（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题11 离散型随机变量的分布列及数字特征（重难点突破+课时训练）（原卷版）

专题11离散型随机变量的分布列及数字特征一、考情分析二、考点梳理考点一离散型随机变量的分布列1．随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量.常用希腊字母ξ、η等表示．2．离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．3．连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量．4．分布列：设离散型随机变量ξ可能取得值为x1，x2，…，x3，…，ξ取每一个值xi（i=1，2，…）的概率为，则称表ξx1x2…xi…PP1P2…Pi…为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列．5．分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足：，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴⑵．6．独立重复试验：在同样的条件下重复做的次试验称为次独立重复试验，每一次试验只有发生与不发生的结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的.如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率计算公式：．7．常见离散型随机变量的分布列⑴两点分布：X01P1-PP⑵二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P，那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是，（k＝0,1,2,…，n，）．称随机变量ξ服从二项分布．记作ξ～B(n，p)，其中n，p为参数，并记＝b(k；n，p)．⑶超几何分布：在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则其中，．称分布列X01…mP…为超几何分布列，称X服从超几何分布．离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a，b是常数.则也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为：ξ取每一个值的概率，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列.……P……有性质①；②.注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：即可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.考点二离散型随机变量的的数字特征1.期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为……P……则称为ξ的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2.⑴随机变量的数学期望：①当时，，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当时，，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当时，，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为：.⑶两点分布：，其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：其分布列为～.（P为发生的概率）⑸几何分布：其分布列为～.（P为发生的概率）3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为时，则称为ξ的方差.显然，故为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.越小，稳定性越高，波动越小.4.方差的性质.⑴随机变量的方差.（a、b均为常数）ξ01Pqp⑵单点分布：其分布列为⑶两点分布：其分布列为：（p+q=1）⑷二项分布：⑸几何分布：5.期望与方差的关系.⑴如果和都存在，则⑵设ξ和是互相独立的两个随机变量，则⑶期望与方差的转化：⑷（因为为一常数）.【温馨提示】离散型随机变量的均值和方差的求解，一般分两步：一是定型，即先判断随机变量的分布是特殊类型，还是一般类型，如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型；二是定性，对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解，而对于一般类型的随机变量，应先求其概率分布然后代入相应公式计算，注意离散型随机变量的取值与概率间的对应．求离散型随机变量概率分布列及数学期望是理科高考数学的必考题型．求离散型随机变量概率分布列问题时，首先要清楚离散型随机变量的所有可能取值，及随机变量取这些值时所对应的事件的概率，计算出概率值后即可列出离散型随机变量的概率分布列，最后按照数学期望的公式计算出数学期望．三、题型突破重难点题型突破1随机变量的分布列例1．（1）已知随机变量X的分布列如下表：X1234Pm则实数m的值为（

）.A． B． C． D．（2）下列X是离散型随机变量的是（

）①某座大桥一天经过的车辆数X；②在一段时间间隔内某种放射性物质放出的α粒子数η；③一天之内的温度X；④一射手对目标进行射击，击中目标得1分，未击中得0分，用X表示该射手在一次射击中的得分.A．①②③④ B．①②④C．①③④ D．②③④（3）已知随机变量的概率分布如下表，且，则______．0123P0.1mn0.1（4）把3个骰子全部掷出，设出现6点的骰子个数是X，则P(X<2)＝________.【变式训练1-1】如图所示是离散型随机变量X的概率分布直观图，则（

）A．0.1 B．0.12 C．0.15 D．0.18【变式训练1-2】将一颗均匀骰子掷两次，不能作为随机变量的是（

）A．两次掷得的点数B．两次掷得的点数之和C．两次掷得的最大点数D．第一次掷得的点数减去第二次掷得的点数的差【变式训练1-3】若随机变量X的分布列如下表所示：X0123Pab则a2＋b2的最小值为________．【变式训练1-4】将3个小球任意地放入4个大玻璃杯中，一个杯子中球的最多个数记为X，则X的分布列是________.重难点题型突破2随机变量的数字特征例2．（1）已知随机变量X的分布列如下表：X0246P0.10.2m0.2则的值为（

