垂直于弦的直径（第1课时）（导学案）数学人教版九年级上册

24.1.2垂直于弦的直径（第1课时）（导学案）（解析版）1.教学目标（1）通过探究圆的对称性探索垂径定理。（2）掌握垂径定理，并能解决相关计算和证明问题。（3）经历探究垂直于弦的直径的过程，激发学生观察、探究、发现数学问题的兴趣和欲望。重点：垂径定理的应用。难点：垂径定理的题设和结论区别圆及应用。第一环节自主学习温故知新：复习：①连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。②圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。【学法指导】自研课本P8183页内容（一）圆是轴对称图形问题：我们在小学学习了圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴，怎样证明这个结论呢？（1）证明一个图形是轴对称图形的常用方法是什么？怎样证明圆是轴对称图形？只需证明图形上任意一点关于一条直线(对称轴)的对称点也在这个图形上；要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上。（2）你能说出证明的过程吗？如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C，D以外的任意一点.过点A作AA'⊥CD，交⊙O于点A'，垂足为M，连接OA，OA'.在△OAA'中，∵OA=OA',∴△OAA’是等腰三角形.又AA'⊥CD,∴AM=MA'.即CD是AA'的垂直平分线.这就是说，对于圆上任意一点A，在圆上都有关于直线CD的对称点A’，因此⊙O关于直线CD对称。即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴。(二)垂径定理（1）从上面的证明我们知道，如果⊙O的直径CD垂直于弦AA'，垂足为M，那么点A和点A'是对称点。把圆沿着直径CD折叠时，点A与点A'重合，你能得到哪些相等的线段和相等弧？(2)由上面的推导过程，我们得到垂径定理，请你用自己的语言表达？垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.(3)这里弦所对的两条弧是指什么弧？“优弧”“劣弧”或两个半圆。（4）这个定理的条件是什么？结论是什么？对照下面的图怎样用几何符号语言表达？条件是垂直于弦的直径；结论是平分弦，并且平分弦所对的两条弧；自研课本P8183页内容【详解】解：如图，作点C关于的对称点，连接与相交于点M，∴为直径，故选：D．例2赵州桥(图24.17)是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶。它的主桥拱是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为37m，拱高(弧的中点到弦的距离)为7.23m，求赵州桥主桥拱的半径(结果保留小数点后一位).【分析】:解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.【详解】解:如图24.18，用弧AB表示主桥拱，设所在圆的圆心为O，半径为R.经过圆心O作弦AB的垂线ＯＣ,D为垂足，OC与相交于点C，连接OA.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设可知：AB=37，CD=7.23，在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA²=AD²+OD²,R²=18.5²+(R7.23)².解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3m.【分析】本题考查垂径定理．熟练掌握垂径定理是解题的关键．（2）连接，设的半径是r，垂径定理和勾股定理进行求解即可．（2）连接，设的半径是r，第二环节合作探究1.讨论怎样证明圆是轴对称图形？2.讨论什么垂径定理，定理的条件是什么？结论是什么？怎样用几何符号语言表达？3.合作探究提升：1．已知的直径为10，为上一动点（不与、重合），连接、．②在点的运动过程中，请直接写出的最小值．【详解】（1）解：∵为的直径，综上，满足题意的的长为5或；②连接，，分别取、的中点F、H，连接，，如图，1.如图，在中，弦AB的长为8cm，圆心0到AB的距离为3cm.求⊙0的半径，答案：1.由AE=4cm，OE=3cm，利用勾股定理可得⊙O的半径AO为5cm.1．(2025•宜宾)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D．若AB＝8，OC＝5，则OD的长是()A．3 B．2 C．6 D．5【解答】解：∵半径OC⊥AB于点D，∴AD＝12AB∵OA＝OC＝5，∴OD＝O故选：A．2．(2025•内江)如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝8，OC＝5．则DC的长是______．【解答】解：∵OC⊥AB，∴AD＝BD＝12AB在Rt△OAD中，OA＝5，AD＝4，∴OD＝O∴DC＝OC－OD＝5－3＝2．故答案为：2．求：(1)桥拱的半径；(2)现水面上涨后水面跨度为60米，求水面上涨的高度．【详解】（1）解：如图1，设圆的半径是r，即桥拱的半径为50米；（2）解