2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（全国）含答案解析

3/52025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（

）A． B． C． D．2．若直线：与直线：平行，则＝（

）A． B．或3 C． D．33．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（

）

A． B．C． D．4．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（）A．7 B．8 C．9 D．105．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（

）A． B． C．3 D．46．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（

）．A． B． C． D．7．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（

）A． B． C． D．8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（

）．A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得∥面B．存在点，使得面C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为D．若为面的中心，则的最小值为11．定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（

）A．若，则直线与直线平行B．若，则直线与直线垂直C．若，则直线与直线垂直D．若，则直线与直线相交第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为．13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则．14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大．(1)求直线的方程；(2)若点在直线上，且，求的取值范围．（15分）如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥.(1)若为的中点，求证：平面；(2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.（15分）已知的三个顶点是．(1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；(2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．（17分）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．(1)求该圆台的侧面积；(2)若是线段的中点，求证：直线平面；(3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．（17分）在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量．由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，这样任意两个空间向量的运算就可以转化为平面向量的运算．请根据以上信息，解决下列问题：在三棱锥中，若，则称这样的三棱锥为完美三棱锥.(1)在三棱锥中，，求证：该三棱锥是完美三棱锥；(2)已知三棱锥中，为正三角形，.①若，判断该三棱锥是否为完美三棱锥，并说明理由；②若，且该三棱锥为完美三棱锥，求二面角的余弦值.

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678BBDCCCAC二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ADACDBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． 或13 13． 14．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程；（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，则的倾斜角为，可知的斜率，所以的方程为，即；（6分）（2）表示与点连线的斜率，又是直线在部分上的动点，如下图示：则，直线AB的斜率不存在，则，即的取值范围为.（13分）16.（15分）【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论；（2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可.法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可.【详解】（1）取中点，连接，，则为的中位线.∴GF//CD，又且.四边形为平行四边形.又平面，平面∥平面.(6分）（2）法一：延长，交于，连接是等边三角形，为的中点,

又且.为的中位线,为的中点又为的中点，为的中位线，，.

∵平面平面ACD，平面平面ACD=AC，平面平面.平面，.因此，二面角的平面角为.因此，平面与平面夹角的余弦值为.

（15分）法二：∵平面平面ACD，平面平面，平面.

平面.

又等边三角形，为的中点

所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.因为，所以，，，

设为平面的一个法向量，则AD⋅n=0AE⋅令，解得设为平面的一个法向量.易得.设平面与平面夹角为，cosθ=cosn,因此，平面与平面夹角的余弦值为.（15分）17.（15分）【答案】(1)或(2)【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程.（2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值.【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即；（3分）②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．综上：直线的方程为或．（7分）（2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当即时，取得最小值24，所以面积，所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．（15分）18.（17分）【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解；（2）取中点，连接，通过证明四边形为平行四边形得到，然后根据线面平行的判定定理完成证明；（3）延长交于点，建立合适空间直角坐标系，然后利用向量法表示出，再根据二次函数的性质求解出最大值即可.【详解】（1）因为，所以圆台的侧面积为；（3分）（2）取中点，连接，如图，因为为中点，所以，在等腰梯形中，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面；（9分）（3）延长交于点，作直线，因为两点分别在平面与平面内，所以直线即为直线，又平面，所以点，即为点，，则，以直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，在等腰梯形中，，此梯形的高为，因为，所以为的中位线，则，所以，设，则，设平面的一个法向量为，则，令，得，则有：，令，则，当时，，此时，当时，，当且仅当，即时取等号，综上所述，的最大值为.（17分）19.（17分）【答案】(1)证明见详解(2)①不是，证明见详解；②【分析】（1）根据空间性向量基本定理，以为基底并结合完美三棱锥的定义化简得到，再结合向量垂直的性质得到证明等式即可.（2）①结合题意得到对应向量的数量积，再利用完美三棱锥的定义判断即可.②由棱锥为完美三棱锥可得长，由两点间距离公式求得点坐标，进而求出关键平面的法向量，最后利用二面角的向量求法得到余弦值即可.【详解】（1）由题意结合空间向量的线性运算化简得，，因为，所以，即，故该三棱锥是完美三棱锥，（4分）（2）①该三棱锥不是完美三棱锥，为正三角形，，故，，又，得到，由勾股定理逆定理得，即，同理可得，所以，则该三棱锥不是完美三棱锥.（10分）②如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，因为，由余弦定理得，所以，，因为该三棱锥为完美三棱锥，所以，，解得，由余弦定理得，解得，设，，解得，即，设平面的一个法向量，则，不妨取，则，设平面的一个法向量，则，不妨取，则，则，由图可知二面角为锐角，故二面角的余弦值为.(17分）

