2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷三（江苏）含答案解析

/2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷03（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第2章。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（）A.-2 B.1 C.3 D.42．“”是“直线和直线平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件3．若点在圆外，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.5．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切6．若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.27．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（）A.B.C. D.8．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）A.曲线的图象不关于原点对称B.曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为D.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过3二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论正确的有（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角的取值范围是C.经过点，的直线方程均可用表示D.直线和都经过点，则过两点，的直线方程为10．已知圆与圆，则（）A.过点作圆的切线只有条，则B.若圆与圆有且只有条公切线，则C.当时，两圆的一条公切线方程为D.当时，两圆的公共弦长为11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（）A.曲线C上两点间距离的最大值为B.若点在曲线内部（不含边界），则C.若曲线C与直线有公共点，则D.若曲线C与圆有公共点，则第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为______.13．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，的最大值是________．14．已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为________．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线，.（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.16．（15分）已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.17．（15分）已知圆，点，为坐标原点.（1）若，求圆过点的切线方程；（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值；（3）若圆上存在点，满足，求取值范围.18．（17分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.（1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.19．（17分）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷03（江苏专用）（时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：苏教版2019选择性必修第一册第1章~第2章。5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．经过两点的直线的倾斜角为，则的值为（）A.-2 B.1 C.3 D.41.【答案】B【解析】经过两点的直线的斜率为，又直线的倾斜角为，所以，解得.故选：B.2．“”是“直线和直线平行”的（）A.充分非必要条件 B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件2.【答案】A【解析】当时，两直线分别为：，，两直线斜率相等，则平行且不重合．若两直线平行且不重合，则或，综上所述，是两直线平行的充分不必要条件．故选：A3．若点在圆外，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.3.【答案】C【解析】由，化为标准方程可得：，则，即，①又在圆外，可得：，解得：或，②由①②取交集可知，实数的取值范围是，故选：C.4．已知直线，，则过和的交点且与直线垂直的直线方程为（）A. B.C. D.4.【答案】D【解析】由，，联立方程可得：又直线斜率为，所以要求直线斜率为，故直线方程为，即.故选：D5．在平面直角坐标系中，已知点，动点满足，则动点的轨迹与圆的位置关系是（）A.外离 B.外切 C.相交 D.内切5.【答案】C【解析】由，得，则，整理得，表示圆心为，半径为的圆，圆的圆心为为圆心，半径，两圆的圆心距为，满足，所以两个圆相交.故选：C.6．若直线被圆截得的弦长为定值，则实数的值为（）A. B.0 C.1 D.26.【答案】C【解析】圆的圆心为，半径为，要使弦长为定值，则需圆心到直线的距离为定值，即为定值，所以.故选：C7．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点.若，则的值为（）A.B.C. D.7.【答案】B【解析】如图，设点关于直线的对称点为，则得，即，由题意知与直线不平行，故，由，得，即，故直线斜率为，直线的直线方程为：，令得，故，令得，故由对称性可得，由得，即，解得，得或，若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．故，故选：B.8．已知曲线：是双纽线，则下列结论正确的是（）A.曲线的图象不关于原点对称B.曲线经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点）C.若直线与曲线只有一个交点，则实数的取值范围为D.曲线上任意一点到坐标原点的距离都不超过38.【答案】D【解析】对于A，结合曲线：，将代入，方程不变，即曲线的图象关于原点对称，A错误；对于B，令，则，解得，令，则，解得，令，则，解得，故曲线经过的整点只能是，B错误；对于C，直线与曲线：必有公共点，因此若直线与曲线只有一个交点，则只有一个解，即只有一个解为，即时，无解，故，即实数的取值范围为，C错误，对于D，由，可得，时取等号，则曲线上任意一点到坐标原点的距离为，即都不超过3，D正确，故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列结论正确的有（）A.直线恒过定点B.直线的倾斜角的取值范围是C.经过点，的直线方程均可用表示D.直线和都经过点，则过两点，的直线方程为9.【答案】ACD【解析】对于A，直线，即，直线恒过定点，故A正确；对于B，直线的斜率，设直线的倾斜角为，则,所以，故B错误；对于C，经过点，的直线方程均可用表示，故C正确；对于D，直线和都经过点，则所以点，的直线方程为上，故D正确.故选：ACD.10．已知圆与圆，则（）A.过点作圆的切线只有条，则B.若圆与圆有且只有条公切线，则C.当时，两圆的一条公切线方程为D.当时，两圆的公共弦长为10.【答案】AC【解析】圆的标准方程为，圆心，半径为，圆C2:x−22+对于A选项，若点作圆的切线只有条，则圆心的圆心在圆上，则有，因为，解得，A对；对于B选项，若圆与圆有且只有条公切线，则两圆相交，且，由题意可得，即，因为，解得，B错；对于C选项，当时，圆的方程为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离为，故当时，两圆的一条公切线方程为，C对；对于D选项，当时，由B选项可知，两圆相交，将两圆方程作差可得，此时，两圆的相交弦所在直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，两圆的公共弦长为，D错.故选：AC.11．数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念、公式符号、推理论证、思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美，曲线就是一条形状优美的曲线，则（）A.曲线C上两点间距离的最大值为B.若点在曲线内部（不含边界），则C.若曲线C与直线有公共点，则D.若曲线C与圆有公共点，则11.【答案】ABC【解析】当时，曲线，圆心，半径当时，曲线，圆心，半径当时，曲线，圆心，半径当时，曲线，圆心，半径曲线如图所示：曲线上两点间距离的最大值为，A选项正确.如图直线：，则在线段上，，，∴，B选项正确；曲线C与直线有公共点，则圆心、到直线的距离小于或等于半径，则，则或者，则，∴，C选项正确.原点到圆上的点最小距离，最大距离，故，D选项错误.故选：ABC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．在平面直角坐标系中，点在直线上，当最小时，点的坐标为______.12.【答案】【解析】易知，当垂直于直线时，取得最小值，此时，所在直线方程为，联立解得，即.故答案为：13．瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则的“欧拉线”方程为________，的最大值是________．13.【答案】7【解析】，由题意可得的欧拉线为的中垂线，由，可得的中点为，且，线段的中垂线方程为，即，因为表示圆上的点与连线的斜率，设，则，即，所以，即，解得，所以的最大值为，故D正确；故答案为：714．已知点A，B为圆上两动点，且，点P为直线上动点，则的最小值为________．14.【答案】【解析】设的中点为，则，且，，所以点在以为圆心，半径为的圆上.，要求的最小值，则需求的最小值，O0,0到直线的距离为，所以的最小值为，所以的最小值为.故答案为：

