第18章平行四边形知识点八年级下学期数学人教版暨湖北中考第一轮复习讲义

第18章平行四边形知识点20222023学年八年级年级下学期数学人教版暨湖北中考第一轮复习讲义课时20特殊的平行四边形知识梳理一．矩形（高频考点）1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。注意：（1）矩形首先是平行四边形，然后增加一个角是直角这一条件，即平行四边形+一个角是直角=矩形；（2）矩形是特殊的平行四边形，且是轴对称图形，它有两条对称轴，两组对边中点所在的直线就是它的对称轴；（3）矩形的定义既可作为矩形的性质运用，又可作为矩形的判定运用。

2.矩形的性质（1）边：对边平行且相等；（2）角：四个角都是直角（90°）；（3）对角线：对角线互相平分且相等；（4）对称性：矩形是对称轴图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线备考提示：（1）矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质；（2）矩形是对称轴图形，它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线；（3）由于矩形的四个角都是直角，故常把关于矩形的问题转化为直角三角形的问题来解决；（4）矩形的两条对角线将矩形分成两对全等的等腰三角形，因此在解决相关问题时，常常用到等腰三角形的性质。3.矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；（2）有三个角是直角的四边形是矩形；（3）对角线相等的平行四边形是矩形。注意：对角线相等的四边形不一定是矩形，对角线相等且互相平分的四边形是矩形；二．菱形（高频考点）1.菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。2.菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质；（2）菱形的四条边都相等；（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（4）菱形是轴对称图形。备考提示：（1）如图所示，四边形ABCD是菱形对角线AC与BD交于点O，则AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。（2）菱形的对角线具有较多的性质：=1\*GB3①所在直线是菱形的对称轴；=2\*GB3②互相垂直；=3\*GB3③互相平分；=4\*GB3④平分一组对角，在具体应用时要注意把握。由于菱形的对角线互相垂直平分，因此许多涉及菱形的问题都会在直角三角形中解决，要抓住这一有利条件。3.菱形的判定（1）一组邻边相等的平行四边形是菱形；（2）四边相等的四边形是菱形；（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；（4）对角线互相垂直平分的四边形是菱形。注意：菱形的判定方法是说明一个四边形是菱形的依据，应注意分清四种判定方法的区别，同时还要进行分类记忆：=1\*GB2⑴=2\*GB2⑵用边来判定；=3\*GB2⑶=4\*GB2⑷用对角线来进行判定。这些判定方法中=1\*GB2⑴=3\*GB2⑶是从平行四边形出发的；=2\*GB2⑵=4\*GB2⑷是从一般四边形出发的，4.菱形的面积菱形的面积=底×高菱形的面积=对角线乘积的一半三．正方形（高频考点）1.正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。注意：正方形的定义必须满足三个条件：=1\*GB3①有一组邻边相等；=2\*GB3②有一个角为直角；=3\*GB3③是平行四边形，这三个条件必须同时具备，缺一不可。2.正方形的性质边：对边平行，邻边互相垂直，四条边都相等。角：四个角都相等，都等于90°。对角线：两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角。对称性：是轴对称图形，有四条对称轴，正方形也是中心对称图形.备考提示：（1）正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形；每一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，因此正方形的两条对角线将正方形分成两种大小不同的八个等腰直角三角形，解决有关正方形的问题时，通常归结到这些等腰直角三角形中求解。