（人教A版）高二数学下学期期末考点复习训练专题12 二项分布、超几何分布与正态分布（重难点突破+课时训练）（解析版）

专题12二项分布、超几何分布与正态分布一、考情分析二、考点梳理知识点1、二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为PX=k如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomialdistribution），记作X~B(n,p).X01…k…np……知识点2、超几何分布一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品．从N件产品中随机抽取n件(不放回），用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为P(X＝k）＝eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(k),\s\do1(M))Ceq\o\al(\s\up1(n－k),\s\do1(N－M)),Ceq\o\al(\s\up1(n),\s\do1(N)))，k＝m，m＋1，m＋2，…，r.其中n，N，M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0，n－N＋M}，r＝min{n，M}，则称随机变量X服从超几何分布．1.公式中个字母的含义N—总体中的个体总数；M—总体中的特殊个体总数(如次品总数)n—样本容量；k—样本中的特殊个体数(如次品数)2.求分布列时可以直接利用组合数的意义列式计算,不必机械记忆这个概率分布列.3.“任取n件,恰有k件次品”是一次性抽取,用组合数列式.4.各对应的概率和必须为1.知识点3、正态分布对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线,如上图所示.若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布(normaldis-tribution),记为X~N(u,σ2).特别地,当u=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.1.由X的密度函数及图像可以发现，正态曲线有以下特点：（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交.（2）曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称.（3）曲线在x=μ处达到峰值1σ（4）当|X|无限增大时，曲线无限接近x轴.（5）X轴与正态曲线所夹面积恒等于1.2.正态分布的期望和方差参数μ反映了正态分布的集中位置，σ反映了随机变量的分布相对于均值μ的离散程度。（1）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；(2)当μ一定时，曲线的形状由σ确定.σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.

三、题型突破重难点题型突破1二项分布例1．（1）若随机变量，且，则的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用二项分布的期望公式可求得的值，再结合独立重复试验的概率公式可求得的值.【详解】因为，则，解得，所以，.故选：B.（2）1654年，法国贵族德•梅雷骑士偶遇数学家布莱兹•帕斯卡，在闲聊时梅雷谈了最近遇到的一件事：某天在一酒吧中，肖恩和尤瑟纳尔两人进行角力比赛，约定胜者可以喝杯酒，当肖恩赢20局且尤瑟纳尔赢得40局时他们发现桌子上还剩最后一杯酒．此时酒吧老板和伙计提议两人中先胜四局的可以喝最后那杯酒，如果四局、五局、六局、七局后可以决出胜负那么分别由肖恩、尤瑟纳尔、酒吧伙计和酒吧老板付费，梅雷由于接到命令需要觐见国王，没有等到比赛结束就匆匆离开了酒馆．请利用数学知识做出合理假设，猜测最后付酒资的最有可能是（）A．肖恩 B．尤瑟纳尔 C．酒吧伙计 D．酒吧老板【答案】B【分析】由题设求出肖恩、尤瑟纳尔每局获胜的概率，设决出胜负的场数为X，在七局四胜制中，求出X取4，5，6，7的概率，即可判断出结果.【详解】由题意，肖恩每局获胜的概率为，尤瑟纳尔每局获胜的概率为，先胜四场比赛结束就是比赛采用七局四胜制，设决出胜负的场数为X，于是得：，，，，显然有，即，所以最后付酒资的最有可能是尤瑟纳尔.故选：B【变式训练1-1】某试验每次成功的概率为，现重复进行10次该试验，则恰好有7次试验未成功的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据二项分布的概率公式即可求解.【详解】由题意可知，重复进行10次试验，7次未成功，说明3次成功，所以所求概率为．故选：A．【变式训练1-2】（多选）已知随机变量，则下列命题正确的有（

