解：（1）证明：连接BC，如图1所示，∵点C为劣弧BD⌢中点，∴CD∴∠DAC∵BE∴∠BEF∵AB是⊙∴∠ADB∴∠DAE∴∠BAC∴∠ABF∵AB是⊙∴BF是⊙（2）解：连接OD，∵点C为劣弧BD⌢中点，∴CD∴∠CAD∴∠BAD∴∠BOD∵AB∴OB∴BD⌢的长度为42.【答案】（1）∠CAO（2）证明见解析（3）1【考点】半圆（直径）所对的圆周角是直角切线的性质相似三角形的性质与判定【解析】（1）利用切线性质和平行线、等腰三角形性质，找出与∠CAE（2）通过切线性质、圆周角定理推导角相等，结合公共角证明三角形相似；（3）利用圆周角定理得到线段相等，结合相似三角形△BCF∽△CAF的性质，通过设BF【解答】（1）解：∵EF是⊙O∴OC⊥又∵CE⊥∵OC // ∵OA=∴∠ACO∴∠CAE（2）证明：∵EF是⊙O的切线，OC为∴∠BCO∵AB为⊙∴∠ACB即∠ACO∴∠∵∴∠CAO∴∠CAO∵∠F∴△（3）解：∵BC∴BC由(2)知∴∴设BF=x，则∴AB∴43.【答案】（1）见解析；(2)⊙O【考点】等边三角形的性质与判定勾股定理的应用尺规作图——确定圆心【解析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心．(1(2)由题意易得△OAB是等边三角形，则∠OAB=∠【解答】解：（1）△ABC的外接圆⊙(2)连接∵OA由作图知OA=∴OA∴△OAB∴∠OAB∵BC∴BC∴∠C∴∠OAC∴在Rt△OAC中，∵AC∴OA∴⊙O的半径344.【答案】证明过程见解答；5【考点】全等三角形的性质与判定切线的判定圆内接四边形的性质垂径定理的应用【解析】(1)连接OA，OB，OC，由AC=AB，OA=OA，OC=OB可证出△OAC≅△OAB(SSS)，利用全等三角形的性质可得出∠OAC(2)连接AE，由圆内接四边形对角互补结合∠BCE=90∘可得出∠BAE=90∘，由同角的余角相等可得出∠BAG=∠AEB，结合∠ABC=∠ACB=∠AEB可得出∠BAG=∠ABC【解答】(1)证明：如图1在△OAC和△AC∴△∴∠∴AO平分∠∵又∵∴∴AD是⊙(2)如图2∵∠∴∠又∵∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∴在△ADC和△∠∴△∴AF=设FG=x，在Rt△BFG，FG∴FG2∴x∴45.【答案】（1）2（2）2（3）15【考点】等腰三角形的判定与性质勾股定理的应用利用垂径定理求值90度的圆周角所对的弦是直径【解析】（1）先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据90∘的圆周角所对的弦是直径判断出AB（2）设CD与AB相交于点E，根据等面积法求出CE，然后根据垂径定理求解即可；（3）证明△ACO是等边三角形，得出∠ACO=60∘【解答】（1）解∶∵∠ACB=90∘，∴AB∵∠ACB∴AB是⊙∴⊙O的半径为1（2）解：设CD与AB相交于点E，∵∠ACB=90∘，AC=∴12AB∴CE∵CD⊥AB，AB∴CD（3）解：∵AC∴△ACO∴∠ACO∵CD=2∴C∴∠DOC∴△DOC∴∠DCO∴∠ACD46.【答案】（1）见解析（2）见解析【考点】半圆（直径）所对的圆周角是直角画圆(尺规作图)同弧或等弧所对的圆周角相等【解析】（1）根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作AC,AB的中垂线，两条中垂线的交点即为圆心O，再以O为圆心，OA的长为半径画圆，延长AO交⊙O于点E（2）根据圆周角定理得到∠ABE【解答】（1）解：由题意，作图如下：（2）∵AE∴∠ABE∵AD∴∠ADC又∵∠AEB∴△ABE47.【答案】（1）见解析；(【考点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）利用矩形的性质证明同弧或等弧所对的圆周角相等半圆（直径）所对的圆周角是直角【解析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，圆周角定理的推论．熟练掌握以上知识点是解题的关键．(1)根据四边形ABCD是矩形，推出∠B=90∘，AD∥(2)根据直径所对的圆周角是直角得∠ADB=90【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∴∠DAF又∵DF∴∠AFD∴∠AFD在△AFD和△∠AFD∴△AFD∴AB(2)解：∵AB为⊙∴∠ADB∵同弧所对应的圆周角相等，且∠ACD∴∠B∴∠BAD48.【答案】DE与⊙O43【考点】扇形面积的计算直线与圆的位置关系【解析】(1)连结OD，通过证明(2)连结OC，通过证明△BOC为等边三角形，即可得到∠AOC=【解答】解：(1)DE理由如下：如图，连结OD，∵△ABC内接于⊙O，∴∠∵CD平分∴∠∴∠∠∵∴∠∴∠∴DE与⊙(2)∵∠ACB=∴∠BAC=∴△BOC∴∠∵⊙O的半径为∴AB=4cm∴S∴S49.【答案】（1）抛物线解析式为y=−x2+90（3）273或−【考点】待定系数法求二次函数解析式已知圆内接四边形求角度二次函数综合——面积问题【解析】（1）利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；（2）由题意知，四边形AOCQ是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得∠AQC（3）先用m表示出MN，然后用含m的式子表示出△MBC（4）先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出m的值．【解答】（1）解：∵抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点A的坐标为(−1,−1解得：b=∴抛物线解析式为y=−当y=0时，得：解得：x1=−1∴B点坐标为(设直线BC解析式为y=kx+s，将点3k解得：k=−∴直线BC解析式为y=−（2）解：由题意知，四边形AOCQ是圆内接四边形，∴∠AQC∵∠AOC∴∠AQC故答案为：90∘（3）解：∵PM⊥x轴，点P∴Mm,−∵P在线段OB∴M点在N∴MN∴S∴当m=32时，△（4）解：抛物线y=−x2分以下三种情况讨论：①当m+1<1，即m<0时，在∴当x=m+1时，∴−(m解得m=−1或②当m−1≥1，即m≥2时，在∴当x=m−1时，∴−(m解得m=1（不合题意，舍去）或③当m−1<1<m+1，即故这种情况不存在；综上所述，m的值为3或−1故答案为：3或−150.【答案】（1）证明见解析；（2）sin∠ABC的值为3【考点】全等三角形的应用切线的性质证明某直线是圆的切线解直角三角形的相关计算【解析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，掌握知识点的应用是解题的关键．(1)连接CO，DO，证明△CDO≅△BDOSSS，所以∠OCD=∠OBD，又(2)连接CO，DO交BC于点F，由OC=OB，BD=CD，可得OD垂直平分BC，所以CF=BF=12BC，∠DFC=∠ACB=∠DFB=90∘，证明△AEC【解答】解：（1）证明：如图，连接CO，DO，在△CDO和△CO=∴△CDO∴∠OCD∵CD与⊙∴OC∴∠OCD∴∠OCD∴OB∵OB为⊙∴BD是⊙（2）解：如图，连接CO，DO交BC于点F，∵OC=OB∴OD垂直平分BC∴CF=BF∵AE=DE∴△AEC∴CE=FE设CE=FE=a，BF=∵AE=DE∴BE∴DF∴AC∴AB∴sin∠ABC∴sin∠ABC的值为351.【答案】AE（2）成立；理由见解析（3）2或7【考点】勾股定理的应用圆周角定理根据旋转的性质求解相似三角形的性质与判定【解析】（1）证明△ACD为等腰直角三角形，得到AC=2CD．则CE=2CF，C（2）证明△ACE∽△DCF（3）分两种情况进行解答即可．【解答】（1）解：（1）∵△ABC为等腰直角三角形，D为AB∴CD∴△ACD∴AC∵△CEF∴CE=2CF，C，∴（2）成立，理由如下：如解图，连接CD．由(1)知，∵△CEF∴CE∵∠ECF∴∠ECA∴△ACE∴AE即AE=（3）∵△ABC是等腰直角三角形，BC∴AB如解图，连接CD,由(2)知，∴∠AEC∵∠CFE∴∠BFC∴B，C，F，D∴∠BFD∴∠CFD∴∠AEB在△BCF中，BF∴BE在Rt△AEB∴DF如解图，在Rt△BCF中，∴BE∵∠BFC∴C，F，B，D∴∠CFD由(2)知，∴∠AEC∴∠AEC∴∠AEF∴∠AEB在Rt△AEB中，∴DF综上所述，DF的长为2或7252.【答案】（1）60（2）见解析（3）1【考点】相似三角形的性质与判定圆周角定理证明某直线是圆的切线求圆弧的度数【解析】（1）连接OD，DB，利用线段垂直平分线的性质，同圆的半径相等，得到△OBD（2）利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠CDB=30（3）连接OP，利用相似三角形的判定与性质解答即可．【解答】（1）解：如图1中，连接OD，DB，∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点∴DE垂直平分OB∴DB=DO∵DO∴DB∴△ODB∴∠BDO即BD⌢所对的圆心角的度数为60（2）证明：∵BC=OB=BD，且∴∠BCD∠ODC∴OD∵OD为⊙∴CD是⊙（3）解：连接OP，如图2，由已知可得：OP=∴OEOP∵∠COP∴△OEP∴PEPC53.【答案】见解答【考点】三角形的外接圆与外心作三角形的内切圆与外接圆【解析】连接AB、AC，分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点O，连接AO，以点O为圆心，AO的长为半径画圆即可．【解答】解：如图，⊙O54.【答案】解：[问题解决]

