15.4 等腰三角形（等腰三角形）（解析版） 分层作业-沪科版(2024)八上

15.4等腰三角形（等腰三角形）题型一利用等边对等角求解1．（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，DC平分∠ACB，若∠A=50°，则A．25° B．30° C．35° D．40°【答案】B【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．依据线段垂直平分线的性质，即可得到∠A=∠ACD，再根据角平分线的定义，即可得出∠【详解】解：∵DE垂直平分AC∴AD∴∠A∵CD平分∠ACB∴∠ACB∴∠B故选：B．2．（24-25八年级下·山西运城·期中）如图，在△ABC中，分别以点A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于M、N两点，连接MN分别交AB、BC于点D、E，连接AE．A．若∠C=80°，且AC=CEB．若∠C=80°，且AC=CEC．若AB=5，△ACE的周长为8，则△D．若AD=5，△ACE的周长为8，则△【答案】C【分析】本题考查了垂直平分线的作法和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，MN垂直平分AB，从而得出AE=BE，AD=AB，∠A=∠B，根据等边对等角的性质和三角形外角的性质可判断A【详解】解：由作法可知，MN垂直平分AB，∴AE=BE∴∠A∵∠C=80°，且∴∠CAE∵∠AEC∴∠B=25°，A、∵△ACE的周长为8∴AE∵AB∴△ABC的周长=AB+∵AD∴AB∴△ABC的周长=AB+故选：C．3．（2025·陕西·中考真题）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DEA．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】该题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理求出∠B=70°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出CD=AD=BD，根据等边对等角得出【详解】解：∵在△ABC中，∠ACB=90°∴∠B∵CD为AB边上的中线，∴CD=∴∠DCA∵DE⊥∴∠CDE∴图中与∠A互余的角是∠B,∠故选：C．4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，已知∠BAC=80°,A1、B1分别是射线AC、线段A1B上的点，且A1B=AB；A2、B2分别是射线A1【答案】10【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质，即可求解【详解】解：∵∠BAC=80°，∴∠B∵A∴∠A∵A∴∠A∵A3A故答案为10．5．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在三角形ABC中，点D是AB上一点，且AC=(1)若∠ACD=32°，求(2)若AB=BC，求【答案】(1)∠(2)∠【分析】本题考查了等边对等角、三角形内角和定理、三角形外角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）由AC=CD得到∠A=∠ADC，结合∠ACD=32°，利用三角形内角和定理求出∠（2）设∠B=α，根据等边对等角和三角形外角的性质表示出∠【详解】（1）解：∵AC∴∠A∵∠A∴∠ADC∵CD∴∠B∵∠B∴2∠B∴∠B（2）解：设∠B∵AC=CD∴∠A=∠ADC∵∠ADC∴∠A∵AB∴∠A∵∠A∴2α解得：α=36°∴∠B题型二利用等边对等角进行证明6．（24-25八年级上·安徽池州·期末）如图，已知，在△ABC中，∠ABC=45°，D是BC上一点，且AD=BD，E为AC上的一点，BE交AD(1)求证：△ADC(2)求证：BE⊥【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】此题考查了等腰三角形性质，全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定．（1）首先证明∠ADC=∠ADB（2）由全等三角形性质可得∠EBC=∠DAC，进而证明【详解】（1）证明：∵AD=BD∴∠BAD∴∠ADB又∵D是BC∴∠ADC在Rt△ADC与∵AC∴△ADC（2）证明：∵△ADC∴∠EBC又∵Rt△ADC∴∠EBC∴∠BEC∴BE7．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）如图，在△ABC中，AC=BC，作CD⊥CA交AB的延长线于点D．