专题21锐角的三角比（举一反三讲义）数学沪教版九年级上册

专题2.1锐角的三角比（举一反三讲义） 【沪教版】TOC\o"13"\h\u【题型1正弦、余弦、正切、余切的概念辨析】 2【题型2直角三角形中求正弦、余弦、正切、余切的值】 4【题型3由正弦、余弦、正切、余切的值求边长】 6【题型4由正弦、余弦、正切、余切的值求坐标】 9【题型5与特殊角的三角比有关的混合运算】 13【题型6由正弦、余弦、正切、余切的值判断三角形的形状】 14【题型7由正弦、余弦、正切、余切的的值求角度】 16【题型8同角（互余）两角的三角比的关系】 18【题型9锐角的三角比的增减性】 21【题型10求特殊角的三角比的值】 24知识点1锐角的三角比1.正弦、余弦、正切、余切的定义如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sin把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即把锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作tanA，即2.锐角A的正切、余切、正弦、余弦都是锐角A的三角比．3.由于直角三角形的斜边大于任意一条直角边，所以有0<sinA<1且知识点2特殊角的三角比的值1.根据锐角的三角比的定义和直角三角形的性质可得下表：α三角比α三角比30°45°60°sin123cos321tan313cot313知识点3锐角的三角比间的关系在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为（1）同角三角比间的关系：sin2（2）tanA与sinA，cos【题型1正弦、余弦、正切、余切的概念辨析】【例1】（2425九年级上·山东淄博·期中）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，若a2+b2=A．c⋅sinA=a B．c⋅cosB=b C．【答案】B【分析】本题考查了锐角三角比的定义和勾股定理的逆定理，掌握锐角三角比的定义是解题的关键．根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形，且∠C=90°，根据锐角三角比的定义表示出sinA、cosB、tanA【详解】解：∵a2∴△ABC是直角三角形，且∠C=90°，由锐角三角比的定义可知sinA=cosB=ac∴c⋅sinA=a，c⋅cosB=a，∴选项B的结论不正确，符合题意．故选：B．【变式11】（2425九年级上·湖南常德·期末）将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角比值（

A．都扩大到原来的n倍 B．都缩小到原来的1C．没有变化 D．只有tanA【答案】C【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角比的概念．根据锐角三角比的概念：锐角A的各个三角比值等于锐角A所在直角三角形的边的比值，求解即可．【详解】解：∵锐角A的各个三角比值等于锐角A所在直角三角形的边的比值，∴Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，锐角A的三角比故选：C．【变式12】（2024·天津红桥·一模）如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，D为边AB上一点，过点D作DE⊥AC，垂足为E，则下列结论中正确的是（A．sinA=BCAB B．cosA=AEAD【答案】B【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角比定义．由锐角的三角比定义，即可判断．【详解】解：∵DE⊥AC，∴∠AED=∠ABC=90°，A、sinA=BCACB、结论正确，故B符合题意；C、tanA=CBABD、tanA=BCAB故选：B．【变式13】（2425九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示sinαA．CDBC B．ACAB C．ADAC【答案】D【分析】本题考查锐角三角比的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】解：∵AC⊥BC，CD⊥AB，∴∠ACB=∠BDC=∠ADC=90°，∴∠α=∠ABC=∠ACD，A、在Rt△BCD中sinB、在Rt△ABC中sinC、在Rt△ACD中sinD、在Rt△BCD中cos故选：D【题型2直角三角形中求正弦、余弦、正切、余切的值】【例2】（2324九年级上·上海松江·期中）在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，则∠A的余切值为．