第15章 轴对称图形与等腰三角形（复习讲义）（教师版）-沪科版(2024)八上

第15章轴对称图形与等腰三角形（复习讲义）1.掌握基本概念：使学生理解轴对称图形的定义，掌握对称轴、对称点的概念，并能识别和绘制轴对称图形。同时，让学生掌握等腰三角形的判定定理（两边相等或两底角相等），以及等腰三角形的性质（底角相等、三线合一等）.2.培养空间观念和逻辑推理能力：通过观察、分析轴对称图形和等腰三角形，发展学生的几何直观和数学抽象思维，提高学生运用数学语言进行表达和交流的能力.3.应用知识解决实际问题：培养学生在解决实际问题时运用数学知识和方法进行探究和解决问题的素养，通过小组讨论等活动，让学生在实践中运用所学知识.4.熟练掌握性质并应用：能够熟练掌握轴对称图形的性质并能熟练应用，特别是线段的垂直平分线和角的平分线及等腰三角形的性质2.●一、轴对称图形（一）轴对称图形的相关概念★1、轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．★2、轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．★3、常见的轴对称图形：等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．（二）轴对称图形的性质★1、性质：★2、画对称轴的方法：（1）过两对对称点所连的线段的中点作直线；（2）作一对对称点连线的垂直平分线.●二、轴对称（一）轴对称的相关概念★1、轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称（或说这两个图形成轴对称），这条直线叫做对称轴．折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.【注意】理解轴对称的定义应抓住三点：①有两个图形；②存在一条直线；③一个图形沿着这条直线折叠后能与另一个图形重合.★2、轴对称图形和轴对称的区别与联系轴对称图形轴对称图形区别意义一个图形具有的特殊形状两个全等图形的特殊的位置关系对称轴的条数一条或多条只有一条对称轴的位置一定经过这个图形可能在两个图形的外部，也可以经过两个图形内部或它们的公共边（点）.联系1.都是沿着某条直线折叠后能重合.2.若把成轴对称的两个图形看作一个整体，则这个整体就是轴对称图形；反过来，若把轴对称图形的对称轴两旁的部分看作两个图形，则这两个图形关于这条直线（原对称轴）对称．（二）轴对称的性质★1、轴对称的性质：（1）成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分．如右图：直线MN是AA′,BB′,CC′的垂直平分线.由轴对称的性质得到一下结论：①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．③成轴对称的两个图形中，对应线段相等，对应角相等.（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．★2、找对称轴：若两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对对应点所连线段的垂直平分线，因此只要找到一对对应点，再作出连接它们的线段的垂直平分线就可以得到这两个图形的对称轴．轴对称图形的对称轴作法相同．★3、、作一个图形关于某条直线成轴对称的方法：先确定一些特殊的点，然后作这些特殊点的对称点，顺次连接即可．●三、画已知图形的轴对称图形画与已知图形成轴对称的图形的步骤：（1）找：观察已知图形，找出能代表已知图形的关键点（顶点或拐点）；（2）作：分别作出这些关键点关于对称轴对称的点；（3）连：按原图形的顺序依次连结相应的对称点.●四、线段的垂直的平分线◆1、线段的垂直平分线的定义：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.如图，MN⊥AA′，AP=A′P.直线MN是线段AA′的垂直平分线.说明：线段的垂直平分线可以看成是与线段两端点距离相等的所有点的集合.◆2、线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.★★应用格式：（如右图）∵直线l⊥AB，垂足为C，AC=CB，点P在直线l，∴PA=PB．★★作用：证明线段相等.◆3、线段的垂直平分线的判定：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．★★应用格式：（如上图）∵PA=PB，∴点P在AB的垂直平分线上．★★作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.●五、角的平分线（一）角平分线的性质定理◆1、性质定理：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.◆2、应用所具备的条件：（1）点在角的平分线上；（2）到角两边的距离(垂直).◆3、定理的作用：证明线段相等.◆4、角平分线的性质的几何语言：如图，∵OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE【注意】①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长；②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据，有时不必证明全等；③使用该结论的前提条件是图中有角平分线，有垂直.（二）角平分线的判定定理◆1、判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.◆2、应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.◆3、定理的作用：判断点是否在角的平分线上.◆4、角平分线的判定的几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE，∴点P在∠AOB的平分线上.★拓展三角形的三条角平分线交于三角形内一点，并且这点到三边的距离相等，反之，三角形内部到三边距离相等的点是该三角形三条角平分线的交点.●六、等腰三角形的概念及性质★1、等腰三角形的概念：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．★2、等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等(简写“等边对等角”).★用符号语言表示为：在△ABC中，∵AB=AC（已知），∴∠B＝∠C（等边对等角）.★3、等腰三角形性质2：等腰三角形底边上的高线、中线及顶角平分线重合.简称：等腰三角形三线合一.★用符号语言表示为：在△ABC中，（1）∵AB=AC,∠1=∠2(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.（2）∵AB=AC,BD=CD(已知)，∴∠1=∠2,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）.（3）∵AB=AC,AD⊥BC(已知)，∴BD=CD,∠1=∠2（等腰三角形三线合一）.★在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．★拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（或底边上的高或底边上的中线）所在的直线.●七、等边三角形的概念及性质★1、定义：三边相等的三角形叫作等边三角形或正三角形．★2、性质：（1）等边三角形是轴对称图形，并且有3条对称轴．（2）等边三角形的各角都等于60°．★3、等边三角形与等腰三角形的性质比较：等腰三角形等边三角形对称性轴对称图形(1条)轴对称图形(3条)边两腰相等三边都相等角两底角相等三个角都等于60°特殊线底边上的中线、高和顶角的平分线互相重合(1条)每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合(3条)●八、等腰三角形的概念及性质等腰三角形的判定方法：★1、定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形.★2、判定定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形.(简称“等角对等边”)．几何语言：在△ABC中，∵∠B＝∠C（已知），∴AB=AC（等角对等边）.★3、等腰三角形的判定与性质的区别条件结论作用性质(等边对等角)在同一个三角形中，两边相等.这两边所对的角也相等.证明角相等.判定(等角对等边)在同一个三角形中，两个角相等.这两个角所对的边也相等.证明线段相等.●九、等边三角形的判定★1、等边三角形的判定（1）三个角都相等的三角形是等边三角形．（2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．★2、等边三角形与等腰三角形判定的区别图形等腰三角形等边三角形判定从边看：两条边相等的三角形是等腰三角形.