作CE∥AD，BE⊥CB，且CE(1)若∠A=65°，求(2)求证：CD=【答案】(1)25°(2)见解析【分析】（1）根据等边对等角得到∠A=∠CBA（2）根据等角的余角证明∠D=∠E，再根据垂直的意义得到∠CBE=∠【详解】（1）解：∵AC=∴∠A∵BE⊥∴∠DBE∵CE∴∠E（2）证明：∵CD⊥∴∠D∵由（1）∠DBE=90°-∠CBA∴∠D∵由（1）得∠∴∠D∵BE⊥CB，∴∠CBE∵AC=∴△EBC∴CD=【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形两锐角互余，全等三角形的判定与性质，平行线的性质等．8．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，AB=AE，AC=(1)求证：△BAC(2)若AE平分∠BAC,∠EAC【答案】(1)见解析(2)42°【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．（1）根据SAS即可证明△BAC（2）由角平分线的定义得∠BAE=∠CAE=42°，由全等三角形的性质得AC=AD，【详解】（1）证明：∵∠∴∠∴∠∵∴△（2）解：∵AE平分∴∠∵∠∴∠CAD∵△∴∴∠ACB∵∠ACD+∠∴∠9．（24-25八年级上·山东济宁·期中）在△ABC中，AD(1)如图1，若AB=8，AC=5，求(2)如图2，AE是△ACD的中线，若CA=CD【答案】(1)3(2)见详解【分析】（1）延长AD到点F，使FD=AD，连接FB，则AF=2AD，而∠FDB=∠ADC，BD=CD，即可根据“SAS”（2）延长AE到点H，使HE=AE，连接HD，则AH=2AE，而CA=CD，所以DB=CD=CA，【详解】（1）解：如图1，延长AD到点F，使FD=AD，连接FB，则∵AD是△ABC的中线，AB=8，∴BD=在△FDB和△BD=∴△FDB∴FB=∵AB-FB<∴3<2AD∴32（2）证明：如图2，延长AE到点H，使HE=AE，连接HD，则∵AD是△ABC的中线，AE是△ACD的中线，∴DB=∵∠AEC∴△HED∴DH=CA=∴∠ADH∵∠ADB∴∠ADH∵AD=∴△ADH∴AH=∴AB=2【点睛】此题重点考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．题型三利用三线合一求解10．（24-25八年级下·河北保定·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，A．5 B．6 C．7 D．8【答案】A【分析】本题考查了等腰三角形三线合一．直接根据等腰三角形三线合一得到AD垂直平分BC，作答即可．【详解】解：∵AB=AC，∴由等腰三角形三线合一可知AD垂直平分BC，∴BD=故选：A．11．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC，点D为垂足，点E、F分别是AD、AB上的动点，若AB=6，△ABC的面积为A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于AD的对称点M，连接BM、EM，过点B作BN⊥AC于点N，从而可确定BE+EF≥BM，即BM最小时，【详解】解：∵AB=AC，∴直线AD是图形的对称轴，如图，作点F关于AD的对称点M，连接BM、EM，过点B作BN⊥∴EF=∴BE+∴BM最小时，BE+当BM⊥AC时BM最小，即为∵S△ABC=∴BN=2×12÷6=4∴BE+EF的最小值是故选C．12．（24-25七年级下·湖南衡阳·期中）如图，△ABC中，AB=AC，D是BC

A．∠B=∠C B．C．AD⊥BC D【答案】D【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，从而判断B与C正确；由等腰三角形等边对等角的性质可判断A【详解】解：∵△ABC中，AB=AC，D∴AD⊥BC，∠B故A、B、C三项正确，D不正确．故选：D．13．（24-25八年级上·吉林白城·期末）如图，△ABC中，AB=AC, AD⊥BC于点D，【答案】△BCE【分析】本题考查等腰三角形的性质，垂直平分线的判定及性质，等边三角形的判定，掌握相关知识是解题的关键．先由等腰三角形的“三线合一”得到BD=CD，得到AD为BC的垂直平分线，从而BE=【详解】解：△BCE∵AB=∴BD=∴AD为BC的垂直平分线，∴BE=∵BC=∴BC=∴△BCE14．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）【课本再现】在冀教版八年级上册数学教材第十七章《特殊三角形》中，我们学习了等腰三角形的性质定理：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称“三线合一”）．(1)以上是三位同学对性质定理的证明思路，请你用小丽的思路完成以下证明．如图，在△ABC中，AB=AC，作AD平分∠BAC，交BC于点D．