）A．B．C．若甲投篮命中率为，则X可以表示甲连续投篮4次的命中次数D．若一个不透明盒子装有大小相同，质地均匀的10个绿球和30个红球，则X可以表示从该盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数【答案】BC【分析】利用二项分布的期望、方差公式计算判断B，C；利用独立重复试验的意义判断C；求出从盒子中不放回地随机抽取4个球后抽到的绿球个数X的概率判断D作答.【详解】因随机变量，则，，A不正确，B正确；甲连续投篮4次相当于4次独立重复投篮一次的试验，而单次投篮命中率为，则命中次数，C正确；对于D，依题意，，即时的概率随k值的变化而变化，不服从，D不正确.故选：BC例2．近年来，我国电子商务蓬勃发展，某创业者对过去100天，某知名A产品在自己开的网店和实体店的销售量（单位：件）进行了统计，制成如下频率分布直方图，已知网店与实体店销售量相互独立.(1)写出频率分布直方图中a的值，记实体店和网店的销售量的方差分别为，试比较的大小；（不要求计算出具体值，给出结论即可）；(2)网店回访服务，若查知某天该网店所销售的A产品被10名不同的顾客（其中2名男性）购买，现从这10名顾客中随机选2人进行服务回访，求恰好选到一人是男性的概率；(3)若将上述频率视为概率，已知实体店每天销售量不低于30件可盈利，记求未来三天实体店盈利的天数为，求随机变量的分布列和数学期望.【答案】(1)a=0.015，(2)(3)分布列答案见解析，数学期望：【分析】（1）利用频率之和为求得，根据方差的知识，结合频率分布直方图判断出.（2）利用古典概型的概率计算公式，计算出所求概率.（3）结合二项分布的知识求得分布列并求得数学期望.(1)（0.020+0.010+0.030+a+0.025）×10=1，a=0.015通过比较两个频率分布直方图可知，实体店销售量比网店更集中､稳定，故.(2)从这10名顾客中随机选2人进行服务回访，求恰好选到一人是男性为事件A，则(3)由题意，实体店销售量不低于30件的概率为0.4，所以盈利的概率为0.4，故的可能取值为.相应的概率为分布列为0123因为，所以期望为.【变式训练2-1】2022年2月20日，北京冬奥会在鸟巢落下帷幕，中国队创历史最佳战绩．北京冬奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的普及，让越来越多的青少年爱上了冰雪运动．某校组织了一次全校冰雪运动知识竞赛，并抽取了100名参赛学生的成绩制作成如下频率分布表：竞赛得分频率(1)如果规定竞赛得分在为“良好”，竞赛得分在为“优秀”，从成绩为“良好”和“优秀”的两组学生中，使用分层抽样抽取5人．现从这5人中抽取2人进行座谈，求两人竞赛得分都是“优秀”的概率；(2)以这100名参赛学生中竞赛得分为“优秀”的频率作为全校知识竞赛中得分为“优秀”的学生被抽中的概率．现从该校学生中随机抽取3人，记竞赛得分为“优秀”的人数为，求随机变量的分布列及数学期望．【答案】(1)(2)分布列见解析，【解析】(1)成绩为“良好”和“优秀”的两组频率合计，共人，抽样比为．所以成绩为“良好”的抽取人，成绩为“优秀”的抽取人．所以抽到的竞赛得分都是“优秀”的概率为．(2)由题意知，的可能取值，，，．由题可知，任意1名学生竞赛得分“优秀”的概率为，竞赛得分不是“优秀”的概率为．若以频率估计概率，则服从二项分布．；；；．所以的分布列为．重难点题型突破2超几何分布例3．（1）某贫困县辖有15个小镇中有9个小镇交通比较方便，有6个不太方便现从中任意选取10个小镇，其中有X个小镇交通不太方便，下列概率中等于的是A． B．C． D．【答案】A【分析】X服从超几何分布，根据古典概型的概率公式计算即可．【详解】X服从超几何分布，因为有6个小镇不太方便，所以从6个不方便小镇中取4个，，故选A．（2）—个盒子里装有相同大小的红球、白球共个,其中白球个.从中任取两个,则概率为的事件是(

).A．没有白球 B．至少有一个白球C．至少有一个红球 D．至多有一个白球【答案】B【详解】表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率，即至少有一个白球的概率.故选B.【变式训练3-1】若一个随机变量的分布列为，其中则称服从超几何分布，记为，并将记为，则___________.【答案】【分析】根据题中的计算公式代入数据求解即可.【详解】根据题意，故答案为：.【变式训练3-2】（多选）关于超几何分布下列说法正确的是（

）A．超几何分布的模型是不放回抽样 B．超几何分布的总体里可以只有一类物品C．超几何分布中的参数是，， D．超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成【答案】ACD【分析】根据超几何分布的概念及内涵，结合各选项的描述判断正误即可.【详解】由超几何分布的定义，超几何模型为不放回抽样，故A正确；超几何分布实质上就是有总数为件的两类物品，其中一类有件，从所有物品中任取件，这件中所含这类物品的件数是一个离散型随机变量，它取值为时的概率为（，是和中较小的一个），∴B错误；C、D正确.故选：ACD例4．某学校在寒假期间安排了“垃圾分类知识普及实践活动”.为了解学生的学习成果，该校从全校学生中随机抽取了50名学生作为样本进行测试，记录他们的成绩，测试卷满分100分，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图：(1)若全校学生参加同样的测试，试估计全校学生的平均成绩（每组成绩用中间值代替）；(2)在样本中，从其成绩在80分及以上的学生中随机抽取3人，用表示其成绩在中的人数，求的分布列及数学期望；(3)在（2）抽取的3人中，用表示其成绩在的人数，试判断方差与的大小.（直接写结果）【答案】(1)；(2)分布列见解析，；(3).【分析】（1）利用直方图的性质及平均数的计算方法即得；（2）由题可知服从超几何分布，即求；（3）由超几何分布即得.(1)由直方图可得第二组的频率为，∴全校学生的平均成绩为：(2)由题可知成绩在80分及以上的学生共有人，其中中的人数为5，所以可取0,1,2,3，则，，，，故的分布列为：0123P；(3).【变式训练4-1】国家“双减”政策落实之后，某市教育部门为了配合“双减”工作，做好校园课后延时服务，特向本市小学生家长发放调查问卷了解本市课后延时服务情况，现从中抽取100份问卷，统计了其中学生一周课后延时服务总时间(单位：分钟)，并将数据分成以下五组：，得到如图所示的频率分布直方图.(1)根据如图估计该市小学生一周课后延时服务时间的众数、平均数、中位数(保留小数点后一位)；(2)通过调查分析发现，若服务总时间超过160分钟，则学生有不满情绪，现利用分层随机抽样的方法从样本问卷中随机抽取8份，再从抽取的8份问卷中抽取3份，记其中有不满情绪的问卷份数为，求的分布列及均值.【答案】(1)150，151，150.9；(2)分布列见解析，.【分析】(1)频率分布直方图中众数为最高的小矩形的中间值，平均数为每一组中间值与小矩形面积乘积的和；中位数左侧和右侧的小矩形面积均为0.5.(2)根据超几何分布的概率计算方法计算分布列，根据均值的方法计算均值即可.(1)众数：150；第1到5组频率分别为：0.05，0.15，0.55，0.2，0.05，平均数：，设中位数为，则中位数在第3组，则，；(2)用分层随机抽样抽取8份问卷，其中学生有不满情绪的有8×(0.2＋0.05)＝2份，∴的可能取值为0，1，2，∴，，，∴的分布列为：012∴.重难点题型突破3正态分布例5．（1）（多选）为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.附：若随机变量X服从正态分布，则.【答案】19【分析】根据正态分布的性质求出在之外的概率，从而得到，根据二项分布的期望公式得到不等式，解得即可；【详解】解：依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为；故答案为：19（2）下列说法正确的是