三条边都相等的三角形是等边三角形.从角看：两个角相等的三角形是等腰三角形.三个角相等的三角形是等边三角形.特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图法，我们也可以用这种方法确定线段的中点．题型一题型一轴对称图形的识别【例1】（25-26八年级上·江苏淮安·阶段练习）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形指的是一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合的图形，按概念判断即可．【详解】解：A．是轴对称图形，故A不符合题意；B．是轴对称图形，故B不符合题意；C．是轴对称图形，故C不符合题意；D．不是轴对称图形，故D符合题意．故选：D．【变式1-1】（25-26八年级上·全国·期中）下列图形中，是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查轴对称图形，根据轴对称图形的定义，一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，逐项判断即可．【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，故该选项符合题意；C、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；D、该图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意；故选：B．【变式1-2】列图形中，不是轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．【详解】解：A、不是轴对称图形，符合题意；B、是轴对称图形，不符合题意；C、是轴对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不符合题意；故选：A．题型题型二轴对称性质的应用【例2】如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，并连接AE、AF．根据图中标示的角度，求∠A．113° B．124° C．129° D．134°【答案】D【分析】本题考查轴对称的性质，三角形内角和定理，解题的关键是利用轴对称的性质解答．连接AD，利用轴对称的性质和三角形内角和定理解答即可．【详解】解：连接AD，∵D点分别以AB、AC为对称轴，得到点E、F，∴∠EAB=∠BAD∴∠EAB∵∠B=62°，∴∠BAC∴∠EAF故选：D．【变式2-1】（24-25八年级上·全国·单元测试）如图所示，△A'B'C'与△ABC关于直线MNA．直线MN被线段AA'垂直平分 B．线段AAC．直线MN经过线段AA'中点，但不垂直 D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称的性质，如果把两个图形沿着某条直线折叠后，两个图形能完全重合，这两个图形关于这条直线轴对称，这条直线是对称轴，对称轴是对应点连线段的垂直平分线．【详解】解：∵△A'B'C∴MN是对称轴，点A和点A∴MN是线段A故A选项错误，不符合题意；∵MN是线段A∴线段AA'被直线故B选项正确，符合题意；∵MN是线段A∴直线MN经过线段AA'的中点，且垂直于线段故C选项错误，不符合题意；∵MN是线段A∴直线MN与线段AA'垂直，且经过线段故D选项错误，不符合题意；故选：B．【变式2-2】小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近8时整的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的．【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称．∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）．对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整；对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整．故选：D．【变式2-3】如图是一个经过改造的规格为4×7的台球桌面示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过台球边缘多次反弹），那么球最后将落入的球袋是（）A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋【答案】D．【分析】根据题意，画出图形，由轴对称的性质判定正确选项．【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为：所以球最后将落入的球袋是4号袋，故选：D．题型题型三与轴对称有关的探索规律问题【例3】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第9次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】【详解】解：如图所示，小球反弹6次回到点P处，而9﹣6＝3，∴第9次碰到矩形的边时的点为图中的点N．故选：D．【变式3-1】如图，弹性小球从点P出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球第1次碰到矩形的边时的点为Q，第2次碰到矩形的边时的点为M，…．第2022次碰到矩形的边时的点为图中的（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依次循环，用2022除以6，根据商和余数的情况确定所对应的点的位置即可．【详解】解：如图，经过6次反弹后动点回到出发点P，∵2022÷6＝337，∴当点P第2022次碰到矩形的边时为第337个循环组的第6次反弹，∴第2022次碰到矩形的边时的点为图中的点P，故选：A．【变式3-2】下面四个图形是标出了长宽之比的台球桌的俯视图，一个球从一个角落以45°角击出，在桌子边沿回弹若干次后，最终必将落入角落的一个球囊．图1中回弹次数为1次，图2中回弹次数为2次，图3中回弹次数为3次，图4中回弹次数为5次．若某台球桌长宽之比为5：4，按同样的方式击球，球在边沿回弹的次数为（）次．A．6 B．7 C．8 D．9【分析】根据题意画出图形，然后即可作出判断．【详解】解：根据图形可得总共反射了7次．故选：B．题型题型四利用轴对称解决最短路径问题【例4】A，B两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边l上修建一个自来水厂P，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂P的位置正确的是（）B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了轴对称图形-最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键．【详解】解：作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B，交直线l于点P则AP+由两点之间线段最短，此时AP+故选：B．【变式4-1】如图，在△ABC中，AC=6，AB=8，△ABC的面积为20，AD平分∠BAC，点F，E分别为AC，AD上动点，连结CE，EFA．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，垂线段最短．作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，求出EF+EC=EM+EC，根据垂线段最短得出【详解】解：作F关于AD的对称点为M，作AB边上的高CP，∵AD平分∠BAC∴M必在AC上，∵F关于AD的对称点为M，∴ME=∴EF+EC=EM+EC∵△ABC的面积为20，AB∴12∴PC=5，即CE+EF故选：B【变式4-2】如图，在△ABC中，AB=8，BC=6，AC=10，AB⊥BC，点D、E分别是边A．365 B．425 C．465【答案】D【分析】本题考查了轴对称求最短距离，垂直平分线的性质，等面积法求三角形的高，利用轴对称和垂线段最短将线段和的最小转化为线段是解题的关键．延长CB至点C'，使得B当C'E⊥AC时，CD+【详解】延长CB至点C'，使得BC'=BC=6，连接又AB⊥∴AB垂直平分C∴DC=∴CD当C'，D，E当C'E⊥AC时，C'当C'E⊥AC时，由∴12×8=10C解得C'综上可知，CD+DE的最小值为故选：D．题型题型五线段垂直平分线的性质的应用【例5】（25-26九年级上·海南省直辖县级单位·阶段练习）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AB于点D，若∠A=50°，∠B=46°A．34° B．44° C．46° D．