）．A．2 B．2.4 C．3.6 D．不确定（2）已知随机变量的分布列为：X124P0.40.30.3则等于（

）A．15 B．11C．2.2 D．2.3（3）（多选）设离散型随机变量X的分布列为X01234Pq0.40.10.20.2若离散型随机变量Y满足，则下列结果正确的有（

）A． B．C． D．【变式训练2-1】已知离散型随机变量X的分布列如下：X123P则数学期望（

）A． B． C．1 D．2【变式训练2-2】已知随机变量的分布列为：设，则的数学期望的值是（

）A． B． C． D．【变式训练2-3】已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：X012Pmnm则下列结论一定成立的是（

）A． B．C． D．例3．（1）随机变量的可能值，且，则D的最大值为___________.（2）（多选）设，已知随机变量的分布列如下表，则下列结论正确的是（

）012PA． B．的值最大C．随着p的增大而增大 D．当时，【变式训练3-1】已知一组数据的方差是1，那么另一组数据，，，，，的方差是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式训练3-2】随机变量ξ的分布列如下表：ξ1a9Pbb其中，，则下列说法正确的是（

）A．若，则当时，随b的增大而增大B．若，则当时，随b的增大而减小C．若，则当时，有最小值D．若，则当时，有最大值重难点题型突破3综合应用例4．某公司举行了一场羽毛球比赛，现有甲、乙两人进行比赛，每局比赛必须分出胜负，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满8局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．(1)求第二局比赛结束时比赛停止的概率；(2)设表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列和数学期望．例5．“学习强国”学习平台软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习模块和“每日答题”“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题模块，还有“四人赛”“双人对战”两个比赛模块.“四人赛”积分规则为首局第一名积3分，第二、三名积2分，第四名积1分；第二局第一名积2分，其余名次积1分；每日仅前两局得分.“双人对战”积分规则为第一局获胜积2分，失败积1分，每日仅第一局得分.某人在一天的学习过程中，完成“四人赛”和“双人对战”.已知该人参与“四人赛”获得每种名次的概率均为，参与“双人对战”获胜的概率为，且每次答题相互独立.(1)求该人在一天的“四人赛”中积4分的概率；(2)设该人在一天的“四人赛”和“双人对战”中累计积分为，求的分布列和.例6．《中共中央国务院关于实现巩固拓展脱贫攻坚成果同乡村振兴有效衔接的意见》明确提出，支持脱贫地区乡村特色产业发展壮大，加快脱贫地区农产品和食品仓储保鲜、冷链物流设施建设，支持农产品流通企业、电商、批发市场与区域特色产业精准对接．当前，脱贫地区相关设施建设情况如何？怎样实现精准对接？未来如何进一步补齐发展短板？针对上述问题，假定有A、B、C三个解决方案，通过调查发现有的受调查者赞成方案A，有的受调查者赞成方案B，有的受调查者赞成方案C，现有甲、乙、丙三人独立参加投票（以频率作为概率）．(1)求甲、乙两人投票方案不同的概率；(2)若某人选择方案A或方案B，则对应方案可获得2票，选择方案C，则方案C获得1票，设是甲、乙、丙三人投票后三个方案获得票数之和，求的分布列和数学期望．例7．中国在欧洲的某孔子学院为了让更多的人了解中国传统文化，在当地举办了一场由当地人参加的中国传统文化知识大赛，为了了解参加本次大赛参赛人员的成绩情况，从参赛的人员中随机抽取名人员的成绩（满分100分）作为样本，将所得数据进行分析整理后画出频率分布直方图如图所示，已知抽取的人员中成绩在内的频数为3.(1)求的值；(2)已知抽取的名参赛人员中，成绩在和女士人数都为2人，现从成绩在和的抽取的人员中各随机抽取2人，记这4人中女士的人数为，求的分布列与数学期望.