（

）A．设随机变量X服从二项分布，则B．已知随机变量X服从正态分布，且，则C．；D．已知随机变量满足，若，则随着的增大而减小【答案】AB【分析】结合正态分布的对称性和数学期望与方差计算公式和运算性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，由随机变量X服从二项分布，则，所以A正确；对于B中，由随机变量X服从正态分布，且，可得，根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B正确；对于C中，根据期望和方差的性质，可得，，所以C不正确；对于D中，由随机变量满足，可得，根据一次函数与二次函数的性质可知：当时，随的增大而增大，所以D不正确.故选：AB.【变式训练5-1】郫都区高级理科学生参加“成都一诊”考试的数学成绩服从正态分布，下列结论中不正确的是（

）（附：，，）A．越大，学生数学成绩在的概率就越大B．当时，C．无论为何值，学生数学成绩大于的概率为D．无论为何值，学生数学成绩在小于与大于的概率相等【答案】A【分析】利用对总体的影响可判断A选项；利用原则可判断B选项；利用正态曲线的对称性可判断CD选项.【详解】对于A选项，越大，峰值低，正态曲线越“矮胖”，随机变量的分布比较分散，则学生数学成绩在的概率就越小，A错；对于B选项，当时，，，则故B对；对于C选项，无论为何值，学生数学成绩大于的概率，C对；对于D选项，因为，由正态曲线的对称性可得，D对.故选：A.【变式训练5-2】经统计，某校高三学生期末数学成绩服从正态分布，，且，则从该校任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率为_________．【答案】0.35【分析】由已知直接利用正态分布曲线的对称性求解．【详解】∵学生成绩X服从正态分布，且，∵,∴从该市任选一名高三学生，其成绩不低于90分的概率是．故答案为：例6．某企业招收了2000名新员工，为便于全面了解新员工的素质情况，除查看员工履历外，还进行了一系列的综合素质测试（满分100分），人事部在测试成绩中随机抽取了100名员工的测试成绩作为样本分析，并把样本数据进行了分组，绘制了频率分布直方图，并且认为其测试成绩X近似地服从正态分布．(1)求样本平均数和样本方差；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)人事部门规定测试成绩超过82.7分的新员工可参加干部竞聘初级面试．①用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，请利用估计值判断这2000名新员工中，能够参加干部竞聘初级面试的人数；（四舍五入保留整数）②公司为培养后备人才，对初级面试过关的人员还要分别进行A，B两项答辩，规定A，B两项答辩只通过一项的员工可获得1000元的干部培训奖励费，若两项答辩均通过，则可获得1500元的干部培训奖励费，否则不受此奖励，初试过关的李华通过A项答辩的概率为0.6，通过B项答辩的概率为0.5，其获得干部培训奖励费为Y，求Y的分布列与数学期望．（附：若随机变量，则，）【答案】(1)70；161(2)①317；②分布列见解析，950元【分析】（1）每组数据的中间值估计本组数据的平均值，每个小矩形的面积为本组数据的频率（比例），利用加权平均数的思路求出样本平均数，从而进一步利用公式求出方差即可;（2）①根据，结合题目所问数据与的关系，即可求解；②分别计算的概率，列表求分布列和期望即可.(1)(2)①由（1）可知，，故测试成绩X，∵，∴，在这2000名新员工，能参加初级面试的人数估计有人②Y的取值为0元，1000元，1500元，其中，所以Y的分布列为Y010001500P0.20.50.3（元）【变式训练6-1】2015年3月24日，习近平总书记主持召开中央政治局会议，通过了《关于加快推进生态文明建设的意见》，正式把“坚持绿水青山就是金山银山”的理念写进中央文件，成为指导中国加快推进生态文明建设的重要指导思想．为响应国家号召，某市2016年清明节期间种植了一批树苗，两年后市园林部门从这批树苗中随机抽取100棵进行跟踪检测，得到树高的频率分布直方图如图所示：(1)求树高在225-235cm之间树苗的棵数，并求这100棵树苗树高的平均值;(2)若将树高以等级呈现，规定：树高在185-205cm为合格，在205-235为良好，在235-265cm为优秀．视该样本的频率分布为总体的频率分布，若从这批树苗中随机抽取3棵，求树高等级为优秀的棵数的分布列和数学期望；(3)经验表明树苗树高，用样本的平均值作为的估计值，已知，试求该批树苗小于等于255.4cm的概率．（提供数据：，，）附：若随机变量Z服从正态分布，则，，．【答案】(1)15，220.5(2)分布列见解析，0.6(3)【分析】（1）由频率分布直方图求出[225,235]间的频率，可得棵数，由频率分布直方图中各矩形中间点乘以频率再相加即得均值；（2）树高为优秀的概率是0.2，取值依次为0,1,2,3，由二项分布计算出概率得概率分布列，再由期望公式计算出期望；（3）由正态分布的概率性质结合给出的数据可计算出概率.(1)树高在225-235cm之间的棵数为：.树高的平均值为：，(2)由（1）可知，树高为优秀的概率为：，由题意可知的所有可能取值为0，1，2，3，，，，，故的分布列为：0123P0.5120.3840.0960.008所以(3)由（1）的结果，结合参考数据，可知，所以．