求证：【定理应用】请利用上面等腰三角形的性质定理，解决下面问题：(2)如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，过点D分别作DE⊥AB，DF若DE=DF，则下列结论错误的是_____．①∠ADC=90∘，②∠【答案】(1)见解析(2)③【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．（1）证明△ABD≌△ACDSAS，得出BD=CD，（2）根据角平分线的判定得出AD平分∠BAC，根据等腰三角形“三线合一”得出∠ADC=【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC∴∠BAD∵AB=AC，∴△ABD∴BD=CD，∵∠ADB∴∠ADB∴AD⊥（2）解：∵DE⊥AB，DF⊥∴AD平分∠BAC∴∠BAD∵AB=∴AD是底边BC上的中线，底边BC上的高线，∴∠ADC=90无法证明AD=BC，故①②④正确，故答案为：③．题型四利用三线合一证明15．（24-25八年级上·甘肃兰州·期末）如图，已知点D、E为△ABC的边BC上两点．AD=AE，BD=CE解：过点A作AH⊥BC，垂足为∵在△ADE中，AD=AE∴DH=EH（又∵BD=∴BD+DH=CE即：BH=又∵AH⊥BC，垂足为∴AH为线段的垂直平分线．∴AB=AC（∴∠B=∠C（【答案】等腰三角形三线合一性质；等式的性质；CH；BC；线段垂直平分线的性质；等边对等角【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，理解等腰三角形的判定和性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解决问题的关键．过点A作AH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”的性质得DH=EH，进而根据等式性质得BH=CH，由此得AH为线段【详解】解：过点A作AH⊥BC，垂足为∵在△ADE中，AD=AE∴DH又∵BD∴BD即：BH=又∵AH⊥BC∴AH为线段BC∴AB∴∠B故答案为：等腰三角形三线合一性质；等式的性质；CH；BC；线段垂直平分线的性质；等边对等角．16．（24-25八年级上·福建南平·期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE相交于点(1)求证：AB=(2)若AE=12【答案】(1)详见解析；(2)22.5°．【分析】（1）根据等角的余角相等得出∠BAD=∠FCD（2）由（1）得：AB=CF，∠BAD=∠FCD，则AE=12AB本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，垂直平分线的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】（1）证明：∵AD⊥BC，∴∠ADC=∠∴∠FCD+∠DFC又∵∠AFE∴∠BAD在△ABD和△∠BAD∴△ABD∴AB=（2）解：由（1）得：AB=CF，∵AE=∴AE=∵CE⊥∴CE垂直平分AB，∴CA=∴∠BCE∵AD=CD，∴∠ACD∴∠BAD17．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AD为BC上的中线，BE⊥AC，垂足为点E，点F为AB中点，连接EF(1)求证：EF=(2)已知∠BAC=50°，求【答案】(1)见解析(2)65°【分析】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的性质，垂直平分线的判定与性质．（1）根据等腰三角形三线合一的性质推出△ABD是直角三角形，由直角三角形的性质得到FD=12AB=AF（2）由直角三角形的性质求出∠ABC=65°，由（1）知FD=AF=BF，得到∠ADF=∠BAD，进而推出∠ADF=∠CAD，得到AC∥DF，结合BE⊥【详解】（1）证明：∵AB=AC，AD为∴∠BAD∴△ABD∵点F为AB中点，∴FD=∵BE⊥∴∠AEB∴△ABE∵点F为AB中点，∴EF=∴EF=（2）解：∵∠BAC=50°，∴∠∵∠ADB∴∠ABC由（1）知FD=∴∠ADF∴∠ADF∴AC∥∵BE⊥∴BE⊥∵EF=∴DF垂直平分BE，∴BD=DE，即∴∠FED题型五找出图中的等腰三角形18．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=72°，CD平分∠ACB交AB于点D，A．3个 B．4个 C．5个 D．6个【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形判定和性质、角平分线的性质、平行线的性质，由已知条件利用相关的性质求得各个角相等是本题的关键．根据等腰三角形的判定和性质定理以及平行线的性质即可得到结论．【详解】解：∵AB=AC，∴△ABC为等腰三角形，∠B∵DE∴∠DEB∴BD=DE，∵CD平分∠ACB∴∠ACD∴AD=CD，∠BDC∴BC=CD，∵∠ACD=∠DCB∴∠∴DE=EC，综上所述：共有5个等腰三角形．故选C．19．（2024·河北邯郸·三模）如图中的点都在格点上，使△ABPn（n为1~4的整数）不是轴对称图形的点是