50°【答案】A【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理，先由三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由线段垂直平分线的性质和等边对等角求出∠【详解】解：∵在△ABC中，∠A=50°∴∠ACB∵AC的垂直平分线交AB于点D，∴DA=∴∠DCA∴∠BCD故选：A．【变式5-1】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．若ED=5A．7 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本题考查线段垂直平分线的性质和含30°角的直角三角形的性质．先根据线段垂直平分线的性质得到线段相等，从而得出角相等，再利用含30°角的直角三角形的性质求出CE的长度．【详解】解：∵在△ABC中，∠B=30°，BC的垂直平分线交AB于E∴BE∴∠B在Rt△∵∠DCE=30°，∴CE故选：C．【变式5-2】如图，在△ABC中，BC＝10cm，AB的垂直平分线交AB于点D、交AC于点E，△BCE的周长等于22cm．（1）证明：BE+EC＝AC；（2）求AC的长．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到EA＝EB，即可得到结论；（2）根据三角形的周长公式计算，得到答案．【详解】（1）证明：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵AC＝AE+CE，∴BE+CE＝AC；（2）解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA＝EB，∵△BCE的周长等于22cm，∴BC+CE+BE＝22（cm），∴BC+CE+EA＝BC+AC＝22（cm），∵BC＝10cm，∴AC＝12（cm）．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．题型题型六线段垂直平分线的判定【例6】下面是作线段AB的垂直平分线的尺规作图方法．如图所示，分别以点A,B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧交于点C和这样作的理由是（

）①等腰三角形的三线合一②线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等③两点确定一条直线④到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上A．① B．②③ C．③④ D．④【答案】C【分析】本题考查了作垂线，垂直平分线的判定，两点确定一条直线，先结合作图过程，得出C,D都在AB的垂直平分线上，C,【详解】解：连接AC,依题意，AC=即C,D都在∴C,D两点所在直线即为∴这样作的理由是到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上，以及两点确定一条直线故选：C【变式11-2】如图，已知：AC=AD,（1）AB平分∠CBD（2）CD垂直平分AB（3）AB与CD互相垂直平分

（4）CD平分∠A．一个 B．两个 C．三个 D．四个【答案】A【分析】此题考查了垂直平分线的判定，等腰三角形三线合一．由AC=AD，BC=BD，可得点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，即可得AB垂直平分CD，进而得到【详解】∵AC=AD∴点A在CD的垂直平分线上，点B在CD的垂直平分线上，∴AB垂直平分CD∴AB平分∠∴说法正确的个数有一个故选：A．【变式11-3】如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交AB，BC于点M，D，边AC的垂直平分线分别交AC，BC于点N，E，(1)若BC=12，求△(2)试判断点O是否在BC的垂直平分线上，并说明理由．【答案】(1)12(2)点O在BC的垂直平分线上，理由见解析【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质．（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等线段，然后利用等量代换进行求解即可；（2）连接AO，【详解】（1）解：∵AB，AC的垂直平分线分别交BC于点D，∴AD=BD∴AD+∴△ADE的周长为12（2）解：点O在BC的垂直平分线上，理由如下：如图，连接AO，∵OM，ON分别垂直平分∴OA=OB∴OB=∴点O在BC的垂直平分线上．题型题型七利用线段的垂直平分线解决实际问题【例7】【变式11-1】如图所示，现要在一块三角形草坪上建一凉亭供大家休息，使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭的位置应选在（

）A．△ABC三条角平分线的交点 B．△C．△ABC三条中线的交点 D．△【答案】D【分析】本题考查了垂直平分线的判定，根据到线段的端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，进行分析，即可作答．【详解】解：∵凉亭到草坪三个顶点的距离相等，∴凉亭的位置应选在△ABC故选：D【变式7-1】如图，物业公司计划在小区内修建一个电动车充电桩，要求到A，B，C三个出口的距离都相等，则充电桩应建在（）A．△ABC的三条高的交点处 B．△ABC的三条角平分线的交点处 C．△ABC的三条中线的交点处 D．△ABC的三条边的垂直平分线的交点处【答案】D．【分析】根据线段垂直平分线的性质可进行求解．【详解】解：由题意可知：当充电桩到A，B，C三个出口的距离都相等时，则充电桩应建在△ABC的三条边的垂直平分线的交点处；故选：D．【点睛】本题主要考查线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．【变式7-2】某公园的A，B，C处分别有海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐项目，现要在公园内一个售票中心，使三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，则售票中心应建立在（）A．△ABC三边高线的交点处 B．△ABC三角角平分线的交点处 C．△ABC三边中线的交点处 D．△ABC三边垂直平分线的交点处【答案】D．【分析】由三个娱乐项目所处位置到售票中心的距离相等，可得售票中心是海盗船、摩天轮、旋转木马三个娱乐场组成三角形的三边的垂直平分线的交点．【详解】解：∵售票中心到出口A、B的距离相等，∴售票中心到在线段AB的垂直平分线上，同理可得，售票中心应该在三条边的垂直平分线的交点，故选：D．【点睛】此题考查了线段垂直平分线的性质．此题难度不大，注意掌握线段垂直平分线的作法．题型题型十五尺规作图（作线段的垂直平分线）【例8】下列尺规作图分别表示：①作一个角的平分线；②作一个角等于已知角；③作一条线段的垂直平分线．其中作法正确的是（）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A．【分析】利用作一个角等于已知角；作一个角的平分线；作一条线段的垂直平分线的作法进而判断即可得出答案．【详解】解：①作一个角的平分线的作法正确；②作一个角等于已知角的方法正确；③作一条线段的垂直平分线，缺少另一个交点，故作法错误；故选：A．【点睛】此题主要考查了基本作图，正确把握作图方法是解题关键．【变式8-1】如图，在三角形ABC中，分别以点A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN交AB于点O，连接COA．AO＝BO B．MN⊥AB C．AN＝BN D．AB＝2CO【答案】D．【分析】利用基本作图得到MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质得到OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，可对A、B、C进行判断；由于当∠ACB＝90°时，OC=12AB，则可对【详解】解：由作法得MN垂直平分AB，∴OA＝OB，MN⊥AB，AN＝BN，当∠ACB＝90°时，OC=12故选：D．【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质．【变式8-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图：(1)用尺规作图，在图中作出Rt△ABC边BC垂直平分线EF，交BC于点F，AB于点(2)在（1）的条件下，若∠B=25°，求【答案】(1)作图见解析(2)40°【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可；（2）由题意得∠ACB=180°-∠A-∠B=65°，由线段垂直平分线的性质可得【详解】（1）解：如图，直线EF即为所作；（2）连接CE，∵∠A=90°，∴∠ACB∵直线EF为线段BC垂直平分线，∴BE=∴∠BCE∴∠ACE即∠ACE的度数为40°【点睛】本题考查基本作图—作线段的垂直平分线，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角．