三角形中的线段和角（第1课时三角形的边和角）（教学设计）数学苏科版2024八年级上册

1.1三角形中的线段和角（第1课时三角形的边和角）教学设计1.教学内容本节选自苏科版2024八年级数学上册第一章“三角形”，聚焦“1.1三角形中的线段和角”的第一课时”。核心知识包括：三角形三边关系（任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边）以及边角关系（“大边对大角、大角对大边”）。2.内容解析本节从建筑中三角形的稳定性引入，结合操作与观察，让学生体验三角形的线段和角的基本性质。主要内容：（1）三边关系：a+（2）边角关系：边的长度和所对角度呈对应大小关系；（3）应用三角形性质，解决有关线段和角度的推理或计算问题。通过折纸、画图和类比等活动，引导学生在直观操作与推理论证之间建立联系。1.教学目标（1）探索并证明“三角形的任意两边之和大于第三边”。（2）探索并证明“在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。”（3）运用三角形的边角关系，解决与线段或角度相关的推理与计算问题，提高推理能力。2.目标解析（1）强调亲身实践和演示，理解并掌握三边关系的不等式形式。（2）通过折纸等操作活动，内化“大边对大角、大角对大边”的道理。（3）综合运用所学几何性质与不等式，培养学生分析问题与逻辑推理的能力。学生已具备初步的不等式与几何图形认知。对基本作图、简单度量与一元一次方程求解较熟练，但对三角形性质的系统认识不足；在证题时易忽视几何要点。需在动手操作和直观感知基础上，逐步引导他们走向严谨推理与综合应用。创设情景，引入新课1.复习回顾：教师提问学生回忆多边形的概念，并举例说明何为三角形，引导学生说出三角形是最简单的多边形。2.现实情境：出示图片或描述——“为什么有很多建筑物的结构用三角形？三角形具备哪些独特性质呢？”o学生思考：在日常生活和建筑中，三角形往往是承重和稳定的重要结构，激发学生好奇心。【设计意图】通过生活化的实例（如房屋、铁架等三角形支撑结构），引起学生对三角形稳定性和特殊性质的兴趣。同时，复习三角形相关旧知，为后续探究三角形的边与角关系做好铺垫。基于本节课的学习目标，我们分两个探究点进行学习和讨论：探究点1：三角形的三边关系（任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边）探究点2：三角形边角关系（在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大）探究点1：三角形的三边关系1.操作观察：o“在方格纸中画出可以和给定三角形重合的三角形。如何确定三角形的形状和大小？”o“能否画出以下列长度的线段为边的三角形：(1)4，4，4；(2)3，5，7；(3)3，4，5？为什么？”学生动手画一画，并尝试判断理由，引出“三角形的任意两边之和大于第三边”的必要性。2.教师讲解并证明：如何证明三角形任意两边之和大于第三边呢？>证明：证明：∵BA＋AC是连接B，C两点的折线长度，BC是连接B，C两点的线段长度，∴BA＋AC＞BC(两点之间的所有连线中，线段最短).同理，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC.进一步讨论：三角形的任意两边之差与第三边的关系——三角形任意两边之差小于第三边在△ABC中，AC由不等式的基本性质，得AC即三角形任意两边之差小于第三边。【师生活动】 教师组织学生观察、比较和操作； 学生小组讨论：如何用生活实例（如三根小棒）验证这个结论； 教师引导：对无法组成三角形的三段长度进行分类评判，归纳判断三角形成立的必要条件。【设计意图】通过动手画图和实际操作，使学生在形象直观的基础上掌握“三角形任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边”的核心内容，培养严谨的逻辑推理能力。探究点2：三角形的边角关系1.引导尝试：o“在同一个三角形中，如果AB>AC，那么∠Bo通过折纸或翻折的方法：把AC沿∠A的平分线翻折，观察点C落在AB上的位置，从而比较∠B和2.推广结论：o在同一个三角形中，较大的边所对的角也比较大，较大的角所对的边也比较大。3.证明交流：>已知：△ABC，且AB>AC证明：我们可以通过折纸的方式比较∠B和∠C的大小.