安徽省皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试卷（含答案）

安徽省皖南八校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（

）A．2 B． C． D．2．若A，B，C，D为空间中不同的四点，则下列各式不一定等于零向量的是（

）A． B．C． D．3．在平面直角坐标系中，已知点，满足条件，则点的轨迹是（

）A．椭圆 B．线段 C．射线 D．椭圆或线段4．已知直线：，：，当时，两直线，之间的距离为（

）A．5 B．3 C． D．25．若方程表示圆，且圆心在第二象限，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．6．在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．7．已知曲线C：，则“”是“直线与曲线C有且仅有1个交点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．已知空间向量，，，向量，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．二、多选题9．已知曲线C：，则下列结论正确的有（

）A．若，则C是焦点在x轴上的椭圆 B．若，则C是圆C．若，则C的焦点为和 D．若，则C的长半轴长为10．已知直线l：，圆C：，其中，则下列说法正确的是（

）A．直线l与圆C相离B．当时，直线l的斜率不存在C．若点为圆C上任意一点，则的最大值为2D．过直线l上一点P作圆C的切线，切点为A，的最小值为11．在棱长为2的正方体中，点在棱上移动，．过点作平面垂直于空间对角线，设平面与正方体的截面为多边形．记截面多边形的重心为，面积为，边数为．当从0到2连续变化时，下列说法正确的是：（

）A．平面与平面的夹角余弦值是；B．的取值范围是；C．的值可能是5；D．点的轨迹的长度为.三、填空题12．已知向量，，则.13．若不同的两点与点关于直线对称，则的倾斜角为．14．若过圆内不同于圆心的点恰好可以作5条长度为正整数的弦，则符合条件的点构成的区域的面积为．四、解答题15．已知椭圆E：（）的左、右焦点分别为，，且，两点在椭圆E上.(1)求椭圆E的方程；(2)若点，，证明：点M在椭圆上，并求的周长.16．已知圆C：（，）与y轴交于A，B两点，，且.(1)求圆C的标准方程；(2)若直线和直线将圆C的周长四等分，求的值.17．如图所示实验装置，由矩形ABCD和ABEF构成，且，，.活动点M，N分别在对角线BD，AE上移动，且.记，，，且，.(1)用向量，，表示，.(2)为何值时，最小，最小值是多少？(3)当时，证明：平面ABCD.18．如图所示，在直三棱柱中，，，是线段上的动点（不与点，重合），且满足，实数.(1)当时，证明：平面；(2)当时，求二面角的余弦值；(3)求四面体的外接球半径的取值范围.19．已知圆点.(1)过作圆的切线，求切线的方程；(2)过圆O上一点作两条相异直线分别与圆相交于，两点，且直线和直线的倾斜角互补.求证：直线的斜率为定值.(3)已知，设为满足方程的任意一点，过点向圆引切线，切点为，试探究：平面内是否存在一定点，使得为定值?若存在，请求出定点的坐标，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.

参考答案题号12345678910答案DCDBDAABABDAD题号11答案ABD12．413．14．15．（1）因为椭圆E经过，两点，所以由椭圆的结构特征可知，，椭圆焦点在x轴上，所以椭圆E的方程为.（2）由点，得，显然点满足椭圆方程，所以点M在椭圆E上，如下图：由椭圆方程可知，，所以的周长为.16．（1）圆C：（，），则圆心，半径，如图：过作轴，

，，则，又，则，即，解得，所以圆C的标准方程为．（2）设直线和圆C交于点E，F，直线与圆C交于点M，N.

因为直线和直线将圆的周长四等分，所以圆心位于两直线之间，连接CE，CF，CM，CN，则，所以△ECF为等腰直角三角形，所以圆心C到直线的距离为，同理可得圆心C到直线的距离为，故直线和直线间的距离为，所以，即．17．（1）由题意得，，，，可知，则.（2）因，，，，则，则当时，有最小值，最小值为.（3）当时，，则，，所以，，因为AB，平面ABCD，，平面ABCD.，所以平面ABCD.18．（1）由题知在直三棱柱中，平面，平面，所以，当时，为中点，由题知为等腰直角三角形，所以，又，平面，，所以平面，即平面EBC.（2）在直三棱柱中，，，，则以为原点，以为轴，以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，又，则，则，，设平面的一个法向量为，则，取，则，，故，又在直三棱柱中，，则平面，所以平面的一个法向量为，又二面角的平面角为锐角，则二面角的余弦值为.（3）设四面体的外接球球心的坐标为，半径为，则，故，则，所以外接球球心I的坐标为，又，代入得，即，则，，当时，取得最小值为，当或时，，所以，所以，，当时，取得最小值为，当时，，所以，所以，所以四面体的外接球半径的取值范围为.19．（1）根据圆的方程可知，圆的圆心坐标为，半径为.点距离圆心的距离，故点在圆外，过点的切线有两条.当过点的直线不存在斜率时，切线方程为，圆心距此直线的距离为，与半径相等.故此直线与圆相切.当过点的直线存在时，设直线方程为，即，圆心距离此直线的距离应为，故，解得.故直线方程为，即.所以过点且与圆相切的直线方程为：和.（2）假设过点的一条直线倾斜角为，由题目条件得另一条直线的倾斜角也为，但过直线外一点做该直线的垂线只有一条，与两条直线相异矛盾，故过的直线不可能垂直于轴.由于两直线的倾斜角互补，因为，故两直线的斜率互为相反数.设直线与圆相交于，两点，直线与圆相交于，两点.点在上，则，化简得，由韦达定理得.点在上，则，化简得，由韦达定理得.则直线的斜率为.易得，.故.故直线的斜率为定值.（3）设，因，所以，化简得，.所以点的轨迹是一个圆，圆心为点，半径为.因，所以圆内含于圆.故点一定在圆外，过任意