四、课堂训练1．已知随机变量，且，则（

）A． B．8 C．12 D．24【答案】D【分析】结合，求得，得到，根据，即可求解.【详解】由题意，随机变量，可得，又由，解得，即随机变量，可得，所以.故选：D.2．某口罩生产厂生产了一批N95型口罩，已知每只口罩检验合格的概率为0.8，对不合格的口罩进行一次技术精加工，加工后每只口罩检验合格的概率为0.3，不合格的作为废品处理.现从这批N95型口罩中任选一只，则得到合格口罩的概率为（

）A．0.78 B．0.86 C．0.88 D．0.90【答案】B【分析】根据题意可得出任选一只为合格口罩分第一次检验合格和经过精加工后检验合格两种情况，从而可求出答案.【详解】由题意可知，任选一只为合格口罩分第一次检验合格和经过精加工后检验合格两种情况，所以得到合格口罩的概率为.故选：B.3．设袋中有80个红球，20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰好有6个白球的概率为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据古典概型的概率公式求解即可.【详解】从袋中任取10个球，共有种，其中恰好有6个白球的有种，即其中恰好有6个白球的概率为故选：C4．已知某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，其中的产品为“合格品”，若从这批零件中随机抽取一件，则抽到合格品的概率约为（

）（附：若，则，，）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据原则结合正态分布的对称性即可得出答案.【详解】解：因为某批零件的尺寸（单位：）服从正态分布，所以.故选：D.5．已知随机变量，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正态分布曲线性质即可求得所求概率.【详解】，.故选：A.6．某学校在2022年1月高三期末考试中有980人参加了数学考试，若数学成绩（满分为150分），统计结果显示数学考试成绩在70分以上的人数为总人数的，则此次高三期末考试中数学成绩在70分到120分之间的学生有______人．【答案】560【分析】根据正态分布曲线的对称性，求得成绩在70分到120分之间的概率,即可求得答案.【详解】因为数学成绩，所以其正态分布曲线关于直线对称，又因为成绩在70分以上的人数为总人数的，由对称性知成绩在70分到120分之间的人数为总人数的，所以此次数学考试成绩在70分到120分之间的学生有（人），故答案为：5607．已知小明投次篮，每次投篮的命中率均为，记次投篮中命中的次数为，则___________.【答案】2.1【分析】小明每次投篮是否命中可以看做不相互影响，因此投篮命中次数服从二项分布，即，利用二项分布的方差公式即可求出结果.【详解】由题意，知，则.故答案为：8．某手机经销商从已购买某品牌手机的市民中抽取20人参加宣传活动，这20人中年龄低于30岁的有5人．现从这20人中随机选取2人各赠送一部手机，记X为选取的年龄低于30岁的人数，则P(X＝1)＝________.【答案】【分析】由于X＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，进而结合超几何分布的概率计算公式即可求出结果.【详解】X＝1是指选取的人中年龄低于30岁的有1人，所以.故答案为：.9．北京冬奥会已于2022年2月4日至2月20日顺利举行，这是中国继北京奥运会.南京青奥会后，第三次举办的奥运赛事，为助力冬奥，进一步增强群众的法治意识.提高群众奥运法律知识水平和文明素质，让法治精神携手冬奥走进千家万户.某市有关部门在该市市民中开展了“迎接冬奥·法治同行”主题法治宣传教育活动.该活动采取线上线下相结合的方式，线上有“知识大闯关”冬奥法律知识普及类趣味答题，线下有“冬奥普法”知识讲座，实现“冬奥+普法”的全新模式.其中线上“知识大闯关”答题环节共计30个题目，每个题目2分，满分60分，现在从参与作答“知识大闯关”题目的市民中随机抽取1000名市民，将他们的作答成绩分成6组：.并绘制了如图所示的频率分布直方图.(1)请估计被抽取的1000名市民作答成货的平均数和中位数；(2)视频率为概率.现从所有参与“知识大闯关”活动的市民中随机取20名，调查其掌握各类冬奥法律知识的情况.记k名市民的成绩在的概率为，，…，20.请估计这20名市民的作答成绩在的人数为多少时最大？并说明理由.【答案】(1)34分,35分；(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，理由见解析.【分析】（1）根据平均数和中位数的概念，利用频率分布直方图求解即可；（2）由题意知X~B(20,0.35)，设最大，根据二项分布的概率公式建立不等式组求解即可.(1)由频率分布直方图可知，抽取的1000名市民作答成绩的平均数（分），设1000名市民作答成绩的中位数为x，则，，所以这1000名市民作答成绩的平均数为34分，中位数为35分.(2)估计这20位市民的作答成绩在[40,60]的人数为7时概率最大，由已知得X~B(20,0.35)，，令,即,即，解得，由，，所以这20位市民的作答成绩在的人数为7时最大.10．十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要．纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”．某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案．此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献．该企业使用新技术对某款芯片进行试生产，该厂家生产了两批同种规格的芯片，第一批占60%，次品率为6%；第二批占40%，次品率为5%．为确保质量，现在将两批芯片混合，工作人员从中抽样检查．