如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC，OC，

当点C与点B不重合时，

∵在△POC中，

PO+CO>PC，

又CO=BO，

∴PO+BO>PC，即PB>PC，

当点C与点B重合时，

PB=PC，

∴综上可得，

PB≥PC，

∵点C为⊙O上任意一点，

∴PB的长是点P到⊙

O上的点的最长距离．

[初步应用]

（1）若点P在⊙O外，如图①，

则PA=3，PB=7，

∴AB=PB−PA=7−3=4，

∴⊙O的半径为2；

若点P在⊙O内，如图②，

则PA=3，PB=7，

∴AB=PB+PA=7+3=10，

∴⊙O的半径为5；

综上所述，⊙O的半径为2或5.

故答案为：2或5.

（2）连接AE，交⊙O于点

D

由[模型建立]可得AD的长是点A到⊙E上的点的最短距离，

∴AP的最小值是AD的长.

∵在Rt△ACE中，

AC=8, CE=2，

∴AE=AC2+CE2=82+22=217，

∴AD=AE−DE=217−2，

∴AP的最小值是217−2，【考点】点与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：[问题解决]

如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC，OC，

当点C与点B不重合时，

∵在△POC中，

PO+CO>PC，

又CO=BO，

∴PO+BO>PC，即PB>PC，

当点C与点B重合时，

PB=PC，

∴综上可得，

PB≥PC，

∵点C为⊙O上任意一点，

∴PB的长是点P到⊙

O上的点的最长距离．

[初步应用]

（1）若点P在⊙O外，如图①，

则PA=3，PB=7，

∴AB=PB−PA=7−