（2）正方形的对角线也互相垂直，因此正方形的面积也可以用对角线长乘积的一半来计算。3.正方形的判定判定一个四边形为正方形的主要依据是定义,途径有两条：（1）先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；（2）先证它是菱形，再证它有一个角是直角。典例探究和对点演练探究点1中点四边形命题规律顺次连接任意四边形各边中点所形成的四边形是中点四边形，中点四边形的形状取决于原四边形的两条对角线的位置与数量关系。一般利用三角形中位线定理判断中点四边形的形状。顺次连结矩形四边中点所得的四边形一定是（）A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形【解析】根据三角形中位数性质及特殊平行四边形的判定求解.【答案】C【总结】中点四边形的形状只与原四边形的对角线有关，当对角线既不相等也不垂直时，中点四边形为平行四边形；当对角线相等而不垂直时，中点四边形为菱形；当对角线垂直而不相等时，中点四边形是矩形；当对角线既相等又垂直时，中点四边形是正方形.对点演练1.若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（）A.矩形B.菱形C.对角线互相垂直的四边形D.对角线相等的四边形2．我们给出如下定义：顺次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫中点四边形．（1）如图1，四边形ABCD中，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点．求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）如图2，点P是四边形ABCD内一点，且满足PA=PB，PC=PD，∠APB=∠CPD，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA的中点，猜想中点四边形EFGH的形状，并证明你的猜想；（3）若改变（2）中的条件，使∠APB=∠CPD=90°，其他条件不变，直接写出中点四边形EFGH的形状．（不必证明）探究点2特殊平行四边形中的折叠问题命题规律求解特殊平行四边形中问题的方法：（1）此类问题往往通过图象间的折叠找出折叠部分的线段或角与原图形之间的关系，从而得到折叠部分与原图形或其他图象之间的关系；（2）折叠的性质：折叠前后的图形能够完全重合，折叠前后的对应边相等，对应角相等。将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF．若AB=3，求菱形AECF的面积。A．1B．2C．2D．4【解析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．【答案】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，则菱形的面积是：AE•BC=2．【总结】此题主要考查了折叠问题以及勾股定理等知识，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．对点演练3.(2021•衡阳)如图，矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M、N分别在矩形的边AD、BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：①四边形CMPN是菱形；②点P与点A重合时，MN＝5；③△PQM的面积S的取值范围是4≤S≤5．其中所有正确结论的序号是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③4.(2021•宜宾)如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）5.如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；（1）求证：B′E=BF；（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a，b，c之间的一种关系，并给予证明．探究点3利用特殊平行四边形对称性解题命题规律对于求两条线段或三条线段和的最小值，不能采用代数的手法，而应采用几何中对称的方法解决。这类问题的特征：求两个定点到一条直线上一动点距离之和的最小值问题，作其中一个定点的对称点，连接对称点与另一个定点构成的线段就是所求的最小值。