(1)从混合的芯片中任取1个，求这个芯片是合格品的概率；(2)若在两批产品中采取分层抽样方法抽取一个样本容量为15的样本，再从样本中抽取3片芯片，求这3片芯片含第二批片数X的分布列和数学期望．【答案】(1)0.944(2)分布列见解析，【分析】（1）设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且、互斥，由全概率公式可得答案；（2）求出X的可取值和概率可得分布列.(1)设事件“任取一个芯片是合格品”，事件“产品取自第一批”，事件“产品取自第二批”，则且、互斥；由全概率公式可知：，所以.(2)由条件可知：第一批芯片数：9，第二批芯片数：6；X的可取值为0，1，2，3；；；；所以X的分布列为：X0123P所以．专题12二项分布、超几何分布与正态分布A组基础巩固1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，记X为“正面朝上”出现的次数，则随机变量X的均值（

）A．2 B．1 C． D．【答案】A【分析】先判断出，然后利用均值的计算公式求解即可．【详解】由题意可知，，所以．故选：A2．剪刀石头布又称“猜丁壳”，古老而简单，游戏规则中，石头克剪刀，剪刀克布，布克石头，三者相互制约，因此不论平局几次，总会有决出胜负的时候．现，两位同学各有张卡片，以“剪刀、石头、布”的形式进行游戏：输方将给赢方一张卡片，平局互不给卡片，直至某人赢得所有卡片，游戏终止．若，一局各自赢的概率都是，平局的概率为，各局输赢互不影响，则恰好局时游戏终止的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将恰好局时游戏终止的事件分拆成有平局、无平局的两个互斥事件的和，分别求出这两个事件的概率即可得解.【详解】恰好局时游戏终止的事件M，输方第5局必输，前4局平两局输两局的事件为M1，第4局必输，前局输局赢局的事件为M2，则M=M1+M2，M1与M2互斥，显然游戏终止时可以是输方，也可以是输方，于是得，，，所以恰好局时游戏终止的概率为.故选：B3．下列随机事件中的随机变量服从超几何分布的是（

）A．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为B．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为C．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为D．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为【答案】B【分析】根据超几何分布的定义可判断得选项.【详解】解：由超几何分布的定义可判断，只有B中的随机变量服从超几何分布.故选：B.4．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，其中红球个数的数学期望是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】记同时取出的2个球中红球的个数为X，则，再根据超几何分布的期望公式计算可得；【详解】解：记同时取出的2个球中红球的个数为X，则X服从参数为，，的超几何分布，所以．故选：C5．有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数的均值是（

）A．n B．C． D．【答案】C【详解】设抽到的次品数为X，则有N件产品，其中有M件次品，从中不放回地抽n件产品，抽到的次品数X服从超几何分布，∴抽到的次品数的均值E(X)＝.6．某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用超几何概率计算公式即可求解.【详解】组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为.故选：C7．一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：①X表示取出的最大号码；②X表示取出的最小号码；③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X表示取出的4个球的总得分；④X表示取出的黑球个数．这四种变量中服从超几何分布的是()A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④【答案】B【分析】根据超几何分布的定义逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，当X表示最大号码，比如表示从黑球编号为中取3个黑球，而表示从6个黑球和编号为的白球共7个球中取3个球，故该随机变量不服从超几何分布，同理②中的随机变量不服从超几何分布.对于③，的可能取值为，表示取出4个白球；表示取出3个白球1个黑球；表示取出2个白球2个黑球；表示取出1个白球3个黑球；表示取出4个黑球；因此服从超几何分布.由超几何分布的概念知④符合，故选：B.8．从一副不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】先求得从不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张的方法数，再求得至少有3张的方法数，利用古典概型概率求解.【详解】从不含大王、小王的52张扑克牌中任意抽出5张有种方法，则至少有3张有种方法，所以设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P(X≥3)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝.故选：D9．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有个红球，乙盒子里有个红球和个黑球，现从乙盒子里随机取出个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着的增加，下列说法正确的是（