四、课堂训练（30分钟）1．抛掷两枚质地均匀的骰子一次，X为第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差，则X的所有可能取值为（

）A．0≤X≤5，X∈N B．－5≤X≤0，X∈ZC．1≤X≤6，X∈N D．－5≤X≤5，X∈Z2．设一汽车在开往目的地的道路上需经过5盏信号灯，Y表示汽车首次停下时已通过的信号灯的盏数，则表示“遇到第5盏信号灯时首次停下”的事件是（

）A．Y＝5 B．Y＝4C．Y＝3 D．Y＝23．若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为ξ012P则的最大值为（

）A．1 B． C． D．24．现有一个项目，对该项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元，1.18万元，1.17万元的概率分别为随机变量X表示对此项目投资10万元一年后的利润，则X的均值为（

）A．1.18 B．3.55 C．1.23 D．2.385．已知随机变量X的分布列为X－101P设Y＝2X＋3，则E（Y）的值为____6．已知随机变量的分布列为－101则随机变量的方差的值为______.7．某景点电动车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过1h免费，超过1h的部分每小时收费10元（不足1h的部分按1h计算）．有甲、乙两人相互独立来该租车点租车游玩（各租一车次）．设甲、乙不超过1h还车的概率分别为，，1h以上且不超过2h还车的概率分别为，，两人租车时间都不会超过3h．(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量，求的分布列及数学期望．8．根据国家部署，2022年中国空间站“天宫”将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站建造过程3D模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为，每位选手每次编程都互不影响.(1)求乙闯关成功的概率；(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和数学期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.专题11离散型随机变量的分布列及数字特征A组基础巩固1．某商场销售某种品牌的空调，每周初购进一定数量的空调，商场每销售一台空调可获利500元，若供大于求，则每台未售出的空调需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商场调剂供应，调剂的空调每台可获利200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调的周需求量n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若该商场周初购进20台空调，X表示当周的利润（单位：元），则当周的平均利润为（

）A．10000元 B．9400元 C．8800元 D．9860元2．2021年世界园艺博览会于2021年4月到10月在江苏省扬州市举行，“花艺园”的某个部位摆放了10盆牡丹花，编号分别为0，1，2，3，……，9，若从任取1盆，则编号“大于5”的概率是（

）A． B． C． D．3．抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为X，则“X>4”表示试验的结果为（

）A．第一枚为5点，第二枚为1点B．第一枚大于4点，第二枚也大于4点C．第一枚为6点，第二枚为1点D．第一枚为4点，第二枚为1点4．已知随机变量的概率分布如下：12345678910则（

）A． B． C． D．5．把半圆分成4等份，以这些等分点（包括直径的两端点）为顶点，作出三角形，从这些三角形中任取3个三角形，记这3个三角形中钝角三角形的个数为X，则（

）A． B． C． D．6．已知随机变量X的分布列为X012P设，则等于（

）A． B． C． D．7．已知随机变量的分布列如下，则的最大值为（

）X123Pab2b—aA． B．3C．6 D．58．已知随机变量X的分布列是：若，则（

）A． B． C． D．9．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用表示甲的得分，则表示（

）A．甲赢三局B．甲赢一局输两局C．甲、乙平局三次D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次10．随机变量的分布列如图所示，则其数学期望（

）123A． B． C． D．不能确定11．学校要从5名男生和2名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务，若用表示抽取的志愿者中女生的人数，则随机变量的数学期望的值是（