A．P1 B．P2 C．P3【答案】B【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，等腰三角形的定义，勾股定理，根据网格的特点和勾股定理可得△ABP1【详解】解：根据网格的特点和勾股定理可得△AB△AB故选：B．20．（24-25八年级上·江苏南京·期中）如图，已知△ABC中，AB=6，AC=10，BC=14，若过△ABC的顶点的一条直线将△A．2条 B．3条 C．4条 D．5条【答案】C【分析】此题主要考查了等腰三角形的定义，根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可．【详解】解：如图所示，当BA=BE=

综上，这样的直线最多可画4条．故选：C．21．（2023七年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A(2,-3)，点B与点A关于原点O对称，将点B沿x轴向右平移3个单位后落在点C(1)△ABC的面积等于(2)设M(1,2)，点N是第一象限内的虚线格点，如果△OMN是以OM为腰的等腰三角形，那么点【答案】9；(2,1)或(3,1)或(3,3)．【分析】（1）由平移得BC=3（2）分OM=ON和【详解】（1）如图：∵点A与点B关于原点O对称，A(2,-3)，∴点B(-2,3)∴将点B沿x轴向右平移3个单位后落在点C处．∴点C(1,3)∴BC∴△ABC的面积=12故答案为：9；（2）如图：当OM=ON时，以O为圆心，OM为半径作圆，可得点当OM=MN时，以M为圆心，OM为半径作圆，可得点N(3,1)故答案为：(2,1)或(3,1)或(3,3)．【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，平移变换以及三角形面积求法，等腰三角形的定义，解题的关键是利用分类讨论思想．题型六利用等角对等边证明等腰三角形22．（24-25八年级下·广东深圳·期中）某市一座老式桥梁需进行加固改造，工程师对主梁结构进行了分析，如图，△ABC为主梁框架，∠ABC是桥墩支撑角度的2倍，即∠ABC=2∠C，工程师计划在∠BAC的角平分线处安装钢架AD，交底梁BC于点D，为确保稳定性，必须过点B焊接加固钢索BE，使得BE⊥AD，分别交(1)求证：加固后的△ABE(2)经测量，主梁全长AC为13米，关键节点间距BD为5米，求原始支撑段AB的长度．【答案】(1)见解析(2)原始支撑段AB的长度是8米【分析】（1）由垂直的定义得到∠AFE=∠AFB=90°，由角平分线的定义得到∠EAF（2）连接DE，根据等腰三角形的性质得到AD垂直平分BE，得到BD=ED，由等腰三角形的性质得到∠DEF【详解】（1）证明：∵BE∴∠AFE又∵AD平分∠∴∠EAF又∵在△AEF和△∠AFE+∠∴∠AEF∴AE∴△ABE（2）解：连接DE，

∵AE=AB，AD平分∴AD垂直平分BE∴BD∴∠DEF∵∠AEF∴∠AED又∵∠ABC∴∠AED又∵△CED中，∠∴∠C∴EC∴CE∴AB【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．23．（24-25八年级上·广西贺州·期末）如图，已知点A，C分别是△FBE的边BF和BE延长线上的点，作∠AFE的平分线FD，若(1)求证：△FBE(2)作∠FEC的平分线交FD于点H，若∠B=50°【答案】(1)见解析(2)65°【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质以及等腰三角形的判定与性质等知识：（1）根据角平分线的定义得∠AFD=∠DFE，由平行线的性质得∠AFD=∠B，（2）由（1）知∠FEB=∠B=50°，得出【详解】（1）证明：∵FD平分∠∴∠AFD∵FD∴∠AFD=∠B∴∠B∴FB=（2）解：∵∠B=∠FEB∴∠FEB∴∠FEC∵EH平分∠FEC∴∠HEC∵FD∥∴∠FHE24．（24-25八年级上·广西柳州·期中）如图，△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF经过点D，与AB,AC相交于点E(1)求证：△BED(2)若AC=6cm,AB=8【答案】(1)见解析(2)14【分析】本题考查了角平分线的定义，两直线平行内错角相等，等角对等边，证明∠EBD（1）由角平分线的定义可得∠EBD=∠DBC，由两直线平行内错角相等可得∠（2）同理（1）可得DF=CF，根据△AEF【详解】（1）证明：∵BD平分∠ABC∴∠EBD∵EF∥∴∠EDB∴∠EBD∴BE∴△BED（2）解：同（1）可证DF=又∵BE=ED，∴△AEF的周长====8+6=14cm∴△AEF的周长为14题型七利用等角对等边求边长或证明边相等25．