如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN的最小值是．【解析】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．【答案】作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CP=AC=3，BP=BD=4，在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，答案：5【总结】最短路线问题：

在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．对点演练7.（2021•安徽）如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为（）A．3+ B．2+ C．2+ D．1+8.(2022•黑龙江)如图,菱形ABCD中,对角线AC,

BD相交于点O,∠BAD=60°,

AD=3,

AH是∠BAC的平分线,

CE⊥AH于点E,点P是直线AB上的一个动点，则OP+PE的最小值是．重难点攻略攻略1利用特殊平行四边形的判定和性质解题例1如图，点M是矩形ABCD的边AD的中点，点P是BC边上一动点，PE⊥MC，PF⊥BM，垂足为E、F．（1）当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形PEMF为矩形？猜想并证明你的结论．（2）在（1）中，当点P运动到什么位置时，矩形PEMF变为正方形，为什么？【解析】（1）根据矩形的性质推出∠A=D=90°，AB=CD，AM=DM，求出∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，求出∠BMC，即可求出矩形PEMF．根据AAS证△BFP≌△CEP，推出PE=PF即可．（1）解：当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，∵AD=2AB=2CD，AM=DM=AD，∴AB=AM=DM=CD，∴∠ABM=∠AMB=45°，∠DCM=∠DMC=45°，∴∠BMC=180°﹣45°﹣45°=90°，∵PE⊥MC，PF⊥BM，∴∠MEP=∠FPE=90°，∴四边形PEMF为矩形，即当AD=2AB时，四边形PEMF为矩形．（2）解：当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．理由是：∵四边形PEMF为矩形，∴∠PFM=∠PFB=∠PEC=90°，在△BFP和△CEP中，∴△BFP≌△CEP（AAS），∴PE=PF，∵四边形PEMF是矩形，∴矩形PEMF是正方形，即当P是BC的中点时，矩形PEMF为正方形．【方法技巧】解题解题时一定要注意矩形的性质和判定的区别，由矩形这一条件得出线段、角的关系是矩形的性质，而利用线段、角的关系得出四边形是矩形是矩形的判定．类题拓展1.（2021•南宁）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF＝∠DFC＝90°，∴AE∥DF．∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形，∴AE＝DF．又S△ABC=BC•AE，S△DBC=BC•DF．∴S△ABC＝S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．请将余下的求解步骤补充完整．【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．2．如图，正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于Q．（1）如图1，当点Q在DC边上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系；并加以证明；（2）如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，请证明你的猜想．攻略2特殊平行四边形中特殊位置法解“几何定值”问题例2.如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，点O是正方形A'B'C'O的一个顶点，如果两个正方形的边长相等，那么正方形A'B'C'O绕点O无论怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的四分之一，你能说明这是为什么吗？【解析】解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠OAB=∠OBF=45°，BO⊥AC，即∠AOE+∠EOB=90°，

又∵四边形A'B'C'O为正方形，∴∠A'OC'=90°，即∠BOF+∠EOB=90°，

∴∠AOE=∠BOF，

∵AO=BO，∠AOE=∠BOF，∠OAB=∠OBF，∴△AOE≌△BOF，

∴两个正方形重叠部分的面积等于三角形ABO的面积等于一个正方形面积的四分之一．类题拓展3.如图，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ+PR的值是（）A.B.C.D.4.（2021•重庆）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N．若四边形MOND的面积是1，则AB的长为（）A．1 B． C．2 D．25.(

2022•益阳)如图，将边长为3的正方形ABCD沿其对角线AC平移,使A的对应点A’满足AA'=2AC,则所得正方形与原正方形重叠部分的面积是

．6.(

2022•青海)如图，矩形ABCD的对角线相交于点0,过点0的直线交AD,

BC于点E,

F,若AB=3,

BC=4,则图中阴影部分的面积为

．易错点分析误区一不能准确把握菱形的判定方法而导致错误例1.如图所示，能说明四边形ABCD是菱形的有（）=1\*GB3①BD⊥AC；=2\*GB3②OA=OC，OB=OD，AB=BC；=3\*GB3③AC=BD；=4\*GB3④AB∥CD，AB=BC。A.=1\*GB3①B.=1\*GB3①=2\*GB3②C.=2\*GB3②D.=3\*GB3③=4\*GB3④【分析】解:①.不能，只能说明四边形的对角线互相垂直,②.能，0A=OC，0B=0D能证出为平行四边形，AB=BC组邻边相等的平行四边形是菱形,③.不能，只说明是对角线相等的四边形，④.不能，只能证出四边形是平行四边形.故选C.

.【易错警示】①是错误的，原因是片面认为对角线满足互相垂直就可以判定此四边形是菱形，而忽略了此判定方法的前提应是平行四边形。误区二错误地运用菱形的面积公式例2.如图，已知菱形的周长为24cm,一条对角线AC的长为8cm,求菱形的面积。【分析】解：∵菱形的周长为24cm,∴AB=6cm,又∵AC=8cm，∴OA=4cm,∵AC⊥BD，∴菱形ABCD的面积【易错警示】本题解法的错误在于把菱形的面积等于两条对角线乘积的一半错误地计成菱形的面积等于对角线的乘积，与菱形的面积等于底乘以高混淆。误区三对正方形的定义理解不深，对矩形、菱形的判定不熟练。容易混淆例3.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）A.AD∥BC，∠B=∠B.AC=BDB.AC=BD，ABCDC.AO=BO=CO=DO，AC⊥D.AO=COD.AO=CO，BO=DO，AB=BC【分析】解:A.不能，只能判定为矩形;B、不能，只能判定为平行四边形;C、能;D、不能，只能判定为菱形.故选:

C.【易错警示】对正方形的判定不熟练，只能判断四边形ABCD是矩形或菱形。课堂演练1.（2021•绍兴）如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，点P从点B出发，沿折线BC﹣CD方向移动，移动到点D停止．在△ABP形状的变化过程中，依次出现的特殊三角形是（）A．直角三角形→等边三角形→等腰三角形→直角三角形 B．直角三角形→等腰三角形→直角三角形→等边三角形 C．直角三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形 D．等腰三角形→等边三角形→直角三角形→等腰三角形2.(

2022•贵阳)如图,将菱形纸片沿着线段AB剪成两个全等的图形，则∠1的度数是(

)A.40°в.

60°C.

80°D.100°3.(2022•宁波)将两张全等的矩形纸片和另两张全等的正方形纸片按如图方式不重叠地放置在矩形ABCD内,其中矩形纸片和正方形纸片的周长相等.若知道图中阴影部分的面积,则一定能求出（）A.正方形纸片的面积B.

四边形EFCH的面积C.△BEF的面积D.

OAEH的面积4.（2021•自贡）如图，在正方形ABCD中，AB＝6，M是AD边上的一点，AM：MD＝1：2．将△BMA沿BM对折至△BMN，连接DN，则DN的长是（）5．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°6.（2021•成都）如图，四边形ABCD是菱形，点E，F分别在BC，DC边上，添加以下条件不能判定△ABE≌△ADF的是（）A．BE＝DF B．∠BAE＝∠DAF C．AE＝AD D．∠AEB＝∠AFD7．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH．若BE：EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．68．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，﹣1）C．（，0）D．（0，﹣）9.如图，在周长为12的菱形ABCD中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为（）A．1B．2C．3D．410．如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为（） A．30° B．45° C．60° D．75°11.(2021•青海)如图，正方形ABCD的边长为8，点M在DC上且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN+MN的最小值是．12.(2021•黄冈)如图，正方形ABCD中，AB＝1，∠ACD的平分线交AD于点E，在AB上截取AF＝DE，分别交CE，CA于点G，H，PQ⊥AC于点Q，连接PH．下列结论：①CE⊥DF；③EA＝AH，其中所正结论的序号是．13.（2021•绍兴）图1是一种矩形时钟，图2是时钟示意图，时钟数字2的刻度在矩形ABCD的对角线BD上，时钟中心在矩形ABCD对角线的交点O上．若AB＝30cm，则BC长为cm（结果保留根号）．14.如图是一张长方形纸片ABCD，已知AB=8，AD=7，E为AB上一点，AE=5，现要剪下一张等腰三角形纸片（△AEP），使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是．15.(2021·贺州)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，∠ADB＝∠ABD＝∠BDC，DE交BC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，且EF＝EC．(1)求证：四边形ABED是菱形；(2)若AD＝4，求△BED的面积．EEFDACB16.(2021•宁波)如图是由边长为1的小正方形构成的6×4的网格，点A，B均在格点上．（1）在图1中画出以AB为边且周长为无理数的▱ABCD，且点C和点D均在格点上（画出一个即可）．（2）在图2中画出以AB为对角线的正方形AEBF，且点E和点F均在格点上．17.（2021•广西北部经济区）【阅读理解】如图①，l1∥l2，△ABC的面积与△DBC的面积相等吗？为什么？解：相等．