备战2026高考数学-八大专项41小项助你死磕直线圆锥曲线平面向量2

2专题总结篇2.1数量积的进阶数量积的平方差公式数量积的平方差公式（其中的“”不能省略）．注该公式和极化恒等式，即（参见后面专题）实际上一系的，刚好相反；对应的几何意义可参见下面的例题．例(2007天津文)在△ABC中，，，D是边BC的中点，则．答案．解．例(1)如图，O、A、B是平面上的三点，设P为线段AB的垂直平分线CP上任意一点，已知向量，，则．(2)如图，四棱锥O－ABCD中，AC垂直平分BD，，，则的值是．答案(1)6；(2)3；解(1)注意到P是任意一点，因此，可以直接令P与C重合，即可得到答案；正常解法如下：．(2)设AC的中点为M，AC与BD相交于点N，则 ．例设平面上有四个互异的点A、B、C、D，若，则△ABC是()．

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形答案选B．解即．向量形式的余弦定理向量形式的余弦定理，使用该定理时，要有共起点的意识；该公式在后面的凸四边形专题中也会用到．例(1)(2012湖南理)在△ABC中，，，，则()．A． B． C． D．(2)在△ABC中，，则．答案(1)选A；(2)．解(1)．例已知正五边形ABCDE，，则．答案2．法一如图，，即．法二由于△ACE为等腰三角形，因此，利用投影得：．例如图，已知AC与BD交于点E，AB∥CD，，，则当时，的值是．答案12．解．数量积的三元完全平方式数量积的三元完全平方式

①；②特殊地，若，即、、组成一个闭合回路，则有；③，其中，，．例(2004浙江文理)已知平面上三点A、B、C满足，，，则的值等于．答案．例已知向量、、满足，则的最大值是，最小值是．答案．解，易验证是成立的（直接计算或者以、、为三边能构成三角形），故，即．例已知向量、、满足，，则的最小值是．答案．法一数形结合法如图，设、、，则，其中M为AB的中点．又在△AOB中，有，故 ，当且仅当、且O、M、C三点共线时取得等号．法二万能坐标法设，，，则 ，当且仅当、时取得等号．注显然，对于双参数的三角函数最值问题不太好处理，需要对三角函数的公式变形（包括和差化积、和差化积公式）非常熟悉．法三调整放缩法记，，则 ，当且仅当、时取得等号．法四利用代数恒等式： ，当且仅当时取得等号．数量积的共起点意识(投影)例如图是蜂巢结构图的一部分，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点”．若A、B、C、D四点均位于图中的“晶格点”处，且A、B的位置所图所示，则的最大值为________．答案24．解为了便于分析在上的投影，最好让两个向量的起点相同，此外，如果起点的位置不便于分析投影的变化规律，果断考虑平移．因此，如图建系，首先平移到，此时结合图形，易知当为时，投影最大，即的最大值为．综合应用数量积的处理方法很多的，此处不过例在正三角形ABC中，D是BC上的点，，，则．【】例已知AB为圆的直径，点C、D为圆上两点（在AB两侧），且，，，则的值为．答案．解，又（托勒密定理），解得例(1)

如图，点A、B、C是以O为圆心，1为半径的圆O上任意三点，则的取值范围是．(2)

如图，C、D在半径为1的⊙O上，线段AB是⊙O的直径，则的取值范围是．答案(1)

；(2)．分析从填空题的角度，这两个小题，得到答案是不难的！对于(1)，的最大值显然是，当取得最小值时，点A、B的位置必定关于点C是对称的，此时，再借助极化恒等式，易得最小值为．对于(2)，的最小值显然是，当取得最大值时，C、D的位置必定是对称的，因此，猜测C、D必定是弧AB的三等分点，此时．解(1)

易知当AC、BC均为直径时，取得最大值为4；下面从多个不同的角度，去求的最小值．法一极化角度，固定一点C欲求的最小值，不妨先固定C，则必有，此时，圆心O在△ABC的外部，如图，设AB的中点为M，则 ，当且仅当时取得等号．注也可以固定点A、B，分析点C的运动，方法大同小异，具体过程此处略．法二投影角度，固定两点A、C固定AC，设点B在AC上的投影为D，移动点B，易知当AC的垂线与圆相切于点B时，如图，取得最小值为，当且仅当时取得等号．法三利用公式：，则 ，当且仅当时取得等号．(2)