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）已知直线，.（1）若坐标原点O到直线m的距离为，求a的值；（2）当时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程.15．（13分）【解析】（1）设原点O到直线m的距离为，则，解得或；（2）由解得，即m与n的交点为.当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为；当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，所以直线l的方程为.故满足条件的直线l的方程为或.16．（15分）已知：及经过点的直线.（1）当平分时，求直线的方程；（2）当与相切时，求直线的方程.16．（15分）【解析】（1）由题意，当平分时，即直线l过圆心C时.圆的圆心为，半径，则直线的斜率为，所以的方程为，即.（2）当斜率不存在时，直线的方程为，圆心到的距离为2，等于半径，符合题意；当斜率存在时，设直线的方程为，即，则，解得，所以的方程为；所以直线的方程为或.17．（15分）已知圆，点，为坐标原点.（1）若，求圆过点的切线方程；（2）若直线与圆交于，两点，且，求的值；（3）若圆上存在点，满足，求取值范围.17．（15分）【解析】（1）当时，圆的圆心，半径，而点到直线的距离为2，因此圆过点的切线斜率存在，设方程为，则，解得或，所以所求切线方程为或.（2）由消去得，，设，则，由，得，则，整理得，则，即，解得，满足，所以.（3）设点，由，得，整理得，即，因此点的轨迹是以点为圆心，2为半径的圆，依题意，圆与圆有公共点，即，则，整理得，解得，所以的取值范围是.18．（17分）如图，将一块直角三角形木板置于平面直角坐标系中，已知，，点是三角形木板内一点，现因三角形木板中阴影部分受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P的任一直线将三角形木板锯成，设直线的斜率为k.（1）用k表示出直线的方程，并求出M、N的坐标；（2）求锯成的的面积的最小值.18．（17分）【解析】（1）设直线，因为直线过点，所以，即，所以，又因为，，易得直线，直线，联立，解得；联立，解得，故，.（2）因为，，所以，所以，因为，设M到直线的距离为d，则，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以S的最小值为.19．（17分）已知圆与直线相切于点，圆心在轴上.（1）求圆的标准方程；（2）若直线与圆交于两点，当时，求实数的值；（3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值.19．（17分）【解析】（1）由题可知，设圆的方程为，由直线与圆相切于点，得，解得，所以圆的方程为；（2）设圆心到直线的距离为，因为，所以，所以，解得；（3）由题意知，，设直线的斜率为，则直线的方程为，由，得，解得或，则点的坐标为，又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为，由题可知：，，又，同理，，当且仅当时等号成立，的最大值为.

2025-2026学年高二数学上学期第一次月考卷03（江苏专用）参考答案第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。12345678BACDCCBD二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．91011ACDACABC第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12． 13．7 14．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）【解析】（1）设原点O到直线m的距离为，则，解得或；（5分）（2）由解得，即m与n的交点为.（7分）当直线l过原点时，此时直线斜率为，所以直线l的方程为；（9分）当直线l不过原点时，设l的方程为，将代入得，所