（24-25八年级上·江苏宿迁·期末）如图，在△ABC中，角平分线BO和CO相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，BC【答案】2【分析】本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线定义，由角平分线定义得到∠OBE=∠OBA，由平行线的性质推出∠EOB=∠OBA，得到∠OBE=∠EOB【详解】解：∵OB平分∠ABC∴∠OBE∵OE∥∴∠EOB∴∠OBE∴BE=同理：OF=∴△OEF的周长=故答案为：2a26．（24-25八年级上·重庆永川·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=1，AD=3，点E在AD上，连接BE，CE，∠A=∠D=∠BEC【答案】2【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是证明三角形全等．根据三角形外角的性质得到∠ABE=∠DEC【详解】解：∵∠A=∠D∴∠CED∵∠EBC∴CE=在△ABE和△∠A∴△ABE∴AB故答案为：2．27．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠B=2∠ADB，AB=3【答案】8【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键；在AC上取点E，使AE=AB=3，连接DE，则由角平分线的性质可证明△ABD≌△AED，从而有∠B【详解】解：如图，在AC上取点E，使AE=AB=3∵AD平分∠BAC∴∠BAD在△ABD与△AB=∴△ABD∴∠B∵∠B∴∠BDE∴∠BDE∴180°-∠BDE∴∠CDE∴CE=∴AC=故答案为：8．28．（24-25八年级上·江西上饶·期末）如图，在△ABC中，D为BC上一点，且∠ABC=∠ADB，E为AC上方一点，且(1)求证：BC=(2)猜想∠EDC与∠【答案】(1)见解析(2)∠EDC【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形等角对等边，三角形外角的性质（1）根据∠EAC=∠BAD，证明∠EAD=∠BAC，再由∠ABC=∠ADB（2）∠EDC=∠BAD，根据三角形外角的性质得到∠ADC=∠【详解】（1）证明：∵∠EAC∴∠EAC∴∠EAD∵∠ABC∴AB=∵AC=∴△ABC∴BC=（2）解：∠EDC∵∠ADC由（1）知△ABC∴∠ABD∴∠EDC29．（24-25七年级下·上海长宁·期末）已知：如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AC分别交AC、AD于点E、F，连接(1)如果∠BAC=70°，求(2)过点F作FG∥AB交边AC于点G，如果AC=10【答案】(1)55°(2)16【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）根据角平分线的定义以及线段垂直平分线的性质可得∠CAD（2）根据FG∥AB以及角平分线的定义，可得∠AFG=∠FAG【详解】（1）解：∵AD是△∴∠∵∠∴∠∵EF垂直平分∴∴∠CAD∵∠FEC∴∠EFC（2）解：如图，∵FG∴∠∵AD是△∴∠∴∠AFG∴AG=∵FA∴∵∴∴∴C题型一格点中画等腰三角形30．（24-25七年级下·全国·课后作业）如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A和B是两个格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数为【答案】5【分析】本题考查了等腰三角形的判定,线段的垂直平分线的性质．熟练掌握等腰三角形的定义是解题的关键．由题意知，分当AB为底时，当AB为腰时，两种情况求解作答即可．【详解】解：如图，由题意知，当AB为底时，满足要求的点C如C1、C2、C4∴共有5个，故答案为：5．31．（24-25八年级上·北京朝阳·期中）在平面直角坐标系xOy中，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．如图，点A的坐标为(2,4)，点B的坐标为(1,1),C为第一象限内的整点（在所给网格中），若不共线的A,B,C【答案】(3,1)或(4,2)或(3,2)或(6,1)或(5,3)或(5,5)或1,7（答案不唯一）【分析】由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，则△ABC【详解】解：依题意，由不共线的A，B，C三点构成轴对称图形，∴△ABC则以A为圆心，AB为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点；或以B为圆心，AB为半径画弧，与网格顶点相交，即为满足条件的C点；或AB为底边，作其的垂直平分线，与网格顶点相交，即为满足条件的C点；如图，共有符合要求的点C有7个．