先平移向量，共起点，延长DO交圆O于点E，则，此时，就和题(1)一模一样了；当然了，此题还有其他许多种方法，不过，此处暂时不作一题多解的探讨了．例在直径AB为2的圆上有长度为1的动弦CD，则的取值范围是．答案．法一注意到△OCD是正三角形（以AB为直径的圆设为圆O），将向圆心O拆分： ，易知，故．法二，易知，故．2.2数量积投影模型2.2.1直角三角形投影模型如图，在中，设角A、B、C所对边分别为a、b、c，则．例(1)(2015湖北文理)已知向量，，则．.(2)(2015山东理)已知菱形ABCD的边长为a，，则()．A． B． C． D．(3)(2007山东理)在直角△ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是()．A． B． C． D．(4)已知△ABC是单位圆O的内接三角形，AD是圆的直径，若满足，则．答案(1)

9；(2)选D；(3)选C；(4)2．解(1)；(2)设对角线交点为O，则．(4)，故，即BC是直径，．例(1)(2010天津文理)如图，在△ABC中，，，，则．(2)如图，在四边形ABCD中，，，若，，则等于()．A． B． C． D．答案(1)

；(2)

选A．解(1)

．(2)

．例(1)(2012湖南文)如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且，则．(2)如图，在平行四边形ABCD中，AB的中点为M，过A作DM的垂线，垂足为H，若，则________．答案(1)

18；(2)27．解(1)；(2)

．例(1)(2014上海文压轴)如图，四个边长为1的正方形排成一个大正方形，AB是在正方形的一条边，是小正方形的其余各个顶点，则的不同值的个数为()．A．7 B．5 C．3 D．1(2)(2014上海理)如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为()．A．1 B．2 C．4 D．8答案(1)

选C；(2)选A．解(1)

①对于、，值为0；②对于、、，值为2；③对于、，值为4．(2)由于AB与上底面垂直，故，利用投影，显然．例如图，在平行四边形ABCD中，BH⊥CD，垂足为H，BH交AC于点E，若，，则．解注意到等式中的“”，比较孤立，因此，尝试利用投影模型替换掉，即，故 ，解得，所以．例在Rt△ABC中，斜边AB长为1，E为AB的中点，CD⊥AB，则的最大值为．答案．解设，，则，，则，，故 ，当且仅当，即时取得等号．例如图，点C在以AB为直径的圆上，其中，过点A向点C处的切线作垂线，垂足为P，则的最大值是()．A．2 B．1 C．0 D．答案选B．法一，由于，根据最大张角对应的轨迹，显然；法二过点A作PC的平行线交OC于点D，则．例如图，半径为1的扇形AOB中，，P是弧AB上的一点，且满足OP⊥OB，M、N分别是线段OA、OB上的动点，则的最大值为()．A． B． C．1 D．答案选C．解，当且仅当M与O重合时取得等号．例如图同心圆中，大、小圆的半径分别为2和1，点P在大圆上，PA与小圆相切于点A，Q为小圆上的点，则的取值范围是．答案．解设圆心为O，OA⊥PA，，故 ．2.2.2三角形外心投影模型如图，O为△ABC的外心，D是AB的中点，则；显然，此模型实质上也是直角三角形投影模型！例(1)

已知△ABC的外心为O，，，则．(2)

设点O是△ABC的外心，，，，则的取值范围是．(3)

已知O为△ABC的外接圆的圆心，D为BC的中点，若，，则．答案(1)

；(2)

；(3)

．解(1)

．(2)

由于，即，故 ．(3)