把AC沿∠A的平分线AD翻折，如图，∵AB＞AC，所以点C落在边AB上的点C′处.∴∠AC′D＝∠C.∵∠AC′D＝∠B＋∠BDC′，∴∠AC′D＞∠B，∴∠C＞∠B.>教师演示：若AB>AC，翻折后发现点C落在AB的点C'>反证同理：若∠C>∠【师生活动】 教师示范：演示折纸方法比较角大小； 学生小组合作：动手折叠或利用量角器测量，提出猜想并运用反证法、直接法等方法进行证明； 教师总结：概括“三角形中大边对大角，大角对大边”的综合结论。【设计意图】让学生通过动手实验、讨论汇报等方式，领悟三角形边角关系的形成与证明思路，弥补单纯文字推理的抽象性，提高学习兴趣与探究能力。例题巩固例1>如图，在△ABC中，点D在边BC上，求证：>证明思路：>在△ACD中，AC>整理得到AC+>即AC+例2>如图，在△ABC中，AB>（1）比较∠B与∠>（2）若AH⊥BC，比较∠BAH与解析要点：1. 由AB<AC，得到∠2. 在AH⊥BC的直角三角形内，通过∠AHB与∠AHC同为90∘，结合∠例3（思维提升）如图，P是△ABC内的一点，连接PA,PB。求证：AP+BP<AC+BC。证明：延长AP交BC于点D。在△ACD中，AC+CD>AD∴AC+CD+BD>AD+BD，即AC+BC>AD+BD。在△BDP中，BD+DP>BP∴BD+DP+AP>BP+AP，即BD+AD>BP+AP。∴AC+BC>AP+BP。即AP+BP<AC+BC。【设计意图】1. 通过典型题目的直接引用与详细解析，帮助学生进一步理解和巩固所学的三边关系、边角关系；2. 例题既包含对三角形基本性质的直接应用，也蕴含了几何推理思维训练，能够引导学生举一反三。以上即为本课时“新课导入”与“新知探究”环节的设计与实施思路。后续可结合更多应用题或几何作图活动，让学生在解决真实情境和综合问题中深化对三角形性质的理解与掌握。3. 本环节通过“思维提升”类真题，为学生提供更高层次的挑战，让其在综合运用三角形边角关系的同时，培养逻辑推理与解题思维的深度。设计意图本环节通过基础练习巩固新知，帮助学生进一步理解“三角形的三边关系”与“边角关系”，并能灵活运用于简单的计算或证明。 新知应用1. 下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？（1）1,4,7；（2）3,5,8；（3）5,6,9。解：（1）因为1+4=5<7，所以不能构成三角形；（2）因为3+5=8，所以不能构成三角形；（3）因为5+6=11>9，所以能构成三角形。2. 若三角形的两边长分别是2和7，第三边长为奇数，求第三边的长。解：设第三边的长为x，根据两边之和大于第三边，得2+7>x且2+解得5<x因为它是奇数，所以x只能取7。三角形第三边的取值范围是：两边之差<第三边<两边之和。 新知巩固1. 如图，在△ABC中，∠C=90∘，比较AB和 证明：∵在△ABC中，∴∠C2. 如图，在△ABC中，∠B=90∘，点D在BC上，比较AC证明：∵∠ADC是Rt∴∠∵∠C是Rt∴∠∴∠∴AC本节课围绕三角形的边与角展开学习与探究，重点掌握以下核心内容：1.三角形三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边、任意两边之差小于第三边，并能判断给定三条线段是否能组成三角形。2.三角形边角关系：在同一个三角形中，较大的边所对的角也较大，较大的角所对的边也较大，并能运用相关性质进行计算或推理。3.应用能力：通过对典型例题的分析及思维拓展，初步学会运用三边关系与边角关系解决与线段及角度相关的计算或证明问题，培养几何推理与分析能力。1.三角形三边关系：（1）任意两边之和>第三边BA＋AC＞BC，AC＋CB＞AB，AB＋BC＞AC（2）任意两边之差<第三边（3）判断能否成三角形的方法：2.三角形边角关系①找最大边的长度大边对大角，大角对大边②其余两边之和是否大于最大边3.典型例题与思维提升例1：三边和差不等式的灵活运用例2：大边对大角的应用及辅助线例3：三角形内部一点引线段的综合推理本节课我着眼于“三角形边角关系”的核心概念，通过情境引入、操作实验和典例分析，逐步引导学生深入理解三角形的“三边关系”与“边角关系”。从教学目标实现情况来看，学生对“三角形任意两边之和大于第三边”掌握较好，能够熟练判断三条线段能否组成三角形；对于“较大边对较大角”的定理，部分