其中点C坐标为(3,1)或(4,2)或(3,2)或(6,1)或(5,3)或(5,5)或1,7故答案为：(3,1)或(4,2)或(3,2)或(6,1)或(5,3)或(5,5)或1,7（答案不唯一）32．（23-24八年级上·山西晋城·期末）如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A，B，请在此点阵中找一个阵点C，使得以点A，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有个．【答案】5【分析】此题考查等腰三角形的判定．由已知条件，分别AB为腰找等腰三角形和AB为底找等腰三角形，即可．【详解】解：如图，分别AB为腰画出等腰三角形和AB为底画出等腰三角形，符合条件的点C有5个，故答案为：5．题型二直线上与已知两点组成等腰三角形的点33．（23-24八年级上·北京昌平·期末）如图，点O在直线l上，点A在直线l外.若直线l上有一点P使得△APO为等腰三角形，则满足条件的点P位置有个【答案】4【分析】本题考查了等腰三角形的定义，垂直平分线的性质，根据题意，分三种情况求解，即可得到答案，利用分类讨论的思想解决问题是关键．【详解】解：如图，①以O为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P1、P此时OA=OP1=②以A为圆心，OA长为半径画弧，与直线l交于点P3此时OA=OP③作OA的垂直平分线，与与直线l交于点P4此时OP4=即满足条件的点P位置有4个，故答案为：4．34．（23-24八年级上·河南开封·期中）在平面直角坐标系中，已知A3,0，B0,3，若坐标轴上取一点C，使得△ABC【答案】7【分析】本题考查了等腰三角形的判定，坐标与图形的性质，分三种情况讨论是解题的关键．根据题意分三种情况：当AB=AC时；当BA=【详解】解：如图所示：

分三种情况：当AB=AC时，以点A为圆心，交坐标轴于点当BA=BC时，以点B为圆心，交坐标轴于点当CA=CB时，作AB的垂直平分线,交坐标原点综上所述：若坐标轴上取一点C，使得△ABC为等腰三角形，则满足条件的情况有7故答案为：7．35．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知点A在直线y=x上，点A横坐标为2，点P在x轴上，使△AOP是等腰三角形则P【答案】4,0或2,0或22,0【分析】本题考查了等腰三角形的定义，两点间距离公式，和正比例函数的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先求出A2,2，设Px,0【详解】解：由题意得，把xA=2代入y=∴A2,2设Px∴AO当AO=AP，则AO2解得：x=4或x∴P4,0当OP=AP，则OP2解得：x=2∴P2,0当AO=OP，即AO2解得：x=±2∴P22,0综上所述：△AOP是等腰三角形，P的坐标为P4,0或P2,0或P故答案为：4,0或2,0或22,0或36．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）阅读下列一段文字，然后回答下列问题．已知在平面内两点P1x1,y1，P2(1)已知A-2,3，B4,-5，试求A(2)已知一个三角形各顶点坐标为A-1,3、B0,1(3)已知A2,1，在y轴上是否存在一点P，使△OAP为等腰三角形，若存在请直接写出点【答案】(1)10(2)等腰直角三角形，理由见解析(3)存在，P0,5或0,-5或【分析】本题主要考查了两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，勾股定理等知识，运用分类思想是解题的关键．（1）利用公式代入即可；（2）利用公式求出AB，AC，BC的长，再由勾股定理逆定理即可判断；（3）根据等腰三角形的性质，分三种情况利用勾股定理即可求解．【详解】（1）解：∵A(-2,3)，∴AB（2）解：等腰直角三角形，理由如下：∵A-1,3、B∴ABAC=BC=∴AB2∴△ABC（3）解：存在，∵A∴O设P0,∴OP2=当AO=OP时，AO2=OP2，则当AO=AP时，AO2=AP2，则5=4+y当AP=OP时，AP2=OP综上，P0,5或0,-5或0,2题型三求与图形中任意两点构成等腰三角形的点37．（24-25八年级上·新疆伊犁·期中）在直角坐标系中，△ABC

(1)请画出△ABC关于y轴对称的(2)直接写出A1，B1，(3)在x轴上找出点P，使得点P到点A、点B的距离之和最短（保留作图痕迹）(4)点Q在坐标轴上，且满足△BCQ是等腰三角形，符合条件的Q点有【答案】(1)见解析(2)A1(4,1)，B1(2,3)，(3)见解析(4)10【分析】（1）由点的对称性，作出图形即可；（2）关于y轴对称的点的坐标特点：横坐标变为相反数，纵坐标不变，即可求解；（3）作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P（4）利用两圆一线确定等腰三角形，作出图形即可求解．【详解】（1）如图1：△A

