15.2 线段的垂直平分线（原卷版） 分层作业-沪科版(2024)八上

15.2线段的垂直平分线题型一利用线段垂直平分线的性质求线段长1．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，垂直平分，为线段上的一点．若，则的长可能为（

）A．3 B．5 C．6 D．72．（24-25八年级下·四川成都·期末）如图，在中，，是AC的垂直平分线，的周长为，，则的长度为（

）A．11 B．12 C．14 D．163．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在四边形中，，点E在上且刚好落在垂直平分线上，点F是中点，，已知，，则．4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）如图，在四边形中，，E为的中点，且，延长交的延长线于点F．若，，则的长为．5．（24-25七年级下·上海松江·期末）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点、，且的周长为，求底边的长题型二利用线段垂直平分线的性质求周长6．（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，在中、分别垂直平分、．若，则的周长是（）A． B． C． D．7．（24-25七年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，垂直平分交于点，若的周长为，则（

）A． B． C． D．8．（24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，为边上的一点，，为边上一点，垂直平分，若，则的周长为（

）A．20 B．18 C．16 D．149．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，垂直平分，交于点F，交于点E，于点D，且．若，，则的周长为10．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，在中，垂直平分，交于点，交于点，过点作，垂足为，且，连接．(1)求证：．(2)若，，求的周长．题型三利用线段垂直平分线的性质求角度11．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（）A． B． C． D．12．（2024·山西太原·模拟预测）如图，在菱形中，分别以A，B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线；再分别以A，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点G，H，作直线与交于点P，连接．若，则的度数为（

）A． B． C． D．13．（19-20九年级上·广东广州·期中）如图，在菱形中，，的垂直平分线交对角线于点，垂足为，连接，则(

)A． B． C． D．14．（24-25七年级下·上海徐汇·期末）如图，点为的外心，若，，则的大小为．15．（24-25七年级下·江西景德镇·期末）如图所示，线段，的垂直平分线相交于点O．若，则．题型四由垂直平分线的性质证明16．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，，垂直平分，交于点，交于点，且．(1)求证：；(2)若的周长为，，求的长．17．（24-25七年级下·陕西安康·期末）如图，在中，点是的中点，于，点O在的垂直平分线上，(1)求证：是等腰三角形；(2)若，求的度数．18．（24-25八年级下·河南焦作·期末）如图，在中，，，D为的中点，，垂足为E，过点B作交的延长线于点F，连接．(1)求证：；(2)连接，试判断的形状，并说明理由．19．（24-25八年级下·陕西西安·期末）如图，中，，直线垂直平分，交于点，交于点，且．(1)求证：；(2)若，，求的周长．题型五垂直平分线的判定20．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，，为右侧一点，连接、、，，，求证：是的垂直平分线．21．（24-25七年级下·全国·期中）如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P．(1)求证：点P在线段的垂直平分线上；(2)已知，求的度数．22．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，l是的垂直平分线，与边交于点E，点D在l上，且，连接．(1)求证：点D在边的垂直平分线上；(2)连接，若，求证：．题型六作已知线段的垂直平分线23．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，有一家四边形儿童活动训练中心，现要在训练中心内部修建一间训练座谈室O，使得座谈室O到边、边的距离相等，且座谈室O到点A的距离与座谈室O到点D的距离相等，请你找出座谈室O的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）24．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，请用尺规作图法求作一点M，使得，且．（保留作图痕迹，不写作法）25．（24-25八年级下·陕西榆林·期中）如图，物流超市A，B在街道m和n之间，某物流公司计划修建一个物流中转站，要求中转站到物流超市A，B的距离相等，且到街道m和n的距离也相等，请在图中利用尺规作出中转站Q的具体位置．（不写作法，保留作图痕迹）题型一利用线段垂直平分线的性质求最值1．（24-25七年级下·河南驻马店·期末）如图，直线是中边的垂直平分线，点是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（

）．A．13 B．10 C．11 D．122．（24-25七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（）A． B． C． D．3．（24-25八年级下·福建漳州·期中）如图，在面积为24的中，，，于点D，直线垂直平分交于点E，交于点F，P为直线上一动点，则周长的最小值为．4．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）在中，，，，，垂直平分，点是上一动点，过作，垂足为点，连接，则的最小值为．5．（24-25九年级上·陕西西安·期末）如图，P为菱形的对角线上的一定点，Q为边上的一个动点，的垂直平分线分别交，于点E，G，，若的长的最小值为3，则的长为．

