上海市上海外国语大学附属浦东外国语学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

上海外国语大学附属浦东外国语学校2025学年第一学期高二年级数学期中2025.11一、填空题（共54分，其中1-6每题4分，7-12每题5分）1.在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为______．2.底面半径为1的圆柱的侧面积为，则该圆柱的体积为______．（结果保留）3.在空间直角坐标系中，已知点，，，若三点共线，则的值为______．4.设常数，若的二项展开式中的系数为144，则______．5.已知空间向量两两夹角均为，其模均为1，则______．6.在长方体中，，，为的中点，则直线与平面的距离为______．7.在三棱锥中，平面，，若点均在球的表面上，且，则球的表面积为______．（结果保留）8.已知，，，，点在直线上运动，当取最小值时，点的坐标是______．9.将各位数字之和为6的三位数叫“幸运数”，比如123，402，则所有“幸运数”的个数为______．10.如图，在棱长均为4的正四棱锥中，，若过点且垂直于棱的平面分别交棱于点，则五边形的面积为______．11.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体．现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有______种．12.设为正整数，和均为整数，若和被除后余数相同，则称和模同余，记为．已知，，则正整数的最小值是______．二、选择题（共18分，其中13-14每题4分，15-16每题5分）13.的展开式中系数最大的项为（）A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项14.在古典名著《红楼梦》中有一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉六种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干同时下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（）种A.72 B.36 C.12 D.615.如图，在三棱锥中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件

16.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论：①存在唯一点，使得；②的面积最小值为；其中（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立三、解答题（共78分）17.（本题14分）已知（是正整数）（1）当时，若的展开式中第3项与第8项的系数相等，求展开式中的系数；（2）设，当时，求的值．18.（本题14分）已知空间四点，，，．（1）求以为邻边的平行四边形的面积；（2）若点在平面上，求的值．19.（本题14分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，；设是的中点，满足，是的中点，是线段上的一点．（1）证明：平面；（2）若，，求直线与平面所成角的大小．20.（本题18分）用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数．（1）四位数共有多少个？（2）偶数共有多少个？（3）比2026大的数有多少个？

21.（本题18分）如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．（1）如图2，在三棱锥中，点是点在平面上的射影，，连接，，，，，．①利用三面角余弦定理求二面角的平面角的正弦值；②求三棱锥体积的最大值；（2）当、、时，请在图1的基础上，试证明三面角余弦定理． 参考答案一、填空题1.；2.；3.；4.；5.；6.；7.；8.；9.；10.；11.；12.；11.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图可近似地看作如图2所示的五面体．现装修工人准备用四种不同形状的风铃装饰五脊殿的六个顶点，要求处用同一种形状的风铃，其它每条棱的两个顶点挂不同形状的风铃，则不同的装饰方案共有______种．【答案】【解析】（1）使用3种形状风铃，只能同，同，同，此时共有种挂法；

（2）使用4种形状风铃，此时有两种情况：

①同，不同：直接将4种风铃挂到四个点上，则全排列有种，

②不同，同：此时共有种，综上，共有种．

故答案为：72．二、选择题13.B；14.C；15.D；16.B15.如图，在三棱锥中，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件 D.充要条件【答案】D【解析】设分别是中点，连接，

若，则，可得，

所以，

即，所以，即，所以，即，故充分性成立；若，则

所以，即，故必要性成立；

故＂＂是＂＂的充要条件．故选：D．16.如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，动点在直线上移动，对于下列两个结论：①存在唯一点，使得；②的面积最小值为；其中（）A.①成立，②成立 B.①成立，②不成立C.①不成立，②成立 D.①不成立，②不成立【答案】D【解析】对于①：因为平面，所以，同理，

若在线段上，设，所以，又,

若，则，解得，

所以存在唯一点使得；若在直线上，且在点左侧，设，则,所以，又,由，得，舍去；若在直线上，且在点右侧，设，则，所以，又,由，得，舍去，①正确；对于②：以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如下图，

正方体棱长为2，则，

设，则，所以

设到直线的距离为，

则

若在线段上，则，

由二次函数性质知时，递减，

所以，又不变，

所以的面积最小为；

若直线上，且在左侧，则，

由二次函数性质知，时，无最小值；

若直线上，且在右侧，则，

由二次函数性质知，时，在时，取得最小，

且此时，又不变，

所以的面积最小为，②错误。故选D.三、解答题17.（1）84（2）16665018.（1）（2）19.（1）证明略（2）20.用0，1，2，5，6，7这六个数字组成没有重复数字的四位数．（1）四位数共有多少个？（2）偶数共有多少个？（3）比2026大的数有多少个？【答案】（1）300（2）156（3）237【解析】（1）先从中选1个数字放在千位，有种方法，

再从剩余的五个数字中选3个，放在个位、十位和百位，有种方法，

故可以组成没有重复数字的四位数的个数为300.

（2）根据四位数的个位数字是否是0进行讨论，当四位数的个位数字是0时，

没有重复数字的四位数有（个）。

当四位数的个位数字是2或6时，千位有4个数字可选，百位、十位有种选法，

满足条件的四位数有（个）。

所以共有个偶数．

（3）当2在千位，0在百位，5在十位时，个位可以是1，6,7，共3个，

当2在千位，0在百位，6在十位时，个位可以是1,5，7，共3个，

当2在千位，0在百位，7在十位时，个位可以是1,5，6，共3个，

当2在千位，1在百位时，十位、个位共有种选法，

当2在千位，5在百位时，十位、个位共有种选法，当2在千位，6在百位时，十位、个位共有种选法，

当2在千位，7在百位时，十位、个位共有种选法，

当5在千位时，百位、十位、个位共有种选法，

当6在千位时，百位、十位、个位共有种选法，

当7在千位时，百位、十位、个位共有种选法．

综上所述，比2026大的数共有（个）。21.如图1，由射线、、构成的三面角，，，，二面角的大小为，类比于平面三角形中的余弦定理，我们得到三维空间中的三面角余弦定理：．（1）如图2，在三棱锥中，点是点在平面上的射影，，连接，，，，，．①利用三面角余弦定理求二面角的平面角的正弦值；②求三棱锥体积的最大值；（2）当、、时，请在图