）A．增加，增加 B．增加，减小C．减小，增加 D．减小，减小【答案】C【解析】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，可得出，再从甲盒子里随机取一球，则服从两点分布，所以，，从而可判断出和的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出个球，含有红球个数服从超几何分布，即，其中，其中，且，.故从甲盒中取球，相当于从含有个红球的个球中取一球，取到红球个数为.故，随机变量服从两点分布，所以，随着的增大，减小；，随着的增大，增大.故选：C.10．有件产品，其中有件次品，从中不放回地抽件产品，抽到的次品件数的数学期望值是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】设抽到的次品件数为随机变量，由题意知服从超几何分布，可计算出的数学期望值.【详解】设抽到的次品件数为随机变量，令，，，由随机变量均值的定义可知，当时，，①因为，所以，.当时，注意到①式中间求和的第一项为，同理可计算得出.故.故选：C.11．一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下，生产的零件尺寸z（单位：）服从正态分布，且，则（

）A．0.1 B．0.04 C．0.05 D．0.06【答案】D【分析】直接由正态分布的对称性求解即可.【详解】因为零件尺寸z服从正态分布，所以，所以．故选：D.12．已知两个随机变量，其中，若，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由，可得，结合正态分布的对称性，分析即得解【详解】由题意，，所以，结合正态分布的对称性，.故选：D13．已知随机变量服从正态分布，则（

）A．6 B．11 C．18 D．36【答案】D【分析】结合正态分布的知识以及方差的计算公式，计算出.【详解】∵随机变量服从正态分布，∴，∴.故选：D14.某小区有1000户各户每月的用电量近似服从正态分布N（300，100），则用电量在320度以上的户数估计约为（

）参考数据：若随机变量与服从正态分布A．17 B．23 C．34 D．【答案】B【分析】先由对称性及参考数据求出用电量在320度以上的概率，再估计户数即可.【详解】由用电量近似服从正态分布N（300，100）知，，故用电量在320度以上的户数估计约为.故选：B.15．已知随机变量X，Y分别满足，X～B（8，p），Y～N（μ，），且期望E（X）=E（Y），又P（Y≥3）=，则p=（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正态分布，求出，利用二项分布的期望公式即可求出p.【详解】且，知，所以，又，所以.故选：C16．良好的睡眠是保证高中学生学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠情况，该校调查了高三年级名学生的睡眠时间（单位：小时）．经调查发现，这名学生每天的睡眠时间，则每天的睡眠时间为小时的学生人数约为（结果四舍五入保留整数）（

）．（附：若，则，，）A． B． C． D．【答案】C【分析】计算得出，，计算出的值，再乘以可得结果.【详解】由题意可得，，则，，所以，，所以，这名学生中每天的睡眠时间为小时的学生人数约为.故选：C.17．红外体温计的工作原理是通过人体发出的红外热辐射来测量体温的，有一定误差．用一款红外体温计测量一位体温为36.9℃的人时，显示体温X服从正态分布，若X的值在内的概率约为0.9973，则n的值约为（

）参考数据：若，则．A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】根据题意求得，再结合求出，即可得出答案.【详解】解：因为体温X服从正态分布，所以，因为X的值在内的概率约为0.9973，根据参考数据知，即，所以，所以，所以，所以，解得.故选：B.18．新冠核酸检查小组对城市的一个小区名市民进行核酸检查，其中有一个是疑似病人，将名市民的采集样本放在一组，进行化验，如果有一个是疑似病人，这组所采集的样本化验结果显示阳性，该小组每一个市民就必须逐一进行排查，直到找出疑似病人，现从这小组中任选组，那么找到疑似病人所在小组的数学期望为_________【答案】【分析】根据已知得该分布为二项分布，根据二项分布的期望公式直接计算.【详解】由已知得这个小组中，包括疑似病例的概率，所以该分布满足，故期望，故答案为：.19．某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.【答案】【分析】根据题意得到随机变量，结合二项分布的期望与方差的计算公式，求得，进而求得的值.【详解】由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，所以随机变量，因为，可得，解得或，又因为，可得，所以，所以.故答案为：.20．如果，其中，______时，最大.（注：是整数）【答案】或【分析】根据题意可得，，1，2，…，，由最大，则有，从而可得答案.【详解】解：∵，其中，∴，，1，2，…，，∵，得，∴，∴当是整数时，或时，最大.故答案为：或.21．下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号)①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X；②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数；③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X.【答案】①②【分析】根据超几何分布模型定义逐个分析即可求出结果.【详解】根据超几何分布模型定义可知①中随机变量X服从超几何分布．②中随机变量X服从超几何分布．而③中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布．故答案为：①②.22．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为___________.（附：若随机变量服从正态分布，则，）【答案】0.1359【分析】利用正态分布的对称性计算给定区间内的概率作答.【详解】因长度误差（单位：毫米）服从正态分布，则，于是得，，所以.故答案为：0.135923．某金业加工了一批新零件，其综合质量指标值X服从正态分布N(80,)，且，现从中随机抽取该零件500个，估计综合质量指标值位于(60,100]的零件个数为_________.【答案】【分析】利用正态分布的对称性可得，进而求综合质量指标值位于(60,100]的概率，结合题设即可估计该区间内的零件的个数.【详解】由题设，正态分布曲线关于对称，所以，则，所以，则综合质量指标值位于(60,100]的零件个数为个.故答案为：.24．若某种水果的果实横径（单位：）服从正态分布，则果实横径在的概率为__________.（附：若，则，）【答案】【解析】分析可得，，利用原则结合参考数据可求得结果.【详解】由题意可得，，则，，所以，.故答案为：.