，即．例如图，已知点O是平面四边形ABCD的外接圆的圆心，，，，则．答案．解利用投影可知：，又，利用余弦定理易求得，故．例(1)在△ABC中，D是边AC上一点，，，若△ABC的外心O恰在线段BD上，则．(2)已知在△ABC中，D为边AC上一点，，，若△ABC的外心恰在线段BD上，则．答案(1)；(2)．解(1)法一注意到B、O、D三点共线，故可设 ，又△ABC是等腰三角形，故，即，即…，再利用投影，即对式两边同时乘以（向量与外心合作的老套路——点积转边长）： ，即，解得，因此，由余弦定理得，即．法二在△ABD中，利用角平分线定理得：，即，即，进而，后续同上．法三如图所示，连接OC，并延长AO交BC于点M，则．对△ACM和截线BOD利用梅氏定理：，即，即．(2)法一（外心点乘投影）设，则 ，即，解得，，即．法二（奔驰定理）首先，，又，故，又B、O、D共线，故，即 ，即，解得或（舍去）．法三（等腰三角形的性质）设外接圆的半径为R，，则…①；设O到AC的距离为h，则，即…②；由①②解得，，故，又，即，解得．例(2009全国联赛湖北预赛改编)已知O是△ABC的外心，，，若，且，则．答案或．法一（点乘大法）对两边分别点乘、得： …①，…②又…③，由②－③得：；当时，易得，；当时，则，此时，；综上所述，或．数据特殊？法二（构造等和线）当时，，即，故B为直角，；当时，如图，延长AB至D，使得，设AC的中点为E，则 ，即O、D、E三点共线，又O为外心，故DE⊥AC，．法三利用奔驰定理：，故 ，即，例已知△ABC的外接圆的圆心为O，满足：，，且，，则．答案36．法一，即，即，其中R为△ABC的外接圆的半径；由于，故CA为直径，即（或者利用正弦定理），所以．法二，所以，又，所以法三，取的中点，取的三等分点，则，又，所以三点共线所以，所以例已知△ABC中，，点O为三角形外接圆的圆心，若，且，则△ABC面积的最大值为．解取中点为，则又，所以三点共线，又因为为弦心距，所以故，所以，当且仅当时取得等号例已知点O是△ABC的外心，，若，，，则．答案9．解设M、N分别为AB、AC的中点，则，故O、M、N三点共线，此时，结合图形可知：必有O与N重合，即△ABC是以AC为斜边的直角三角形，故．例已知O为△ABC的外心，，，若，且，则()．A． B． C． D．答案选D．解，即△ABC的外接圆半径；又，即，注意到，故不是最大角，即．例已知O为锐角△ABC的外心，，，若，且，记，，，则()．A． B． C． D．答案选D．解设△ABC的外接圆的半径为R，则 ，，，对两边点乘得：，即；根据正弦定理：，即，，进而可得，比较易得，即，因此，．2.3数量积vs面积在△ABC中，给出等价于已知△ABM的面积为．例(1)(2014山东理)在△ABC中，已知，当时，△ABC的面积为_______.(2)已知△ABC的面积S满足且，则角A的取值范围是．答案(1)

；(2)．解(1)．(2)由于，易得，又，故．2.4三角形和四边形的坐标面积公式三角形(1)

在△ABC中，已知，，则△ABC的坐标面积公式为 ．(2)

在△ABC中，已知，，，则△ABC的坐标面积公式为 ，显然，当A、B、C中的一个点为原点时，就可以推得(1)，此公式实际用的不多，了解即可．四边形在四边形ABCD中，AC和BD是对角线，且，，则四边形的面积为 ，其中为AC与BD的夹角．注(1)

对于公式的记忆，利用行列式的对角线法则进行记忆，即、．(2)

该公式的背景实际上是向量的矢积的几何意义，一般也称作向量的叉乘．当A、B、C三点是逆时针排列时，可以去掉绝对值符号，即，因为根据向量叉乘的右手定则，S的取值朝向为z轴的正方向．(3)

三角形的坐标面积公式，可以和向量平行的判定公式类比：若向量和平行，则，也就相当于此时．同时，坐标面积公式，恰好就是二维柯西不等式的差．(4)