【答案】2【分析】本题考查的是锐角三角比的定义，直接根据锐角三角比的定义解答即可，熟记锐角三角比的定义是解题的关键．【详解】解：在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=3，∴∠A的余切值ACBC故答案为：23【变式21】（2425九年级上·江苏苏州·阶段练习）Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=2，tanA的值为（A．12 B．55 C．2【答案】D【分析】本题考查了锐角三角比，熟练掌握正切的定义是解题的关键．在直角三角形中，正切值定义为对边与邻边的比值，根据题意，确定角A的对边和邻边，代入计算即可．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，∴tan故选：D．【变式22】（2025·上海黄浦·一模）在直角坐标平面内有一点P3,1，那么OP与x轴正半轴夹角的余弦值是【答案】31010【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理等知识点．作PM⊥x轴于点M，构造直角三角形，根据三角比的定义求解．【详解】解：如图，作PM⊥x轴于点M，P3,1根据勾股定理可得OP=O∴cosα=故答案为：310【变式23】（2425九年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值是（

A．1 B．34 C．43 【答案】D【分析】本题考查了勾股定理、正弦，熟练掌握正弦的定义是解题关键．先根据网格和勾股定理可得AD=4,BD=3,AD⊥BD，AB=5，再根据正弦的定义求解即可得．【详解】解：如图，由网格可知，AD=4,BD=3,AD⊥BD，∴AB=A∴sin∠BAC=故选：D．【题型3由正弦、余弦、正切、余切的值求边长】【例3】（2223九年级上·陕西西安·阶段练习）在Rt△ABC中，若∠C=90°，cosA=1213，AC=24，则【答案】26【分析】根据余弦的定义可得cosA=ACAB=12【详解】解：如图，在Rt△ABC∵cos∵AC=24，∴AB=24×13故答案为：26．【点睛】本题考查了已知余弦求边长，掌握余弦的定义是解题的关键，在Rt△ABC中，cos【变式31】（2024·浙江温州·二模）如图，一根3m长的竹竿AB斜靠在竖直的墙上，沿着墙下滑，点A下滑至点A′，点B移至点B′，设∠ABC=α，∠A′BA．3sinα−3sinC．(3tanα【答案】A【分析】本题主要考查了正弦函数，掌握正弦的定义成为解题的关键.先根据正弦的定义表示出AC,A【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3,则sinα=AC同理：A′∴AA故选A.【变式32】（2023·上海杨浦·三模）如果一个矩形的面积是40，两条对角线夹角的余切值是34，那么它的一条对角线长是【答案】10【分析】作BH⊥AC于H．由四边形ABCD是矩形，推出OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a，由余切函数，可得BH=4a，OH=3a，由题意：2×12×10a×4a=40【详解】解：如图，作BH⊥AC于H．

∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC=OD=OB，设OA=OC=OD=OB=5a，则AC=10a．∵根据题意得：cot∠BOH=∴BH=4a，OH=3a，由题意：2×1∴a=1，∴AC=10．故答案为10．【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题．【变式33】（2025九年级下·浙江·专题练习）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD=12，则【答案】24511【分析】本题考查了解直角三角形．作DE⊥AB于点E，设DE长为x，则tanA=DEEA=BC【详解】解：如图，作DE⊥AB于点E，设DE长为x，则tanA=∴EA=3∵tan∴BE=2x，∴AB=EA+BE=3∴x=24∴BD=B故答案为：245【题型4由正弦、余弦、正切、余切的值求坐标】【例4】（2023·黑龙江牡丹江·二模）如图，在平面直角坐标系中点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB=∠B=30∘，OA=2，将△AOB绕点O旋转，若点B落在y轴上，则旋转后点A的对应点A′

