2025-2026学年长沙市雅礼教育集团高二（上）11月期中考试数学试卷（学生版+解析版）

雅礼教育集团2025年下学期期中考试试卷是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是()A.√6B.6C.29D.√293.P、Q分别为6x+8y-20=0与6x+8y+5=0上任意A.x²+(y+3)²=1B.(x+3)²+y²C.(x-3)²+y²=1D.(x-3)²+(y-35.已知P是椭圆1上一点，F₁,F₂是其左、右焦点，若∠F₁PF₂=90,则△PF₁F₂的面积为A.4√3B.5√36.若等差数列{an}的首项a=5,am=3,则am+2等7.若直线l:(m+2)x+(m-1)y+m-1=0与圆C:(x-1)²+y²=4交于A、B两点，则|AB|的取值不可能A.2√2B.3于A、B两点，坐标原点为0,若O|A|=√a²+b²,二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若数列{aₙ}是等差数列，则下列数列中一定为等差数列的有()A.{aₙ+3}B.C.{a+1-an}10.已知抛物线y²=4x上两点A(x,y₁),B(x₂,y₂),F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是()C.若直线AB过F,则y₁y₂=-1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.双曲线x²-y²=4上的动点，x₀>0,yo≥0,直线l:x₀x-yoy=4与双曲线的两条渐近线交于P,Q两点(点P在第一象限),R与Q在同一条渐近线上，则RP·RQ的最小值为.·四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知M(-3,0),N(0,0),平面内一动点P满足|PM|=√2|PN|,设动点P的轨迹为Ω.(1)求Ω的方程；(2)若直线l:x+y-1=0与Ω交于A,B两点，求|AB|的值.16.记Sn为等差数列{an}的前n项和，且满足a=5,S₃=12.(2)Sn是否存在最大(小)值，如果存在，求出取得最值时n的值，此时最值是多少?如果不存在，请说明理由(2)设PA=1,AB=√3,求二面角D-AE-C的余弦值.18.已知在平面直角坐标系中，0为原点，抛物线I:y²=2px的焦点为F(1,0),A、B是抛物线厂上两个不同的点.(1)求抛物线T的方程；(2)若直线AB斜率为1,且过点F,求线段AB的长度；(3)直线l与抛物线T交于不同于0的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点0,且OG⊥AB于G,证明：存在定点H,使|GH|为定值.19.已知椭圆C离心率为,左、右焦点分别为F₁(-1,0),F₂(1,0)(2)已知点M。(1,4),证明：线段F₁M。的垂直平分线与C恰有一个公共点；(3)设M是坐标平面上的动点，且线段FM的垂直平分线与C恰有一个公共点，证明M的轨迹为圆，并求该圆的方程.雅礼教育集团2025年下学期期中考试试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.抛物线的准线方程是()【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的准线方程求解即可.所以抛物线的准线方程是 A.√6B.6C【答案】A【解析】【分析】根据空间两点间的距离公式求解即可.【详解】|AB|=√(2-3)²+(3-1)²+(5-4)²=√6【解析】【分析】先判断两直线平行，再利用两平行直线的距离公式计算即得.【详解】因直线6x+8y-20=0与直线6x+8y+5=0互相平行，P、Q是两直线上的点，4.圆x²+(y-3)²=1关于直线x-y=0对称的圆的方程为()Ax²+(y+3)²=1B.(x+3)²+y²=1C.(x-3)²+y²=1D.(x-3)²+(y【解析】【分析】求出圆心(0,3)关于直线x-y=0的对称点坐标，代入圆的标准方程，即可得答案.【详解】圆x²+(y-3)²=1的圆心为(0,3),半径r=1,设(0,3)关于直线x-y=0对称点为(a,b),则,解得即对称的圆心为(3,0),所以对称圆的方程为：(x-3)²+y²=1.5.已知P是椭圆F₁,F₂是其左、右焦点，若∠F₁PF₂=90,则△PF₁【解析】【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到|PF|+|PF₂|=4√2,再由勾股定理得|PF|²+|PF₂²=16,,联立方程组，求得|PF|PF₂|=8,结合三角形的面积公式，即可求解.联立方程组所以PF₁F₂的面积为故选：CBB【答案】B【解析】分析】先由求得d,然后根据am+2【详解】设等差数列{an}的公差为d,所所故选：B=am+2d,即可得到本题答案. A.2√2B.3【答案】A10.