）A． B．C． D．112．根据以往的经验，某工程施工期间的降水量X（单位：mm）对工期的影响如下表：降水量X工期延误天数Y02610历年气象资料表明，该工程施工期间降水量X小于300，700，900的概率分别为0.3，0.7，0.9，则工期延误天数Y的方差为______．13．某射手射击一次所得环数X的分布列如下表：X78910P0.10.40.30.2现该射手进行两次射击，以两次射击中所得最高环数作为他的成绩，记为，则______.14．设随机变量X的概率分布列如下表所示：X012Pa若F(x)＝P(X≤x)，则当x的取值范围是[1,2)时，F(x)等于_______15．若随机变量X的概率分布如表，则表中a的值为______．X1234P0.20.30.3a16．下面给出三个变量:（1）2013年地球上发生地震的次数ξ.（2）在一段时间间隔内某种放射性物质发生的α粒子数η.（3）在一段时间间隔内某路口通过的宝马车的辆数X.其中是随机变量的是____.17．为了降低对大气的污染和能源的消耗，某品牌汽车制造商研发了两款电动汽车车型A和车型B，并在“十一黄金周”期间同时投放市场.为了了解这两款车型在“十一黄金周”的销售情况，制造商随机调查了5家汽车4S店的销量（单位：台），得到如下数据：4S店车型甲乙丙丁戊车型A6613811车型B1291364现从这5家汽车4S店中任选3家举行促销活动，用X表示其中车型A销量超过车型B销量的4S店的个数，则______.18．随机变量X的取值为0，1，2，若，，则_________．19．一袋中装有分别标记着，，数字的个小球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到的可能性相同），现连续取次球，若每次取出一个球后放回袋中，记次取出的球中标号最小的数字与最大的数字分别为，，设，则______.20．随机变量的概率分布为01且，则________.B组能力提升21．（多选）某市有A，B，C，D四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A的概率为，游览B，C和D的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立.用随机变量X表示该游客游览的景点的个数，下列正确的是（

）A．游客至多游览一个景点的概率为 B．C． D．22．(多选)已知随机变量X的分布列如下表所示，其中a，b，c成等差数列，则（

）X－101PabcA．a＝ B．b＝C．c＝ D．P(|X|＝1)＝23．（多选）设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的取值对应的概率正确的是（

）．A．P(ξ＝0)＝ B．P(ξ＝)＝C．P(ξ＝1)＝ D．P(ξ＝)＝24．（多选）设离散型随机变量的分布列为-10123则下列各式正确的是（

）A． B．C． D．25．（多选）已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)：X01234P0.10.20.40.2a则下列计算结果正确的有（

）A．a＝0.1 B．P(X≥2)＝0.7C．P(X≥3)＝0.4 D．P(X≤1)＝0.326．（多选）盒子中共有2个白球和3个黑球，从中不放回任取两次，每次取一个，则下列说法正确的是（

）A．“取到2个白球”和“取到2个黑球”是对立事件B．“第一次取到白球”和“第二次取到黑球”是相互独立事件C．“在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球”的概率为D．设随机变量和分别表示取到白球和黑球的个数，则27．（多选）有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（

）A．样本甲的极差一定小于样本乙的极差B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为28．（多选）有一组样本甲的数据，由这组数据得到新样本乙的数据，其中为正实数．下列说法正确的是（

）A．样本甲的期望一定小于样本乙的期望B．样本甲的方差一定大于样本乙的方差C．若m为样本甲的中位数，则样本乙的中位数为D．若m为样本甲的平均数，则样本乙的平均数为29．2022年北京冬奥会有包括中国队在内的12支男子冰球队参加比赛，12支参赛队分为三组，每组四队，2月9号至13号将进行小组赛，小组赛采取单循环赛制，即每个小组的四支参赛队在比赛中均能相遇一次，最后按各队在比赛中的得分多少来排列名次．小组赛结果的确定规则如下：①在常规时间里，获得最多进球的队为获胜者，获胜者得3分；②在常规时间里，如果双方进球相等，每队各得1分．比赛继续进行，以突然死亡法（即在规定的时间内有一方进球）加时赛决出胜负，突然死亡法加时赛中获胜的队将额外获得1分；③在突然死亡法加时赛中，如果双方都没有得分，那么进行点球赛，直至决出胜负，在点球赛中获胜的队将额外获得1分．若在小组赛中，甲队与乙队相遇，在常规时间里甲队获胜的概率为，进球数相同的概率为；在突然死亡法加时赛中，甲队获胜的概率为，双方都没有得分的概率为；在点球赛中，甲队获胜的概率为，假设各比赛结果相互独立．(1)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得2分获胜的概率；(2)在甲队与乙队的比赛中，求甲队得分的分布列及数学期望．30．为迎接年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生