15.1 轴对称中的最值问题（压轴题专项讲练）（学生版）-沪科版(2024)八上

专题15.1轴对称中的最值问题思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。典例分析典例分析【典例1】“将军饮马问题”：如图1所示，将军每天从山脚下的A点出发，走到河旁边的C点饮马后再到B点宿营．请问怎样走才能使总的路程最短？某课题组在探究这一问题时抽象出数学模型：直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+解法：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，则A'B与直线l的交点即为P（1）根据上面的描述，在备用图中画出解决“将军饮马问题”的图形；（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是__________________；（3）应用：①如图2，已知∠AOB=30°，其内部有一点P，OP=12，在∠AOB的两边分别有C、D两点（不同于点O），使②如图3，边长为a的等边△ABC中，BF是AC上的中线且BF=b，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，则△AEF周长的最小值是【思路点拨】（1）根据轴对称的性质作出图形；（2）根据两点之间线段最短解答；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，根据轴对称的性质得到△PCD，根据等边三角形的判定定理和性质定理解答；②根据等边三角形的性质可证△BAD≌△CAESAS，根据全等的性质和三线合一可得∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°，所以点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），作点A关于CE的对称的M，连接【解题过程】（1）解：作图如下：（2）利用轴对称作图解决“饮马问题”的依据是两点之间线段最短，故答案为：两点之间线段最短；（3）①分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连接MN，交OA、OB于C、D，则△PCD连接OM、由轴对称的性质可知，OM=∠MON∴△MON∴MN=12∴△PCD的周长=②∵△ABC、△∴AB=AC，AD∴∠BAD∴△BAD∴∠ABD∵AF∴∠ABD∴点E在射线CE上运动（∠ACE作点A关于CE的对称的M，连接FM交CE于E'此时AE+EF的值最小，此时∵CA=CM∴△ACM∴△ACM∴FM∴△AEF周长的最小值是AF+AE学霸必刷学霸必刷1．（23-24八年级上·云南昭通·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=90°，AB=6，AC=8，BC=10，CD平分∠BCA交AB于点D，点P，Q分别是CD，AC上的动点，连接APA．6 B．5 C．4.8 D．42．（2024·湖南娄底·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，AB=15,△ABC的面积为90，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、A．12 B．15 C．18 D．93．（23-24八年级上·安徽·单元测试）如图，在锐角△ABC中，BC=4,∠ABC=30°,∠ABD=15°，点D在边AC上，点P、Q分别在线段A．1 B．2 C．3 D．44．（23-24八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，BC上方有一动点P满足S△PBC

A．60° B．45° C．30° D．不确定5．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，在五边形ABCDE中，∠BAE=142°，∠B=∠E=90°，AB=BC，AE=DE．在BC，

A．76° B．84° C．96° D．109°6．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，∠AOB=18°，点M、N分别是边OA、OB上的定点，P、Q分别是边OB、OA上的动点，记∠MPQ=α，7．（24-25八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知∠AOB=30°，点P是射线OA上的一个动点，点M是射线OB上的一个定点，PQ为点P到OB边的距离，则当PM+PQ8．（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）如图，射线l⊥线段BC，垂足为B，AD⊥BC，垂足为D，AD=4，DC=3，BD=2．点E为射线l9．（23-24八年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，点E在等边三角形ABC的边BC上，BE=4，射线CD⊥BC，垂足为C，P是射线CD上一动点，F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF=610．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠BAC=150°，点P，Q分别在边AB，BC11．（23-24七年级下·陕西西安·期末）如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，P为边BC上方的一个动点．△PBC的面积等于△ABC的面积的112．（23-24八年级上·福建龙岩·期中）如图，∠AOB=45°，OC平分∠AOB，点M为OB上一定点，P为OC上的一动点，N为OB上一动点，当PM+PN13．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD是BC边上的中线且AD=12，F是AD上的动点，E是14．（23-24八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，锐角△ABC中，∠A=30°，BC=72，△ABC的面积是6，D，E15．（23-24七年级下·四川成都·期末）如图，在面积为458的锐角△ABC中，AB=52，∠C=30°，D是△ABC内部一点，E，F分别是边BC,AC上的动点，连接16．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，点P在∠AOB内部，点M，N分别是边OA，OB上的动点，点M，N（1）若将点P在∠AOB的内部移动位置，使OP平分∠AOB，当PN∥OA，ON=2时，（2）若∠AOB=60°，OP=a，随着点M，N位置的变动，当△PMN周长最小时，点O到直线17．（2023八年级上·全国·专题练习）将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为a，沿河OB排开（从点P到点Q）；将军从马棚M出发到达队头P，从P至Q检阅队伍后再赶到校场N．问：在什么位置列队（即选择点P和Q），可以使得将军走的总路程MP+18．（23-24八年级上·广西桂林·期中）数学模型学习与应用：白日登山望峰火，黄昏饮马傍交河．——《古从军行》唐李欣模型学习：诗中隐含着一个有趣的数学问题，我们称之为“将军饮马”问题．关键是利用轴对称变换，把直线同侧两点的折线问题转化为直线两侧的线段问题，“将军饮马”问题的数学模型如图1所示：在直线l上存在点P，使PA+作法：作A点关于直线l的对称点A'，连接A'B，A'B与直线l模型应用：（1）如图2，已知△ABC为等边三角形，高AH=8cm，P为AH上一动点，D①当PD+PB的最小值时，在图中确定点②则PD+PB的最小值为模型变式：（2）如图3所示，某地有块三角形空地AOB，已知∠AOB=30°，P是△AOB内一点，连接PO后测得PO=10米，现当地政府欲在三角形空地AOB中修一个三角形花坛PQR，点Q，R分别是OA，

19．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）在△ABC中，∠B=90°，D为BC延长线上一点，点E为线段AC，（1）如图1，当∠BAC=50°时，则∠（2）当∠BAC①如图2，连接AD，判断△AED②如图3，直线CF与ED交于点F，满足∠CFD=∠