辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试卷（含答案）

辽宁省沈阳市五校协作体2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题一、单选题1．全集，集合，，则（

）A． B．或C． D．2．命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是（

）A． B． C． D．3．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．4．已知，则指数函数，，分别对应图中的哪个函数（

）

A．，， B．，， C．，， D．，，5．已知，，且，则的最小值是（

）A． B．5 C． D．76．设若有且仅有两个解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．已知函数的定义域为，且满足，，，都有，则称函数具有性质.已知函数具有性质，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．8．已知函数满足，，且，则的最大值是（

）A． B． C．1 D．2二、多选题9．下列指数幂运算中，正确的是（

）A． B．C． D．10．已知两个实数、满足，则（

）A． B． C． D．11．已知函数的定义域为，，且，则（

）A．B．函数的图象关于点中心对称C．函数的图象关于直线对称D．三、填空题12．已知，则.13．若函数有两个零点，，且，，则实数的取值范围为.14．非物质文化遗产承载着民族的历史和文化记忆，帮助人们理解和连接过去和现在，为弘扬和传承非物质文化遗产，云南某校组织高一年级100名学生去社区参加非物质文化遗产的学习活动.一共有傣族孔雀舞，傣族泼水节，傣族织锦技艺三项学习活动，每个同学至少参加一项活动，其中有52人参加了傣族孔雀舞，43人参加了傣族泼水节，49人参加了傣族织锦技艺，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族泼水节的有24人，既参加了傣族孔雀舞又参加了傣族织锦技艺的有20人，既参加了傣族泼水节又参加了傣族织锦技艺的有17人，则三项活动都参加的人数为.四、解答题15．函数满足对任意，都有，且，当时，.(1)判断并证明在上的单调性；(2)求不等式的解集.16．已知函数（且）的图象过点.(1)求的解析式；(2)设函数，求在上的最大值.17．大学生小王响应国家号召决定自主创业，计划经销两种商品，据市场调查统计，当投资额为万元时，经销商品所获得的收益分别为万元与万元，其中，，小王计划投入10万元全部用于经销这两种商品．(1)假设小王只经销其中一种商品，求他能获得的收益；(2)如果小王经销这两种商品，请帮他制订一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出最大收益．18．已知二次函数，其中且.(1)证明：二次函数与轴正半轴和负半轴各有一个交点的充要条件是；(2)若，且当和时，y均为奇数，证明：方程无整数根.19．我们知道，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，我们可以将其推广为：函数的图象关于直线成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数.同理，函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.(1)若函数满足为偶函数，求的值；(2)若函数，判断函数的图象是否为中心对称图形?如果是，求出其对称中心；如果不是，请说明理由；(3)在（2）的条件下，解关于的方程.

参考答案题号12345678910答案CDABDCBABCDABCD题号11答案ACD12．13．14．1715．（1）在上是单调递减的函数，理由如下：任取，则，由已知得，则，∴，∴在上是单调递减函数．（2）令，得，所以．令，得，所以，所以为奇函数；由于，则，所以，又因为，所以．因为又因为，所以，由于在上是单调递减，，即，即，所以不等式的解集为.16．（1）因为函数（且）的图象过点，所以，所以，所以，（2），令，则，当时，对称轴为，所以在上单调递增，所以，当时，，所以在上单调递增，所以，当时，对称轴为，若，即时，在上单调递增，，若，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以，所以在上的最大值为.17．（1）因为投入10万元，即，若只经销商品，则所获得的收益为万元；若只经销商品，则所获得的收益为万元.（2）设商品投入万元，则商品投入万元，可知总收益，若，则，当且仅当，即时，等号成立，所以在上的总收益最大值为16万元；若，则，可知的图象开口向下，对称轴为，则，所以在上的总收益最大值小于万元；因为，所以商品投入8万元，商品投入2万元，总收益最大值为16万元.18．（1）必要性：若一元二次方程有一正根和一负根，则由韦达定理得：，即；充分性：若成立，此时方程一元二次方程的，方程有两个不同的根，且，即一元二次方程有一正根和一负根.所以一元二次方程有一正根和一负根的充要条件是.（2）当时，为奇数，当时，均为奇数，因为为奇数，所以为偶数，所以同为奇数或同为偶数，假设有整数根，则，1、当均为偶数时，则为偶数，为偶数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；2、当均为奇数时，若为偶数，则为偶数，为偶数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；若为奇数，则为奇数，为奇数，又为奇数，所以为奇数，所以，与假设矛盾；综上，假设不成立，所以方程无整数