B组能力提升25．（多选题）一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球1个，黑球2个，则下列选项正确的有（

）A．从该口袋中任取3个球，设取出的红球个数为，则数学期望B．每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的黑球次数为，则数学期望C．从该口袋中任取3个球，设取出的球的颜色有X种，则数学期望D．每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的黑球的个数为Y，则数学期望【答案】ABD【分析】根据给定条件结合随机变量分布列、期望公式，逐项分析、计算判断作答.【详解】对于A，的可能值：0，1，2，3，，，，，则，A正确；对于B，的可能值：0，1，2，3，取球一次取到黑球的概率为，因取球一次有取到黑球和没取到黑球两个结果，因此，,，B正确；对于C，的可能值：1，2，3，，，，则，C不正确；对于D，的可能值：0，1，2，，，，则，D正确.故选：ABD26．（多选题）为了增强学生的冬奧会知识，弘扬奥林匹克精神，北京市多所中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了了解学生对冰壶这个项目的了解情况，在北京市中小学中随机抽取了10所学校，10所学校中了解这个项目的人数如图所示：若从这10所学校中随机选取2所学校进行这个项目的科普活动，记为被选中的学校中了解冰壶的人数在30以上的学校个数，则（

）A．的取值范围为 B．C． D．【答案】BC【分析】首先理解概率类型为超几何概率，结合组合数公式，即可计算，并判断选项.【详解】的取值范围为，了解冰壶的人数在30以上的学校有4所.，，，，所以.故选：BC.27．（多选题）“杂交水稻之父”袁隆平一生致力于杂交水稻技术的研究、应用与推广，创建了超级杂交稻技术体系，为我国粮食安全、农业科学发展和世界粮食供给作出了杰出贡献.某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高，得出株高（单位：）近似服从正态分布.已知时，有，，.下列说法正确的是（

）A．该地水稻的平均株高约为 B．该地水稻株高的方差约为100C．该地株高超过的水稻约占68.27％ D．该地株高低于的水稻约占99.87％【答案】ABD【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解.【详解】由题意可知，，，故A，B正确；由题意得，所以，故C错误；所以，故D正确；故选：ABD.28．（多选题）已知某种袋装食品每袋质量（单位：g）X～N（500，16）．，，，则下面结论正确的是（

）A．B．C．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间（492，504]的约8186袋D．随机抽取10000袋这种食品，袋装质量小于488g的不多于14袋【答案】AC【分析】按照概率的意义，正态分布的对称性以及参考数据依次判断4个选项即可.【详解】根据题意，，∴，故A正确．又，故B错误．由于，所以随机抽取袋这种食品，袋装质量在区间的约袋，故C正确．根据概率的意义，故D错误．故选：AC.29．（多选题）医用口罩由口罩面体和拉紧带组成，其中口罩面体分为内、中、外三层.内层为亲肤材质（普通卫生纱布或无纺布），中层为隔离过滤层（超细聚丙烯纤维熔喷材料层），外层为特殊材料抑菌层（无纺布或超薄聚丙烯熔喷材料层）.根据国家质量监督检验标准，医用口罩的过滤率是重要的指标，根据长期生产经验，某企业在生产线状态正常情况下生产的医用口罩的过滤率，则下列说法正确的是（