【答案】1,3或−1,−【分析】根据题意画出旋转后的图形，添加辅助线，再利用特殊三角形的性质求解即可．【详解】如图，根据题意，要使点B落在y轴上，则需将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A1OB1或将△AOB绕点O

过A1作A1C1⊥y轴于点C1，过由旋转性质可知：OA=OA∴OC1=O∴点A1同理可得：点A2故填：(1,3)或(−1,−【点睛】本题考查坐标与图形变化一旋转，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．【变式41】（2425七年级下·贵州黔南·期末）如图1，在直角三角形ABC中，∠C=90°．定义∠A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sinA，即sinA=BCAB;定义∠A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cosA，即cosA=ACAB．如图2，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，连接A．（sinα，cosα） B．（cosα，sin【答案】B【分析】此题考查了新定义．根据新定义得到cosα=【详解】解：过点A作AH⊥x轴于点H，根据定义可知，cosα=∵以点O为圆心，1为半径作圆，A为圆O上的一点，且位于第一象限，∴OH=∴A故选：B【变式42】（2324九年级上·湖南衡阳·期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=54，边AC在x轴上，点A的坐标为−2,0，矩形CDEF的顶点F与点O重合，顶点D在边BC上，且点D的坐标为2,1，将矩形CDEF沿x轴向左平移，当点D落在【答案】−【分析】本题考查了矩形的性质，锐角三角比，一次函数的性质．利用待定系数法可求直线AB的解析式，即可求解．【详解】解：∵点A的坐标为(−2,0)，点D的坐标为(2,1)，∴AO=2，CD=1，OC=2，∴AC=4，∵tan∴BC=5，∴点B(2,5)，设直线AB解析式为y=kx+b，由题意可得：5=2k+b0=−2k+b解得：k=5∴直线AB解析式为y=5当y=1时，x=−6∴平移后点D坐标为−6∴平移后点E坐标为−16故答案为：−16【变式43】（2023·四川·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知点A(1,0)，点B(0,−3)，点C在x轴上，且点C在点A右方，连接AB，BC，若tan∠ABC=13，则点C

【答案】9【分析】根据已知条件得出∠ABO=∠ABC，根据等面积法得出ACOA=CBOB，设【详解】解：∵点A(1,0)，点B(0,−3)，∴OA=1,OB=3，tan∠OBA=∵tan∠ABC=∴∠ABO=∠ABC，过点A作AD⊥BC于点D，

∵AO⊥BO,AD⊥BC，AB是∠OBC的角平分线，∴AO=AD=1∵S∴AC设Cm,0，则AC=m−1，∴m−1解得：m=94或∴C9故答案为：94【点睛】本题考查了正切的定义，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键．【题型5与特殊角的三角比有关的混合运算】【例5】（2425九年级下·甘肃平凉·期中）计算−1+tan60°+2sinA．2 B．2 C．1 D．3【答案】C【分析】本题主要考查特殊角的三角比值及零指数幂的运算，需逐一计算各部分后合并同类项即可．【详解】解：−1+=−1+=−1+=1，故选：C．【变式51】（2425九年级上·山东聊城·期中）计算3tan60°−【答案】5【分析】本题考查特殊角的三角比混合运算，把特殊角的三角比值代入计算即可．【详解】解：3==3−=5故答案为：52【变式52】（2425九年级上·山东烟台·期中）计算：tan30°×【答案】1【分析】先计算特殊角的三角比值，再分别计算二次根式乘法与减法运算、去绝对值、负整数指数幂运算，最后根据分数的减法运算求解即可得到答案．【详解】解：tan===1【点睛】本题考查实数混合运算，涉及特殊角的三角比值、二次根式混合运算、去绝对值、负整数指数幂运算等知识．熟记特殊角的三角比值，熟练掌握实数混合运算法则是解决问题的关键．【变式53】（2425九年级上·山东聊城·期中）定义一种运算：sinα+β=sinαcosβ+cosαsin【答案】6【分析】本题考查三角比的混合运算，根据sin15°=sin60°−45°【详解】解：sin====6故答案为：6−【题型6由正弦、余弦、正切、余切的值判断三角形的形状】【例6】（2425九年级上·湖南岳阳·期末）△ABC中，sinA−12+32−A．