解题的关键是掌握垂直平分线的性质，等边对等角．【变式8-3】如图，△ABC(1)请在图中用无刻度的直尺和圆规作图，分别以点A和点B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN，交BC于点D，连接AD；((2)在（1）的条件下，若△ADC的周长为10，AB=7，则【答案】(1)见解析(2)17【分析】本题考查了复杂作图，掌握线段的垂直平分线是解题的关键．（1）根据题中步骤作图；（2）根据线段的垂直平分线的性质进行转化求解．【详解】（1）解：如图：（2）解：由作图得：MN垂直平分AB，∴AD∵△ADC的周长为10，即：AC∴△ABC的周长为：AC所以△ABC的周长为17题型题型九角平分线的性质求线段长【例9】如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BD是△ABC的角平分线，若AC＝9，CD＝6，则点D到BC的距离是（）​A．2 B．4 C．3 D．6【答案】C．【分析】根据题意作辅助线，然后根据角平分线的性质得出DE＝AD，根据已知可得AD＝3，所以DE＝3，即D点到BC的距离是3．【详解】解：过点D作DE⊥BC于点E，∵已知∠A＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥BC，∴∠A＝∠DEB＝90°，根据角平分线的性质可得：DE＝AD．∵AC＝9，CD＝6，∴DA＝3．∴DE＝3，即D点到BC的距离是3，故选：C．【点睛】本题主要考查角平分线的性质，作出辅助线是解决本题的关键，难度适中．【变式9-1】如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，BC＝8，则BD的长为（）A．3 B．5 C．8 D．10【答案】B．【分析】根据角平分线的性质得出ED＝CD＝3，进而可得出结论．【详解】解：∵∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB，ED＝3，∴ED＝CD＝3，∵BC＝8，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣3＝5．故选：B．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式9-2】如图，在△ABC中，∠C＝90°，若AC＝7，CD=37AC，BD平分∠ABC，则点A．2 B．3 C．4 D．7【答案】B．【分析】作DE⊥AB于E，由BD平分∠ABC，得到DE＝DC，由AC＝7，CD=37AC，求出CD＝3，得到DE＝3，即可求出点【详解】解：作DE⊥AB于E，∵∠C＝90°，∴DC⊥AC，∵BD平分∠ABC，∴DE＝DC，∵AC＝7，CD=∴CD＝3，∴DE＝3，∴点D到AB的距离等于3．故选：B．【点睛】本题考查角平分线的性质，关键是由角平分线的性质得到DE＝DC．【变式9-3】（2025·湖南长沙·一模）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，G是BC中点，连接DG，过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC交(1)求证：DG⊥(2)若AB=5, AC【答案】(1)见解析(2)1【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键．（1）连接BD,CD，根据角平分线性质定理得到DE=DF，再证明（2）先证明Rt△ADE≌Rt△【详解】（1）证明：连接BD,∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥∴DE在△BDE和△BE=∴△BDE∴BD∵G是BC∴DG（2）解：由(1)知：DE在Rt△ADE和Rt∴Rt∴AE∴AB∵BE=CF，AB∴5-BE∴BE题型题型十角平分线的性质求面积【例10】如图，射线OC是∠AOB角平分线，D是OC射线上一点，DP⊥OA于点P，DP＝4，若点Q是射线OB上一点，OQ＝3，则△ODQ的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B．【分析】作DE⊥OB于E，如图，根据角平分线的性质得DE＝DP＝4，然后根据三角形面积公式计算S△ODQ．【详解】解：作DE⊥OB于E，如图，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DE⊥OB，∴DE＝DP＝4，∴S△ODQ=12×3×4故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【变式10-1】如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC于点E．若AB＝4，DE＝2，则△ABD的面积为．【答案】4．【分析】过点D作DF⊥AB于点F，根据角平分线的性质可得DF＝DE，根据△ABD的面积=1【详解】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示：∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥BC，∴DF＝DE，∵AB＝4，DE＝2，∴DF＝DE＝2，∴△ABD的面积=12故答案为：4．【点睛】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键．【变式10-2】如图，在△ABC中，CD是AB边上的高，BE平分∠ABC，交CD于点E，已知，BC＝8，DE＝2，则△BCE的面积等于．【答案】8．【分析】先作辅助线EF⊥BC交BC于点F，然后根据角平分线的性质，可以得到DE＝EF，再根据三角形的面积公式，即可求得△BCE的面积．【详解】解：作EF⊥BC交BC于点F，∵CD是AB边上的高，∴CD⊥BA，∵BE平分∠ABC，∴DE＝EF，∵DE＝2，∴EF＝2，∵BC＝8，∴S△BCE=BC⋅故答案为：8．【点睛】本题考查角平分线的性质，解答本题的关键是作辅助线EF⊥BC，求出EF的长．【变式10-3】如图，△ABC中，AD是∠A的角平分线，BE是△ABD边AD上的中线，若△ABC的面积是24，AB＝5，AC＝3，则△ABE的面积是．【答案】7.5．【分析】根据角分线的性质和三角形的面积先求出点D到AB、AC的距离，然后再根据三角形的中线的性质即可得结论．【详解】解：如图过点D作DF⊥AB，DG⊥AC，垂足分别为F、G，∵AD是角平分线，∴DF＝DG，设DF＝DG＝h，∵S△ABC＝S△ABD+S△ADC，∴24=12AB•DF+12∴5h+3h＝48，解得h＝6，∴S△ABD=12×5×6∵BE是△ABD中的中线，∴S△ABE＝S△BDE=12S△ABD＝故答案为：7.5．【点睛】本题考查了三角形的角分线、中线，角分线的性质，三角形的面积，解决本题的关键是角分线上的点到角的两边的距离相等．题型题型十一角平分线性质求最值【例11】如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，点D是OB上的动点，若PC＝3，则PD的长的最小值为．【答案】3．【分析】根据垂线段最短可知，当PD⊥OB时最短，再根据角平分线上的点到角两边的距离相等可得PD＝PC，进而求解．【详解】解：过点P作PD′⊥OB，垂足为点D′．∵OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD′⊥OB，∴PD′＝PC，∵PC＝3，∴PD′＝PC＝3，即当点D运动到点D′的位置时，PD长度最短，最小值为3．故答案为：3．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角两边的距离相等的性质，垂线段最短的性质，确定出PD最小时的位置是解题的关键．【变式11-1】如图，OC平分∠AOB，点P是射线OC上一点，PM⊥OB于点M，点N是射线OA上的一个动点．若PM＝4，则PN的长度不可能是（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A．【分析】根据角平分线的性质及垂线段最短解答即可．【详解】解：当PN⊥OA时，PN最短，∵OC平分∠AOB，PM⊥OB于点M，PM＝4，∴PN最短＝4．故选：A．【点睛】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．【变式11-2】如图，点P在∠AOB的角平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，下列选项正确的是（）A．PQ≤5 B．PQ≥5 C．PQ＜5 D．PQ＞5【答案】B．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为5，再根据垂线段最短解答．