）A．B．C．D．假设生产状态正常，记Y表示一天内抽取的50只医用口罩中过滤率大于等于的数量，则【答案】ABC【分析】结合正态分布的对称性、原则、独立重复试验概率计算公式，对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】由题意可知，，.对于A，因为，所以，，故A正确；对于B，因为，，所以根据正态密度曲线的特点可知，故B正确；对于C，因为，且，所以，故C正确；对于D，一只医用口罩过滤率小于的概率约为，所以，故D错误.故选：ABC30．某地区实行社会主义新农村建设后，农村的经济收入明显增加.该地区为更好地了解农村的经济收入变化情况，对该地农村家庭年收入进行抽样调查，现将200户农村家庭2021年年收入的数据整理得到如下频率分布直方图；(1)估计该地区农村家庭年收入的平均值；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）(2)用样本频率估计总体，现从该地区中随机抽取2户农村家庭，记家庭年均收入落在区间内的户数为，家庭年均收入落在区间内的户数为，求E（X）与E（Y）的值.【答案】(1)(2)，【分析】（1）根据频率分布直方图中的数据，结合平均数的计算公式，即可求解；（2）求得年均收入落在区间内的概率为，得到，求得其期望，再求得年均收入落在区间内的概率为，得到，求得其期望.(1)解：根据频率分布直方图中的数据，估计该地区农村家庭年收人的平均值为：.(2)解：农村家庭年均收入落在区间内的概率为，则随机变量，所以，农村家庭年均收入落在区间内的概率为，则随机变量为，所以.31．甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得1分，失败的一方不得分．已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况）．(1)求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分的概率；(2)设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由题意，可知在5场比赛中，甲队赢3场，从而可得概率；（2）根据二项分布可解答.(1)记“五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分”为事件，而五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队1分，即五场单打比赛中甲队赢3场，乙队赢2场，所以(2)由题意，可取.所以；；；；；.所以的分布列为：012345所以.或者，所以.32．2022年冬奥会在北京举行，冬奥会吉祥物“冰墩墩”自亮相以来就好评不断，出现了“一墩难求”的现象.主办方现委托某公司推出一款以“冰墩墩”为原型的纪念品在专卖店进行售卖.已知这款纪念品的生产成本为80元/件，为了确定其销售价格，调查了对这款纪念品有购买意向的消费者（以下把对该纪念品有购买意向的消费者简称为消费者）的心理价位，并将收集的100名消费者的心理价位整理如下：心理价位（元/件）90100110120人数10205020假设当且仅当这款纪念品的销售价格小于或等于某位消费者的心理价位时，该消费者就会购买该纪念品.公司为了满足更多消费者的需求，规定每位消费者最多只能购买一件该纪念品.设这款纪念品的销售价格为x（单位：元/件），，且每位消费者是否购买该纪念品相互独立.用样本的频率分布估计总体的分布，频率视为概率.(1)若，试估计消费者购买该纪念品的概率；已知某时段有4名消费者进店，X为这一时段该纪念品的购买人数，试求X的分布列和数学期望；(2)假设共有M名消费者，设该公司售卖这款纪念品所得总利润为Y（单位：元），当该纪念品的销售价格x定为多少时，Y的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列见解析，期望为3.6；(2)当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．【分析】（1）由调查表得出每个人购买纪念品的概念为，而，由二项分布计算概率得分布列，由二项分布的期望公式得期望；（2）利用二项分布的期望公式求出时的期望，比较得最大值．(1)时，消费者购买该纪念品的概率，由题意，，，，同理，，，，的分布列为：01234；(2)由（1）知时，（时等号成立），时，（时等号成立），时，（时等号成立），，因此最大，此时．所以当该纪念品的销售价格定为110元多少时，Y的数学期望达到最大值．33．共享电动车（sharedev）是一种新的交通工具，通过扫码开锁，实现循环共享.某记者来到中国传媒大学探访，在校园喷泉旁停放了10辆共享电动车，这些电动车分为荧光绿和橙色两种颜色，已知从这些共享电动车中任取1辆，取到的是橙色的概率为，若从这些共享电动车中任意抽取3辆.(1)求取出的3辆共享电动车中恰好有一辆是橙色的概率；(2)求取出的3辆共享电动车中橙色的电动车的辆数X的分布列与数学期望.【答案】(1)；(2)分布列见解析，数学期望为.【分析】（1）先求出两种颜色的电动车各有多少辆，然后根据超几何分布求概率的方法即可求得答案；（2）先确定X的所有可能取值，进而求出概率并列出分布列，然后根据期望公式求出答案.(1)因为从10辆共享电动车中任取一辆，取到橙色的概率为0.4，所以橙色的电动车有4辆，荧光绿的电动车有6辆.记A为“从中任取3辆共享单车中恰好有一辆是橙色”，则.(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.所以，，，.所以分布列为0123数学期望.34．2021年11月25日，南非报告发现新冠病毒突变毒株.1.1.529，26日，世界卫生组织将其命名为“奥密克戎”．传染病专家威兰德根据现有数据计算称，相比原始新冠毒株，“奥密克戎”的传染性高出5倍，而“德尔塔”仅高出70%．在最近的中非合作论坛上，中国正式宣布将再次向非洲援助冠状病毒疫苗10亿针．同时，卫生部拟从5名防疫专家中抽选人员分批次参与援助南非活动．援助活动共分3批次进行，每次援助需要同时派送2名专家，且每次派送专家均从这5人中随机抽选．已知这5名防疫专家中，2人有援非经验，3人没有援非经验．(1)求5名防疫专家中的“甲