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）选修第一册第1--2章空间向量与立体几何+直线方程。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．在空间直角坐标系中，关于轴的对称点为点，若点关于平面的对称点为点，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】写出关于轴的对称点，点关于平面的对称点，再计算的值．【详解】空间直角坐标系中，关于轴的对称点为，点关于平面的对称点为点，所以．故选：B．2．若直线：与直线：平行，则＝（

）A． B．或3 C． D．3【答案】B【分析】根据两直线平行，系数满足的关系求的值即可.【详解】因为两直线平行，所以：，所以或.故选：B3．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（

）

A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量线性运算原则求解即可.【详解】由题意，，，则，故选：D.4．直线经过点，在两坐标轴上的截距互为相反数，则的所有可能取值之和为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由直线经过点得，然后计算直线在两坐标轴上的截距，然后根据截距相反列式计算即可.【详解】由题意，因为直线经过点，所以，则直线.当时，直线在轴上不存在截距，不满足题意；所以，令，则，令，则.由题意，化简得，解得或，故的所有可能取值之和为.故选：C.5．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（

）A． B． C．3 D．4【答案】C【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解.【详解】由，可得：，则直线AB的方程为：，即.又因为动点在线段AB上运动，所以，则，当且仅当，即，时等号成立，所以.最大值为3.故选：C.6．，，是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，，，分别是射线，，上的点，且，，，D，E，F分别为，，的中点，则点E到直线的距离为（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】利用，，表示出与，由点E到直线的距离为可计算得到答案【详解】

如图所示，为的中点，则，，又，，，，点E到直线DF的距离为．故选：C7．在等腰直角中，，点是边上异于端点的一点，光线从点出发经，边反射后又回到点，若光线经过的重心，则的周长等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】建立如图所示的直角坐标系，得，设，求出关于直线的对称点的坐标，关于轴的对称点的坐标，由反射性质得四点共线，求得直线方程，由在直线上可求得，然后计算即可．【详解】建立如图所求的直角坐标系，得，，则直线方程为，且的重心为，即，设，关于直线的对称点为，则，解得，则，易知关于轴的对称点为，根据光线反射原理知四点共线，且，，所以直线的方程为，即，又直线过，所以，解得或（舍去），所以，，,所以，所以的周长为.故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用对称性，把的三边转化到同一条直线上，利用直线方程求得点的坐标.8．如图，在直三棱柱中，，，是线段的中点，在内有一动点（包括边界），则的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】建立适当的空间直角坐标系，因为位于的同侧，设关于平面的对称点为，根据求解.【详解】以为原点，所在直线为轴，过点且平行于的直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，．设A关于平面的对称点为，，则，．设平面的法向量，则，令，则，，所以，所以A与到平面的距离，即

①．又，所以，即

②．由①②得，由可得，，，所以，所以，当且仅当，，三点共线时取等号，所以的最小值为．故选：C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．若两直线的倾斜角分别为，斜率分别是，则下列命题正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】AD【分析】根据斜率与倾斜角关系及正切函数性质依次判断各项的正误.【详解】A：由表明斜率存在，则，由正切函数在上，倾斜角和斜率一一对应，故，对；B：若，时，相应的倾斜角，，不满足，错；C：由正切函数的图象知：当和时，；当，时，；当或时，或不存在，错；D：因为，结合正切函数的图象知，，所以，对.故选：AD10．已知正方体的棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），则下列说法正确的是（

）A．存在点，使得∥面B．存在点，使得面C．若与的夹角为，则点的轨迹长度为D．若为面的中心，则的最小值为【答案】ACD【分析】A项，建立空间直角坐标系并表达出各点的坐标，通过证明∥即可得出结论；B项，求出面的法向量，计算出面时点的坐标，即可得出结论；C项，求出点的轨迹，即可求出点的轨迹长度；D项，作出取最小值时的图，根据对称性和两点之间距离公式即可求出的最小值.【详解】由题意，在正方体中，棱长为4，动点在正方体表面上（不包括边界），连接，设的中点为，连接，设两线段交点为，连接，建立空间直角坐标系如下图所示，A4,0,0,B4,4,0,C0,4,0,D0,0,0,E2,2,0,F2,2,4∵面，面，∴∥面，∴当点在F2,2,4处时，面，∴存在点，使得∥面，故A正确；B项，在面中，DA1=4,0,4,DBDA1⋅n1=0DB⋅n若面，则AP=tn1=−t,t,t，P=tn1∴，此时P=0,4,4，与重合，∵点不在边界上，故不存在点，使得面，B错误；C项，因为，与的夹角为，所以与所成的角为，则∠由几何知识得，点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆的四分之一（即），在中，，，，∴，∴点的轨迹长度为：，C正确；D项，为面的中心，作点关于平面的对称点，连接A2M，当最小时，，∴A24,0,8，∴AP＋故选：ACD.11．定义点到直线的有向距离为.已知点到直线的有向距离分别是以下命题不正确的是（