在正规考试的大题中，最好不要直接使用，上面也已经给出了证明套路．例(1)(2010辽宁文理)平面上O、A、B三点不共线，设，，则△OAB的面积等于()．A． B． C． D．(2)(2005江西文理)在△OAB中，O为坐标原点，，，，则△OAB的面积达到最大值时，()．A． B． C． D．答案(1)选C；(2)选D．例(2013福建文理)在四边形ABCD中，，，则该四边形的面积为()．A． B． C．5 D．10答案选C．解利用公式，显然选C；当然了，此题数据特殊，AC⊥BD，故．例(2011北京文压轴)已知点，，若点C在函数的图象上，则使得△ABC的面积为2的点C的个数为()．A．4 B．3 C．2 D．1答案选？．解例已知平面向量、、满足，，，，则的最大值为()．A． B． C． D．答案选D．解如图，设，，，由可得，所以，又 ，设h为△OBC的BC边上的高，利用等面积，易得，因此，欲使得的面积最大，只须其BC边上的高最大即可，由于点A在圆上运动，故高最大为，此时，．例设、、是平面曲线上任意三点，则的最大值为．答案20．解曲线是过原点O的圆，设、、，且O、A、B、C四点依次逆时针排列，则 ，其中为OB、AC的夹角．例设且，记，则的最小值为()．A．1 B． C．2 D．答案选B．解设，，，，则 ，故，因此， ，当且仅当且时取得等号．2.6基底策略对于不含直角的几何图形，比如非直角三角形、平行四边形、菱形、非直角梯形，在没有明显的解题思路时，一般都可以优先尝试利用基底法的策略进行求解．当然，这也并不绝对，对于含有直角的几何图形，在建系不好处理的情况下，也可以利用基底法进行处理．例(1)(2007天津理)如图，在△ABC中，，，，D是边BC上一点，，则．(2)(2017天津文理)在△ABC中，，，．若，，且，则的值为_______．(3)已知AD、BE分别是△ABC的中线，若，且，则与的夹角为．答案(1)

；(2)

；(3)

．解(1)

以、为基底即可，．(3)设△ABC的重心为G，以和为基底，则，，代入，可得．例(1)(2014江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知，，，，则．(2)(2013天津文理)在平行四边形ABCD中，，，E为CD的中点．若，则AB的长为________．(3)(2012上海理)在平行四边形ABCD中，，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足，则的取值范围是__________．答案(1)

22；(2)

；(3)．解(1)

依题意，只须以、为基底即可，则，，代入．(2)

如图，以、为基底，则．(3)

如图，以、为基底，则，，；令，则，，，故 ．例(1)(2014天津文)已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC、DC上，，．若，则的值为．(2)(2014天津理压轴)已知菱形ABCD的边长为2，，点E、F分别在边BC、DC上，，．若，，则()．A． B． C． D．答案(1)

2；(2)

选C．解(1)以、为基底，则，，解得．(2)

不妨以、为基底，则；故 ，即，相加可得：．例如图，在边长为的菱形ABCD中，，，F为线段BC的中点，G为EF上一点，，则()．A． B． C． D．答案选A．解由于E、F、G三点共线，故只须将以、为基底表示出来即可，但是，直接表示不易，故选取、为中转基底．，易得，解得，故 ，解得，故，平方取模得．例(2015天津理压轴)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，，，，动点E和F分别在线段BC和DC上，且，，则的最小值为．答案．解依题意，选择、为基底即可，易得；，，故 ，当且仅当，即时取得等号．例(1)

如图，在四边形ABCD中，，，，AC与BD相交于点O，点E是BD的中点，，则．(2)

在四边形ABCD中，，AC与BD交于O点，若，，，则．答案(1)

；(2)

．解(1)

依题意，以与为基底，由可知：，故，则 ，解得，故．(2)