【详解】解：∵点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，∴点P到OB的距离为5，∵点Q是OB边上的任意一点，∴PQ≥5．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．题型题型十二角平分线性质的证明【例12】如图，已知BD为∠ABC的平分线，AB＝BC，点P在BD上，PM⊥AD于M，PN⊥CD于N，求证：PM＝PN．【分析】根据角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，然后利用“边角边”证明△ABD和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADB＝∠CDB，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等证明即可．【解答】证明：∵BD为∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠ADB＝∠CDB，∵点P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，确定出全等三角形并得到∠ADB＝∠CDB是解题的关键．【变式12-1】如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E，D分别为垂足，CF＝CB．求证：BE＝FD．【分析】利用角平分线的性质得到CD＝CE，然后证明Rt△CBE≌Rt△CFD，从而得到BE＝FD．【详解】证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，∴CD＝CE，在Rt△CBE和Rt△CFD中，CB=∴Rt△CBE≌Rt△CFD（HL），∴BE＝FD．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，关键是根据角平分线上的点到角的两边的距离相等解答．【变式6-2】如图，已知BE⊥AC，CF⊥AB，垂足分别为E，F，BE，CF相交于点D，若BD＝CD．求证：AD平分∠BAC．【分析】要证AD平分∠BAC，只需证DF＝DE．可通过证△BDF≌△CDE（AAS）来实现．根据已知条件，利用AAS可直接证明△BDF≌△CDE，从而可得出AD平分∠BAC．【详解】证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠BFD＝∠CED＝90°．在△BDF与△CDE中，∠BFD∴△BDF≌△CDE（AAS）．∴DF＝DE，∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD是∠BAC的平分线．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及到角两边距离相等的点在角平分线上等知识．发现并利用△BDF≌△CDE是正确解答本题的关键．题型题型十三角平分线的判定【例13】如图，已知PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，且PA=PB，∠MON=50°，∠OPC=30°，则∠PCA=．【分析】由“HL”可证Rt△OAP≌Rt△OBP，可得∠AOP=∠BOP=12∠AOB=25°，由外角可求解．【详解】解：∵PA⊥ON于A，PB⊥OM于B，∴∠PAO=∠PBO=90°，∵PA=PB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP（HL），∴∠AOP=∠BOP=12∠AOB=25°，∴∠PCA=∠AOP+∠OPC=55°，故答案为：55°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，证明Rt△OAP≌Rt△OBP是本题的关键．【变式13-1】如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF求证：AD平分∠BAC．【分析】由DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF，即可判定Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），则可得DE＝DF，然后由角平分线的判定定理，即可证得AD平分∠BAC．【详解】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠E＝∠DFC＝90°，在Rt△BDE和Rt△CDF中，BD=∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴DE＝DF，∵AD＝AD，Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），∴∠DAE＝∠DAF，∴AD平分∠BAC．【点睛】本题考查了角平分线的判定与全等三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．【变式13-2】如图，△AOB中，点C为∠AOB的角平分线与外角∠DAB的角平分线的交点，连接CB．求证：BC平分外角∠ABE．【分析】作CH⊥AB于H，CM⊥OD于M，CN⊥OE于N，如图，先根据角平分线的性质得到CM＝CN，CH＝CM，利用等量代换得到CH＝CN，然后根据角平分线定理的逆定理可得结论．【详解】解：作CH⊥AB于H，CM⊥OD于M，CN⊥OE于N，如图，∵点C为∠AOB的角平分线与外角∠DAB的角平分线的交点，∴CM＝CN，CH＝CM，∴CH＝CN，∴BC平分外角∠ABE．【点睛】本题考查了解平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；在角的内部，到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．题型题型十四角平分线性质与判定的综合【例14】（2025·北京门头沟·二模）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E，点F在AC上，点G在AB上，①DC=DE；②GD平分∠FGE；③∠CABA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键．根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作DH⊥FG于点H，则DC=DH，结合DC=DE可得DH=DE，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断【详解】解：①∵AD平分∠BAC，∠C=90°∴DC=故结论①正确；②过点D作DH⊥FG于点∵FD平分∠CFG，∠C=90°∴DC=又∵DC=∴DH=∴点D在∠FGE∴GD平分∠FGE故结论②正确；③∵FD平分∠CFG，GD平分∠∴∠CFG=2∠DFG∴∠AFG=180°-∠CFG∴∠AFG在△DFG中，∠∴∠AFG在△AFG中，∠∴∠CAB故结论③正确；④在Rt△CDF和DC=∴Rt△∴S△同理证明：Rt△∴S△∴S△即S△故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④，共4个．故选：D．【变式14-1】如图，CD⊥OM,CE⊥ON，垂足分别为D,【答案】见解析【分析】本题主要考查了角平分线的判定定理，全等三角形的性质和判定，先根据“斜边直角边”证明Rt△ADC≌Rt【详解】证明：∵CD∴∠ADC在Rt△ADC和AC=∴∴CD∵CD∴OC平分∠MON【变式14-2】如图，过△ABC的边AC的垂直平分线MN上的点M，作△ABC的另外两边AB，BC所在直线的垂线，垂足分别为D，E，AD=CE，作射线BM；求证：【答案】见解析【分析】本题主要考查角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握角平分线的判定定理、线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键；连接MA，MC；由题意易得MA=MC，然后可得Rt△【详解】证明：连接MA，MC，∵点M在AC的垂直平分线上，∴MA∵MD⊥AB∴∠ADM在Rt△MAD和MA∴Rt△∴MD又∵MD⊥BA∴点M在∠ABC的平分线上，即BM平分∠题型题型十五利用等腰三角形的性质求角度【例15】如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝130°，DA⊥AC，则∠ADB＝（）A．100° B．115° C．130° D．145°【答案】B．【分析】根据等边对等角得出∠B＝∠C，根据∠BAC＝130°即可求出∠C的度数，由DA⊥AC得出∠DAC＝90°，从而求出∠ADC的度数，问题得解．