（2）由图可知A(-4,1)，B(-2,3)∴A点关于y轴对称的点为(4,1)，B点关于y轴对称的点为(2,3)，C点关于y轴对称的点为(-1,-2)∴A1(4,1)，B1(2,3)（3）如图2：作A点关于x轴的对称点A'，连接A'B交x轴于点P

∴AP+此时PA+（4）如图：以B为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，以C为圆心，BC长为半径做圆，此圆与坐标轴有4个交点，

作线段BC的垂直平分线，此线与坐标轴有2个交点，∴△BCQ是等腰三角形时，Q点坐标有10故答案为：10．【点睛】本题考查轴对称作图，图形与坐标，熟练掌握轴对称的性质，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，两圆一线确定等腰三角形的方法是解题的关键．38．（22-23八年级上·广东惠州·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC=BC，△ABC所在的平面上有一点P（如图中所画的点P1），使△PAB，△【答案】图见解析，10【分析】根据等腰三角形的两边相等，可通过作线段的垂直平分线得出满足条件的点；【详解】解：如图，在△ABC的边BC的中垂线上有P1，P3，P6和，所以满足条件的点P共有4×3-2=10个．【点睛】本题考查等腰三角形的判定（有两条边相等的三角形是等腰三角形），理解等腰三角形的三线和一性质是解答关键．39．（20-21八年级上·江西吉安·期末）直线y=-34x+6与x轴相交于点B(1)求直线AB与坐标轴围成的面积；(2)在x轴上一动点P，使△ABP是等腰三角形，请直接写出所有P点的坐标，并求出如图所示AP=PB(3)直线y=x+3与直线AB相交于点C，与x轴相交于点D；点Q是直线CD上一点，若△BQD的面积是【答案】(1)24(2)（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或（74，0(3)（457，66【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）如图，由（1）知A（0，6），B（8，0）．当AB=PB=10时，OP=18或2；当AB=AP时OP=OB=8；当AP=PB时，根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论；（3）解方程组得到C（227，337），根据已知条件得到【详解】（1）解：在y=-当x=0时，y=6；当y=0时，x=8；∴S△（2）如图，由（1）知A（0，6），B（8，0），∴OA=6，OB=8，∴AB=10，∵△ABP∴当AB=PB=10，OP=18或2，∴P（18，0）或（－2，0）；当AB=AP时，OP=OB=8，∴P（－8，0）；当AP=PB时，设OP=x，则AP=BP=8－x，由AO得：62解得：x=此时P（74综上所述，点P的坐标为：（18，0）或（－2，0）或（－8，0）或P（74（3）联立y解得：x∴C（127∵△BQD的面积是△BCD的面积的两倍，∴Q点的纵坐标为667把y=667代入y=x+3得x=457把y=－667代入y=x+3得x=-87∴Q（457，66【点睛】本题考查了一次函数的综合题，三角形的面积的计算，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．题型四等腰三角形性质与判定综合40．（24-25八年级上·重庆荣昌·期末）在△ABC中，AB=AC,∠ABC=∠ACB，点D在CA延长线上，以CD为边，在AC上方作任意△

(1)如图1，若G为BE中点，DE∥BC，DA=2(2)如图2，点F在AC的延长线上，连接EF，若EF=BC,∠F=∠ABC，【答案】(1)6(2)CG=【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键，（1）先证明∠DEG=∠CBG（2）在CD上截取CN=CF，连接BN，先证明△EFC≌△BCN【详解】（1）解：∵DA=2∴AG=2∴DG=∵G为BE中点，∴BG=∵DE∥∴∠DEG在△DEG和△∠DEG∴△DEG∴CG=（2）线段DG、CF和CG之间存在的数量关系为在CD上截取CN=CF，连接BN，如图