锐角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形 D．等边三角形【答案】C【分析】本题主要考查了绝对值与偶次方的非负性，特殊三角比值，等腰三角形的判定等知识点，解决此题的关键是熟练运用这些知识点．由非负性及特殊三角比值易得∠A=30°，∠B=30°，即可得到答案．【详解】解：sinA−∴sin∴sin∴∠A=30°∴△ABC是等腰三角形；故选项A，B，D错误，不符合题意；选项C正确，符合题意．故选：C．【变式61】（2025九年级下·全国·专题练习）在△ABC中，tanA=1，cosB=2A．一定是锐角三角形 B．—定是直角三角形C．一定是钝角三角形 D．无法确定【答案】B【分析】本题考查了特殊角的三角比值，根据tanA=1，cosB=22求出【详解】解：∵△ABC中，tanA=1，cos∴∠A=45°,∠B=45°，∴∠C=90°，∴△ABC是等腰直角三角形．故选：B．【变式62】在△ABC中，若sinA−32+1【答案】等边【分析】本题主要考查了特殊角的三角比值，等边三角形的判定，根据绝对值和完全平方数非负性可得sinA−32=0,1【详解】∵sinA−∴sinA−∴sinA=解得∠A=60°，∴△ABC是等边三角形．故答案为：等边．【变式63】在△ABC中，2cosA−22+1−A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】结合题意，根据乘方和绝对值的性质，得2cosA−23=0，1−tanB=0，从而得cosA=【详解】解：∵2∴2cosA−∴2cosA−∴cosA=2∴∠A=45°，∠B=45°∴∠C=180°−∠A−∠B=90°，BC=AC∴△ABC一定是等腰直角三角形故选：D．【点睛】本题考查了绝对值、三角比、三角形内角和、等腰三角形的知识；解题的关键是熟练掌握绝对值、三角比的性质，从而完成求解．【题型7由正弦、余弦、正切、余切的的值求角度】【例7】（2425九年级上·山东菏泽·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，3tanA=1，则∠BA．30° B．45° C．60° D．90°【答案】C【分析】本题考查了特殊角的三角比值，熟练掌握特殊角的三角比值是解题关键．由3tanA=1得tanA=33【详解】解：∵3tan∴tanA=∴∠A=30°，∵∠C=90°，∴∠B=90°−30°=60°．故选C．【变式71】（2024·安徽亳州·模拟预测）若tanα+20°=1，则锐角α的度数应是（A．40° B．30° C．25° D．10°【答案】C【分析】本题考查了特殊角的三角比值，由可得α+20°=45°，据此即可求解，熟记特殊角的三角比值是解题的关键．【详解】解：∵tanα+20°∴α+20°=45°，∴α=25，故选：C．【变式72】（2425九年级上·上海静安·期中）如果α是锐角，sinα=12，那么【答案】1【分析】此题考查了特殊角的三角比值，先求出α=30°，再代入即可求出答案．【详解】解：∵α是锐角，sinα=∴α=30°，∴cos90°−α故答案为：1【变式73】（2425九年级上·山东东营·期中）在锐角△ABC中，若tanA−32+sin【答案】12【分析】本题考查的是特殊角的三角比值，非负数的性质，熟记各特殊角的三角比值是解题的关键．先根据非负数的性质得出tanA−3=0，sinC−32=0，由特殊角的三角比【详解】解：∵(∴tanA−3∴tanA=3∵∠A，∠C为锐角，∴∠A=60°，∠C=60°，∴∠B=180°−∠A−∠C=180°−60°−60°=60°，∴∠B的余弦值是12故答案为：12【题型8同角（互余）两角的三角比的关系】【例8】（2425九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°(1)求证：sin2(2)若sinB+cosB=【答案】(1)见解析(2)12【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可．（1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得sinB=ACAB，cosB=BCAB，（2）根据题意，sinB+cosB=75，变形可得(【详解】（1）解：证明如下：∵Rt△ABC中，∠C=90°∴sinB=ACAB，cos∴sin2B=A∴sin2（2）解：∵sinB+∴(sin∴sin2∵sin2∴1+2sin∴sinB⋅【变式81】若sin70°−α=cos50°，则A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】B【分析】根据互余两角三角比关系：sinα=cos(90°α)求解即可．