15.2 垂直平分线中的几何综合（压轴题专项讲练）（学生版）-沪科版(2024)八上

专题15.2垂直平分线中的几何综合思维方法思维方法正向思维：是一类常规性的、传统的思维形式，指的是大家按照自上而下，由近及远、从左到右、从可知到未知等一般而言的线性方向做出探究问题的思维途径。逆向思维：是指在剖析、破解数学难题进程中，可以灵活转换思维方向，从常规思维的相反方向出发进行探索的思维方式，比如正向思维无法解决问题时可反其道而行采取逆向思维，直接证明有困难时可采用间接证明。知识点总结知识点总结一、线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.二、线段垂直平分线的判定到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（这样的点需要找两个）典例分析典例分析【典例1】如图，△ABC的两条高CD与AE交于点O，AB=BC

（1）求证：BD=（2）连结BO，试说明：BO是AC的垂直平分线；（3）F是射线AB上一点，且BF=CO，动点P从点O出发，沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，同时动点Q从点C出发，沿射线CB以每秒3个单位长度的速度运动，当点P到达点A时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△COP与△【思路点拨】（1）证明△AEB≌△（2）先证明△ADO≌△CEO，得到OA=OC，进而得到点O在AC的垂直平分线上，再根据AB=BC得到点B（3）当点F在AB延长线上时，设运动t秒，根据△COP≌△FBQ得到BF=OC，∠COP=∠EOD=180°-∠DBE=∠FBQ，根据△COP≌△FBQ得到OP=BQ，进而得到t=8-3t，求得t=2【解题过程】（1）证明：∵CD、AE∴∠AEB在△AEB与△∠∴△AEB∴BE（2）证明：∵AB=BC∴AB∴AD=∵CD、AE∴∠ADO在△ADO与△CEO中，∴△ADO∴OA∴点O在AC的垂直平分线上．∵AB∴点B在AC的垂直平分线上，∴BO是AC（3）解：①如图1，当点F在AB延长线上时，设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP∵BF=OC∴当△COP≌△∵OP=t∴t解得t=2②如图2，当点F在AB之间时，设运动t秒，P、Q分别运动到如图位置，△COP∵BF=OC∴当△COP≌△∵OP=t∴t解得t=4综上所述，t=2或4学霸必刷学霸必刷1．（22-23八年级上·山东聊城·期末）如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O．若∠OEB＝46°A．92° B．88° C．46° D．86°2．（23-24八年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，△ABC中，AB=2AC,AD是∠BAC的角平分线，延长AC至E，使得CE=AC，连接DE,BE．下列判断：①BD=EDA．4个 B．3个 C．2个 D．1个3．（23-24八年级上·北京朝阳·期中）如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在AD，AB边上，将∠A沿EF折叠，使点A落在点G处，连接GE，GF①AF=GF；②直线EF是线段AG的垂直平分线；③∠B+∠所有正确结论的序号为(

)A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④4．（22-23八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，△ABC中，AB＞AC，MN是边BC的垂直平分线，交AB于G，过点F作FE⊥AB于点E，AF平分∠DAB交MN于F，连接BF，CF．下列结论：①FB=FC②

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④5．（22-23八年级上·河北唐山·期中）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F．下列结论：①∠FCD=45°；②AE=EC；③S△

A．①② B．①②④ C．②③④ D．①③④6．（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，△ABC中，AC=BC，点M，N分别在AC，AB上，将△AMN沿直线MN翻折，点A的对应点D恰好落在BC边上（不含端点B，C），下列结论：①直线MN垂直平分AD；②AD=CD；③∠CDM=∠BND；④A．①② B．②③ C．①②④ D．①③④7．（22-23八年级上·重庆巴南·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AC为边，作△ACD，满足AC=AD，点E为BC上一点，连接AE，∠CAD=2∠BAE，下列结论：①∠ACB=∠ADE；②A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．（22-23七年级下·广西南宁·期末）如图，在△ABC中，D为AB中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE=180°，EF⊥BC于点F

9．（23-24八年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AD，BE分别为BC，AC边上的高，AD，BE相交于点F，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④10．（22-23八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝45°，AD⊥BC于D，F为AC上一点，连接BF交AD于E，过F作MN⊥FB交BA延长线于M，交BC于N，若点M恰在BN的垂直平分线上，且DE：BN＝1：7，S△ABD＝15，则S△ABE＝．11．（23-24八年级上·福建莆田·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠MCB的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长线于点E，连接CE并延长交FG于点H，则下列结论：①∠CDA=45°；②

12．（2023·江苏无锡·模拟预测）请用无刻度的直尺和圆规作图：

（1）如图1，在BC上求作点D，使S△（2）如图2，若点D在AB边上，在BC上求作点E，使S△13．（2023·江苏扬州·模拟预测）尺规作图：保留作图痕迹，不要求写作法．

（1）过点A作一条直线，使其平分△ABC（2）在BC上求作一点E，使△ACE与△（3）过点D作一条直线，使其平分△ABC14．（2024七年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F（1）若AB=5，则△CMN的周长为（2）若∠MFN=70°，求15．（22-23八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC，BD

（1）若∠ADB=48°，求（2）若AB=5cm，△ABC与△ABD的周长之差为8cm，且△16．（22-23八年级上·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°．（1）在AC的右侧作△DCF，使点F在AC上，且△DCF≌△ABC；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）（2）在（1）的条件下，连接BD交AC于点P．若AC＝2BC＝4，求PC的长．17．（23-24八年级上·四川成都·开学考试）如图：在△ABC中，∠BAC=110°，AC=AB，射线AD、AE的夹角为55°，过点B作BF⊥AD于点F，直线BF

（1）如图1，若射线AD、AE都在∠BAC的内部，且点B与点B'关于AD对称，求证：（2）如图2，若射线AD在∠BAC的内部，射线AE在∠BAC的外部，其他条件不变，求证：（3）如图3，若射线AD、AE都在∠BAC的外部，其他条件不变，若CG=145GF，AF18．（23-24八年级上·辽宁·期中）在△ABC中，AB=