在△ABC中，AB∴∠ACB在△EFC和△CN=∴△EFC∴BN=∴∠ECD∵∠DEF∴∠BCE∴∠D∴ED=在△DEG和△∠D∴△DEG∴DG=∴CG=41．（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，且有△BOC≌△ADC，∠OCD=60°(1)求证：△OCD(2)∠BOC=150°时，试判断(3)探究：当∠BOC为多少度时，△【答案】(1)见解析(2)△ADO(3)150°或105°或255°【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知相关知识是解题的关键．（1）根据全等三角形的性质得到OC=DC，再由∠OCD（2）先求出∠ODC=60°，根据全等的性质得到∠ADC=150°，即可求出∠ADO（3）分别表示出∠AOD=195°-α，∠ADO=α-60°，∠OAD=180°-∠【详解】（1）证明：∵△BOC∴OC∵∠OCD∴△OCD（2）解：∵△BOC∴∠BOC∵△∴∠DOC∴∠ADO∴△ADO∵∠AOD∴∠AOD∴∠AOD∵∠OAD∴∠OAD∴△ADO（3）解：若∠BOC=α则∠AOD=360°-∠AOB∴∠DAO①当DA=DO时，则∴195°-α∴∠BOC②当OA=OD时，则∴α-∴∠BOC③当AO=AD时，则∴195°-α∠BOC综上：当∠BOC为150°或105°或255°2，42．（24-25八年级上·浙江金华·期末）【问题探究】（1）如图1，已知△AOB和△COD均为等腰三角形且①连接AC,BD，求证：②如图2，线段AC交线段BD于点E，交线段BO于点F，且CD=AF．若AC=3，【学以致用】（2）如图3，已知点C在△ABD的右侧，连接CB,CD．若∠A=∠ADC=60°,∠【答案】（1）①证明见解析；②BE=3-1【分析】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造直角三角形是解题的关键．（1）①由SAS可证△AOC≌△BOD②由全等三角形的性质可得AC=BD=3，∠CAO=∠DBO（2）先证△ADH是等边三角形，可得AD=DH=AH，∠H=60°【详解】（1）①证明：∵AB∴∠ABO∵OA∴∠AOB∴∠AOC在△AOC和△OA∴△∴②∵CD∴∠AFO由①得，∠OAC∴∠OAF∵CD∴△AOF∴AO∵AC∴BE（2）解：延长AB，DC交于点H，过点B作BN⊥AD于∵∠A=∠∴△ADH∴AD=DH∵AB∴AB∴CD=BH∵∠ABC∴∠BCH∴CH∴AB∴AH∵BN⊥AD∴∠ABN∴AN=1∴DN∴BD43．（22-23八年级上·广西南宁·期中）综合探究：探索等腰三角形中相等的线段．问题情境：数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？问题初探：(1)希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如图1．在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC证明：如图1，∵DE⊥AB，∴∠DEB∵AB=∴∠B=∠C∵D是BC的中点，∴BD=在△BDE和△CDF中，∴△BDE≌△∴DE=①请写出依据1和依据2的内容：依据1：_______________________；依据2：_______________________．②请你应用图2写出一种不同于希望小组的证法．类比探究：(2)奋斗小组的同学认真研究过后，发现以下两个正确结论：①在图3中，若DE,DF分别为△ABD和△ACD的中线，那么DE=DF仍然成立．②在图4中，若DE,(3)未来小组的同学经过探究又有新的发现，如果在等腰△ABC中，作腰AB上的高CG，如图5，则CG与DE有确定的数量关系，请你直接写出这个数量关系为_________________【答案】(1)①等边对等角；AAS；②见解析(2)见解析，(3)CG【分析】（1）①根据等边对等角及全等三角形的判定定理解答即可；②连接AD，由AB=AC，D是BC的中点，得到AD平分∠BAC（2）图3：根据AB=AC，D是BC的中点，得到∠DAE=∠DAF，由DE,DF分别为△ABD和△ACD的中线，得到AE=AF，由此推出△ADE≌△ADFSAS，得到DE=DF；图4：由AB=AC（3）连接AD，根据等腰三角形的性质得到AD平分∠BAC，由角平分线的性质得到DE=DF【详解】（1）解：①依据1：等边对等角；依据2：AAS，故答案为：等边对等角；AAS；②连接AD，∵AB=AC，D是∴AD平分∠BAC又∵DE⊥AB，∴DE=（2）图3：∵AB=AC，D是∴AD平分∠BAC，即∠∵DE,DF分别为△ABD∴AE=∴AE=又∵AD=∴△ADE∴DE=图4：∵AB=AC，D是∴AD⊥BC，BD=∴∠ADB∵DE,DF分别为△ABD∴∠BDE∴∠BDE∴△BDE∴DE=（3）连接AD，∵AB=AC，D是∴AD平分∠BAC∵DE⊥AB，∴DE=∵S△∴12∴CG=2故答案为：CG=2【点睛】此题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是解题的关键．44．（24-25八年级上·四川泸州·期末）△ABC是等边三角形，点D