【详解】解：在△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵∠BAC＝130°，∴∠B＝∠C=180°-130°2∵DA⊥AC，∴∠DAC＝90°，∴∠ADC＝90°﹣25°＝65°，∴∠ADB＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°，故选：B．【详解】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键．【变式15-1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD,A．36° B．72° C．108° D．144°【答案】C【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，角平分线的有关计算等知识点，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理是解题的关键．先根据等腰三角形的性质，三角形内角和定理求出∠ABC=∠ACB=72°，再由角平分线求出【详解】解：∵AB=∴∠ABC∵BD,CE分别是∴∠CBE∴∠BEC故选：C．【变式15-1】如图，点P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB，BC于点M，N，且M，N分别在PA，PC的垂直平分线上．若∠APC=143°A．74° B．106° C．126° D．132°【答案】B【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据平角的概念求出∠MPA+∠NPC，根据线段垂直平分线的性质得到MP=MA，NP【详解】解：∵∠APC∴∠MPA∵M，N分别在PA，PC∴MP=MA∴∠MAP=∠MPA∵∠BMN=∠MPA∴∠BMN∴∠ABC故选：B．【变式15-2】（24-25八年级上·贵州遵义·期中）如图，在△ABC中，AB=AC，在AB延长线上取一点D，在BC延长线上取一点E，使BD=BE，连接DE，延长AC交DE于点F，若CEA．24° B．30° C．36° D．45°【答案】C【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理以及三角形外角的性质即可得到结论．【详解】解：∵AB=∴∠ABC∴∠A∵CE=∴∠ECF∴∠E∵∠ACB∴∠A∵BD=∴∠D∵∠ABC∴∠A∴∠A故选：C．题型题型十六利用等腰三角形的性质求线段长【例16】如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝（）A．8cm B．10cm C．12cm D．14cm【答案】B．【分析】先得出AD是△ABC的中线，得出S△ABC＝2S△ABD＝2×12AB•DE＝AB•DE＝5AB，又S△ABC=12AC•BF，将AC＝【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，∴AD是△ABC的中线，∴S△ABC＝2S△ABD＝2×12AB•DE＝AB•DE＝5∵S△ABC=12AC•∴12AC•BF＝5AB∵AC＝AB，∴12BF＝5∴BF＝10（cm），故选：B．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的面积，利用面积公式得出等式是解题的关键．【变式16-1】如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，点E在边AC上，AE的中垂线交BC于点D，若∠ADE＝∠B，BD＝4，则AE等于（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C．【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，推出∠BAD＝∠CDE，根据线段垂直平分线的性质得到AD＝ED，根据全等三角形的性质得到CD＝AB＝12，BD＝CE，进而得到结论．【详解】解：∵AB＝AC＝12，∴∠B＝∠C，∵∠ADE＝∠B，∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，∴∠BAD＝∠CDE，∵AE的中垂线交BC于点D，∴AD＝ED，在△ABD与△DCE中∠BAD∴△ABD≌△DCE（AAS），∴CD＝AB＝12，BD＝CE，∵BD＝4，∴CE＝BD＝4，∴AE＝AC﹣CE＝12﹣4＝8．故选：C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．【变式16-2】（24-25八年级上·浙江台州·期末）如图，△ABC中，AC=BC，BE⊥AC，E为垂足，点D在BC上，且AB=AD，若CE【答案】5【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，过A作AH⊥BD于H，由等腰三角形三线合一的性质先证明△BCE≌△【详解】解：过A作AH⊥BD于∵AB=∴BH=∵BE⊥∴∠AHC∵AC=BC∴△BCE∴CH=∴DH=2∵AC=∴BH=∴DH=∴CD=∴BC故答案为：5．题型题型十七等腰三角形性质的证明【例17】已知，如图，AB=AE，∠B=∠E，BC【答案】见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关判定及性质．由已知证明△ABC≌△AED，得到AC=AD，又因为∠【详解】证明：在△ABC与△AB=∴△ABC∴AC∴△ACD∵∠CAF=∠DAF，即AF∴AF【变式17-1】如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，过点A分别作AD⊥BD、AE⊥CE，且AE＝AD．求证：∠EAB＝∠DAC．【答案】(1)证明见解析【分析】由等腰三角形的判定定理得出AB＝AC，由HL证明Rt△AEC≌Rt△ADB，根据全等三角形的性质得∠EAC＝∠DAB，即可即可得出结论．【详解】证明：∵∠ABC＝∠ACB，∴AB＝AC，∵AD⊥BD，AE⊥CE，∴∠D＝∠E＝90°，即△AEC和△ADB是直角三角形，在Rt△AEC和Rt△ADB中，AC=∴Rt△AEC≌Rt△ADB（HL），∴∠EAC＝∠DAB，∴∠EAC﹣∠BAC＝∠DAB﹣∠BAC，∴∠EAB＝∠DAC．【变式17-2】如图，在△ABC中，∠BAC=90°，E为边BC上的点，且AB=AE，D为线段BE的中点，过点E作EF⊥AE，过点A(1)求证：∠C(2)求证：AC=【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．（1）由等腰三角形的性质可得AD⊥BC，由余角的性质可得（2）由“ASA”可证△ABC≌△EAF【详解】（1）证明：∵AB=AE，D为线段∴AD⊥∴∠C∵∠BAC∴∠BAD∴∠C（2）证明：∵AF∥∴∠FAE∵AB=∴∠B∴∠B在△ABC和△∠B∴△ABC∴AC=题型题型十八等腰三角形的判定【例18】下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°【答案】D．【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．【详解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意；B．C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意；D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意．故选：D．【变式18-1】【答案】是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用△ABC是等边三角形并结合已知条件可得到∠BEF=∠2+∠BCE=60°【详解】解：△DEF∵△ABC∴∠ACB∴∠3+∠BCE∵∠2=∠3，∴∠BEF同理∠EFD∴△DEF【变式18-2】如图，点P是等边三角形ABC内一点，D是BP延长线上一点，∠ABP=∠ACD求证：△APD【答案】见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=60°，进而依据“SAS”判定△ABP【详解】证明：∵△ABC∴AB=在△ABP和△AB=∴△ABP∴AP=∴∠BAP即∠BAC∴△APD题型题型十九等腰三角形性质与判定的综合【例19】（25-26八年级上·浙江·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE(1)求证：△DEF(2)当∠A=50°时，求【答案】(1)证明见解析(2)∠【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质有关知识．