在△ABC和△DBC中，分别作AE⊥l2，DF⊥l2，垂足分别为E，F．∴∠AEF＝∠DFC＝90°．∴AE∥DF．∵l1∥l2，∴四边形AEFD是平行四边形．∴AE＝DF．又S△ABC＝BC•AE，S△DBC＝BC•DF，∴S△ABC＝S△DBC．【类比探究】如图②，在正方形ABCD的右侧作等腰△CDE，CE＝DE，AD＝4，连接AE，求△ADE的面积．解：过点E作EF⊥CD于点F，连接AF．（请将余下的求解步骤补充完整）【拓展应用】如图③，在正方形ABCD的右侧作正方形CEFG，点B，C，E在同一直线上，AD＝4，连接BD，BF，DF，直接写出△BDF的面积．第第23题图①第23题图②第23题图③18.如图，四边形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F．（1）求证：四边形BDFC是平行四边形；（2）若△BCD是等腰三角形，求四边形BDFC的面积．19．如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．附答案典例探究和对点演练对点演练1.C2．【解答】（1）证明：如图1中，连接BD．∵点E，H分别为边AB，DA的中点，∴EH∥BD，EH=BD，∵点F，G分别为边BC，CD的中点，∴FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=GF，∴中点四边形EFGH是平行四边形．（2）四边形EFGH是菱形．证明：如图2中，连接AC，BD．∵∠APB=∠CPD，∴∠APB+∠APD=∠CPD+∠APD即∠APC=∠BPD，在△APC和△BPD中，，∴△APC≌△BPD，∴AC=BD∵点E，F，G分别为边AB，BC，CD的中点，∴EF=AC，FG=BD，∵四边形EFGH是平行四边形，∴四边形EFGH是菱形．（3）四边形EFGH是正方形．证明：如图2中，设AC与BD交于点O．AC与PD交于点M，AC与EH交于点N．∵△APC≌△BPD，∴∠ACP=∠BDP，∵∠DMO=∠CMP，∴∠COD=∠CPD=90°，∵EH∥BD，AC∥HG，∴∠EHG=∠ENO=∠BOC=∠DOC=90°，∵四边形EFGH是菱形，∴四边形EFGH是正方形．3.C4.A5.（1）证明：由题意得B′F=BF，∠B′FE=∠BFE，在矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠B′EF=∠BFE，∴∠B′FE=∠B'EF，∴B′F=B′E，∴B′E=BF；（2）答：a，b，c三者关系不唯一，有两种可能情况：（ⅰ）a，b，c三者存在的关系是a2+b2=c2．证明：连接BE，由（1）知B′E=BF=c，∵B′E=BE，∴四边形BEB′F是平行四边形，∴BE=c．在△ABE中，∠A=90°，∴AE2+AB2=BE2，∵AE=a，AB=b，∴a2+b2=c2；（ⅱ）a，b，c三者存在的关系是a+b＞c．证明：连接BE，则BE=B′E．由（1）知B′E=BF=c，∴BE=c，在△ABE中，AE+AB＞BE，∴a+b＞c．类题拓展1.解：【类比探究】过点E作EF⊥CD于点F，连接AF，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝4，∠ADC＝90°，∵DE＝CE，EF⊥CD，∴DF＝CF=CD＝2，∠ADC＝∠EFD＝90°，∴AD∥EF，∴S△ADE＝S△ADF，∴S△ADE=×AD×DF=×4×2＝4；【拓展应用】如图③，连接CF，∵四边形ABCD和四边形CGFE都是正方形，∴∠BDC＝45°，∠GCF＝45°，∴∠BDC＝∠GCF，∴BD∥CF，∴S△BDF＝S△BCD，∴S△BDF=×BC×BC＝8．2．解：（1）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPE+∠QPE=90°，∠QPE+∠QPF=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ；（2）PB=PQ，证明：过P作PE⊥BC，PF⊥CD，∵P，C为正方形对角线AC上的点，∴PC平分∠DCB，∠DCB=90°，∴PF=PE，∴四边形PECF为正方形，∵∠BPF+∠QPF=90°，∠BPF+∠BPE=90°，∴∠BPE=∠QPF，∴Rt△PQF≌Rt△PBE，∴PB=PQ．3.A4.C5.46.6课堂演练1.C2．C3.C4.D5.