题型二利用线段垂直平分线的性质探究线段之间的关系6．（24-25八年级上·河南洛阳·期末）【问题发现】我们知道“线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等”，那么不在线段垂直平分线上的点到线段两端的距离大小如何判断呢？【自主研究】（1）如图①，直线l是线段的垂直平分线，点P在直线l的左侧，经测量，请证明这个结论；【迁移研究】（2）如图②，直线l是线段的垂直平分线，点C在直线l外，且与点A在直线l的同测，点D是直线l上的任意一点，连结，试判断和之间的大小关系，并说明理由．7．（24-25八年级上·四川广元·期末）（1）如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长到点E，使，再连接，这样就把，，集中在中，则中线的取值范围是______．（2）如图2，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接．试判断与之间的大小关系，并说明理由．（3）如图3，在四边形ABCD中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于点E，F，连接．试判断，与之间的数量关系，并说明理由．8．（22-23八年级上·福建龙岩·开学考试）如图，中，是的中点，过点的直线交于，交的平行线于点，，交于点，连接、．(1)求证：；(2)请你判断与的大小关系，并说明理由．9．（19-20八年级上·湖北武汉·期中）如图，，，点在的垂直平分线上.

（1）线段、、三者之间的长度有什么关系？（2）线段与有怎样的关系呢？题型三利用线段垂直平分线的性质探究角度之间的关系10．（24-25七年级下·山东威海·期中）如图，在中，平分，平分，点O是的垂直平分线的交点，连接，若，则的大小为（

）A． B．C． D．11．（24-25八年级上·重庆江北·期末）如图，等边中，过点在边的右侧作射线，点与点关于射线对称，连接，，且交射线于点，过两点的直线交射线于点，连接．(1)当时，求的度数；(2)求证：；(3)如图，点为射线上的一动点，过点做于点，连接，当的值最小时，请直接写出的大小（用含的代数式表示）．12．（24-25八年级上·辽宁·阶段练习）如图，在等腰直角中，，是线段上一动点（与点，不重合），连接，延长至点，使得，过点作于点，交于点，过点作于点．(1)若，求的大小（用含的式子表示）；(2)求证：．13．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，中，和分别为等边三角形，与相交于点F，连并延长交于点G．(1)求证：；(2)求证：G为的中点；(3)已知，求的大小（用含的式子表示）．14．（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边的外角内部的一条射线，点关于的对称点为，连接，，，其中，分别交射线于点、．

(1)依题意补全图形；(2)若，求的大小（用含的式子表示）；(3)用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明．题型四垂直平分线性质与判定综合15．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，的垂直平分线交于点D，交于点E，连接、．(1)若的周长是14，的长是3，求的周长；(2)若，求证：点E在线段的垂直平分线上．16．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在四边形中，，．(1)求证：．(2)若，，求四边形的面积．17．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）（1）如图1，在，，为内一点，且，求证：直线垂直平分，以下是小明的证明思路，请补全框中的分析过程．要证直线垂直平分，只要证点、点都在的垂直平分线上，即要证______=_____，______=_____（2）如图（2），在中，，点、分别在、上，且，请你只用无刻度的直尺画出边的垂直平分线，并说明理由．（3）如图3，在五边形中，，，，请你只利用无刻度的直尺画出边的垂直平分线．1．（24-25七年级下·江西南昌·阶段练习）综合与实践【问题情境】（1）在进行课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．容易证得，再由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是______．【初步运用】（2）如图2，在四边形中，M是边的中点，且，，，，求线段的长．【拓展延伸】（3）如图3，和为两个等腰直角三角形，其中，，，F为的中点，直接写出线段与的数量关系（无需说明理由）．2．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）综合与探究【教材呈现】用全等三角形研究“筝形”．研究几何图形，我们往往先给出这类图形的定义，再研究它的性质和判定方法．在人教版八年级上册数学教材的数学活动中有这样一段描述：如图，四边形中，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．请结合教材内容，解决下面问题：(1)【性质探究】通过观察、测量、折叠、证明等操作活动，对如图1的筝形的性质进行探究．在①；②；③垂直平分；④平分和；⑤中一定正确的有．（填序号）．(2)【性质应用】如图2，