（1）通过全等三角形的判定定理SAS证得△DBE≌△ECF，由“全等三角形的对应边相等”推知DE=EF（2）由等腰△ABC的性质求得∠B=∠C=180°-50°÷2=65°，结合△DBE≌△ECF【详解】（1）证明：∵AB=∴∠B∵AB=∴BD在△DBE和△BE∴△DBE≌△∴DE∴△DEF（2）解：∵∠A=50°，∴∠B∵△DBE≌△∴∠BDE∴∠DEC∴∠DEF【变式19-1】【分析】首先根据等边对等角可得∠ABC＝∠ACB，然后根据角平分线的性质可得∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，进而得到∠OBC＝∠OCB，再根据等角对等边可得OB＝0C；再根据ASA证明△OBD≌△OCE，由全等三角形的对应边相等即可得到【详解】证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD、CE是角平分线，它们相交于点O，∴∠OBC＝∠OBD=12∠ABC，∠OCB＝∠OCE=1∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC；在△OBD与△OCE中，∠OBD∴△OBD≌△OCE（ASA），∴OD＝OE．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线定义，全等三角形的判定与性质，难度适中．得出∠OBC＝∠OCB是解题的关键．【变式19-2】如图，AD是△ABC的角平分线，CE∥AD，与BA的延长线相交于点E，点F在AD的延长线上，且FC＝AC．求证：（1）△ACE是等腰三角形；（2）AB∥CF．【分析】（1）根据角平分线的定义得出∠BAF＝∠CAF，根据平行线的性质得出∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E，根据等腰三角形的判定得出答案即可；（2）根据等腰三角形的性质，得出∠CAF＝∠F，根据平行线的判定即可得出答案．【详解】证明：（1）∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAF＝∠CAF，∵CE∥AD，∴∠CAF＝∠ACE，∠BAF＝∠E，∴∠E＝∠ACE，∴AE＝AC，∴△ACE是等腰三角形．（2）∵FC＝AC，∴∠CAF＝∠F，∵∠CAF＝∠BAF，∴∠F＝∠BAF，∴AB∥CF．【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．题型题型二十等边三角形的性质的计算【例20】正三角形ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P，∠APEA．45° B．60° C．55° D．75°【答案】B【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定方法，是解题的关键．证明△ABD≌△BCE【详解】解：∵正三角形ABC，∴AB=∵BD=∴△ABD∴∠BAD∴∠APE故选：B．【变式20-1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边△ABC中，D是CB边上一点，以AD为边向右侧构造等边△ADE，连结CE，则∠BCEA．120° B．130° C．140° D．150°【答案】A【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质．利用等边三角形的性质得出相等的角和边，证明△ABD≌△ACE【详解】解：∵△ABC∴AB=AC,∴∠BAC即∠BAD在△ABD与△AB∴△ABD∴∠ACE∴∠BCE故选：A．【变式20-2】（2024·广东深圳·模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，点D在BC的延长线上，点E在线段AD上，∠DAC=2∠DBE，BE与AC交于点F，若CF=1，DE【答案】3【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质，解决此题的关键是正确的应用等边三角形的性质．先根据等边三角形的性质得到三个内角是60°，再根据角度的计算用x表示出相关的角，得到AE=AB=【详解】解：如图，在AD上截取DG=DC，连接设∠DBE=x∵△ABC∴∠ABC=∠BAC∴∠ABE=∠ABC∴∠AEB=∠D∴∠ABE∴AB=∴AE=∵DG=∴∠DGC∵∠D∴∠DGC∴∠AGC∴∠AGC又∵∠CAG=∠EAF∴△ACG∴AG=∴AE-∴EG=∴CD=故答案为：3．题型题型二十一等边三角形的判定【例21】下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若AB＝AC，∠B＝60°，则△ABC是等边三角形 B．若∠A：∠B：∠C＝3：4：7，则△ABC是直角三角形 C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则△ABC是等腰三角形 D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝40°【答案】D．【分析】根据等腰三角形，等边三角形，直角三角形的判定以及三角形的内角和定理即可作出判断．【详解】解：A．若AB＝AC，∠B＝60°，则∠A＝60°，∠C＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项判断正确，不符合题意；B．C．若∠A＝20°，∠B＝80°，则∠C＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项判断正确，不符合题意；D．若AB＝BC，∠C＝40°，则∠B＝100°，故此选项判断错误，符合题意．故选：D．【变式21-1】【答案】是等边三角形，理由见解析【分析】本题考查等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键，利用△ABC是等边三角形并结合已知条件可得到∠BEF=∠2+∠BCE=60°【详解】解：△DEF∵△ABC∴∠ACB∴∠3+∠BCE∵∠2=∠3，∴∠BEF同理∠EFD∴△DEF【变式21-2】如图，点P是等边三角形ABC内一点，D是BP延长线上一点，∠ABP=∠ACD求证：△APD【答案】见解析【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，根据等边三角形性质得AB=AC，∠BAC=60°，进而依据“SAS”判定△ABP【详解】证明：∵△ABC∴AB=在△ABP和△AB=∴△ABP∴AP=∴∠BAP即∠BAC∴△APD题型题型二十二30°角所对的直角边等于斜边的一半【例22】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，∠DBC＝60°，BC＝1.5，则AD的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．4【答案】C．【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BDC＝30°，从而可得BD＝2BC＝3，然后利用三角形外角的性质可得∠A＝∠ABD＝15°，再利用等角对等边即可解答．【详解】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∵BC＝1.5，∴BD＝2BC＝3，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝3，故选：C．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质，以及等腰三角形的判定是解题的关键．【变式22-1】如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且CE＝3，则AB的长为（）A．16 B．12 C．9 D．10【答案】B．【分析】先根据等边三角形的性质得到AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD，再根据含30度的直角三角形三边的关系求出CD，从而得到AB的长．【详解】解：∵△ABC为等边三角形，BD平分∠ABC，∴AB＝AC，∠C＝60°，AD＝CD，∵DE⊥BC，∴∠DEC＝90°，在Rt△DEC中，CD＝2CE＝2×3＝6，∴AC＝2CD＝12，∴AB＝12．故选：B．【点睛】本题考查了角平分线的定义：角的平分线把角分成相等的两部分．也考查了等边三角形的性质．【变式22-1】如图，△ABC中，AB＝AC．∠BAC＝120°，AC的垂直平分线交BC于D．交AC于E，DE＝2．求BD的长．【分析】（1）连接AD，利用等腰三角形的性质可得∠B＝∠C＝30°，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，∠DEC＝90°，从而可得AD＝CD＝2DE＝4，然后利用等腰三角形的性质可得∠C＝∠DAC＝30°，从而可得∠BAD＝90°，最后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质可得BD＝2AD＝8，即可解答；【详解】解：（1）连接AD，∵AB＝AC．∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C=12（180°﹣∠BAC）＝∵DE是AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∠DEC＝90°，∵DE＝2，∴CD＝2DE＝4，∴AD＝CD＝4，∴∠C＝∠DAC＝30°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝90°，∴BD＝2AD＝8，∴BD的长为8；【点评】本题考查了含30度角的直角三角形，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．【变式22-2】如图，在△ABC中，AB=AC=12cm(1)求∠BCD(2)求△ABC【答案】(1)45°(2)36【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理、含30°角的直角三角形的性质等知识．（1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出∠ACB=∠B（2）过点B作BF⊥AC于F，得到【详解】（1）解：∵，AB=AC=12∴∠ACB∵DE垂直平分AC，∴AD=∴∠ACD∴∠（2）过点B作BF⊥AC于则∠AFB∵∠A=30°，∴BF=∴△ABC的面积是1题型题型二十三等边三角形的性质与判定的综合【例23】(1)求证：DE平分∠BDC(2)若点M在DE上，且DC=DM，求证：【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）证明△ADC≌△BDC，进而根据三角形的外角性质求得∠EDC=∠EDB=60°（2）连接MC，证明△DMC是等边三角形，结合（1）的结论，证明∠MEC=∠DCB=45°，进而SAS【详解】（1）证明：∵△ABC∴CA=∵∠CAD∴∠DAB∴DA又∵∴△∴∠ACD∴∠∠∴∠EDC∴DE平分∠BDC（2）证明：连接MC，如图，

∵DC∴△DMC∴MC=DC，∠∵CE=CA，∴CE=BC∴∠ACE∴∠MCE∴∠∴△DBC∴ME【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形的外角性质，三角形全等的性质与判定，等边三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键．【变式23-1】如图1，等边△ABC与等边△ECD的顶点B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE(1)求∠BFD(2)如图2，连接FC，①求证：FB是∠AFC②若AF=4，CF=2，求【答案】(1)120(2)①见解析②6【分析】本题是三角形的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，角平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．（1）通过观察图形，根据等边三角形的性质就可以证明△BCE≌△ACD，得出∠ADC=∠BEC，而有∠（2）①过C作CG⊥BF于G，CH⊥AD于H，得到∠BGC=∠AHC=90°，根据全等三角形的性质得到CH=CG，求得∠CFG=∠CFH=12∠BFD，由（1）知∠AFB【详解】（1）解：∵△ABC和△∴BC∴∠BCA∵∠在△BCE和△BC=∴△BCE≌△∴∠ADC∵∠AFB∴∠AFB∵∠AFB∴∠BFD（2）①证明：过C作CG⊥BF于G，CH⊥∴∠BGC=∠∵△BCE≌△∴∠CAH∵AC∴△ACH≌△∴CH∴∠CFG由（1）知∴∠BFC∴FB是∠②解：如图，在BF上截取FM=CF，连接因∠BFC=60°，则∴∠FCM∵∠ACB∴∠ACF∴∠BCM∵∠CBM∴∠BCM≌△∴BM∴BF∵AF∴【变式23-2】如图，在△ABC中，∠BAC为锐角．点D为射线BC上一动点，以AD为边且在AD的右侧作等边三角形(1)如果AB=①当点D在线段BC上时，如图1，线段CE、BD的数量关系为，∠BCE=②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，请说明理由．(2)如图3，如果AB≠AC，∠BAC<60°，点D在线段BC上运动．当【答案】(1)①CE=②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，理由见解析；(2)∠BCE的度数为120°【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形的内角和定理．（1）①根据等边三角形的性质，证明△BAD≌△CAE，对应边相等，对应角相等，即可得线段CE、BD的数量关系，∠BCE的度数；②根据等边三角形的性质，证明△BAD≌△CAE，对应边相等，对应角相等，可得线段CE（2）在AC上截取AF=DC，连接EF，AC与DE的交点即为点O，由三角形的内角和定理，可得∠FAE=∠CDE，证明△FAE≌△CDE，可得BD=【详解】（1）解：①∵三角形ADE是等边三角形，∴AD=AE，∴∠CAE∵AB=∴△ABC∴∠BAC=60°，∠B∴∠BAD∴∠CAE在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵∠B∴∠ACE∴∠BCE∴线段CE、BD的数量关系为CE=BD，故答案为：CE=BD，②当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立，理由：∵三角形ADE是等边三角形，∴AD=AE，∴∠CAE∵AB=∴△ABC∴∠BAC=60°，∠B∴∠BAD在△BAD和△AB=∴△BAD∴BD=CE，∵∠B∴∠ACE∴∠BCE∴线段CE、BD的数量关系为CE=BD，∴当点D在线段BC的延长线上时，如图2，①中的结论是否仍然成立．（2）解：在AC上截取AF=DC，连接EF，AC与DE的交点即为点∵三角形ADE是等边三角形，∴AE=DE，∵∠ACB∴∠ACB又∵∠AOE∴∠FAE在△FAE和△AE=∴△FAE∴EF=EC，∴∠FEC∴△FEC∴∠ECF∴∠BCE∴∠BCE的度数为120°题型题型二十四等腰三角形与动点运动问题【例24】如图，已知等边△ABC的边长为6cm，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，运动时间为tS，已知点M的速度1cm/s，点N的速度为2cm/s，当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动．​（1）当点N第一次到达B点时，点M的位置在；当M、N运动秒时，点N追上点M；（2）当点M、N在BC边上运动时，能否得到以MN为底边的等腰三角形AMN？如存在，请求出此时M、N运动的时间．【分析】（1）求出M运动的路程即可判断M的位置，由题意得：2t＝1×t+6，求出t的值即可；（2）分两种情况，列出关于t的方程，求出t的值，即可解决问题．【详解】解：（1）当点N第一次到达B点时，t＝18÷2＝9（s），∴M运动了1×9＝9（cm），∴点M的位置在BC中点；当点N追上点M时，由题意得：2t＝1×t+6，∴t＝6，∴当M、N运动6秒时，点N追上点M，故答案为：BC中点，6．（2）如图，AM＝AN，作AH⊥BC于H，∴HC＝HB，HM＝HN，∴MC＝BN，∴t﹣6＝18﹣2t，∴t＝8，∴M、N运动的时间是2s或8s时．得到以MN为底边的等腰三角形△AMN．【变式24-1】在边长为9的等边三角形ABC中，点Q是BC上一点，点P是AB上一动点，以每秒1个单位的速度从点A向点B移动，设运动时间为t秒．（1）如图1，若BQ＝6，PQ∥AC，求t的值；（2）如图2，若点P从点A向点B运动，同时点Q以每秒2个单位的速度从点B经点C向点A运动，当t为何值时，△APQ为等边三角形？【分析】（1）由平行线的性质得∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，从而得出△BPQ是等边三角形，列方程求解即可；（2）根据点Q所在的位置不同，分类讨论△APQ是否为等边三角形，再根据等边三角形的性质得到等量关系，列方程求解即可．【详解】解：（1）如图1，∵△ABC是等边三角形，PQ∥AC，∴∠BQP＝∠C＝60°，∠BPQ＝∠A＝60°，又∠B＝60°，∴∠B＝∠BQP＝∠BPQ，∴△BPQ是等边三角形，∴BP＝BQ，由题意可知：AP＝t，则BP＝9﹣t，∴9﹣t＝6，解得：t＝3，∴当t的值为3时，PQ∥AC；（2）如图2，①当点Q在边BC上时，此时△APQ不可能为等边三角形；②当点Q在边AC上时，若△APQ为等边三角形，则AP＝AQ，由题意可知，AP＝t，BC+CQ＝2t，∴AQ＝BC+AC﹣（BC+CQ）＝9+9﹣2t＝18﹣2t，即：18﹣2t＝t，解得：t＝6，∴当t＝6时，△APQ为等边三角形．【变式24-2】如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=8cm，BC=6cm，AC=10cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动，且速度为每秒(1)BP=（用t(2)当点Q在边BC上运动时，出发