）A．若，则直线与直线平行B．若，则直线与直线垂直C．若，则直线与直线垂直D．若，则直线与直线相交【答案】BCD【分析】根据有向距离的定义可得直线的方程，故可判断A的正误，根据反例可判断BCD的正误.【详解】设，对于A，即为，故，所以直线的方程为：，因为，直线与直线平行，故A正确；对于B，设直线，取，则，但，此时直线与直线不垂直，故B错误；此时也成立，故C错误；对于D，仍取直线，取，此时，故成立，此时与直线重合，故D错误.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．若两条平行直线：与：之间的距离是，则直线在x轴上的截距为．【答案】或13【分析】由两直线平行可得n，再利用平行直线间的距离公式计算可得m，即可得到答案．【详解】由题意，，因为，所以，解得，所以：，即，由两平行直线间的距离公式得，解得或．在中，令，得，故直线在x轴上的截距为或13.故答案为：或13.13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角两个面内，并且都垂直于棱．若二面角的平面角为，且，，则．【答案】【分析】根据已知条件用空间向量的模的公式求出的长.【详解】由条件知CA→又二面角α−l−β的平面角为，则BD→,CD→所以CD→故答案为：.14．棱长为的正方体中，为棱的中点，为正方形内一个动点（包括边界），且平面，则当三棱锥体积取最大时，其外接球的表面积为.【答案】【分析】先过作平面的平行面从而确定点的轨迹，再确定三棱锥体积取最大时的位置，进而找到球心所在方位即可求解.【详解】如图，当点位于的中点时，取中点G，连接，则由正方体性质有，因为平面，平面，所以平面，平面，又且都在面，所以平面平面，又面，所以平面，所以的轨迹是以的中点为端点的线段，因为，所以当F点离平面距离最远时三棱锥体积最大，此时，点与的中点重合，取中点O，连接，则由正方体性质可得平面，所以三棱锥的外接球球心在所在直线上，建立空间直角坐标系，如图所示，则，球心为，则于是，，所以外接球半径为，所以.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线过点，且直线的倾斜角比直线的倾斜角大．(1)求直线的方程；(2)若点在直线上，且，求的取值范围．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根据直线方程确定斜率，进而得到倾斜角，再求直线的斜率，应用点斜式写出直线方程；（2）根据目标式的几何意义，数形结合求其范围.【详解】（1）因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，则的倾斜角为，可知的斜率，所以的方程为，即；（6分）（2）表示与点连线的斜率，又是直线在部分上的动点，如下图示：则，直线AB的斜率不存在，则，即的取值范围为.（13分）16.（15分）如图，在几何体中，平面平面，，，，，∥.(1)若为的中点，求证：平面；(2)若为等边三角形，求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形得到，再利用线面平行的判定定理即可证得结论；（2）法一：延长，交于，连接，由此作出二面角的平面角.并证明，再求的余弦值即可.法二：先证得两两垂直，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的余弦值即可.【详解】（1）取中点，连接，，则为的中位线.∴GF//CD，又且.四边形为平行四边形.又平面，平面∥平面.(6分）（2）法一：延长，交于，连接是等边三角形，为的中点,

又且.为的中位线,为的中点又为的中点，为的中位线，，.

∵平面平面ACD，平面平面ACD=AC，平面平面.平面，.因此，二面角的平面角为.因此，平面与平面夹角的余弦值为.

（15分）法二：∵平面平面ACD，平面平面，平面.

平面.

又等边三角形，为的中点

所以两两垂直，以为原点，如图建立空间直角坐标系.因为，所以，，，

设为平面的一个法向量，则AD⋅n=0AE⋅令，解得设为平面的一个法向量.易得.设平面与平面夹角为，cosθ=cosn,因此，平面与平面夹角的余弦值为.（15分）17.（15分）已知的三个顶点是．(1)若直线过点，且点，到直线的距离相等，求直线的方程；(2)若直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于、两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．【答案】(1)或(2)【分析】（1）分别讨论当直线与平行，当直线通过的中点两种情况下，根据已知条件分别求出直线的方程.（2）利用基本不等式的性质求出三角形面积的最小值.【详解】（1）因为点到直线的距离相等，所以直线与平行或通过的中点，①当直线与平行，因为，且过点，所以方程为，即；（3分）②当直线通过的中点，所以，所以的方程为，即．综上：直线的方程为或．（7分）（2）由题意设，其中为正数，可设直线的方程为，因为直线过点，所以，由基本不等式可得，所以，当且仅当即时，取得最小值24，所以面积，所以当时，面积最小，此时直线的方程为，即．（15分）18.（17分）如图，圆台的一个轴截面为等腰梯形，为底面圆周上异于、的点．(1)求该圆台的侧面积；(2)若是线段的中点，求证：直线平面；(3)若，设直线为平面与平面的交线，设平面，点在线段上（不含端点），直线与平面所成的角大小为，求的最大值．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）由圆台侧面积公式即可求解