【详解】∵sinα=cos(90°α)，∴sin70°−α=cos(90°−70°+α)=cos(20∵sin70°−α∴α=50º20º=30º，故选：B．【点睛】此题考查了互余两角三角比关系，解题的关键是熟练掌握sinα=cos(90°α)．【变式82】（2425九年级上·山东泰安·期中）若a为锐角．(1)求证：①sinα=cos90(2)试求：sin2【答案】(1)①见解析；②见解析(2)44【分析】本题主要考查正弦、余弦的计算，理解并掌握正弦、余弦的计算方法，图形结合分析是解题的关键．（1）①根据正弦、余弦的计算方法求解即可；②根据正弦、余弦、勾股定理计算即可；（2）由（1）的计算可得sin89∘=cos1【详解】（1）解：若α为锐角，建立如上图所示的直角△ABC，∠C=90∘，①sinα=BCAB∴sin②∴BC2+AC2∴sin（2）解：由（1）可得：sin89∘=cos1∴==1×44+=441【变式83】（2025九年级下·全国·专题练习）在如图的直角三角形中，我们知道sinα=ac，cos∴sin2(1)请你根据上面的探索过程，探究sinα，cosα与(2)请你利用上面探究的结论解答下面问题：已知α为锐角，且tanα=12【答案】(1)tan(2)−【分析】（1）利用sinα=ac，cosα=b（2）利用（1）中结论，将sinα−2cosα2sin本题考查了三角比的定义，三角比之间的关系，正确理解定义是解题的关键．【详解】（1）解：∵sinα=ac，cos∴sinα∴tanα=（2）解：∵sinα−2cosα∴sinα−2【题型9锐角的三角比的增减性】【例9】（2324九年级上·山东德州·开学考试）如图，△ABC中，BC=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，AD=4，CD=3，则关于∠FBD、∠FCD、∠FCE的大小关系（）A．∠FBD>∠FCD B．∠FBD<∠FCD C．∠FCE>【答案】A【分析】由勾股定理，依次得到AC=AD2+CD2=5，BC=AC=5，BD=BC−CD=5−3=2，由tan由AD⊥BC，BE⊥AC，得到FC⊥AB（三角形的三条高相交于同一点），结合BC=AC，得到∠FCE=∠FCD，即可求解，本题考查了，勾股定理，锐角三角比，解题的关键是：熟练掌握通过三角比比较角的大小．【详解】解：∵AD⊥BC，AD=4，CD=3，∴AC=A∴BC=AC=5，BD=BC−CD=5−3=2，∵tan∠FBD=FD2∴tan∠FBD∴∠FBD>∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴FC⊥AB（三角形的三条高相交于同一点），又∵BC=AC，∴∠FCE=∠FCD，故选：A．【变式91】若锐角∠A满足sin20°<cosA<cos25°【答案】25°<∠A<70°【分析】首先根据sin20°=cos70°【详解】解：∵sin20°=∴cos70°<∴25°<∠A<70°．故答案为：25°<∠A<70°．【点睛】本题主要考查同角三角比的关系，解题的关键是掌握同角三角比的关系及锐角三角比的增减性．【变式92】（2025九年级下·全国·专题练习）比较大小（用<连接），sin47°，cos53°，tan45°【答案】cos【分析】本题考查三角比的比较大小，掌握正弦值随着锐角角度的增大而增大，但正弦值不大于1是解题的关键．【详解】解：依题意，cos53°=∵37°<47°<60°，∴cos53°<∵tan45°=1∴cos53°<故答案为：cos53°<【变式93】（2223九年级上·河北邯郸·期中）若30°<α<β<90°，则cosβ−cos【答案】1−【分析】根据锐角三角比的增减性判断出cosβ与cosα的大小、cosβ与32【详解】解：∵30°<α<β<90°，∴cosβ<∴cos==−=1−3故答案为：1−3【点睛】本题主要考查了锐角三角比的增减性，锐角三角比的混合运算，根据锐角三角比的增减性判断出cosβ与cosα的大小、cosβ与32【题型10求特殊角的三角比的值】【例10】（2425九年级上·江苏南通·阶段练习）比较sin75°，cos75°，tan75°A．cos75°<tan75°<C．tan75°<cos75°<【答案】B【分析】本题考查了比较三角比值的大小，构造含75°的直角三角形，分别求得sin75°，cos75°，【详解】解：如图，在Rt△ABD中，∠BAD=75°，∠BAC=60°，∴∠CAD=∠D=15°设AB=1∴AC=CD=2，BC=∴BD=3AD=∴sincostan∴cos75°<故选：B．【变式101】（2024·四川泸州·二模）在计算tan15°的值时，可以借用“数形结合”思想构建