以、为基底即可，．例如图，在梯形ABCD中，已知AB∥CD，，点E为CD的中点，点F在腰BC上，且，若，且，则．答案2．解以、为基底，则 ，故、，又，易解得．例(2012天津文)在△ABC中，，，，设点P、Q满足，，，，若，则()．A． B． C． D．2答案选B．解以、为基底，则 ．例在△ABC中，已知，，，若点P满足，且，则实数的值为．答案或1．解易知△ABC为直角三角形，如果采用建系的策略，虽说行得通，但是坐标的处理比较繁琐；注意到，因此，可以利用基底的思想，将含有点P的向量替换掉即可，故 ，即，解得或．2.7基建系策略(万能坐标法)对于含有直角的几何图形，比如直角三角形、直角梯形、矩形或正方形、等腰或等边三角形，一般都可以尝试利用建系策略．设点的技巧，单位向量和解三角形有关的问题，建系坐标化也是很常见且很重要的一种解题策略．含直角的几何图形例(2018上海)在平面直角坐标系中，已知点，，E、F是y轴上的两个动点，且，则的最小值为______．答案．解不妨设，，则．例(1)(2012江苏)如图，在矩形ABCD中，，，点E为BC的中点，点F在边CD上，若，则的值是__________．(2)(2015福建理)已知，，，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于()．A．13 B．15 C．19 D．21(3)(2011天津文理压轴)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，，，，P是腰DC上的动点，则的最小值为________．答案(1)；(2)选A；(3)5．解(1)以A为原点建系，，，设，则，即，故．(2)以A为原点建系，，，则，即，故 ，当且仅当，即时取得等号．(3)如图，以D为原点建系，设，则，，，故 ．例(2012天津理)已知△ABC为等边三角形，，设点P、Q满足，，，，若，则()．A． B． C． D．答案选A．法一（建系法）令，，，则，，故 ，整理得：，即．法二（基底法）．例(1)平面上的两个向量、满足，，且，，若向量，且，则的最大值是．(2)已知平面上的两个向量和满足，，，，若向量，且，则的最大值是()．A． B． C． D．答案(1)2；(2)选B．解(1)不妨令O为坐标原点，设，，则，又，即，其中M为AB的中点，即C在以M为圆心，1为半径的圆上，故．(2)不妨设，，则；将变形为：，即点在椭圆上；由于，其中，故．例如图，圆O为Rt△ABC的内切圆，已知，，C是直角，过圆心的直线l交圆O于P、Q两点，则的取值范围为．答案．法一易知P、Q在半径为的内切圆运动，且P、Q关于圆心O对称；如图，以O为原点，分别以过平行BC、AC的直线为x、y轴建立平面直角坐标系，则，，并且设，，则 ．法二，其中的，H为BC与圆O的切点．法三．例已知腰长为2的等腰直角△ABC中，M为斜边AB的中点，点P为该平面内一动点，若，则的最小值是．答案．解以C为原点建系，，，，设，则，故 ，当且仅当时取得等号，其中．当然，也可以不建系，利用极化恒等式＋中线定理即可，具体过程此处略．例如图，已知B、D是直角C的两边上的动点，AD⊥BD，，，，，则的最大值为．答案；建系或者极化皆可．例已知O是△ABC所在平面上的一点，内角A、B、C所对应的边的边长分别为3、4、5，且．若点P在△ABC的边上，则的取值范围为．答案．解如图，以C为原点建系，，，易得（实际上O是△ABC的内心）；结合投影可知，只须考虑点P在AB边上运动即可，故．例已知向量、满足，．若，则与夹角的余弦值的最小值等于．答案．法一（万能坐标系）设，，则，，设与的夹角为，则 ，其中，当且仅当时取得等号．法二（几何法＋夹角公式）如图，设，，则，故 ，当且仅当时取得等号，进而．注从法二可以看出，“”这一条件实际上是打酱油的；对于法一，只须将分母中的“”换为“”，故（下面配凑的系数可以简单待定得到） ．例设平面向量、满足，，，点P满足 ，其中，，则点P所表示的轨迹长度为()．A． B． C． D．答案选D．解设，，故，即点P在圆(，)上，故点P所表示的轨迹长度为．例记，已知向量，，满足，，，(，且)，则当取最小值时，()．A． B． C．1 D．答案选A．法一不妨设，，计算易得 ，作出其图像，易得当时，取得最小值，此时，故．注实际上，对于选择题，只须得到，对于此类一元双重最值问题，即，只须令即可．法二，欲求该式的最小值，设点的技巧例已知、、均为单位向量，且满足，则的最大值是()．A． B． C． D．答案选C．解设，，，则 ．例已知是单位向量，，，则的取值范围是．答案．解设，则，故．例在平面直角坐标系中，O为原点，，，动点C满足，则的最大值是()．A．9 B．8 C．4 D．3答案选D．解由于，故设，故．例(2018浙江)已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是()．A． B． C．2 D．答案选A．解不妨设，，，由得：，故．例已知平面向量、的夹角余弦值为，，，若平面向量满足，则．答案．法一设，则，即，解得，故．法二设，，，代入，解得．例已知平面向量、满足，，．已知，，，，若有且只有一个，满足，则x的值为．答案．解不妨令，，则，故，依题意，只须即可，故．例(1)已知，向量满足，当、的夹角最大时，．(2)