已知抛物线y²=4x上两点A(x,y₁),B(x₂,y₂),F为抛物线的焦点，则下列说法正确的是()C.若直线AB过F,则y₁y₂=-1D.若AB=6,则AB的中点到y轴距离的最小值为2【解析】【分析】根据抛物线方程求出p=2,确定焦点位置，即可判断A项；通过计算点的坐标易判断B项；设AB的方程x=my+1,与抛物线方程联立，利用韦达定理即可判断C项；对于D项，结合图形可推出当达定理得到2m²+t≥2,计算AB的中点M(x₀,y%)的横坐标x₀=2m²+t≥2,即得AB的中点到Y轴距离的最小值为2.对于B,因直线AB过F,且AB⊥x轴，把1代入y²=4x,解得y=±2,对于C,由上分析知F(1,0),因直线AB的斜率不能为0,故可设其方程为x=my+1,代入y²=4x,可得y²-4my-4=0,令-x代x,则√(-x+c)²+y²·√(-x-c)²+y²=√(x-c)²+y²√(x+c)²+y²=a², 可知与x轴至少有2个交点，所以C不正确；由三角形面积公式可知,因为在三角形中0<sin∠F₁MF₂≤1,所以且仅当sin∠F₁MF₂=1,即时取等号，所以D正确；三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知Sn为等差数列{a}的前n项和，若2a₃-a₄=4,3a₂+a₅=25,则S20=_【答案】590【解析】【分析】根据等差数列基本量的计算可得公差，即可由求和公式求解.【详解】设公差为d,故答案为：590【解析】 【详解】双曲线1,c=√3+1=2, 抛物线y²=mx的焦点为(2,0),所以2,m=8.【答案】-2【解析】而双曲线x²-y²=4的渐近线方程为y=±x,则OP⊥联立,解得四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(1)求Ω的方程；(2)若直线l:x+y-1=0与Ω交于A,B两点，求|AB|的值.【解析】【小问1详解】设P(x,y),∵M(-3,0),N(0,0),|PM|=√(x+3)²+y²,|PN=√x²+y²,【小问2详解】Ω的方程为x²+y²-6x-9=0,圆心为(3,0),半径为r=3√2,圆心(3,0)到直线l:x+y-1=0的距离16.记Sn为等差数列{a,}的前n项和，且满足a₁=5,S₃=12.(2)Sn是否存在最大(小)值，如果存在，求出取得最值时n值，此时最值是多少?如果不存在，请【答案】(1)an=6-n(2)n=5或6时，S取得最大值15,无最小值【解析】【分析】(1)根据题设结合等差数列求和公式可得d=-1,进而求解即可；(2)先根据等差数列求和公式可得,再结合二次函数的性质求解即可.【小问1详解】设等差数列{a}的公差为d,由题意得，则15+3d=12,解得d=-1,所以aₙ=5+(n-1)×(-1)=6-n.【小问2详解】由,函数开口向下，对称轴为而n∈N*,则n=5或6时，Sn取得最大值15,无最小值.(2)设PA=1,AB=√3,求二面角D-AE-C的余弦值.【答案】(1)证明见解析【解析】【分析】(1)利用线面垂直的判定定理进行证明即可；面ADE与平面AEC的法向量，然后利用向量的夹角公式进行求解即可.【小问1详解】如图，连接BD,∵底面ABCD为正方形，所以BD⊥AC,∴BD⊥平面PAC【小问2详解】以A为坐标原点，分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A(0,0,0).c(√3.J3,0).D(0,√3,0).设平面ADE的法向量为n=(x,y₁,z₁),设平面AEC的法向量为m=(x₂,y₂,z₂),,,令y₂=1,得：m=(-1,1,-√3);故结合图像易知：二面角D-AE-C的平面角为锐角，故其余弦值为18.已知在平面直角坐标系中，0为原点，抛物线I:y²=2px的焦点为F(1,0),A、B是抛物线T上两个不同的点.(1)求抛物线T的方程；(2)若直线AB斜率为1,且过点F,求线段AB的长度；(3)直线l与抛物线T交于不同于0的A、B两点，若以AB为直径的圆经过点0,且OG⊥AB于G,证明：存在定点H,使|GH|为定值.【答案】(1)y²=4x;(2)|AB|=8;(3)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据焦点坐标为·故p=2,所以抛(2)联立直线和抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦点弦长公式求出答案；(3)联立方程，得到根与系数的关系，根据以线段AB为直径的圆经过点0,转化成OA·OB=0,可得直线过定点，再由OG⊥AB,根据直角三角形的特征即可找到H的位置，即可求解.【小问1详解】抛物线I:y²=2px的焦点为F(1,0),所以抛物线为y²=4x;【小问2详解】直线AB的方程为l:y=x-1,联立抛物线I和直线1的方程：得x²-6x+1=0,△=32>0,设A(x,y₁),B(x₂,y₂),由韦达定理得x₁+x₂=6,【小问3详解】由题意可知直线AB斜率不为0,设其