设向量、，且，，则的最大值是；最小值是．答案(1)

；(2)

9；1．解(1)

设，，由得：，则，故 ，当且仅当，即时，、的夹角取得最大值为，此时．(2)

法一（万能坐标法）设，，由得：，故．法二（平方取模法）设向量、的夹角为，则由得：，解得．法三（几何法）以，为邻边构造平行四边形OACB，则，即，设，，利用△OAP的边长关系，解得；又，即，即．例(1)

已知平面向量、、满足：，，则的最小值为．(2)

已知平面向量、、满足，，则的取值范围()．A． B． C． D．(3)

已知平面向量、、满足：，，则的最小值为．答案(1)

2；(2)

选D；(3)

2．解(1)设，，，由得：，，故，当且仅当时取得等号．(2)

设，，，由得：，故；从上述解答来看，实际上是打酱油的，可以略去此条件．(3)

法一设，，，由得：；又，即，当且仅当、时取得等号．法二设与的夹角为，则，即，当且仅当取得等号．例(2016浙江文压轴)已知向量、，，，．若为平面单位向量，则的最大值是．答案．法一（万能坐标法）不妨设，，，则 ，假设在第一象限，显然等号是能取到的．注实际上，利用法一，我们也可以得到的最小值，令 ，易知的周期为，不妨取，则，计算易得，相应的图象如图所示．法二当与同号时，，当且仅当与共线时取得等号，对应的几何意义如左图；当与异号时，，当且仅当与共线时取得等号，对应的几何意义如右图；综上所述，的最大值是．法三（绝对值恒等式），当且仅当与共线时取得等号．例(2016浙江理压轴)已知向量、，，，若对任意单位向量，均有，则的最大值是．答案．解等价于求的最大值，求解方法和文科的实质一样．法一（万能坐标法）不妨设，，，则，又 ，解得（假设、在第一象限，显然等号是能取到的），故．法二（绝对值恒等式），解得．典型错解，解得；虽然最后得到的答案是对的，但是在逻辑上是错误的．例已知向量、满足，，若恒成立，则实数的取值范围是．答案或；解设，，由得：；若恒成立，则等价于恒成立，结合图象，只须两圆外切或者外离即可，故圆心距．注此题的背景是阿波罗尼斯圆．例(1)已知、满足，，且，则的最小值为()．A． B． C． D．(2)已知平面向量、、满足：，，，与的夹角为，，则的取值范围是．答案(1)

选A；(2)

．解(1)

法一（万能坐标法）不妨设，，则，如图，作出相应的可行域，故．法二（由所求到已知）只须设法将“”中的或用含有“、”的式子表示出来即可（由于，避免多次放缩），故只能令，即 ，当且仅当与同向，即，即时取得等号．法三（由已知到所求）由于，故．注(1)

无论是使用何种不等式（三角、均值、柯西、…），都一定要养成验证等号的习惯！！(2)

对于此题的几何法，实质就是法一，只是变相利用解析的形式来呈现而已，最终的几何分析图都是一样的．例已知互相垂直的两个向量、满足，其中是方向上的单位向量，则的取值范围是．答案．解不妨设，，则，，故 ．例已知单位向量、的夹角是，，向量满足，则的取值范围是．答案．法一（万能坐标法）以O为原点，设，，则．设，由得：，即点D在以为圆心